CC BY
59
УДК 531.1
А. С. Горобцов, Д. А. Мирошниченко, С. В. Солоденков АНАЛИЗ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ С ИЗБЫТОЧНЫМИ СВЯЗЯМИ РАЗЛИЧНОЙ СТЕПЕНИ СТАТИЧЕСКОЙ НЕОПРЕДЕЛИМОСТИ
Аннотация. Рассматриваются методы выявления избыточных кинематических связей в расчетных схемах машин и механизмов произвольной структуры. Анализируются численные характеристики различных методов преобразования избыточных связей в статически определимые. Предлагается универсальный метод преобразования избыточных связей с помощью шарнирных трех-звенников. Обосновываются возможные новые постановки задач в динамике управляемых машин.
Ключевые слова: система, структура, метод, механизм, избыточные связи.
Abstract. The redundant constraints search methods at the arbitrary kinematics chains structure are investigated. The calculations properties of the some transform methods redundant constraints to statically definite constraints are analyses. Universal transformation method for redundant constraints via linked three body chain is proposed. New possibilities tasks at dynamic of control movement machines is found.
Keywords: system, structure, method, mechanism, redundant connections.
Избыточные связи в машинах являются источником повышенных реакций в кинематических парах и, как следствие этого, повышенного износа и снижения ресурса машины [1]. Выявление избыточных связей актуально также для компьютерных методов моделирования динамики и кинематики машин и механизмов, поскольку приводит к плохо обусловленным системам уравнений, решение которых численными методами невозможно [2].
Существующие в теории механизмов и машин методы выявления избыточных связей разделяются на две группы. Во-первых, это методы, основанные на определении общей подвижности механизма по формулам Чебышева для плоских механизмов и по формуле Малышева - для пространственных. Такие методы выявляют избыточные связи при условии, что из рассмотрения исключены пассивные связи и система после этого обладает нулевой подвижностью. Пассивные связи присутствуют в большом числе механизмов -типичный пример этого рода - карданный шарнир Гука [3], и формальных способов их выделения не существует. Ко второй группе методов можно отнести различные эвристические приемы, среди которых наиболее известен синтез структуры машин с помощью групп Ассура. Использование групп Ас-сура обеспечивает отсутствие избыточных связей в плоских механизмах, однако ограничивает структуру машины набором элементов заданного типа.
В данной работе ставится задача выявления избыточных связей в кинематической схеме произвольной структуры и размерности на основе компьютерных методов моделирования динамики и кинематики машин. Под избыточными связями здесь и далее будут подразумеваться как пассивные, так и структурно избыточные связи. Для решения этой задачи используется представление уравнений движения механической системы в форме уравнений Лагранжа первого рода [4-6]
Мх - БГр = Г (х, х, t), Бх = Ь(х, х),
(1)
где х - вектор обобщенных координат всей системы размерностью п ; М -матрица инерции; Г (х, х, t) - вектор внешних сил, включающий в себя силы нагрузок, силы от упруго-демпфирующих элементов и гироскопические силы; Б - матрица переменных коэффициентов уравнений от кинематических связей размерностью k Xп (k - число связей); Ь(х, х) - вектор правых частей уравнений связей; р - вектор множителей Лагранжа; T - символ транспонирования.
Точность и устойчивость численного интегрирования (1) зависит от обусловленности матрицы коэффициентов алгебраической системы, которая решается на каждом шаге численного интегрирования
где В - вектор правых частей (1).
Рассматриваемые методы составления уравнений динамики систем позволяют получать численное решение для механических систем произвольной структуры при условии, что кинематические связи не избыточны, т.е. система является статически определимой. В случае статической неопределимости в матрице связей Б появляются линейно зависимые строки, матрица коэффициентов (2) становится плохо обусловленной и численное интегрирование (1) становится неустойчивым.
Для устранения статической неопределимости необходимо сначала выделить избыточные связи, а затем выполнить некоторые эквивалентные преобразования расчетной схемы, которые позволили бы получить статически определимую систему.
