CC BY
12
УДК 678.5.06:620.171.5
ПРИМЕНЕНИЕ ДИСКРЕТНОЙ МОДЕЛИ НАМОТОЧНЫХ ИЗДЕЛИЙ К ЗАДАЧАМ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ОСТАТОЧНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ
© 2010 г. Г.В. Воронцов
Южно-Российский государственный South-Russian State
технический университет Technical University
(Новочеркасский политехнический институт) (Novocherkassk Polytechnic Institute)
Предлагаются алгоритмы расчёта остаточных напряжений в намоточных цилиндрических изделиях на основе методов сил, перемещений и начальных параметров. Введение дискретных расчётных схем полуфабриката и готового изделия позволяет устранить вычислительные трудности, связанные с учётом неоднородности и нелинейной деформируемости материала.
Ключевые слова: напряжённое состояние; остаточные напряжения; намоточные изделия; матрицы жёсткости.
Algorithms of calculation of residual pressure in windings cylindrical products on the basis of methods of forces, movings and initial parametres are offered. Introduction of discrete settlement schemes of a half-finished product and a finished article allows to eliminate the computing difficulties connected with the account of heterogeneity and nonlinear deformability of a material.
Keywords: a tension; residual pressure; windings products; rigidity matrixes.
Предлагаются алгоритмы расчёта остаточных напряжений в намоточных цилиндрических изделиях на основе методов сил, перемещений и начальных параметров. Введение дискретных расчётных схем полуфабриката и готового изделия позволяет устранить вычислительные трудности, связанные с учётом неоднородности и нелинейной деформируемости материала. В частности, применение метода начальных параметров обеспечивает простое решение задач (в линейной и нелинейной постановке) о синтезе закона силовой намотки, обусловливающего требуемое распределение остаточных напряжений в готовом изделии. С целью уточнения модели процесса изготовления намоточных оболочек использована методика расчётных состояний.
Упругие характеристики материала при плоском напряжённом состоянии задаём функциями:
Er = Er (r ar, ае), Ee= eq(г, аг, о0), Mre = Mre(r, °r, °е),
(1)
где Ег и Ед - текущие модули линейной деформации в радиальном и окружном направлениях; дг0 -коэффициент Пуассона, причём ЕгДгд = .
При плоской деформации вводим эквивалентные физико-механические характеристики
E* = Er
1 -Mrs Ms
E* = Ee Ee =
1 -Mes Mse
,,* _ Mre +MrsMse Mre = ~
1 -Mes Mse
(Хг = (Хг + а5 , = ^ М05 а5 ,
где аг, ад, а5 - коэффициенты температурного
расширения материала; индекс 5 соответствует трансверсальному направлению оболочки.
Дальнейшее изложение относится к задаче о плоском напряжённом состоянии участка оболочки единичной длины.
Матрицы жёсткости, податливости и передаточная матрица элементарного кольца
Расчленяем изделие на элементарные предварительно напряжённые кольца, по объёму каждого из которых упругие характеристики и коэффициенты температурного расширения, а также компоненты вектора начальных напряжений можно считать постоянными. Предварительные напряжения соответствуют либо натяжению материала (на стадии намотки), либо обусловлены сменой расчётных состояний изделия. Внешними воздействиями могут являться наружное и внутреннее давления, приращения температур, изменение упругих и теплофизических «констант» материала или условий опирания оболочки (например, снятие с оправки).
Считаем, что ленты (жгуты, ткани, нити) в момент укладки мгновенно затвердевают, сохраняя заданное натяжение. Намотка всё время производится как бы на недеформируемые ранее уложенные слои и жёсткую оправку. В результате получаем предварительно напряжённое элементарное кольцо. После окончания намотки кольца происходит «размягчение» материалов полуфабриката и оправки, причём возникают дополнительные перемещения, вызывающие релаксацию напряжений. Затем производится намотка следующего кольца и т.д.
