CC BY
27
УДК 678.5.06:620.171.5
СИЛОВАЯ НАМОТКА И ОСТАТОЧНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ В ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ НАМОТОЧНЫХ ИЗДЕЛИЯХ ИЗ КОМПОЗИТНЫХ МАТЕРИАЛОВ
© 2009 г. Г.В. Воронцов
Южно-Российский государственный South-Russian State
технический университет Technical University
(Новочеркасский политехнический институт) (Novocherkassk Polytechnic Institute)
Предлагаются алгоритмы вычисления остаточных напряжений и составления программ силовой намотки цилиндрических изделий из композитных нелинейно деформируемых материалов.
Ключевые слова: силовая намотка; остаточные напряжения; алгоритм расчёта; композитные материалы.
In the present article algorithms of calculation of residual pressure and drawing up of programs of power winding of cylindrical products from composit nonlinear deformable materials are offered.
Keywords: power winding; residual pressure; a calculation algorhythm; composit materials.
Важнейшие качественные показатели стеклопла-стиковых изделий (несущая способность, плотность, удельная прочность и жёсткость материала) обусловлены многими факторами.
Относительно стабильными можно считать химические и физико-механические характеристики связующего, наполнителя и замасливателя, направление и коэффициенты армирования, способ и вид намотки, не изменяемые при изготовлении изделий определённого типа.
Варьируемые факторы, влияющие на качество изделий, разделим на две группы: первичные, которые допускают регулирование во время технологического процесса, и вторичные, которые не поддаются прямому регулированию, но могут быть изменены варьированием первичных факторов - наноса связующего, скорости и натяжения материала при намотке, температуры оправки, параметров термообработки.
Основными вторичными факторами являются:
а) степень выпрямления волокон, пористость и неоднородность материала, качество начальной адгезии, дефекты микро- и макроструктуры и остаточные напряжения после намотки;
б) качество полимеризации, остаточные напряжения, прочность и жёсткость материала после термообработки.
Очевидно, что качество изделий во многом определяется вторичными факторами этапа намотки, причём:
- программа силовой намотки является основным управляемым фактором, чрезвычайно сильно влияющим на все показатели качества полуфабриката и готового изделия;
- поле остаточных напряжений, возникающих в процессе и после намотки, можно считать обобщённым критерием качества, предопределяющим многие
из перечисленных выше вторичных факторов. К этому следует добавить, что остаточные напряжения, возникающие на стадии намотки, могут быть достаточно точно рассчитаны и замерены.
В соответствии со сказанным возникают следующие задачи:
- дальнейшая разработка теории определения остаточных напряжений в намоточных изделиях из композитных материалов;
- создание математической модели для оценки вторичных варьируемых факторов как функций характеристик поля остаточных напряжений, при этом все остальные факторы технологического процесса (параметры термообработки и пр.) следует считать заданными (неварьируемыми);
- прогнозирование основных показателей качества намоточных изделий по уровню и закону распределения остаточных напряжений на всех стадиях технологического процесса;
- формулирование критериев оптимальности программ силовой намотки;
- разработка алгоритмов составления программ силовой намотки;
- обоснование требований к системам регулирования натяжения материала.
В настоящей статье предлагаются алгоритмы вычисления остаточных напряжений и составления программ силовой намотки цилиндрических изделий из композитных нелинейно деформируемых материалов.
Постановка задачи
Ограничиваемся рассмотрением цилиндрических намоточных изделий или бобин. Принимаем следующие допущения.
1. Расчёты выполняем на основе дискретной модели. Из изделия выделяем кольцо единичной длины, которое, в свою очередь, расчленяем на конечные элементы - кольца сколь угодно малой толщины.
2. Материал каждого элемента считаем однородным, ортотропным, упругим и в общем случае нелинейно деформируемым. Модуль упругости и коэффициенты Пуассона
Ei = Ei (r, ar , а
e), Дж = Дж(r,ar,ae"
(1)
(i, *=r, e, ^)
П
J
p 1rp. Jj rJ+1
x
2p f?rn
(pJ )rJ+iJ +(pj + Mrej)r2j
2p
J l
E„
vJrJ +1
(p2
д2е/)(
r2pj _r2pj rj+i rJ
)
E
rj
1 (# _ j j )
(pj +^rej)rJ+J +(pJ _^rej) J1}
rJ+i
(2)
осуществляющую преобразование
u
J+1
а
r, J +1
П
u
а„
+
Uj +1 ar, J +1
(3)
где агу +1, а у и иу+1, иу
напряжения и перемещения на наружной и внутрен-
0 0
ней сторонах кольца; аг у+1, иу+1 - компоненты,
учитывающие предварительное напряжённое состояние,
и,- - соответственно полные
вычисляем при г, равном среднему радиусу элемента.
3. Толщину наматываемых слоёв полагаем пренебрежимо малой по сравнению с толщиной стенки изделия. Непрерывную намотку заменяем дискретным процессом, причём
- намотку очередного элемента производим с постоянным натяжением на абсолютно жёсткое основание;
- полученный предварительно напряжённый элемент насаживаем на полуфабрикат (ранее уложенные на оправку слои материала);
- определяем изменение напряжённого состояния системы очередной элемент - полуфабрикат;
- переходим к намотке и насаживанию следующего кольца и т.д.
4. Температуру всех элементов в процессе намотки считаем неизменной.
Рассматриваем две основные задачи:
а) определение закона изменения материала, обеспечивающего создание заданных остаточных напряжений после намотки изделия;
б) нахождение остаточных напряжений, возникающих в изделии после намотки по заданной программе.
