CC BY
48
УДК531.8:621.01
А.А. Хростицкий, А.Н. Евграфов, В.А. Терешин
ОСОБЕННОСТИ ЗАДАЧИ ИССЛЕДОВАНИЯ ГЕОМЕТРИИ МЕХАНИЗМА С ИЗБЫТОЧНЫМИ СВЯЗЯМИ
Целью геометрического исследования механизмов с избыточными связями является выявление особенностей кинематических цепей, связанных с геометрическими характеристиками. Основная геометрическая характеристика — это функция положения механизма Отыскание П$ составляет прямую задачу геометрического анализа. Для механизмов с п степенями подвижности функции положения записываются в виде групповых уравнений [3, с. 42]
л^ ?„), 5 = 1, ..., т, (1)
где х, — выходные координаты механизма.
Как было отмечено в работах [5, с. 171; 6, с. 404], существуют парадоксальные механизмы, у которых за счет особой структуры присутствует способность двигаться при избыточных закреплениях. В этом случае избыточные (зависимые) связи как физические ограничители не проявляют себя.
В статье рассматриваются парадоксальные механизмы на примере пространственного шес-тизвенного механизма, содержащего одну избыточную связь. Для парадоксальных механизмов использовать классический алгоритм геометрического исследования [2, с. 16—17] можно лишь со значительными оговорками. В рассматриваемом механизме даже без указания входа кинематическая цепь сразу распознается как пространственная структурная группа в особом положении, при этом, не имея возможности разложить ее на независимые подсистемы, все необходимые уравнения можно получить из замкнутого контура.
Один из методов решения задачи геометрического исследования рассматриваемого в статье шестизвенника описан в работе [5]. Изложенный в [5] метод решения имеет недостаток: не учитывается якобиан (4) системы групповых уравнений. Необходимость определения якобиана связана с последующим силовым расчетом механизма методом последовательных приближений, основанным на анализе последователь-
ности неособых положений механизма, которая стремится к особому положению.
В статье [4] предложено для выявления особых положений использовать условия равновесия звеньев. В [3, с. 61,65] состояние механизма в особом положении предлагается характеризовать наличием кратных корней системы групповых уравнений
/¡{хх,...,х„) = Ъ, ¡ = 1,...,т (2)
и определителем матрицы Якоби (якобианом /). Матрица Якоби, составленная из частных производных функций системы (2), записывается в форме
К
дхх д " дхп
дк
дхх д " дхп
дж %п_ _ .. дж
дхх д " дхп^
тогда якобиан
J
В случае, если механизм находится в особом положении, якобиан обращается в нуль. Если механизм находится вне особого положения, то якобиан отличен от нуля. Таким образом, аналитическим путем выявляются сингулярные положения механизма.
Наша статья посвящена исследованию особенностей решения задачи геометрии механизмов с избыточными связями методом анализа функции якобиана.
Геометрическое исследование механизма, находящегося в особом положении
Рассмотрим схему пространственного шестизвенника (рис. 1), в соответствии с которой разработана установка турбулентного смесителя [5, с. 171].
Рис. 1. Схема кинематической цепи механизма в неособом положении
На указанном рисунке — угол поворота входного звена 1 (обобщенная координата); 9|, ф2, 9з, ф4, ф5 — углы относительного поворота звеньев. Для определения функций положений Щ выходных координат
**=Щ(ф,(?)), ук=Пк(ф(д)),
гк=Пк(у,т
механизма, находящегося в особом положении, составим и решим матричные уравнения для замкнутого контура АВСБЕЕЛ. Условием замкнутости контура является равенство единичной матрице Е последовательного произведения матриц перехода в (/— 1)-ю систему координат из /-й системы. Запишем это условие в виде матричного уравнения [1, с. 90]
Вт(д, ф,,Ф2,Ф3,Ф4,Ф5) = £, (6)
или
X Ни(щ)Н45(щ)Н56(у5)Нт = Е. (7)
Подставив матрицы //мнайденные по методике, описанной в [5, с. 173—174], в выражение (7) и перемножив, получим в общем виде
а\\ а\2 % ах 4 1 0 0 0
аи а22 а23 а24 0 1 0 0
Й31 а32 а33 ам 0 0 1 0
а41 а42 «43 а44 0 0 0 1
Входящие в матрицу Нт элементы представляют собой выражения зависимостей искомых функций положения Щ в неявном виде. Приравнивая элементы матрицы //00 соответствующим элементам единичной матрицы Е без тождеств нижней строки, можно записать систему из 12-ти трансцендентных уравнений:
ЯП07,Ф1,Ф2>ФЗ>Ф4>Ф5)-1 = 0>
%07>Ф1>Ф2>ФЗ>Ф4>Ф5) = 0>
< Я21(<7,ФЬФ2>ФЗ>Ф4>Ф5) = 0> ^
034(?,Ф1,Ф2,Фз,Ф4,Ф5) = О.