Изменение напряжений и перемещений кольца при смене расчётных состояний также считаем обусловленными некоторым предварительным напряжённым состоянием, характеризуемым вектором
®пр = Ei +1 (Ei~lGi - ti +1ai+1 + bai),
где Ej+i, Ei - матрицы упругих «констант» материала; ti +i, ti - температуры; векторы о = colon [ar ае ], a = colon [ar ae ]. Индексы
i, i +1 обозначают номера расчётных состояний. Для каждого элементарного кольца j составляем
матрицы жёсткости H j, податливости Л j и передаточную матрицу П осуществляющие преобразования:
Pj+1 Pj
u
j+1 uj
H
= A,
u j +1 uj
Pj+1 Pj
u
j+1
a
r, j +1
П
j
a„
+
+
+
Pj+1,j *
. Pjj . *
uj+1, j *
. ujj _ **
uj+1
**
ar, j+1
(2)
(3)
(4)
H
E„
vA,
(ß-Mre)
f
\ß
rj+1 j
Л
+ (ß + Mre) -2ß
j+1 r,
V _ J
-2ß
Г • 1
(ß-Mre) — + (ß + Mre)
ß
rj
V _ J
ß
v r_ +1J
ЛJ = -L j EeA_
(ß-Mre)
4V
rj
V J J
ß
+ (ß + Mre) _2_ß-
rj+1 J
2ß
f Aß Г-
(ß-Mre) — + (ß + Mre)
V rJ +1J
rj
V J J
(6)
П
2ß r-ß rß+1
(ß-Mre)rj+ß1 + (ß + Mre) J !
E„
vr;
j+1
Ej (rj+ß1 - J)
_____J__ i
M re j( — j|
( ß 2-M 2e j(
( ß + M r e) r_+ß1 + ( ß -M re)
I
j+1
2
(7)
где обозначено:
E
ß2 = -=т' v =1 -MreMer> A_ =
E
r2ß - r2ß
rj+1 r_ rß rß •
rj+1r_
Здесь р;+1 = ог ;+г+1, р; = -а¿Г; - радиальные усилия на поверхностях кольца; аГ ; +1,___, и; - соответствующие напряжения и перемещения; Г;+1 и Г; - наружный и внутренний радиусы. Звёздочками отмечены давления, перемещения и напряжения, зависящие от предварительного напряжённого состояния. Так, из выражения (2) следует, * *
что р; +1 ; и р;; - давления на поверхностях кольца
; , закреплённого от перемещений и ;+1, и; . Из вы**
ражения (3) находим, что и;+1 ; , и; есть перемещения на поверхностях свободного кольца при Р; +1 = Р; +1 = 0 и ТА
Матрицы (2) - (4) вычисляем по формулам:
Все константы относятся к кольцу ; и соответствующему расчётному состоянию.
Заметим, что формулы (5) - (7) можно записать иначе, например,
H
ß _, _+1 +ß _ +1, _ -2
где обозначено:
ß _, j+1 =(ß - Mre)
-2
ß _+1, _ +ß _, _+1. Г . \ß
ß _+1, _ = (ß + Mre)
0-+1J
ß
f r_+1
V _ J
ß
ßj+1, _ = (ß-Mre) ßj, _+1 = (ß + Mre)
_+1 rj
V J J
ß
rj
r
j+1 J
«Грузовые» члены уравнений (2) - (4) составляют:
3
3
1
r
r
r
r
* н н
pj+1,j = rj +1°rj - H ■ uj+1
* н j н
[ Pjj J - r а ■ [ j rj J [u j J
Ke =-
E
e,i+1
E . ei
(e = r, e),
vre =1 - Mre,i+1Meri, ver =1 - Mer,i+1Mrei,
u
j+1,j *
ujj
uj+1
**
°r, j+1
,н
j+1
.н
u
j
- л,
а
г
r, j +F j+1
-r ан
j rj
ui1 r
(rj+1)"
а„
П
u11 r
(rj )
а,
Расчётные начальные напряжения ar и перемен
щения ur определяются по следующим выражениям:
для стадии намотки
uK =
va0r
(1 -ß2 ) EГ
ar =
1 + Mre o. -^ а ;
1 -ß2
при смене расчётных состоянии
uf =
0
vi+1а ir
(1 -ßL) E
r i+1
н 1 + Мг9,г +1 р пр
1 - Pi+1 Здесь введены обозначения: )2
ap = — < aei
v
i+1
ß221 ver -ß2AMre- Vre ß2
A (tar) = t«+1ar,«+1" h^ri,
(8) v =1 - MreMe, AMre = Mre,«+1 - Mre,« •
Значения v, P , Er , ^re в формулах (9) характеризуют своИства полуфабриката при намотке.
