Математическая модель стеклопластиковых изделий, получаемых методом продольно-поперечной намотки Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

УДК 624:621

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ СТЕКЛОПЛАСТИКОВЫХ ИЗДЕЛИЙ, ПОЛУЧАЕМЫХ МЕТОДОМ ПРОДОЛЬНО-ПОПЕРЕЧНОЙ НАМОТКИ

© 2009 г. Г.В. Воронцов, С.И. Евтушенко

Южно-Российский государственный South-Russian State

технический университет Technical University

(Новочеркасский политехнический институт) (Novocherkassk Polytechnic Institute)

Рассмотрена задача расчёта НДС в напряжениях и деформациях при изготовлении цилиндрических оболочек методом намотки на различных этапах её изготовления.

Ключевые слова: напряжённо-деформированное состояние; оболочки; остаточные напряжения; дифференциальные уравнения;граничные условия.

In article the problem of calculation of the is intense-deformed condition in pressure and deformations at manufacturing of cylindrical covers by a winding method at various stages of its manufacturing is considered.

Keywords: tensely deformed condition; covers; residual pressure; the differential equations; boundary conditions.

Постановка задачи

В процессе изготовления намоточных стеклопла-стиковых оболочек вращения с коническими, цилиндрическими и иными участками возникают следующие группы остаточных (начальных) напряжений.

1. Остаточные напряжения, обусловленные натяжением лент при намотке и перераспределением внутренних усилий вследствие податливости предварительно уложенных слоев.

2. Остаточные напряжения, возникающие при разогревании полуфабриката с целью полимеризации связующего и вызванные:

а) изменением упругих характеристик материала изделия вследствие размягчения связующего;

б) неравномерным температурным расширением оправки и материала полуфабриката, температурные коэффициенты расширения которого в различных направлениях неодинаковы.

3. Остаточные напряжения, образующиеся в процессе полимеризации (усадка или расширение) связующего.

4. Температурные напряжения, возникающие при охлаждении изделия и отличающиеся по величине от напряжений, вызванных разогреванием. Это объясняется различием физико-механических характеристик материала на стадии разогревания и после полимеризации (выдержке изделия при повышенных температурах).

5. Напряжения, возникающие при снятии изделия с оправки.

Наконец, при отрезании концевых цилиндрических участков изделия («свидетелей») происходит новое перераспределение остаточных напряжений, которое можно считать окончательным1.

1 Остаточные напряжения, возникающие при дальнейшей обработке изделия, не рассматриваем.

Отметим, что в процессе изготовления изделие находится в двух различных условиях деформирования - оболочки, насаженной на оправку, и свободной оболочки.

Цели исследований:

а) нахождение остаточных напряжений на каждом этапе изготовления и в готовом изделии;

б) обоснование закона изменения натяжения в процессе намотки, обеспечивающего получение плот-нопрочного материала и оптимальное распределение остаточных напряжений невысокого уровня.

При нахождении напряженного состояния на всех этапах изготовления стеклопластиковых оболочек принимаем следующие гипотезы.

1. Гипотезы сплошности, упругости и линейной деформируемости материала.

Толщину наматываемых поперечных и укладываемых продольных слоев считаем пренебрежимо малой по сравнению с толщиной стенки изделия. Дискретную структуру материала заменяем сплошной анизотропной средой с различными физико-механическими характеристиками в радиальном, окружном и трансверсальном направлениях.

Зависимость между векторами напряжений о и деформаций £ полагаем линейной, причем

О = Е£ ,

где Е - матрица упругих констант материала.

После нахождения «макронапряжений» о определяем «микронапряжения» в связующем и наполнителе.

2. Физико-механические свойства материала и напряженно-деформированное состояние изделия считаем симметричным относительно оси вращения оболочки. Поэтому принимаем:

о (r, s) = colon[ar a0 as xrs ],

£ (r, s) = colon[sr Sq Ss srs ],

где координаты r, s и индексы r, Q, s соответственно относятся к радиальным, окружным и трансверсаль-ным направлениям. Матрицы E;- жесткости материала на различных этапах материала будут рассмотрены особо.

