CC BY
24
УДК 629.114.2
ОСОБЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ТЕХНОЛОГИЧЕСКОГО ОБОРУДОВАНИЯ С ПАРАЛЛЕЛЬНЫМИ ПРИВОДАМИ РАБОЧЕГО ОРГАНА
Ю.Л. Сюськина
SPECIAL REGULATIONS OF TECHNOLOGICAL EQUIPMENT WITH PARALLEL DRIVES OF OPERATING ELEMENT
J.L. Syus kina
Описан алгоритм определения особых положений механизма с параллельными приводами. Приведены примеры определения особых положений для двух вариантов двухкоординатных исполнительных механизмов с параллельными приводами.
Ключевые слова: механизмы с параллельными приводами, особые
положения механизмов, якобиан.
The algorithm of definition of special regulations of a mechanism with parallel drives is described. The examples of definition of special regulations for two variants of biaxial actuating devices with parallel drives.
Keywords: mechanisms with parallel drives, special regulations of mechanisms, Jacobian determinant.
В современном машиностроении применяется оборудование, рабочий орган которого связан с основанием несколькими кинематическими цепями, часть из которых имеет приводы [4]. Достоинствами такого оборудования являются высокая жесткость и точность перемещений рабочих органов, малая металлоемкость, недостатками - сложность управления,
относительно небольшое рабочее
пространство и сложная его форма, а также наличие особых положений, при которых координаты входных звеньев становятся зависимыми друг от друга. Одним из критериев особого положения является равенство определителя матрицы Якоби (якобиана) нулю [1,6].
Определим особые положения
двухкоординатного исполнительного
механизма с параллельными приводами (рис. 1).
Данный механизм состоит из ползунов А и В, которые перемещаются по оси Ох и соединены пальцем штангами постоянной длины. Примем длины штанг АК и ВК одинаковыми и равными /.
При решении прямой задачи геометрического анализа [6] исследуемого механизма функции положения имеют вид:
хк ~~(ХА +хв);
I / \
I12- хВ-хА 1
V 2 J
Рис. 1. Кинематическая схема двухкоординатного исполнительного механизма
Якобиан для системы (1)
дхк Зхк
ЭхА <Эхв
дУк дУк
ЭхА <Эхв
2
Хо — X/
2
Хд -Хг
I ( Л2 1 Ґ \
Г ХВ-ХА І 4 I [/2- ХВ-ХА
I 2 і 1 1 2
1 ( \
I2- ХВ — А I
1 2 J
(2)
Из равенства
~ хв
1 Ґ \ 2
4М2 - ХВ А
V 1 2
= 0
следует, что в особом положении Хд = хв входные звенья А и В находятся в одной точке
(рис. 2, а, б). В данном положении механизм теряет управляемость - «сдвоенная» штанга длиной / может занимать произвольное положение, вращаясь вокруг нижнего «сдвоенного шарнира» АВ.
Рис. 2. Особые положения двухкоординатного исполнительного механизма
При решении обратной задачи геометрического анализа исследуемого механизма функции положения таковы:
Якобиан для системы (3)
(3)
хв =хк +
1 =
дхА ЭхА
дхк 5Ук
Эхв 5хв
дхк ЗУк
Ук
Ф
2 “Ук ■Ук
Ук
-2у,
Ф
2 Ук
(4)
Из равенства
■ = 0
-2ук
ФГ-
■Ук
следует, что в особом положении ук= 0 - точки А, В и К находятся на оси Ох (рис. 2, в). В данном положении шарнир К может перемещаться только вдоль прямой, соединяющий шарниры А и В. Координаты хА и хв зависимы.
Итак, особые положения такого механизма:
1) центры шарниров А и В находятся в одной точке (рис. 2, а, б);
2) точки А, В и К находятся на одной прямой (рис. 2, в).
В результате расчетов при решении прямой
задачи геометрического анализа был найден один вариант особых положений двухкоординатного исполнительного механизма с параллельными приводами, а при решении обратной задачи геометрического анализа -другой вариант. Это связано с тем, что в первом случае входными координатами данного механизма являются координаты ползунов А и В - хА и хв, выходными координатами -координаты шарнира К - хк и ук, а во втором случае - наоборот.
