УДК 624:621
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ СТЕКЛОПЛАСТИКОВЫХ ИЗДЕЛИЙ, ПОЛУЧАЕМЫХ МЕТОДОМ ПРОДОЛЬНО-ПОПЕРЕЧНОЙ НАМОТКИ
© 2009 г. Г.В. Воронцов, С.И. Евтушенко
Южно-Российский государственный South-Russian State
технический университет Technical University
(Новочеркасский политехнический институт) (Novocherkassk Polytechnic Institute)
Рассмотрена задача расчёта НДС в напряжениях и деформациях при изготовлении цилиндрических оболочек методом намотки на различных этапах её изготовления.
Ключевые слова: напряжённо-деформированное состояние; оболочки; остаточные напряжения; дифференциальные уравнения;граничные условия.
In article the problem of calculation of the is intense-deformed condition in pressure and deformations at manufacturing of cylindrical covers by a winding method at various stages of its manufacturing is considered.
Keywords: tensely deformed condition; covers; residual pressure; the differential equations; boundary conditions.
Постановка задачи
В процессе изготовления намоточных стеклопла-стиковых оболочек вращения с коническими, цилиндрическими и иными участками возникают следующие группы остаточных (начальных) напряжений.
1. Остаточные напряжения, обусловленные натяжением лент при намотке и перераспределением внутренних усилий вследствие податливости предварительно уложенных слоев.
2. Остаточные напряжения, возникающие при разогревании полуфабриката с целью полимеризации связующего и вызванные:
а) изменением упругих характеристик материала изделия вследствие размягчения связующего;
б) неравномерным температурным расширением оправки и материала полуфабриката, температурные коэффициенты расширения которого в различных направлениях неодинаковы.
3. Остаточные напряжения, образующиеся в процессе полимеризации (усадка или расширение) связующего.
4. Температурные напряжения, возникающие при охлаждении изделия и отличающиеся по величине от напряжений, вызванных разогреванием. Это объясняется различием физико-механических характеристик материала на стадии разогревания и после полимеризации (выдержке изделия при повышенных температурах).
5. Напряжения, возникающие при снятии изделия с оправки.
Наконец, при отрезании концевых цилиндрических участков изделия («свидетелей») происходит новое перераспределение остаточных напряжений, которое можно считать окончательным1.
1 Остаточные напряжения, возникающие при дальнейшей обработке изделия, не рассматриваем.
Отметим, что в процессе изготовления изделие находится в двух различных условиях деформирования - оболочки, насаженной на оправку, и свободной оболочки.
Цели исследований:
а) нахождение остаточных напряжений на каждом этапе изготовления и в готовом изделии;
б) обоснование закона изменения натяжения в процессе намотки, обеспечивающего получение плот-нопрочного материала и оптимальное распределение остаточных напряжений невысокого уровня.
При нахождении напряженного состояния на всех этапах изготовления стеклопластиковых оболочек принимаем следующие гипотезы.
1. Гипотезы сплошности, упругости и линейной деформируемости материала.
Толщину наматываемых поперечных и укладываемых продольных слоев считаем пренебрежимо малой по сравнению с толщиной стенки изделия. Дискретную структуру материала заменяем сплошной анизотропной средой с различными физико-механическими характеристиками в радиальном, окружном и трансверсальном направлениях.
Зависимость между векторами напряжений о и деформаций £ полагаем линейной, причем
О = Е£ ,
где Е - матрица упругих констант материала.
После нахождения «макронапряжений» о определяем «микронапряжения» в связующем и наполнителе.
2. Физико-механические свойства материала и напряженно-деформированное состояние изделия считаем симметричным относительно оси вращения оболочки. Поэтому принимаем:
о (r, s) = colon[ar a0 as xrs ],
£ (r, s) = colon[sr Sq Ss srs ],
где координаты r, s и индексы r, Q, s соответственно относятся к радиальным, окружным и трансверсаль-ным направлениям. Матрицы E;- жесткости материала на различных этапах материала будут рассмотрены особо.