Коэффициенты температурного расширения материала объединяем в вектор

a = colon [ar a,Q as 0]

с различными по величине компонентами аг ад а5. Относительные удлинения, обусловленные изменением температуры материала на t0 (г, 5) градусов вычисляем по формуле

= 10а.

3. Гипотеза о «мгновенном статическом» изменении физико-механических характеристик материала и температуры изделия.

Процесс изготовления изделия представляем как последовательную смену конечного числа состояний материала и оболочки. Каждое состояние характеризуем температурой, физико-механическими константами материала и условиями опирания оболочки. При переходе от одного состояния к другому мгновенно изменяются все или какой-либо один из указанных факторов, например только жесткость или температура материала. Переход к новому состоянию считаем статическим, т. е. не сопровождающимся тепловым ударом и колебаниями.

Тем самым полагаем, что распределение напряжений и деформаций в изделии не зависит от закона и длительности изменения факторов при смене состояний, а только от их начальных (состояние -) и конечных (состояние - +1) значений. Нулевым гипотетическим состоянием считаем полуфабрикат, намотанный на абсолютно жесткую оправку нерастяжимыми и несминаемыми лентами.

Относительные удлинения в изделии в (- +1) -состоянии вычисляем по формуле

получаем

£i +1 = £i + Ф U i

+Ь

(1)

где и -+1 - дополнительные перемещения элементарных объемов оболочки, вызванные изменениями некоторых факторов; Ф - матричный оператор, осуществляющий преобразование вида

£ = Ф U.

(2)

Поскольку

h+1 = Ei+1 (£i+1 -tai+1), «i = Ei (£i -tai),

+1 = E-1

i +1«i +1 + ti +1«i +1; £i = Ei i + tiai , (3)

где tj +1, tj и а,- +1, а,- - температуры и коэффициенты расширения материала в ,-м и (,+1)-м состояниях.

Подставляя выражения (3) в равенство (1), получаем основное соотношение:

«i+1 = Ei+1

,-1

Ei «i-ti+1ai+1 + tiai + Фu

i+1

- = 1,2,.... (4)

Напряжения в первом состоянии находим по формуле

«1 = 0о + Е1Ф и I.

Здесь о о - напряжения в изделии, намотанном на

абсолютно жесткую оправку недеформируемыми лентами.

Решение задачи в перемещениях

Условие равновесия бесконечно малого элемента оболочки ёг х ds х записываем в виде

D« = 0,

(5)

где D - линейный матричный дифференциальный оператор, зависящий от геометрических параметров оболочки1.

Подставляя выражение (4) в условие (5), имеем:

Ш- +1ф и- +1 = -М,- +1 (Е- 1о- + ^а- +1а- +1), I = 1,2,. (6)

Уравнения (6) и (4) позволяют последовательно находить перемещения и - +1 и остаточные напряжения

о - +1 (- = 1,2,.) на каждой стадии изготовления оболочки, если известны факторы предыдущего состояния (напряжения о- и температура t^). Отметим,

что вид уравнения (6) не зависит от того, остается оболочка насаженной на оправку или снята с оправки.

Поскольку состояния -+1 в рассматриваемой модели процесса обратимы, из (6) следует:

м

DE^i

-Фи- = (Е +1«- +1 + ^ +1а-+1 - -),

- = 1,2,. . (7)

Уравнения (7) применяем при решении обратной задачи - нахождении закона намотки при заданном распределении остаточных напряжений в готовом изделии.

Решение задачи в напряжениях

Предположим, что нами получено решение вспомогательной задачи о нахождении перемещений и

1 Направление 5 в общем случае совпадает с касательной к образующей срединной поверхности оболочки.

оболочки при заданном распределении напряжений о и температур t. Для этого необходимо проинтегрировать систему уравнений

Ф и I = Е -1о + tа,

см. соотношения (2) и (6). Решение представляем в виде

u = A (E ^ + ta j,

где А - некоторый интегральный матричный оператор, зависящий от условий закрепления оболочки.