В указанной системе для отыскания действительных корней достаточно решить 6 уравнений, тогда как остальные уравнения являются зависимыми от них. В соответствии с рекомендация-
ми в [ 1, с. 90] запишем систему из шести уравнений с шестью неизвестными в виде
ап07,Ф,,Ф2,Фз,Ф4,Ф5)-1 = 0, %07,Ф,,Ф2,Ф3,Ф4,Ф5) = 0, ^407,Ф,,Ф2,Фз,Ф4,Ф5) = 0, (10)
а22 07,Ф,,Ф2,Фз,Ф4,Ф5)-1 = 0,
024(?,Ф|,Ф2,Фз,Ф4,Ф5) = О,
аз4(?,Ф„Ф2,Фз,Ф4,Ф5) = 0.
В указанной системе переменными параметрами являются пять групповых координат Ф[, ф2, ф3, ф4, ф5 и обобщенная координата Так как исследуемая структурная группа находится в особом положении, то якобиан системы равен нулю. На основании свойства проворачиваемое™ механизма в особом положении определим зависимости групповых координат от дпз системы любых четырех уравнений, добавив к ним равенство нулю функции якобиана Тогда система примет вид системы из пяти уравнений с пятью неизвестными, позволяющей решить задачу геометрии парадоксального механизма:
Яп07,ФЬФ2>ФЗ>Ф4>Ф5)-1 = 0> а22( <7,Ф,,Ф2,Ф3,Ф4,Ф5)-1 = 0, <Я24(?,Ф|,Ф2,ФЗ,Ф4,Ф5) = 0, (11)
^34 ( <7,Ф,,Ф2,ФЗ,Ф4,Ф5) = 0, /07,Ф,,Ф2,ФЗ,Ф4,Ф5) = 0
В представленной работе система решена численным методом. Результатами вычислений
являются графики зависимостей углов относительного поворота звеньев ф,(#), ф2(#), Фз(#), Ф4(#)> Ф5(#) от обобщенной координаты д (рис. 2).
Графики наглядно иллюстрируют одну из геометрических особенностей кинематической цепи — свойственные ей соотношения углов. Так функции углов относительного поворота ф, (#), Ф2(#), ф3(#), Ф4(#) звеньев, обладающих пространственной подвижностью, имеют период я , следовательно, на один оборот входного звена 1 приходится два оборота промежуточных звеньев 2,3, 4. Углам поворота (ф, - ф4), (ф2 - ф3), располагающимся симметрично относительно друг друга (см. рис. 1), свойственна равная амплитуда.
Несмотря на симметричное расположение ф
ф
ф
сительноточек д, ф5 =кк/2 (к = 0,1,2,...) функцией с периодом п . Входное 1 и выходное 5 звенья вращаются в противоположных направлениях.
Геометрическое исследование механизма, выведенного из особого положения
Выше было отмечено, что в рабочем подвижном состоянии механизм находится в особом положении, тогда как в неособом положении механизм неподвижен. Для численного определения особого положения кинематической цепи оценим погрешность расчета якобиана. Для этого переведем механизм из особого положения в неособое и определим наибольшее значение модуля якобиана как масштаб для оценки ошибки его численного расчета.
-250
Рис. 2. Графики зависимостей углов относительного поворота звеньев от д
4
Машиностроение^
Выведение кинематической цепи (см. рис. 2 в [5, с. 172]) из особого положения осуществляется поочередным изменением величин углов Ф,-(?) для некоторого произвольного q (например, д= 65°) и определением соответствующего положения с ориентацией места присоединения кинематической пары Т7 к стойке. Кинематическая схема с измененным углом ф2 представлена на рис. 1. Для нового положения будут дей-
_
с новыми подставленными геометрическими параметрами ф¡(д), х^, у^, Используя систему функций (9) для матрицы Якоби (3), по формуле (4) находят значения якобиана для каждо-
го отдельного положения кинематической цепи. Результаты вычислений — это графики зависимостей якобиана /от варьируемых параметров — углов фД(7) (рис. 3).
