CC BY
66
УДК 539.4.013
Р.А. Турусов, Х. Мемарианфард
ФГБОУВПО «МГСУ»
ДИСКРЕТНАЯ МОДЕЛЬ В АНАЛИЗЕ ОСТАТОЧНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ ОДНОНАПРАВЛЕННЫХ НАМОТОЧНЫХ ЦИЛИНДРОВ ИЗ АРМИРОВАННОГО ПЛАСТИКА В ПРОЦЕССЕ ОХЛАЖДЕНИЯ
Произведен расчет напряжений в толстостенном цилиндре при охлаждении с помощью дискретной модели. Результаты расчета сопоставлены с расчетами по общепринятой модели сплошной анизотропной среды. В толстостенных цилиндрах из армированных полимеров из-за анизотропии усадки и особенности формы при охлаждении возникают растягивающие радиальные напряжения. Это часто приводит к формированию кольцевых трещин. Расчеты, когда материал рассматривается как анизотропная сплошная среда, свидетельствуют о небольшой величине напряжений по сравнению с трансверсальной прочностью.
Ключевые слова: монолитность, анизотропия, дискретная модель, намотка, толстостенная оболочка, радиальная трещина, остаточное напряжение.
В настоящее время актуальными становятся работы в космосе и на больших морских глубинах. Для их осуществления требуются емкости с большим массовым совершенством, которое представляет собой отношение произведения давления на внутренний объем емкости к ее массе [1]. Обычно такие емкости по разным причинам изготавливают в виде кокона методами намотки, которые поддаются автоматизации. Простейшая модель кокона — цилиндр с полусферическими заглушками по торцам. В нашем случае это толстостенный цилиндр толщиной 10 % и более от внутреннего радиуса.
При создании толстостенных цилиндров из армированных полимеров возникает ряд проблем. Первая из них — технологическая монолитность: в толстостенных цилиндрах в процессе изготовления возникают кольцевые трещины. Цилиндры наматываются с силовым натяжением лентами, сформированными из многих волокон [2]. Наилучшие композиты по физико-механическим свойствам получаются при повышенных температурах от 150 до 350 °С. Поэтому после намотки при комнатной температуре изделие подвергается серьезному разогреву. В результате в цилиндре, вследствие фильтрации жидкого связующего, могут совсем исчезнуть запасенные при намотке под натяжением радиальные напряжения сжатия. Далее происходит усадка материала, например, у эпоксидов это химическая (в ходе химической реакции отверждения) усадка. При последующем охлаждении происходит термическая (физическая) усадка. Кроме того, процесс отверждения и охлаждения толстостенных изделий может оказаться неравномерным по радиусу [3].
Кольцевые трещины (разрывы) чаще всего возникают в ходе процесса охлаждения, но для некоторых полимеров — связующих в образовании трещин
ВЕСТНИК 1/2015
1/2015
решающую роль играет процесс отверждения [4, 5]. Основная причина возникновения трещин в армированных волокном толстостенных намоточных цилиндрах заключается в анизотропии химических и физических усадок. Например, при охлаждении коэффициент линейного термического расширения (КЛТР) вдоль волокон обычно меньше КЛТР в радиальном направлении [6].
Сделаем некоторые оценки, используя формулы смеси. Так для цилиндра структуры 1 : 0, получаемого намоткой, коэффициент линейного температурного расширения в окружном направлении ф, т.е. вдоль волокон равен [7]
Ур а рЕр + а /Е/ т
V Е + УЕ,
р р 11
А в радиальном направлении, т.е. поперек волокон [8—9]
а ,1 = ур а р + а /, (2) где V, а, Е — относительное объемное содержание, КЛТР и модуль Юнга компонент композита; р — полимер; f— волокно. Пусть это будут эпоксидный полимер и стеклянное волокно.
В результате радиус любого уложенного по окружности слоя материала при охлаждении хочет сократиться больше, чем это может сделать окружность. Но при сохранении формы окружности должно выполняться соотношение для длины окружности L = 2пг. Выход у материала либо в потере устойчивости формы, вследствие чего окружность должна перестать быть окружностью, либо в создании радиальных растягивающих напряжений, препятствующих сокращению радиуса.