Коэффициенты температурного расширения материала объединяем в вектор
a = colon [ar a,Q as 0]
с различными по величине компонентами аг ад а5. Относительные удлинения, обусловленные изменением температуры материала на t0 (г, 5) градусов вычисляем по формуле
= 10а.
3. Гипотеза о «мгновенном статическом» изменении физико-механических характеристик материала и температуры изделия.
Процесс изготовления изделия представляем как последовательную смену конечного числа состояний материала и оболочки. Каждое состояние характеризуем температурой, физико-механическими константами материала и условиями опирания оболочки. При переходе от одного состояния к другому мгновенно изменяются все или какой-либо один из указанных факторов, например только жесткость или температура материала. Переход к новому состоянию считаем статическим, т. е. не сопровождающимся тепловым ударом и колебаниями.
Тем самым полагаем, что распределение напряжений и деформаций в изделии не зависит от закона и длительности изменения факторов при смене состояний, а только от их начальных (состояние -) и конечных (состояние - +1) значений. Нулевым гипотетическим состоянием считаем полуфабрикат, намотанный на абсолютно жесткую оправку нерастяжимыми и несминаемыми лентами.
Относительные удлинения в изделии в (- +1) -состоянии вычисляем по формуле
получаем
£i +1 = £i + Ф U i
+Ь
(1)
где и -+1 - дополнительные перемещения элементарных объемов оболочки, вызванные изменениями некоторых факторов; Ф - матричный оператор, осуществляющий преобразование вида
£ = Ф U.
(2)
Поскольку
h+1 = Ei+1 (£i+1 -tai+1), «i = Ei (£i -tai),
+1 = E-1
i +1«i +1 + ti +1«i +1; £i = Ei i + tiai , (3)
где tj +1, tj и а,- +1, а,- - температуры и коэффициенты расширения материала в ,-м и (,+1)-м состояниях.
Подставляя выражения (3) в равенство (1), получаем основное соотношение:
«i+1 = Ei+1
,-1
Ei «i-ti+1ai+1 + tiai + Фu
i+1
- = 1,2,.... (4)
Напряжения в первом состоянии находим по формуле
«1 = 0о + Е1Ф и I.
Здесь о о - напряжения в изделии, намотанном на
абсолютно жесткую оправку недеформируемыми лентами.
Решение задачи в перемещениях
Условие равновесия бесконечно малого элемента оболочки ёг х ds х записываем в виде
D« = 0,
(5)
где D - линейный матричный дифференциальный оператор, зависящий от геометрических параметров оболочки1.
Подставляя выражение (4) в условие (5), имеем:
Ш- +1ф и- +1 = -М,- +1 (Е- 1о- + ^а- +1а- +1), I = 1,2,. (6)
Уравнения (6) и (4) позволяют последовательно находить перемещения и - +1 и остаточные напряжения
о - +1 (- = 1,2,.) на каждой стадии изготовления оболочки, если известны факторы предыдущего состояния (напряжения о- и температура t^). Отметим,
что вид уравнения (6) не зависит от того, остается оболочка насаженной на оправку или снята с оправки.
Поскольку состояния -+1 в рассматриваемой модели процесса обратимы, из (6) следует:
м
DE^i
-Фи- = (Е +1«- +1 + ^ +1а-+1 - -),
- = 1,2,. . (7)
Уравнения (7) применяем при решении обратной задачи - нахождении закона намотки при заданном распределении остаточных напряжений в готовом изделии.
Решение задачи в напряжениях
Предположим, что нами получено решение вспомогательной задачи о нахождении перемещений и
1 Направление 5 в общем случае совпадает с касательной к образующей срединной поверхности оболочки.
оболочки при заданном распределении напряжений о и температур t. Для этого необходимо проинтегрировать систему уравнений
Ф и I = Е -1о + tа,
см. соотношения (2) и (6). Решение представляем в виде
u = A (E ^ + ta j,
где А - некоторый интегральный матричный оператор, зависящий от условий закрепления оболочки.