Проведем исследование особых положений другого двухкоординатного исполнительного механизма с параллельной кинематической структурой (рис. 3).
Звено такого механизма - шарнир с центром в точке К соединяется с основанием с помощью двух стержней АК и ВК изменяемой длины 1\ и /2. Координаты шарниров А и В примем еле-дующими: хА = 0, уА = 0, хв = а, ув = 0.
При решении прямой задачи геометрического анализа исследуемого механизма функции положения имеют вид:
Рис. 3. Кинематическая схема двухкоординатного исполнительного механизма с переменными длинами штанг
х* =-
к.
2а
Ц а 2а 2'
О,2
V
1
2а
/2 а —+ — 2а 2
(5)
Якобиан для системы (5)
/
Эхк Эх
3/,
Эу
к
д/2
дУк
д1 ди
1-±
1\
а
/
X а
/,2 I
_2_
а
л
--------1—
2а 2а 2
ч у
( /2
/г I
V
2а
2
2а
/
2а 2а 2
\2
2а 2а 2 ,
V у
/
/, К
(6)
а
2а 2а 2 .
у
Из равенства
А 'А
= 0
о о \ 2
/,2 /2 а 1
—------—+ -
ч2а 2а 2^
следует, что в особых положениях у исследуемого механизма либо длина штанги АК /] = 0, /2 = а, хк = Ук = 0 (Рис- 4, а), либо длина штанги ВК /2 =0, /] = а, хк =а, ук = 0 (рис. 4, б).
При решении обратной задачи геометрического анализа исследуемого механизма функции положения примут вид:
А - Vхк + Ук 5
/2 = д/(а —хк) +Ук-У
(7)
К
хк= Ук^0
К
в (а, 0)
А (0, 0)
/ г = а
В К хк~а
/77777 /77777
/,= 0
а)
А
77777
/77777 /777
12=0
б)
А *
У////
Рис. 4. Особые положения двухкоординатного исполнительного механизма
Якобиан для системы (8)
1 =
а/, дхк д12 5Ук хк хк — а
л/хк + Ук ^(а-хк)2 + Ук
д1х Щ Ук Ук
дхк 5Ук / 2 2 л/хк +Ук ^(а-хк)2+УІ
Ук а
(4+у|)((а-хк)2+у|)
(8)
Из равенства
Ук а
= 0
л/(хк+Ук)Ла-хк)2+Ук) следует, что в особом положении ук= 0 точки А, В и К находятся на одной прямой (рис. 5, а-в).
У
А (0, 0)
’А
Ук = 0 к 1г
в (а, 0) а (0, 0)
1Х В (а, 0) I:
-Ж"
X
к
хк=/
а)
хк-/і х к= а + /2
б)
К
О—
и
ХГ~1]
А (0, 0)
В (а, 0
/2 - а -1 |
в)
Рис. 5. Особые положения двухкоординатного исполнительного механизма с переменными длинами штанг
В более сложных случаях функции положения определяются в неявном виде [6]. Так, когда переменная у, являющаяся по смыслу задачи функцией аргументов х15х2,...хп, задается посредством функционального уравнения
Р(у, х,, х2,...хп) = 0, (9)
говорят, что у как функция аргументов х1} х2,...хп задана неявно [2]. Для т функций (при т = п) Б], Б2, ..., Ь„, можно составить определитель Якоби (якобиан):
1 =
К
ЗУі
3.
Эу2 5^2 д¥2
Эу,
ЭК
ЭЕ
5ут
ЭЕ,
ду2
5уп
ЭЁ'
Эу, ду2
5уп
Функции положения в неявном виде для двухкоординатного исполнительного механизма с переменными длинами штанг (рис. 3) имеют вид:
= хк + Ук ~ к ~
^2 -(а-хк) +Ук =®-При решении прямой задачи геометрического анализа (при задании функции положения в неявном виде) определитель Якоби для системы (10)
(10)
] =
д1х д12 ЭК
д1х Э/2
-21
0
-21
(П)
Приравняв определитель (11) нулю, получим
Мх /2 = 0. (12)
Чтобы найти координаты, соответствующие особому положению согласно [3], нужно выражение (12) объединить с одним из уравнений системы (10) и найти их совместное решение.