Определение остаточных напряжений в намоточных изделиях по методам перемещений и сил
При расчёте изделия по методу перемещении (МП) неизвестными считаем перемещения
X = colon [ Xn +1,___, Xq ] пограничных слоёв
j = 0, _, n +1 элементарных колец, причём j = 0
(9) относится к внутренней поверхности оправки, j = n +1 - к наружной поверхности изделия.
Основную систему МП получаем в результате введения концентрических связей, препятствующих перемещениям Xj. Внешними воздействиями являются факторы, получившие приращения при смене расчётных состояний.
Систему канонических уравнений МП записываем в виде
H
n-1
H1 H
X,
n +1
X,-
Xn
+
pn+u
* * Pj + p,\ j-1
*
P00
= 0,
-ß2+1AMer,i+1ari - raeiß2 AMre f +
K E I
M ) + Mre,i+1A (toe)-
v
i+1
ß2+1 [A (t«e) + Mer ,i+1A (ta г )] A (t«r)' + Mre,i+1A (tae)'
+
+r
= — {vreari + ß2AMreaei-vi+11
-Eri [A(tar) + Mre,i+1A(tae)]},
где Нп,... Н и Но - матрицы жёсткости элементарных колец и оправки. Для диагональных ячеек, в которых матрицы Н у накладываются друг на друга,
соответствующие компоненты матриц складываем.
*
Значения «грузовых» членов руе вычисляем по первой формуле (8).
При расчёте изделия по методу сил (МС) неизвестными считаем усилия взаимодействия
Y = colon
Yn-Yj -Y
на контактных поверхно-
стях ] = п,... ,1 элементарных колец и оправки. Систему канонических уравнений МС представляем в виде
лп
лп-1 Л п-2
Л1 Л
Y„
Y-
Yn
+
* * unn - un,n-1
ujj uj, j-1
U11 - u
10
= 0,
где Лп, ..., Л0 - матрицы податливости элементарных колец и оправки. Для диагональных точек, в которых матрицы Л у накладываются друг на друга,
соответствующие компоненты матриц вычитаем. Заштрихованные блоки матриц Лп и Ло отбрасываем.
*
Значения «грузовых» членов и уе вычисляем по второй формуле (8).
Нахождение остаточных напряжений и синтез закона силовой намотки по методу начальных параметров
С помощью метода начальных параметров (МНП) легко решаются все основные задачи:
1) определение закона изменения натяжения, обеспечивающего заданное распределение остаточных напряжений после намотки;
2) определение остаточных напряжений после намотки при заданном законе изменения натяжения;
3) определение остаточных напряжений при смене расчётных состояний изделия.
Рассмотрим алгоритм вычислений при решении первой задачи.
Считаем заданным давление Ог1 на оправку, которое будет достигнуто после завершения намотки изделия. На величины остаточных напряжений накладываем ограничения
ае ^ [ае]' ar ^К].
(10)
Er = Er (r,ar).
(11)
Из соотношения
U1
Pr1.