Эксперименты, которые проводились в ИХФ РАН с толстостенными цилиндрами с однонаправленной и продольно-поперечной структурой композита на эпоксидной матрице ЭКР [2, 5], показали, что для однонаправленного намоточного цилиндра толщиной 50 % от внутреннего радиуса материал может быть получен монолитным и без радиальных трещин. А для продольно-поперечной структуры (ППН) относительная толщина цилиндра без трещин не превышала 5...10 %. Причины развития такого различия в технологической монолитности в цилиндре ППН-структуры до конца не ясны. Естественно, общими для обеих структур являются анизотропия упругих и теплофизических свойств, и геометрия изделий. Степень анизотропии теплофизических свойств для ППН-структуры, по-видимому, меньше, чем для однонаправленной структуры. В ППН-структуре чередуются слой намотки со слоем укладки волокон вдоль образующей кругового цилиндра. Соотношение слоев 1 : 1, т.е. относительное объемное содержание слоев 0,5 на 0,5. Таким образом, в направлении радиуса остается прежним КЛТР (2), ибо волокна в каждом слое уложены перпендикулярно радиусу. Но в окружном направлении этот коэффициент становится больше чем (1), приближаясь к (2) и уменьшая расхождение радиуса с окружностью. Действительно для ППН-структуры в окружном направлении по формуле смеси имеем
0,5а 1Е 1 + 0,5а 1Е 1
' ф1 ф1 ' г\ г\ /ОЧ
а =--—--. (3)
ф 0,5Еф1 + 0,5ЕЛ
После упрощения, учитывая, что Еф1/ Ег1 >> 1, с достаточной точностью получаем для ППН-структуры
I \Е
аг = аП >аф = аф1 + (аг1 - аф1 )Е1 > аф1. (4)
Еф1
Т.е. можно было бы ожидать, что с уменьшением степени анизотропии будут уменьшаться растягивающие радиальные остаточные напряжения. Однако, как сказано выше, эксперименты показали, что для гарантированной монолитности этого недостаточно (рис. 1).
а б
Рис. 1. Цилиндр: а — с однонаправленной окружной структурой и относительной толщиной 50 % без трещин; б — с ППН-структурой и радиальными трещинами и кусок цилиндра с ППН-структурой и относительной толщиной 5 % без трещин
Для объяснения такого механического поведения толстостенных цилиндров, т.е. проблемы технологической монолитности, предлагаются следующие рабочие гипотезы:
1) расчеты по методу сплошной анизотропной среды (САС) не отражают в полной мере сложное напряженное состояние толстостенных оболочек. Для проверки этой гипотезы необходимо провести расчеты напряженно-деформированного состояния (НДС) различных толстых оболочек методом сплошной среды в сопоставлении с результатами расчетов по методу дискретной среды. Здесь будут показаны результаты сравнения расчетов НДС оболочек структуры 1 : 0 для сплошной и дискретной моделей сред;
2) растягивающие технологические напряжения в оболочке ППН (продольно-поперечная намотка) возможно больше растягивающих радиальных напряжений в оболочке однонаправленной структуры;
3) в процессе намотки нитью, жгутом или лентой к ним прикладывается растягивающая нагрузка, создающая натяжение в изделии. Это натяжение превращается в сжимающие радиальные напряжения. Величину этого сжимающе-
N (? )п
го давления р можно получить из простого отношения р =-, где N(0 —
ЯЬ
натяжение жгута; ^ — количество жгутов; Ь — ширина жгутов; Я — радиус намотки; п — количество окружных слоев [10—11]. По-видимому, при однонаправленной намотке нормальные напряжения сжатия создаются большими по сравнению с продольно-поперечной намоткой. Эти сжимающие нормальные напряжения могут быть скомпенсированы растягивающими нормаль-
ВЕСТНИК
ными радиальными напряжениями, возникающими в процессе охлаждения, либо исчезнуть из-за фильтрации связующего при горячем отверждении. Таким образом, цилиндр однонаправленной структуры может оказаться более компактным и монолитным после окончания процесса охлаждения, нежели цилиндр продольно-поперечной намотки;
4) прочность структуры ППН при растяжении в направлении радиуса (трансверсальная прочность) может быть ниже трансверсальной прочности материала оболочек однонаправленной структуры. Вопрос о том, что есть трансверсальная прочность в намоточном цилиндре, пока остается не решенным.
В соответствии с первой гипотезой возникает вопрос о правильности оценки величины остаточных напряжений в толстом анизотропном цилиндре как сплошной среды с однонаправленными линейными элементами. Чтобы ответить на этот вопрос, были предприняты следующие модельные исследования: результаты расчета радиальных напряжений в различных толстостенных оболочках методом сплошной среды сравнивались с расчетами напряженного состояния соответствующей дискретной структуры однонаправленного материала.