В результате исследований получим следующие варианты особых положений двухкоординатного исполнительного механизма с параллельными приводами:
1) длина штанги АК 1\ = 0, /2 = а, хк = ук= 0 (см. рис. 4, а);
2) длина штанги ВК /2 =0,1\ = а, хк =а, ук= 0 (см. рис. 4, б).
При решении обратной задачи геометрического анализа исследуемого механизма определитель Якоби для системы (10) (при задании функции положения в неявном виде) имеет вид
] =
дРг дРг
Эхк Эук ЭК ЭК
Эхк Эу*
2х„
2Ук
2(хк-а) 2ук
= 4Ук а-
(13)
Приравняв определитель (14) нулю, получим
4ук а = 0. (14)
Найдем координаты, соответствующие особому положению. Согласно [3] нужно выражение (14) объединить с одним из уравнений системы (10) и найти их совместное решение.
В результате исследований получили следующие варианты особых положений двухкоординатного исполнительного механизма с параллельными приводами: ук=0, хк =± /ь хк=а±/2, точки А, В и К находятся на одной прямой (см. рис. 5, а-в).
В результате исследований получили особые положения двухкоординатных исполнительных механизмов с параллельными приводами. Как следует из изложенного выше, процесс вычисления является сложным для рассмотренных простейших случаев. Однако для управления такими механизмами необходимо знать их особые положения, так как в этих положениях теряет-
ся управляемость механизмов и имеют место неблагоприятные условия для передачи сил и моментов [1, 4-6].
Поэтому варианты особых положений механизма с параллельными приводами можно найти по следующему алгоритму:
1) составить функции положения в явном или неявном виде по кинематической схеме механизма;
2) определить якобианы при решении прямой и обратной задач геометрического анализа и приравнять их нулю;
3) найти координаты, соответствующие особому положению.
Литература
1. Глазунов, В.А. Пространственные механизмы параллельной структуры / В.А. Глазунов, А.Ш. Колискор, А.Р. Крайнев. -М.: Наука, 1991. -95 с.
2. Ильин, В. А. Основы математического анализа: учебник для вузов: в 2 ч. / В.А. Ильин, Э.Г. Позняк. - 7-е изд. -М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. -Ч. 1. - 648 с.
3. Лунев, В.В. Особые многообразия плоских и пространственных механизмов с несколькими степенями свободы / В. В. Лунев, С.Ю. Мисюрин // Проблемы машиностроения и надежности машин. - 1993. - № 1. - С. 102-109.
4. Механика машин: учебное пособие для втузов /ИИ Вульфсон, М.Л. Epuxoe, М.З. Колов-ский и др.; под ред. Г.А. Смирнова. — М. : Высш. шк., 1996. —511 с.
5. Тверской, М.М. Станок с параллельными приводами координатных перемещений рабочего органа / М.М. Тверской // Вестник ЮУрГУ. Серия «Машиностроение». - 2007. - Вып. 9. -№11 (83). -С. 61-66.
6. Теория механизмов и машин: учебное пособие для студентов высших учебных заведений / М.З. Коловский, А.Н. Евграфов, Ю.А. Семенов, А.В. Слоущ. —М.: Издательский центр «Академия», 2006. -560 с.
Поступила в редакцию 10 сентября 2009 г.
Сюськина Юлия Львовна. Ассистент кафедры «Автоматизация механосборочного производства» Южно-Уральского государственного университета. Область научных интересов - использование технологического оборудования с параллельными приводами рабочего органа для повышения качества изделий.
Syuskina Julia Lvovna. Assistent of the Automation of the Mechanical Assembly Production department of South Ural State University. Professional interest - use of technological equipment with par-allel drives of operating element in order to increase the product quality.