Пг
u0 0
Насаживаем на оправку первое предварительно напряжённое кольцо с начальным напряжением
о N га
=- и упругими характеристиками Ег\,р^..,
Ь
определяемыми по формуле (11) при Ог = Ог1; N -натяжение лент в слое материала единичной толщины; Ь - ширина ленты. По выражениям (9) и (8) вычисляем ин, аг1 и и2, О*2 .
Накладываем условие, что после «отпуска» кольца на его внутренней поверхности возникают заданные
напряжения Ог1 и соответствующие им перемещения и1.
Зная параметры и^ Ог1 на «входе» кольца, по уравнению (3) находим перемещение и2 и напряжение Ог2 на «выходе». Если полученные значения Ог2 и О02 не удовлетворяют ограничениям (10), корректируем натяжение N1 лент на первом участке.
По найденному давлению О г2 определяем упругие характеристики Ег 2, Р2, • • • и переходим к расчёту второго элементарного кольца. Для ]-го кольца имеем
а
V+1
r,j+1
П,
u.
а„
а,
1 -ßi
v r ■ J J " vJrJ+1 "
П J E . Erj - E . Erj >
1 + Мт-еу _ 1 + Mrej
(12)
Предполагаем, что модуль упругости материала в радиальном направлении зависит от межвиткового давления
где По - передаточная матрица оправки, определяем перемещения и1 и «о - Непрерывную намотку изделия заменяем дискретным процессом последовательного насаживания предварительно напряжённых колец сначала на оправку, а затем на ранее уложенные слои.
где О0 - натяжение лент в кольце у .
При синтезе закона силовой намотки, обеспечивающего требуемое остаточное напряжённое состояние, все значения Огу, Ооу считаем заданными и по уравнениям (12) последовательно находим требуемые натяжения N у = Ьо0 поперечных лент. Упругие
характеристики материала могут быть заданы функциями типа (1).
При заданном изменении натяжения лент N1,..., Nn и определении остаточных напряжений после намотки выполняем серию расчётов изделия при различных давлениях Ог1 на оправку. Из полученных решений выбираем то, которое удовлетворяет условию Ог п +1 = 0 на внешней поверхности. Если из составленных решений ни одно не удовлетворяет
требованию Ог п+1 = 0 , составляем модель функции
Огп+1 = / (ог1) , причём учитываем результаты всех произведённых расчётов и проверяем адекватность выражения / (ог1). Давление на оправку определяем из уравнения / (ог1) = 0.
Решение упрощается, если упругие константы материала не зависят от напряжённого состояния (линейная задача). В этом случае коэффициенты всех передаточных матриц могут быть вычислены сразу, причём
Sj+1 =( П j... По) So +(П j... П 2) Sj
+...+п 7 Sj _i+Sj ,
+
где S; = colon
uj V
S* = colon
uj
Неизвестное давление Ог1 определяем из условия Ог п+1 = 0. После этого по формулам
Sj +1 = П j Sj + Sj
последовательно находим остаточные напряжения во всех элементарных кольцах.
Выводы
1. Применение дискретных моделей для определения остаточных напряжений в намоточных изделиях или для синтеза закона силовой намотки, обеспечивающего заданное напряжённое состояние, особенно целесообразно при расчёте изделий из неоднородных или (и) нелинейно деформируемых материалов.
2. Наиболее универсальные и простые алгоритмы решения различных задач об определении напряжённого состояния намоточных изделий обеспечивает метод начальных параметров.
Поступила в редакцию 9 ноября 2009 г.
Воронцов Георгий Васильевич - д-р техн. наук, академик МАНВШ, профессор, кафедра «Сопротивление материалов, строительная и прикладная механика», Южно-Российский государственный технический университет (Новочеркасский политехнический институт). Тел. (8635)25-53-12.
Vorontsov George Vasilievich - Doctor of Technical Sciences, member of the Academy, professor, department «Resistance of materials, construction and applied mechanics», South-Russian State Technical University (Novocherkassk Polytechnic Institute). Ph. (8635)25-53-12._