Из графиков видно, что якобиан как функция пяти переменных /(Ф[,ф2,Фз,ф4,ф5) достигает максимального значения = — 5,33-КГ4 вблизи ф2 = 0. Порядок указанного максимального значения якобиана дает представление о масштабе погрешности его расчета. Сравнивая результаты вычислений, можно сделать вывод о том, что якобиан, подсчитанный для особого положения, допускается считать нулевым, т. е. положение, в котором работает механизм, действительно особое.
Рис. 3. Значения якобиана 3 в зависимости от фД<?)
В настоящей статье при решении задач геометрического исследования механизма с избыточными связями выявлены следующие особенности, свойственные такому механизму:
в случае, если парадоксальный механизм сразу распознается как структурная группа, не раскладывающаяся на независимые подсистемы, необходимые групповые уравнения получаются из замкнутого контура;
при решении системы уравнений, описыва-
ющих функцию положения, необходимо вместо одного из уравнений подставить выражение равенства нулю функции якобиана;
особое положение механизма характеризуется значением якобиана системы групповых уравнений на несколько порядков меньшим, чем его максимальное значение.
Выводы, полученные для исследуемого в настоящей работе парадоксального механизма, приведены впервые.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Вульфсон, И.И. Механика машин [Текст]: учеб. пособие для втузов / И.И. Вульфсон, M.J1. Ери-хов, М.З. Коловский [и др. j; Под ред. Г.А. Смирнова,— М.: Высшая школа, 1996,— 511 с.
2. Евграфов, А.Н. Теория механизмов и машин [Текст]: учеб. пособие / А.Н. Евграфов, М.З. Коловский, Г.Н. Петров,— 2-е изд., испр. и доп.— СПб.: Изд-во Политехи, ун-та, 2008,— 248 с.
3. Коловский, М.З. Теория механизмов и машин [Текст]: учеб. пособие для студ. вузов / М.З. Коловский, А.Н. Евграфов, Ю.А. Семенов, A.B. Слоущ,— М.: Издательский центр «Академия», 2008,- 560 с.
4. Терёшин, В.А. Наглядное представление особых положений всех шестизвенных групп Ассура
|Текст| / В.А. Терешин // Теория механизмов и машин,- 2003,- № 2,- С. 15-16.
5. Хростицкий, A.A. Геометрия и кинематика пространственного шестизвенника с избыточными связями [Текст] / A.A. Хростицкий, А.Н. Евграфов, В.А. Терёшин // Научно-технические ведомости СПбГПУ,- 2011." № 2 (123).-С. 170-176.
6. Хростицкий, A.A.Особенности структуры и геометрии пространственного шестизвенного механизма с избыточными связями [Текст] / A.A. Хростицкий, В.А. Терёшин // Современное машиностроение. Наука и образование.: Материалы Междунар. науч.-прак. конф,— СПб.: Изд-во Политехи ."ун-та, 2011,- С. 399-409.
УДК 628.562: 621.9
A.C. Горелов, В. В. Прейс
НАУЧНО-МЕТОДИЧЕСИЕ ПОЛОЖЕНИЯ АВТОМАТИЗИРОВАННОГО СТАТИСТИЧЕСКОГО КОНТРОЛЯ КАЧЕСТВА ПРОДУКЦИИ МАССОВЫХ ПРОИЗВОДСТВ
Несмотря на высокий уровень автоматизации современных массовых поточных производств в машиностроительной и приборостроительной отраслях промышленности, значительная часть параметров, определяющих качество производимой продукции, контролируется не автоматическими устройствами, а выборочно вручную. Рост производительности технологического оборудования и уровня автоматизации технологических процессов ставит задачу разработки методологических основ и концепции построения систем автоматизированного статистического контроля (САСК),
обеспечивающих создание эффективной системы управления качеством.
Под управлением качеством (quality control) понимают методы и виды деятельности оперативного характера, которые используют для выполнения требований к качеству. Статистическим управлением качеством (statistical quality control) называют часть деятельности для выполнения требований к качеству продукции, в которой применяют статистические методы.
В соответствии с положением стандартов И СО серии 9000 статистические методы рас-