Поскольку дополнительные перемещения и - +1 обусловлены изменением напряженного и температурного состояния оболочки от о,-, tj, а- до
i+1, ti +1, ai +1
a,
имеем:
u i+1 = Ai +1 ( Ei+1® i +1 + ti+1a i +1 j -A, (E,-1® i + tia i j,
(8)
2
d ae,i+1 + 3 dae,i+1 + ae,i+1
dr
2
r dr
r
2
1-
E
л
e,i+1
2
d öei + 3 da
dr
2
ei I aei r dr r 2
1
E E
r i +1 \
ei
E
r J
Влияние температурных факторов здесь не учитывается.
Равенство (9) доказывает правомочность «обращения» задачи, о котором говорилось в предыдущем разделе.
Отметим, что поскольку в уравнение (9) входит дифференциальный оператор Ф, перемножение матриц следует производить таким образом, чтобы умножение на матрицу Ф было заключительной операцией:
Ф (А ( Е
(A (E- 1s j) •
Общие уравнения для решения задачи в напряжениях могут быть составлены в результате непосредственной подстановки формулы (8) в выражение (6):
где различия в матрицах А- +1, А - обусловлены возможными изменениями упругих констант материала и условиями опирания оболочки.
Подставляя зависимость (8) в формулу (4), получаем:
( В- ФА-+1)(Ег"+1О- +1 + ^ +1а- +1) =
= ( £-ФА-)(Е-1о - + -), (9)
где В - единичная матрица.
Равенство (2) доказывает инвариантность выра-
(В-ФА -)(Е- 1о;- + t^а - ) для любых состоя-
D
Ei +1 (фа, +1E- +1® i+1 + (ФА, +1 -8 j ti +1a i +1 j =+DEi+1 ( фа,-8 j( E- 1a i+t,a i j •
+ Щ/
В этом случае условия равновесия учитываются автоматически.
Основные уравнения для цилиндрического кольца при решении задачи в перемещениях
Условию равновесия бесконечно малого элемента кольца d (огг) / dr - Од = 0 соответствует оператор
D =
жения
ний - = 1,2,..., отличающихся упругими константами Е , коэффициентами температурного расширения а, температурами t и граничными условиями изделия.
Добавляя к выражению (9) дифференциальные условия равновесия Dог- +1 = 0, Dог■ = 0, получим полную систему уравнений, достаточную для нахождения вектора о- +1 при заданных напряжениях о-, температурах и физико-механических характеристик материала Е-+1, Е- и а-+1, аТак, для цилиндрического колодца с постоянными по объему модулями Ег, Ед уравнение (9) в совокупности с условиями равновесия может быть преобразовано к виду:
d Л л
r—+1I-1 , dr J
(10)
причем о = colon [ar Gg] . Относительные деформации элемента
du
е r =
r
u
dr
ee =
поэтому оператор Ф =
d 1
--ae
dr 2 e
(11)
поскольку и = иг .
Матрицы жесткости и податливости материала
E = V
Er М re Er
^erEe Ee
E-1 = v
1 М ze
еГ Ee
Mer 1
Er Ee
где V = (1 - Мет Мет ) 1, Мг9Ег = МетЕе . Упругие константы материала считаем постоянными по объему кольца.
С учетом выражений (10)-(12) уравнение (6) получает вид:
Г
Ег МтеЕг ёт
МетЕе Ее \ 1 _ т
Ет М теЕт
МетЕе Ее
d Л ^
r— +1 I-1 , dr J
u
r,i +1
d Л ,
r — +1 I-1 dr IJ
i+1
f
1 д re [ d"
Er dr
^er 1 1
Ee Ee _ i _ r _
\
A( ta r) A(tae)
i +1,i
После преобразований выводим:
r k + ^-ß2 u J
r
°ei (ß2+1ii,i +1 + AMre - ß2+1?i+1,i,) +
E
ei
ß2+1A^er - r ^ Адre
Eri Eei
+
+[A(ta r) + Mre,i+1 A(tae)-ß2+1 (A (tae) + д re,i+1A (ta r))
(13)
В уравнении (13) обозначено:
Р2 = , +1 =1 Мте,/'Мте,/ +1,
Ет
АМ = Мi +1 - Мi, А(¿а) = +1«/-+1 - Цщ. Уравнение (13) существенно упрощается, если пренебречь коэффициентами Пуассона Мте и Мет.