1. Анизотропная сплошная среда. Рассмотрим двухмерную осесимме-тричную задачу теории упругости при плоском напряженном состоянии для однонаправленного намоточного цилиндра с внутренним радиусом 75 и 150 мм и толщиной стальной цилиндрической оправки 3 мм. Расчеты выполнены для 2-х вариантов:
1) относительная толщина, т.е. толщина по отношению к внутреннему радиусу цилиндра — 5 %;
2) относительная толщина цилиндра — 50 %.
При охлаждении цилиндра температура от 373 К снижается до 293 К. На этом этапе также как и на этапе отверждения свойства композита изменяются. Особенно сильно изменяются релаксационные параметры. Но здесь мы с достаточной для нас точностью при количественной оценке ограничимся упругим решением. Допустим, механические свойства материала постоянны во время процесса охлаждения (а, Е, V).
Эффективные модули композита и коэффициенты линейного расширения в направлении радиуса и угла можно найти по известным формулам смеси, частично приведенным выше (формулы (1)—(3) в радиальном и окружном направлениях). Но здесь мы используем более точную формулу Халпина —
В направлении ф полимер и волокно действуют, как параллельные элемен-
Цая [12]:
Е 1 + • п Е//Ер)-1
Ер 1 -ЦУ/ ' 1 (Е//Ер)
П =
; п = 2 (для круглых волокон).
(5)
ты [13—14]:
(6)
Запишем разрешающие уравнения для ортотропного кольца [15]:
1 d с
_ + _
(
dr2 r dr
Л
E
3-v +v —
r ф E V nr у
+
а-аф)
ЕфDT. (7)
Общее решение этого уравнения имеет вид [16—17]
а г = ЛГх+ Br~х + C. (8)
Используя граничные условия, можно получить коэффициенты А, В, С для свободного цилиндра (в отсутствии оправки). Граничные условия имеют вид
г = г^>аг = 0; г = Я стг = 0.
2. Дискретная модель. Для расчетов в работе используется следующая дискретная модель материала. Рассматривается намоточный цилиндр не как ортотропная сплошная среда, а как слоистая структура, в которой чередуются тонкие цилиндрические слои стекла и полимера. Она должна отражать материал цилиндра однонаправленной намотки (структура 1 : 0) (рис. 2). Обычно объемная доля волокна для однонаправленной намотки равна 65 %. Здесь эта доля соблюдена как в дискретной
модели, так и в модели сплошной среды. Для кольца относительной толщины 5 % расчеты выполнены для 2-х вариантов дискретности: 1) модель дискретной среды в 10 слоев; 2) модель дискретной среды в 30 слоев.
Рассмотрим п изотропных концентрических цилиндров из стекла и полимера. Определяющее дифференциальное уравнение для плоского напряженного состояния для изотропных материалов [18]:
Полимер
Стекло
Сталь
Рис. 2. Дискретная модель однонаправленной намотки
3 d с
= 0.
dr2 г dr Общее решение уравнения (9) имеет вид
ст„.= Аг-2 + В.
Тогда перемещение иг будет иметь вид [19] иг =1 (-А(1 + V) г - + В(1 - V) г ) + аг М. Граничные условия:
(9)
(10)
(11)
r = r
ст.. = 0,
г = г _^ а = а • и = и
г г (полимер) г (стекло) ' г (полимер) г(стекло) '
г = г _ а = 0.
п г
Решая эту систему уравнений, получаем постоянные коэффициенты А, В Графики зависимостей радиальных напряжений ог от радиуса модели г для ОСС (ортотропная сплошная среда — однонаправленная намотка, т.е. структура 1 : 0) и ДМ (дискретная модель) приведены на рис. 3, 4.