Выявление избыточных связей можно реализовать в процедуре сборки кинематической цепи модели машины. Такая процедура необходима для построения некоторого замкнутого положения звеньев модели. Для представления моделей в форме (1) алгоритмы сборки рассмотрены в [7] и сводятся к поочередному включению в матрицу связей Б уравнений от кинематических пар. Кинематическая связь будет избыточной, если при включении ее в матрицу Б обусловленность матрицы коэффициентов (2) резко изменится. Такой алгоритм сборки позволяет найти полное число избыточных связей системы и один из вариантов их распределения по кинематическим парам. Полученный вариант распределения избыточных связей зависит от последовательности включения уравнений связей в матрицу Б в алгоритме сборки. Заметим, что в общем случае существует неединственное распределение избыточных связей в структуре системы.
Рассмотрим теперь методы исключения избыточных связей.
Наиболее простой из существующих методов преодоления статической неопределимости сводится к замене соответствующих связей консервативными силами. Для систем дифференциальных уравнений, предназначенных для численного интегрирования, это приводит к увеличению жесткости системы, необходимости уменьшения шага интегрирования и, следовательно,
(2)
к увеличению временных затрат. Поэтому целесообразна разработка таких методов, которые бы не приводили к существенному увеличению жесткости уравнений.
Для анализа различных методов раскрытия статической неопределимости рассмотрим тестовую статически неопределимую пространственную систему (рис. 1). Тестовая система состоит из верхнего тела, связанного с неподвижным основанием четырьмя стержнями через сферические шарниры. Подвижные тела имеют по шесть степеней свободы каждое. Система обладает семью степенями свободы (четыре из них - вращения стержней относительно продольной оси). Сферические шарниры накладывают 8 х 3 = 24 связи и, таким образом, у системы остается 6 х 5 - 24 = 6 степеней свободы. Семь степеней свободы можно обеспечить 23 связями, т.е. одна связь лишняя. В примере все массы и длины приняты единичными.
Рис. 1 Расчетная схема тестовой статически неопределимой системы и рассматриваемое движение
На рис. 1 избыточная связь показана выделенной стрелкой в системе координат одного из верхних шарниров. Укажем, что на рис. 1 представлен один из восьми возможных вариантов положения избыточной связи.
В качестве оценки обусловленности матрицы системы (2) можно использовать величину отношения максимального и минимального диагональных коэффициентов треугольной матрицы в методе Гаусса, к которой приводится матрица коэффициентов системы линейных алгебраических уравнений, соответствующей уравнению (1), а именно
А = Ьи
где Ь и и - нижняя и верхняя треугольные матрицы. Число обусловленности матрицы А может быть записано
_ ld i . _ ld max
'i , ’ 'max , ’
ld min ld min
где r - число обусловленности; ld max - максимальный диагональный коэффициент нижней треугольной матрицы; ld min - минимальный диагональный коэффициент этой же матрицы.
Число обусловленности матрицы статически неопределимой системы (рис. 1) равно 6,13 • 1030, а при исключении одной лишней связи число обусловленности снижается до 9,37, что свидетельствует о достаточной чувствительности выбранной оценки обусловленности.
Непосредственная замена избыточных кинематических связей упругими может приводить к существенным искажениям в величинах реакций связей, хотя при этом само движение не изменяется. Так, для схемы на рис. 1 замена кинематической связи на податливую приводит к тому, что вертикальная нагрузка начинает восприниматься только двумя соседними стержнями. В силу этой причины замена избыточных связей упругими силами должна производиться с учетом структуры системы, чтобы не изменять существенно распределение реакций в системе. Для структуры, изображенной на рис. 1, эквивалентное преобразование заключается в сведении к упругим двух соседних вертикальных связей.
Возможные варианты раскрытия статической неопределимости, основанные на усложнении структуры расчетной схемы, представлены на рис. 2, 3.
Для систем, в которых избыточные связи замыкаются на неподвижное основание, основание можно разбивать на отдельные тела с относительно большой массой. Для упрощения уравнений такие квазиоснования должны иметь только поступательные степени свободы - рис. 2,а.