Поскольку дополнительные перемещения и - +1 обусловлены изменением напряженного и температурного состояния оболочки от о,-, tj, а- до

i+1, ti +1, ai +1

a,

имеем:

u i+1 = Ai +1 ( Ei+1® i +1 + ti+1a i +1 j -A, (E,-1® i + tia i j,

(8)

2

d ae,i+1 + 3 dae,i+1 + ae,i+1

dr

2

r dr

r

2

1-

E

л

e,i+1

2

d öei + 3 da

dr

2

ei I aei r dr r 2

1

E E

r i +1 \

ei

E

r J

Влияние температурных факторов здесь не учитывается.

Равенство (9) доказывает правомочность «обращения» задачи, о котором говорилось в предыдущем разделе.

Отметим, что поскольку в уравнение (9) входит дифференциальный оператор Ф, перемножение матриц следует производить таким образом, чтобы умножение на матрицу Ф было заключительной операцией:

Ф (А ( Е

(A (E- 1s j) •

Общие уравнения для решения задачи в напряжениях могут быть составлены в результате непосредственной подстановки формулы (8) в выражение (6):

где различия в матрицах А- +1, А - обусловлены возможными изменениями упругих констант материала и условиями опирания оболочки.

Подставляя зависимость (8) в формулу (4), получаем:

( В- ФА-+1)(Ег"+1О- +1 + ^ +1а- +1) =

= ( £-ФА-)(Е-1о - + -), (9)

где В - единичная матрица.

Равенство (2) доказывает инвариантность выра-

(В-ФА -)(Е- 1о;- + t^а - ) для любых состоя-

D

Ei +1 (фа, +1E- +1® i+1 + (ФА, +1 -8 j ti +1a i +1 j =+DEi+1 ( фа,-8 j( E- 1a i+t,a i j •

+ Щ/

В этом случае условия равновесия учитываются автоматически.

Основные уравнения для цилиндрического кольца при решении задачи в перемещениях

Условию равновесия бесконечно малого элемента кольца d (огг) / dr - Од = 0 соответствует оператор

D =

жения

ний - = 1,2,..., отличающихся упругими константами Е , коэффициентами температурного расширения а, температурами t и граничными условиями изделия.

Добавляя к выражению (9) дифференциальные условия равновесия Dог- +1 = 0, Dог■ = 0, получим полную систему уравнений, достаточную для нахождения вектора о- +1 при заданных напряжениях о-, температурах и физико-механических характеристик материала Е-+1, Е- и а-+1, аТак, для цилиндрического колодца с постоянными по объему модулями Ег, Ед уравнение (9) в совокупности с условиями равновесия может быть преобразовано к виду:

d Л л

r—+1I-1 , dr J

(10)

причем о = colon [ar Gg] . Относительные деформации элемента

du

е r =

r

u

dr

ee =

поэтому оператор Ф =

d 1

--ae

dr 2 e

(11)

поскольку и = иг .

Матрицы жесткости и податливости материала

E = V

Er М re Er

^erEe Ee

E-1 = v

1 М ze

еГ Ee

Mer 1

Er Ee

где V = (1 - Мет Мет ) 1, Мг9Ег = МетЕе . Упругие константы материала считаем постоянными по объему кольца.

С учетом выражений (10)-(12) уравнение (6) получает вид:

Г

Ег МтеЕг ёт

МетЕе Ее \ 1 _ т

Ет М теЕт

МетЕе Ее

d Л ^

r— +1 I-1 , dr J

u

r,i +1

d Л ,

r — +1 I-1 dr IJ

i+1

f

1 д re [ d"

Er dr

^er 1 1

Ee Ee _ i _ r _

\

A( ta r) A(tae)

i +1,i

После преобразований выводим:

r k + ^-ß2 u J

r

°ei (ß2+1ii,i +1 + AMre - ß2+1?i+1,i,) +

E

ei

ß2+1A^er - r ^ Адre

Eri Eei

+

+[A(ta r) + Mre,i+1 A(tae)-ß2+1 (A (tae) + д re,i+1A (ta r))

(13)

В уравнении (13) обозначено:

Р2 = , +1 =1 Мте,/'Мте,/ +1,

Ет

АМ = Мi +1 - Мi, А(¿а) = +1«/-+1 - Цщ. Уравнение (13) существенно упрощается, если пренебречь коэффициентами Пуассона Мте и Мет.