При Мте = Мет=0 имеем:
\ гг . и'т п2 и \
I ит+ — -Р Т I = I т т2)/+1
E
2 а2\ + A(ta r) ß2 A( tae)
^ (ß2+1 -ß2)
r/-ßi+1— r \ ' r r
Дифференциальные операторы D и Ф для конических оболочек
Рассматриваем условия равновесия бесконечно малого элемента ds х ёт х тёе , выделенного из оболочки:
- двумя продольными плоскими сечениями, проходящими через ось вращения;
- двумя коническими сечениями, параллельными срединной поверхности;
- двумя коническими сечениями, перпендикулярными к срединной поверхности.
Напряженно-деформированное состояние элемента считаем симметричным относительно оси вращения, причем Тте = Т яе = 0.
Проектируя все усилия, приложенные к элементу, на ось я, получаем
а (a sr) d(irsr)
£
ds
- +
h dr
= 0.
(14)
Проектируя все усилия на радиальное направление, выводим второе уравнение
d(arr)
dr
-ae-3hsr! = 0.
ds
(15)
Зависимости между перемещениями ит, ия элемента и компонентами деформированного состояния имеют вид:
дит
(16)
s r =
drSe=2 (ur+Kus);
du
s s =
s .
; У rs
dur + dus
дя дя дт
Здесь к - угловой коэффициент образующей срединной поверхности конуса.
В соответствии с уравнениями (14), (15) и (16) составляем операторы:
D
0 0 d d
r--+ к r — +1
ds dr
d , -1 0 d
r — +1 r--+ к
_ dr ds _
[ d 1 0 d "
dr r ds
0 к d d
r ds dr _
Ф = D
Физико-механические характеристики, температурные и граничные условия на различных этапах изготовления оболочек
Этап намотки изделия (/ =1) При определении начальных напряжений в полуфабрикате от намотки принимаем следующие предложения.
1. Полагая, что межвитковое давление в процессе намотки изменяется незначительно, принимаем модуль Ет1 линейной упругости постоянным по толщине изделия и не изменяющимся в процессе намотки. Зависимости между напряжениями От, Ое, Оя и
X
относительными деформациями элемента
dр х pd9 х ds выводим на основе допущений:
а) растягивающие напряжения Од, воспринимаются стеклянными волокнами соответствующих направлений, причем
09 , О у
^s =
's
Eei Esi
s'r = 0,
" _ Or1
Sr =
E
se= 0, e^ = 0,
r1
где модуль Ест подлежит экспериментальному определению;
в) модуль сдвига 1ГУ1 определяем по формуле
1
G
rs1
^ s +1- ve-v s
I с
I с
d(Xrs0r) , d(Os0r) N
dr
- ^ 5esiny = 0,
ds Ce
d(ar 0r )-ae0 + d(T:s0r ) = 0, (17)
dr
ds
где модули упругости
Е91 = к9 Ест У9, Es1 = КуЕст У s. Здесь Кд и кs - коэффициенты, учитывающие
искривление нитей; У9 и у s - объемные коэффициенты армирования в окружном и продольном направлениях; Ест - модуль линейной деформации стекловолокна;
б) межслойное давление ог вызывает деформации
вытекающих из условий равновесия элемента dр х pd9 х ds . Здесь у - угол «конусности» оболоч-
Ns
оs0 = с^ls, ae0 =7^e; (18)
N9
-у С9
Nу и N9 - натяжения на единицу ширины лент; Су
и С9 - толщины лент; £у и £9 - объемное содержание продольных и поперечных лент в материале; ^^туа / С9 - эквивалентные трансверсальные
усилия, приходящиеся на единицу объема. Интегрируя уравнение (17) и считая
£ у = ( у), £9=£9 ( у ),
N = N (У), N9= N9 (р, У ),
получаем:
r X
Rh
lesina
l sNs
rs 0
C
e
J Nedr-^fJL(RH-r).