ВЕСТНИК
МГСУ-
1/2015
Вывод. На рис. 3 и 4 в сравнении представлены результаты расчетов распределения радиальных напряжений по радиусу по модели сплошной среды и по дискретной модели. Обращают на себя внимание два обстоятельства. Первое — расчеты по модели дискретной среды демонстрируют не менее, чем двукратное превышение радиальных напряжений над величинами, полученными по модели сплошной среды. Второе — приведенные на рис. 3 две кривые зависимости с (г) для разных разбиений одной и той же толщины на 10 и 30 слоев показывают, что уменьшение толщин дискретных слоев не меняет принципиально распределения, и главное — не приближают величины ог (г) к величинам, полученным на модели сплошной среды. Отсюда можно заключить, что линейная одномер-
Рис. 3. Зависимость радиального напряжения сг от радиуса г для цилиндра относительной толщины 5 %: две верхние ступенчатые кривые — дискретная модель (10 слоев и 30 слоев); нижняя штриховая соответствует расчету по модели орто-тропной сплошной среды 1 : 0
Рис. 4. Зависимость радиального напряжения сг от радиуса г для цилиндра относительной толщины 50 %: дискретная модель — ступенчатая кривая; ортотропная сплошная среда — штриховая
ная модель сплошной среды (т.е. армированного пластика) не в состоянии отразить особенности поведения компонент композита в цилиндре при охлаждении. В частности, окружные напряжения в волокнах и полимерной матрице имеют разные знаки — волокно сжато, а полимер растянут. Модель сплошной среды это учесть не может. На этом основании можно утверждать, что дискретная модель ближе к реальности.
Однако рассчитанные по обеим моделям нормальные радиальные напряжения значительно (в десятки раз) меньше трансверсальной прочности (прочности поперек волокон) композита при нормальных температурах. И здесь возникает вопрос: правильно ли мы измеряем трансверсальную прочность анизотропных материалов? Этот вопрос уже ставился в научной литературе [20], и была высказана гипотеза, что за сравнительно короткое время в ортотроп-ном цилиндре в процессе охлаждения реализуется так называемая длительная трансверсальная прочность, которая может быть очень малой.
Библиографический список
1. Екельчик В.С., Клюнин О.С. Новый подход к созданию облегченных металло-пластиковых баллонов высокого давления для сжатых газов // Вопросы материаловедения. 2003. № 2 (34). С. 26—32.
2. Турусов Р.А., Куперман А.М. Экспериментальные исследования влияния масштабного фактора на упруго-прочностные характеристики однонаправленных колец из стеклопластика // Механика композиционных материалов и конструкций. 1998. Т. 4. № 3. С. 62—69.
3. Турусов Р.А., Коротков В.Н., Рогозинский А.К., Куперман А.М., Суляева З.П. Технологическая монолитность оболочек из полимерных композитных материалов // Механика композитных материалов. 1987. № 6. С. 1072—1076.
4. Plepys АЛ., Farris R.J. Evolution of residual stresses in three-dimensionally constrained epoxy resins // Polymer. 1990. Vol. 31. No. 10. Pp. 1932—1936.
5. Турусов Р.А., Коротков В.Н., Метлов В.В., Розенберг Б.А. Остаточные напряжения в гомогенных и армированных полимерах // Остаточные технологические напряжения : тр. II Всесоюз. симпозиума. М., 1985. С. 320—325.
6. Korotkov V.N., Andreevska G.D., Rosenberg B.A. Temperature Stresses in polymers and composites // Mechanics of composites. NY, March 1981. Pp. 290—295.
7. Schapery R.A. Thermal expansion coefficients of composite materials based on energy principles // J. Composite Mater. 1968. Vol. 2. No. 3. Pp. 380—404.
8. GreszakL.B. Thermoelastic properties of filamentary composites. Presented at AIAA 6th Structures and Materials Conference, April 1965.
9. Cairns D.S., Adams D.F. Moisture and Thermal Expansion Properties of Unidirectional Composite Materials and the Epoxy Matrix // Journal of Reinforced Plastics and Composites. 1983. Vol. 2. No. 4. Pp. 239—255.
10. Mallick P.K. Fiber-Reinforced Composites: Materials, Manufacturing, and Design. 3d ed. Taylor & Francis Group, LLC, 2007. 617 p.
11. Саусвелл Р.В. Введение в теорию упругости для инженеров и физиков. М. : ИЛ, 1948. 675 с.
12. Halpin J.C., Tsai S.W. Effect of environment factors on composite materials // Air Force tech. rep. AFML-TR-67-423. June 1969. 62 p.
13. Hashin Z. Theory of fiber reinforced materials // NASA tech. rep. contract no: NAS1-8818, November 1970.
14. JonesR.M. Mechanics of composite materials. Crc Press, 1998. 538 p.
15. Турусов Р.А., Коротков В.Н., Рогозинский А.К. Температурные напряжения в цилиндре из композитного материала в процессе его охлаждения и хранения // Механика композитных материалов. 1983. № 2. C. 290—295.
16. Wilson J.F., Orgill G. Linear analysis of uniformly stressed orthotopic cylindrical shell // J. Appl. Mech. 1986. Vol. 53. No. 2. Pp. 249—256.