Для общего случая структуры, когда избыточные связи не соединены с основанием, возможен вариант разбиения одного из тел на части, связанные специальным образом. В рассматриваемом примере это разделение верхнего тела (плиты) на две связанные части с эквивалентными инерционными характеристиками, представленными на рис. 2,б. Связь между половинами в данном случае оставляет одну относительную степень свободы - поворот вокруг поперечной оси у и обеспечивается одним сферическим шарниром и двумя опорами по оси у.
Общие принципы при разбиении тел сводятся к появлению у системы новых степеней свободы, число которых равно степени статической неопределимости. Этот прием давно используется в инженерной практике для исключения избыточных связей. На этой основе разработаны системы проектирования стержневых конструкций. В качестве типичного примера статически определимой конструкции можно привести Парфенон (рис. 4). На рис. 4 отчетливо видно, что балки перекрытия колонн выполнены разрезными, что делает несущую конструкцию сооружения статически определимой. Следует указать, что статически определимые конструкции устойчивы к внешним воздействиям - разрушение нескольких элементов не вызывает разрушения всей конструкции. Статически неопределимые конструкции чувствительны к внешним воздействиям и могут разрушаться при выходе из строя небольшого числа элементов.
Рис. 2 Раскрытие статической неопределенности -
Рис. 3 Раскрытие статической неопределенности - добавление трехзвенника (а); увеличенная кинематическая схема трехзвенника (б)
Рис. 4 Парфенон - пример статически определимой конструкции за счет разбиения элементов на части
В расчетных методах универсальным способом преобразования кинематической схемы для устранения статической неопределимости является замена соответствующей кинематической пары, которая несет избыточную связь, трехзвенником (рис. 3). У такого трехзвенника совпадают начальная и конечная точки, и эти точки связаны с телами, соединяемыми заменяемым шарниром. При относительно малой массе и больших моментах инерции такой трехзвенник будет обеспечивать малые относительные смещения, т.е. не
вносить больших возмущений в кинематику исходной системы. Выбор трехзвенника, а не двухзвенника, что тоже возможно, объясняется тем, что в этом случае возможны положения, в которых линия двухзвенника и линия действия избыточной реакции совпадают, что будет приводить к плохой обусловленности матрицы.
Оптимальным с вычислительной точки зрения является способ разбиения критического тела на части. В этом случае достигается лучшая обусловленность матрицы системы. В нашем примере обусловленность матрицы составляет 12,6. Это позволяет использовать при интегрировании минимальный шаг.
Введение раздельных опор вносит систематическую ошибку в определение реакций. Порядок такой ошибки равен отношению массы системы к массе квазиопор. При соотношениях порядка 10-5 число обусловленности матрицы составляет 3,62 • 105.
Раскрытие статической неопределимости с помощью трехзвенников применимо к кинематическим цепям любой структуры, и не требует дополнительного анализа, как в случае разбиения отдельных тел на части.
Единственное условие - сохранение соотношений между реакциями, что для нашего примера требует введения двух трехзвенников (рис. 3). Однако этот метод дает наихудшие характеристики матрицы - для массы звена порядка 10-2 и моментах инерции 105 обусловленность матрицы имеет значение 6,66 • 108, при котором также может быть целесообразным использование консервативных сил.
На рис. 5 показаны изменения кинематической погрешности (невязки) в избыточной связи при двух методах раскрытия неопределимости - замене избыточной связи консервативной силой и вставкой вместо сферического шарнира трехзвенника (рис. 3). Из рис. 5 следует, что при использовании трехзвенников погрешность значительно увеличивается по сравнению с другими способами, однако при этом остается в приемлемых границах. Уменьшения невязки можно добиться увеличением моментов инерции тел трех-звенника, хотя при этом падает обусловленность матрицы.
Рассмотренные способы раскрытия статической неопределимости, основанные на модификации структуры кинематической схемы, приводят к эквивалентной схеме, которая асимптотически приближается к исходной, при стремлении инерционных параметров к бесконечности. С помощью такой модификации можно получить решение с заданной точностью.