^ с
1 ст ЧБ
где GсБ - условный модуль связующего, зависящий
от межслойного давления, искривления нитей, адгезионного сопротивления и температуры материала полуфабриката.
Матрица упругих констант
Е1 = Лщ [ Ег1 Е91 Еу1 G гу1 ] .
2. Предполагаем, что натяжение
- продольных лент:
а) остается постоянным по длине, окружности и толщине изделия;
б) не влияет на давление наматываемых поперечных лент на уложенные слои;
- поперечных лент:
а) направлено перпендикулярно оси изделия;
б) непрерывно изменяется в радиальном и продольном направлениях;
в) не превосходит критической величины, при которой нарушается адгезионная прочность материала полуфабриката и наблюдается сползание витков по конической части оболочки;
г) не вызывает сжимающих напряжений О9 в ранее уложенных витках.
Определение напряжения в изделии при намотке абсолютно жесткими лентами выполняем на основе уравнений
Поскольку на наружной поверхности 1 ГУо (Rн ) = 0, имеем:
R
Cs r
Cer
Интегрируя уравнения (18), имеем:
\Ru _ le Rh
R
™r0|/ = C4 Nedr- J e r r
н d(Xrs0r)
ds
dr,
откуда следует
0 =-4e-Ъedr + IRJ
r r r ds
rCe
так как О
r 0
( Rh ) = 0.
Выводы
В конструкциях, выполненных из упругих материалов с неизменяющимися физико-механическими характеристиками, термоупругие напряжения исчезают, как только температурный режим системы возвращается в начальное состояние. В стеклопластико-вых изделиях, независимо от того, как взаимодействует (или вовсе не взаимодействует) изделие с оправкой:
r
а) при изменении температуры возникают термоупругие напряжения вследствие различия коэффициентов температурного расширения и упругих констант материала в различных направлениях;
б) после полимеризации и охлаждения изделия до начальной температуры в нем остаются некоторые необратимые температурные напряжения, обусловленные изменением модулей деформации и коэффициентов расширения материала.
Поэтому необходимо отдельно находить остаточные напряжения при разогревании, а затем - при охлаждении изделия.
Поступила в редакцию
Процесс изменения напряженного состояния оболочки при разогревании с целью полимеризации связующего вызывается:
- уменьшением модулей упругости Ет и 1тя полуфабриката;
- различием коэффициентов температурного расширения материала в радиальном и окружном направлениях;
- различием коэффициентов температурного расширения оправки и материала изделия.
Поставленные задачи будут рассмотрены в следующей статье.
3 марта 2009 г.
Воронцов Георгий Васильевич - д-р техн. наук, академик МАНВШ, профессор, кафедра «Сопротивление материалов, строительная и прикладная механика», Южно-Российский государственный технический университет (Новочеркасский политехнический институт). Тел. (8635)25-53-12.
Евтушенко Сергей Иванович - канд. техн. наук, профессор, зав. кафедрой «Сопротивление материалов, строительная и прикладная механика», Южно-Российский государственный технический университет (Новочеркасский политехнический институт).
Vorontsov George Vasilievich - Doctor of Technical Sciences, member of the Academy, professor, department «Resistance of materials, construction and applied mechanics», South-Russian State Technical University (Novocherkassk Polytechnic Institute). Ph. (8635)25-53-12.
Evtushenko Sergey Ivanovich - Candidate of Technical Sciences, professor, head of department «Resistance of materials, construction and applied mechanics», South-Russian State Technical University (Novocherkassk Polytechnic Institute)._