17. Yuan F.G. Analysis of thick-section composite cylindrical shells under hydrostatic pressure // American Society for Testing and Materials. 1993. Vol. 11. Pp. 607—632.
18. Тимошенко С.П. Теория упругости / пер. с англ. Н.А. Шошина. 2-е изд., испр. М. ; Л. : ОНТИ, 1937. 452 c.
19. Sadd M.H. Elasticity: Theory, Applications, and Numerics. Elsevier, 2004. 474 p.
20. Исследования по механике композиционных материалов и конструкций / науч.-техн. о-во им. А.Н. Крылова. Л. : Судостроение, 1981. 94 с. (Материалы по обмену опытом; вып. 344).
Поступила в редакцию в декабре 2014 г.
Об авторах: Турусов Роберт Алексеевич — доктор физико-математических наук, профессор, профессор кафедры сопротивления материалов, Московский государственный строительный университет (ФГБОУ ВПО «МГСУ»), 129337, г. Москва, Ярославское шоссе, д. 26, [email protected];
ВЕСТНИК 1/2015
1/2015
Мемарианфард Хамед — аспирант кафедры сопротивления материалов, Московский государственный строительный университет (ФГБОУ ВПО «МГСУ»), 129337, г. Москва, Ярославское шоссе, д. 26, [email protected].
Для цитирования: Турусов Р.А., Мемарианфард Х. Дискретная модель в анализе остаточных напряжений однонаправленных намоточных цилиндров из армированного пластика в процессе охлаждения // Вестник МГСУ. 2015. № 1. С. 27—35.
R.A. Turusov, H. Memaryanfard
DISCRETE MODEL IN THE ANALYSIS OF RESIDUAL STRESSES IN UNIDIRECTIONAL WINDING CYLINDERS MADE OF FIBER-REINFORCED PLASTIC
Today works in cosmos and at great sea depths are becoming very current. In order to execute these works tanks with great mass perfection are needed, which represents the relation of the product of pressure and inner volume to its mass. Usually such tanks are usually produced as a cocoon by winding methods, which can be automated. The simplest model of a cocoon is a cylinder with hemispheric blinds at the edges.
The radial stresses arise in thick walled composite cylinders due to anisotropic thermal shrinkage during cooling process after curing. It also can lead to formation of radial cracks. The results of the analyses when a material is simplified to a homogenous ortho-tropic material show a very small residual radial stress value. In this paper we have used discrete model to evaluate residual radial stresses in thick-walled unidirectional filament wound cylinder and the results were compared to the results of homogenous orthotropic model.
Key words: monolithic, anisotropy, discrete model, winding, thick-walled shell, radial crack, residual stress.
References
1. Ekel'chik V.S., Klyunin O.S. Novyy podkhod k sozdaniyu oblegchennykh metallo-plas-tikovykh ballonov vysokogo davleniya dlya szhatykh gazov [New Approach to Creating Lightweight Plastic High Pressure Cylinders for Compressed Gases]. Voprosy materialovedeniya [Problems of Materials Science]. 2003, no. 2 (34), pp. 26—32. (In Russian)
2. Turusov R.A., Kuperman A.M. Eksperimental'nye issledovaniya vliyaniya masshtab-nogo faktora na uprugo-prochnostnye kharakteristiki odnonapravlennykh kolets iz stekloplas-tika [Experimental Studies of the Scale Factor Influence on the Elastic-Strength Properties of Unidirectional Fiberglass Rings]. Mekhanika kompozitsionnykh materialov i konstruktsiy [Journal on Composite Mechanics and Design]. 1998, vol. 4, no. 3, pp. 62—69. (In Russian)
3. Turusov R.A., Korotkov V.N., Rogozinskiy A.K., Kuperman A.M., Sulyaeva Z.P. Tekh-nologicheskaya monolitnost' obolochek iz polimernykh kompozitnykh materialov [Monolithic Technology of the Shells of Polymer Composite Materials]. Mekhanika kompozitnykh materialov [Mechanics of Composite Materials]. 1987, no. 6, pp. 1072—1076. (In Russian)
4. Plepys A.R., Farris R.J. Evolution of Residual Stresses in Three-Dimensionally Constrained Epoxy Resins. Polymer. 1990, vol. 31, no. 10, pp. 1932—1936. DOI: http://dx.doi. org/10.1016/0032-3861(90)90019-U.