Однако увеличение точности ограничивается уменьшением обусловленности матрицы и ростом погрешности решения линейной системы. Этот недостаток можно преодолеть, используя модифицированные кинематические схемы только для определения реакций, а сами переменные состояния находить из исходной системы вида (1) с помощью различных модификаций методов интегрирования системы (1), рассмотренных в [8].
Предлагаемые эквивалентные преобразования кинематических схем с избыточными связями позволяют ставить и решать новые задачи в области управляемого движения машин. В работе [9] рассмотрен синтез управляемого движения четырехногого робота с двухпальцевой стопой. Для коррекции управляемого движения в статически неустойчивых режимах использовались значения трехмерных динамических реакций в точках опоры двухпальцевой стопы.
невязка в избыточной связи по Z ' замена консервативной силой
4,00 12,00 20,00 28,00 • 10-1 T [с]
Рис. 5 Погрешность в шарнире при различной точности вычисления реакций
Таким образом, рассмотренные методы дают возможность для пространственного механизма произвольной структуры выявлять избыточные кинематические связи, преобразовывать их в статически определимые и находить в них теоретические реакции. В свою очередь это позволяет получать численное решение уравнений динамики механических систем различной структуры, записанных в форме (1).
Список литературы
1. Кожевников, С. Н. Теория механизмов и машин / С. Н. Кожевников. - М. : Машиностроение, 1973.
2. ADAMS/Solver. Theory Seminar. Rajiv Rampalli. - 2000. - Nov. 12. - Mechanical Dynamics.
3. Артоболевский, И. И. Теория механизмов и машин / И. И. Артоболевский. -М. : Наука, 1975. - 638 с.
4. Добронравов, В. В. Основы аналитической механики / В. В. Добронравов. -М. : Высшая школа, 1976. - 264 с.
5. Горобцов, А. С. Программный комплекс расчета динамики и кинематики машин как систем твердых и упругих тел / А. С. Горобцов // Инженерный журнал. Справочник. - 2004. - № 9. - С. 40-43.
6. Горобцов, А. С. Формирование уравнений движения пространственной механической системы, содержащей кинематические цепи произвольной структуры / А. С. Горобцов // Машиностроение и инженерное образование. - 2005. - № 2. -С. 46-54.
7. Горобцов, А. С. Виртуальная сборка кинематических схем механизмов и машин произвольной структуры / А. С. Горобцов // Сборка в машиностроении. -2005. - № 12. - С. 8-11.
8. Горобцов, А. С. Алгоритмы численного интегрирования уравнений движения систем тел с множителями Лагранжа / А. С. Горобцов, С. В. Солоденков // Машиностроение и инженерное образование. - 2005. - № 3. - С. 20-27.
9. Горобцов, А. С. Использование методов моделирования динамики много-тельных систем в задачах синтеза управляемого движения / А. С. Горобцов // Информационные технологии. - 2004. - № 8. - С. 14-17.
Горобцов Александр Сергеевич доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой высшей математики, Волгоградский государственный технический университет
E-mail: gorobtsov@avtlg.ru, vm@vstu.ru
Козлов Максим Владимирович аспирант, Волгоградский государственный технический университет
E-mail: gorobtsov@avtlg.ru, vm@vstu.ru
Солоденков Сергей Владимирович
кандидат технических наук, доцент, кафедра высшей математики, Волгоградский государственный технический университет, Российский государственный университет туризма и сервиса
E-mail: gorobtsov@avtlg.ru, vm@vstu.ru
Gorobtsov Alexander Sergeevich Doctor of engineering sciences, professor, head of sub-department of higher mathematics, Volgograd State Technical University
Kozlov Maxim Vladimirovich Post graduate student,
Volgograd State Technical University
Solodenkov Sergey Vladimirovich Candidate of engineering sciences, associate professor, sub-department of higher mathematics, Volgograd State Technical University, Russian State University of tourism and service
УДК 531.1 Горобцов, А. С.
Анализ динамических систем с избыточными связями различной степени статической неопределимости / А. С. Горобцов, М. В. Козлов, С. В. Солоденков // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Технические науки. - 2009. - № 3 (11). - С. 133-141.