При Мте = Мет=0 имеем:

\ гг . и'т п2 и \

I ит+ — -Р Т I = I т т2)/+1

E

2 а2\ + A(ta r) ß2 A( tae)

^ (ß2+1 -ß2)

r/-ßi+1— r \ ' r r

Дифференциальные операторы D и Ф для конических оболочек

Рассматриваем условия равновесия бесконечно малого элемента ds х ёт х тёе , выделенного из оболочки:

- двумя продольными плоскими сечениями, проходящими через ось вращения;

- двумя коническими сечениями, параллельными срединной поверхности;

- двумя коническими сечениями, перпендикулярными к срединной поверхности.

Напряженно-деформированное состояние элемента считаем симметричным относительно оси вращения, причем Тте = Т яе = 0.

Проектируя все усилия, приложенные к элементу, на ось я, получаем

а (a sr) d(irsr)

£

ds

- +

h dr

= 0.

(14)

Проектируя все усилия на радиальное направление, выводим второе уравнение

d(arr)

dr

-ae-3hsr! = 0.

ds

(15)

Зависимости между перемещениями ит, ия элемента и компонентами деформированного состояния имеют вид:

дит

(16)

s r =

drSe=2 (ur+Kus);

du

s s =

s .

; У rs

dur + dus

дя дя дт

Здесь к - угловой коэффициент образующей срединной поверхности конуса.

В соответствии с уравнениями (14), (15) и (16) составляем операторы:

D

0 0 d d

r--+ к r — +1

ds dr

d , -1 0 d

r — +1 r--+ к

_ dr ds _

[ d 1 0 d "

dr r ds

0 к d d

r ds dr _

Ф = D

Физико-механические характеристики, температурные и граничные условия на различных этапах изготовления оболочек

Этап намотки изделия (/ =1) При определении начальных напряжений в полуфабрикате от намотки принимаем следующие предложения.

1. Полагая, что межвитковое давление в процессе намотки изменяется незначительно, принимаем модуль Ет1 линейной упругости постоянным по толщине изделия и не изменяющимся в процессе намотки. Зависимости между напряжениями От, Ое, Оя и

X

относительными деформациями элемента

dр х pd9 х ds выводим на основе допущений:

а) растягивающие напряжения Од, воспринимаются стеклянными волокнами соответствующих направлений, причем

09 , О у

^s =

's

Eei Esi

s'r = 0,

" _ Or1

Sr =

E

se= 0, e^ = 0,

r1

где модуль Ест подлежит экспериментальному определению;

в) модуль сдвига 1ГУ1 определяем по формуле

1

G

rs1

^ s +1- ve-v s

I с

I с

d(Xrs0r) , d(Os0r) N

dr

- ^ 5esiny = 0,

ds Ce

d(ar 0r )-ae0 + d(T:s0r ) = 0, (17)

dr

ds

где модули упругости

Е91 = к9 Ест У9, Es1 = КуЕст У s. Здесь Кд и кs - коэффициенты, учитывающие

искривление нитей; У9 и у s - объемные коэффициенты армирования в окружном и продольном направлениях; Ест - модуль линейной деформации стекловолокна;

б) межслойное давление ог вызывает деформации

вытекающих из условий равновесия элемента dр х pd9 х ds . Здесь у - угол «конусности» оболоч-

Ns

оs0 = с^ls, ae0 =7^e; (18)

N9

-у С9

Nу и N9 - натяжения на единицу ширины лент; Су

и С9 - толщины лент; £у и £9 - объемное содержание продольных и поперечных лент в материале; ^^туа / С9 - эквивалентные трансверсальные

усилия, приходящиеся на единицу объема. Интегрируя уравнение (17) и считая

£ у = ( у), £9=£9 ( у ),

N = N (У), N9= N9 (р, У ),

получаем:

r X

Rh

lesina

l sNs

rs 0

C

e

J Nedr-^fJL(RH-r).