5. Turusov R.A., Korotkov V.N., Metlov V.V., Rozenberg B.A. Ostatochnye napryazheni-ya v gomogennykh i armirovannykh polimerakh [Residual Stresses in Homogeneous and Reinforced Polymers]. Ostatochnye tekhnologicheskie napryazheniya : trudy II Vsesoyuzno-go simpoziuma [Technological Residual Stresses : Works of the 2nd All-Union Symposium]. Moscow, 1985, pp. 320—325. (In Russian)
6. Korotkov V.N., Andreevska G.D., Rosenberg B.A. Temperature Stresses in Polymers and Composites. Mechanics of Composites. NY, March 1981, pp. 290—295.
7. Schapery R.A. Thermal Expansion Coefficients of Composite Materials Based on Energy Principles. J. Composite Mater. 1968, vol. 2, no. 3, pp. 380—404. DOI: http://dx.doi. org/10.1177/002199836800200308.
8. Greszak L.B. Thermoelastic Properties of Filamentary Composites. Presented at AIAA 6th Structures and Materials Conference. April 1965.
9. Cairns D.S., Adams D.F. Moisture and Thermal Expansion Properties of Unidirectional Composite Materials and the Epoxy Matrix. Journal of Reinforced Plastics and Composites. 1983, vol. 2, no. 4, pp. 239—255. DOI: http://dx.doi.org/10.1177/073168448300200403.
10. Mallick P.K. Fiber-Reinforced Composites: Materials, Manufacturing, and Design. 3rd ed. Taylor & Francis Group, LLC, 2007, 617 p.
11. Southwell R.V. Introduction to the Theory of Elasticity for Engineers and Physicists. Dover Publications Inc., 1970, 509 p.
12. Halpin J.C., Tsai S.W. Effect of Environment Factors on Composite Materials. Air Force tech. rep. AFML-TR-67-423. June 1969, 62 p.
13. Hashin Z. Theory of Fiber Reinforced Materials. NASA tech. rep. contract no: NAS1-8818. November 1970.
14. Jones R.M. Mechanics of Composite Materials. Crc Press, 1998, 538 p.
15. Turusov R.A., Korotkov V.N., Rogozinskiy A.K. Temperaturnye napryazheniya v tsilindre iz kompozitnogo materiala v protsesse ego okhlazhdeniya i khraneniya [Thermal Stresses in a Cylinder Made of a Composite Material in the Process of Cooling and Storage]. Mekhanika kompozitnykh materialov [Mechanics of Composite Materials]. 1983, no. 2, pp. 290—295. (In Russian)
16. Wilson J.F., Orgill G. Linear Analysis of Uniformly Stressed Orthotropic Cylindrical Shell. J. Appl. Mech. 1986, vol. 53, no. 2, pp. 249—256. DOI: http://dx.doi.org/10.1115/1.3171748.
17. Yuan F.G. Analysis of Thick-Section Composite Cylindrical Shells under Hydrostatic Pressure. American Society for Testing and Materials. 1993, vol. 11, pp. 607—632.
18.Timoshenko S. Theory of Elasticity. Mcgraw-Hill College; 1 edition, 1934, 416 p. (In Russian)
19. Sadd M.H. Elasticity: Theory, Applications, and Numerics. Elsevier, 2004, 474 p.
20. Issledovaniya po mekhanike kompozitsionnykh materialov i konstruktsiy [Researches on the Mechanics of Composite Materials and Structures]. Scientific Technical Society named after A.N. Krylov. Leningrad, Sudostroenie Publ., 1981, 94 p. (Materials on experience exchange; issue 344). (In Russian)
About the authors: Turusov Robert Alekseevich — Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor, Department of Strength of Materials, Moscow State University of Civil Engineering (MGSU), 26 Yaroslavskoe shosse, Moscow, 129337, Russian Federation; [email protected];
Hamed Memaryanfard — postgraduate student, Department of Strength of Materials, Moscow State University of Civil Engineering (MGSU), 26 Yaroslavskoe shosse, Moscow, 129337, Russian Federation; [email protected].
For citation: Turusov R.A., Memaryanfard H. Diskretnaya model' v analize ostatoch-nykh napryazheniy odnonapravlennykh namotochnykh tsilindrov iz armirovannogo plastika v protsesse okhlazhdeniya [Discrete Model in the Analysis of Residual Stresses in Unidirectional Winding Cylinders Made of Fiber-Reinforced Plastic]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2015, no. 1, pp. 27—35. (In Russian)