1. Составление программ силовой намотки
Для каждого элементарного кольца у вводим передаточную матрицу
1
u° +1
ar ,J +1
0
а,
1 _P0
v r ■ 11 " vJrJ+1 "
х- П1 E . _ E .
1 + ^ej 1 + дreJ
(4)
Здесь г у, г у+1 - внутренний и внешний радиусы кольца у ; р2 = Еду / Еу - коэффициент анизотропии материала; Еду и Еу - модули упругости в окружном 0 и радиальном г направлениях; дг0у, дду
- коэффициенты Пуассона; Vу = 1 — д^дд у ; а0 -
натяжение, с которым осуществляется намотка кольца у.
Формулы (2), (4) составлены для задачи о плоском напряжённом состоянии. При плоской деформации
E ■• =
E,
rJ
Eej
1 — Е0у: = 1 — '
_ дг0у + дгау^0/
дг0у = ~ ,
1 — ^0;
где 5 - трансверсальное направление.
Передаточная матрица полуфабриката, намотанного до радиуса Гу и состоящего из у — 1 колец и
оправки (у = 0)
П ( у —1,0 ) = П у —... Щ^.
Элементы матрицы П обозначаем
(П), (^у =1,2).
Насадим на полуфабрикат очередное кольцо у , которое должно обеспечить заданное давление а у на ранее уложенные слои. Напряжённое состояние коль-
х
x
r
ца обусловлено натяжением материала Оу и «при-
грузкой» кольца давлением Ог от элементов,
которые будут намотаны впоследствии.
Перемещения, возникающие при этом на внешней поверхности полуфабриката,
Uj =
{п (j -1,0 )}п {п (j -1,0 )}2-; arj.
Подставив соотношение (3) в выражение (4), находим натяжение, с которого необходимо наматывать кольцо ] :
°5 =(• —р2 )*
{П1 }2, ш1 +{П1}22 Ог1— Ог,у+1
Vjr-j +(1 + Hrfj)({П/}22 -1)
rj
(5)
аь..., а n
Насаживаем на полуфабрикат 0,..., у — 1 очеред-
0
ной элемент у с предварительным натяжением О у, причём в соответствии с формулой (4) находим
^0
ar,j +1
а,
1 -PI
(1 + ,r, )(1 -j )- j- {П j }21
Из выражений
Uj+1 ar, j+1
П
а„
+
uj+1 0
ar,j +1.
а„
= П ( j -1,0)
На первом шаге по заданным характеристикам Ео, До и давлению Ог, на оправку, которое будет достигнуто после намотки всего изделия, составляем передаточную матрицу По; по формулам (1) находим
упругие характеристики Ег,, Ед,, Р,, ... и вычисляем матрицу П,, а затем П (1,0) = П,По ; по
формуле (5) определяем натяжение О0, с которым
необходимо намотать первый элемент.
Переходим к расчёту второго кольца и т.д. Для последнего кольца принимаем Ог п+, = 0 .
Обозначения принимаем в программе: +11 - одномерный массив радиусов
г0,г,,.,гк ; SR[1:#], ST[1:#] - массив радиальных Ог и тангенциальных Од напряжений; SO [1:Ж ] - одномерный массив натяжений
N - число конечных элементов; ЕО[1:2] - массив Е0, ; Е(R,SR,ST) - процедура вычисления упругих характеристик материала; Е [1:5] - рабочий массив, в который последовательно
записаны упругие характеристики Ег, Ед, Дгд, Р, V.
2. Определение остаточных напряжений после намотки при заданном законе изменения натяжения материала
Для нахождения остаточных напряжений в изделиях из линейно деформируемых материалов применяем следующий алгоритм.
определяем
ar
Un =
{п (j.0 )}2, •
,(j)
Дополнительные остаточные напряжения огу и
,( j)
перемещения ш1 ' в волокне радиуса 7 , обусловленные насаживанием кольца у (Гу > 7 ), определяем из выражений
u
(j)'
j
а
(j)
= П ( j -1,0 )
u
0
В частности,
r '={П (t -1,0 »21 {П (t -1>0)}
Ш =
= -а
rj
{п (jj,0)}
21
Полные остаточные напряжения в слое радиуса 7 после окончания намотки у элементов составляют
={П ('—1,0 )}211 .
Окружные напряжения Од ¿+1 в кольце I вычисляем по формуле
X
X
u
u
u
0
0
0
где Ri = Г +1 / г . При расчёте остаточных напряжений в изделиях из упругого нелинейно деформируемого материала применяем метод последовательных приближений.
ае,г+1: = + l)o„- "R,г+1 ] +
При выполнении первого цикла вычислений упругие характеристики материала всех элементарных колец определяются по формуле (1) при аГ = ад = 0, в дальнейшем производим последовательное уточнение напряжений и значений Ег, Ед, дг0 . Вычисления прекращаются, как только
поправки к напряжениям, полученные в очередном цикле расчёта, не превосходят заданных малых значений ^1, ^2. Здесь К1, К2 - малые числа, определяющие точность вычислений.
Поступила в редакцию
9 ноября 2009 г.
Воронцов Георгий Васильевич - д-р техн. наук, академик МАНВШ, профессор, кафедра «Сопротивление материалов, строительная и прикладная механика», Южно-Российский государственный технический университет (Новочеркасский политехнический институт). Тел. (8635)25-53-12.
Vorontsov George Vasilievich - Doctor of Technical Sciences, member of the Academy, professor, department «Resistance of materials, construction and applied mechanics», South-Russian State Technical University (Novocherkassk Polytechnic Institute). Ph. (8635)25-53-12.