^ с

1 ст ЧБ

где GсБ - условный модуль связующего, зависящий

от межслойного давления, искривления нитей, адгезионного сопротивления и температуры материала полуфабриката.

Матрица упругих констант

Е1 = Лщ [ Ег1 Е91 Еу1 G гу1 ] .

2. Предполагаем, что натяжение

- продольных лент:

а) остается постоянным по длине, окружности и толщине изделия;

б) не влияет на давление наматываемых поперечных лент на уложенные слои;

- поперечных лент:

а) направлено перпендикулярно оси изделия;

б) непрерывно изменяется в радиальном и продольном направлениях;

в) не превосходит критической величины, при которой нарушается адгезионная прочность материала полуфабриката и наблюдается сползание витков по конической части оболочки;

г) не вызывает сжимающих напряжений О9 в ранее уложенных витках.

Определение напряжения в изделии при намотке абсолютно жесткими лентами выполняем на основе уравнений

Поскольку на наружной поверхности 1 ГУо (Rн ) = 0, имеем:

R

Cs r

Cer

Интегрируя уравнения (18), имеем:

\Ru _ le Rh

R

™r0|/ = C4 Nedr- J e r r

н d(Xrs0r)

ds

dr,

откуда следует

0 =-4e-Ъedr + IRJ

r r r ds

rCe

так как О

r 0

( Rh ) = 0.

Выводы

В конструкциях, выполненных из упругих материалов с неизменяющимися физико-механическими характеристиками, термоупругие напряжения исчезают, как только температурный режим системы возвращается в начальное состояние. В стеклопластико-вых изделиях, независимо от того, как взаимодействует (или вовсе не взаимодействует) изделие с оправкой:

r

а) при изменении температуры возникают термоупругие напряжения вследствие различия коэффициентов температурного расширения и упругих констант материала в различных направлениях;

б) после полимеризации и охлаждения изделия до начальной температуры в нем остаются некоторые необратимые температурные напряжения, обусловленные изменением модулей деформации и коэффициентов расширения материала.

Поэтому необходимо отдельно находить остаточные напряжения при разогревании, а затем - при охлаждении изделия.

Поступила в редакцию

Процесс изменения напряженного состояния оболочки при разогревании с целью полимеризации связующего вызывается:

- уменьшением модулей упругости Ет и 1тя полуфабриката;

- различием коэффициентов температурного расширения материала в радиальном и окружном направлениях;

- различием коэффициентов температурного расширения оправки и материала изделия.

Поставленные задачи будут рассмотрены в следующей статье.

3 марта 2009 г.

Воронцов Георгий Васильевич - д-р техн. наук, академик МАНВШ, профессор, кафедра «Сопротивление материалов, строительная и прикладная механика», Южно-Российский государственный технический университет (Новочеркасский политехнический институт). Тел. (8635)25-53-12.

Евтушенко Сергей Иванович - канд. техн. наук, профессор, зав. кафедрой «Сопротивление материалов, строительная и прикладная механика», Южно-Российский государственный технический университет (Новочеркасский политехнический институт).

Vorontsov George Vasilievich - Doctor of Technical Sciences, member of the Academy, professor, department «Resistance of materials, construction and applied mechanics», South-Russian State Technical University (Novocherkassk Polytechnic Institute). Ph. (8635)25-53-12.

Evtushenko Sergey Ivanovich - Candidate of Technical Sciences, professor, head of department «Resistance of materials, construction and applied mechanics», South-Russian State Technical University (Novocherkassk Polytechnic Institute)._