Определение остаточных напряжений в оболочках, получаемых методом намотки из композитных материалов Текст научной статьи по специальности «Физика»

Выражая из уравнений (21) и (22) линейную скорость и плотность соответственно, а в уравнении (23) коэффициент гидравлического сопротивления ^(ф шз) через коэффициент расхода [3]

М Q (<Р шз ) =

1

V1 +£(фшз )

получаем следующую систему уравнений:

PL 2dPL 2 =

XZRTM 2

dx;

2DS 2

Q = Mq (фшз )S^2gH;

J шз ф шз = M упр + М в^тр + М ^ + M гд ;

(24)

PL 3 dPL3 =

XZRTM ' 2 DS 2

■dx,

(25)

где Q - объемный расход через КР с ШЗ. Учитывая, что, согласно [4]

Н = +Q

2

2

Q=

(p 2 - p 32 )

D

X Z R T L 2

Q = Mq (фшз )S. 2g

(pз-P4+_Ql^

Pg

2gS

(26)

(27)

Jшз ф шз = Mупр + Мв.тр + М с.тр + Mгд ;

Q=

'V

(p42 - p5 ) D

X Z R T L 3

(28)

(29)

РЯ 2gS/

и интегрируя (24) ( РЬ2 е [р2, р3] , хе [0, 12]) и (25) ( РЬ3 е[р4, р5 ] , хе [0, Ь3]), после элементарных преобразований получаем систему:

Конкретные выражения для моментов, входящих в (28), приведены в [3] и [5].

Полученная система нелинейных уравнений не имеет в общем случае аналитического решения. Тем не менее она эффективно решается численно (после приведения к относительным координатам) и может быть линеаризована, давая при этом линейную динамическую модель объекта управления, пригодную для расчета настроек регуляторов давления, углового положения и скорости вращения ШЗ в САУ УРГ. Результаты численного решения системы (26)-(29) согласуются с результатами экспериментов на реальном УРГ, демонстрируя ошибку моделирования, не превышающую 5 % для всех технологически доступных управляющих воздействий.

Литература

1. Бобровский С.А. и др. Движение газа в газопроводах с путевым отбором. М., 1972.

2. КоловскийМ.З. Динамика машин. Л., 1989.

3. Яньшин Б. И. Гидромеханические характеристики затворов и элементов трубопроводов. М., 1965.

4. АльтшульА.Д. и др. Примеры расчетов по гидравлике. М., 1977.

5. Жилкин О.В. Учет сил трения в математической модели управляемого крана-регулятора // Автоматизацш техно-лопчних об'екпв та процеав: Пошук молодих: Зб1рник наукових праць IV Мйжнародно! науково-техшчно! кон-ференци астранпв та студентш в м. Донецьку 11-14 травня 2004 р. Донецьк, 2004. С. 118-124.

Ухтинский государственный технический университет

18 октября 2005 г

УДК 621.798.4-52:678.5-434

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОСТАТОЧНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ В ОБОЛОЧКАХ, ПОЛУЧАЕМЫХ МЕТОДОМ НАМОТКИ ИЗ КОМПОЗИТНЫХ МАТЕРИАЛОВ

© 2006 г. Г.В. Воронцов

Приведенные в статье общие выражения позволяют решать две основные задачи:

- о нахождении остаточных напряжений в готовом изделии по заданному закону силовой намотки и параметрам всего технологического процесса;

- о нахождении закона изменения натяжения в процессе намотки, обеспечивающего требуемое рас-

пределение оптимальных остаточных напряжений в готовом изделии.

Задачи решаются в предположении линейной деформируемости материала на всех этапах изготовления изделий. Точный учет ползучести будет представлен в следующей статье.

S

S

Постановка задачи и основные предположения

В процессе изготовления намоточных оболочек вращения возникают следующие группы остаточных напряжений:

- остаточные напряжения, обусловленные натяжением лент или жгутов при намотке и перераспределением внутренних усилий вследствие податливости оправки и предварительно уложенных слоев материала;

- остаточные напряжения, возникающие при разогревании полуфабриката с целью полимеризации связующего и вызванные: изменением механических характеристик материала изделия вследствие размягчения связующего и неравномерным температурным расширением оправки и материала полуфабриката;

- остаточные напряжения, образующиеся в процессе полимеризации связующего;

- термоупругие напряжения, возникающие при охлаждении изделия и отличающиеся как по величине, так и знаку от напряжений, вызванных разогреванием, что объясняется различием физико-механических характеристик пластика на стадии разогревания и после полимеризации;

- напряжения, возникающие при механической обработке и снятии изделия с оправки;

- наконец, напряжения, возникающие при отрезании концевых участков изделия («свидетелей»), причем происходит новое перераспределение остаточных напряжений, которое можно считать окончательным.

При нахождении напряженного состояния на всех этапах изготовления намоточных оболочек принимаем следующие гипотезы:

1. Допущения о сплошности, упругости и линейной деформируемости материала.

Толщину наматываемых слоев считаем пренебрежимо малой по сравнению с толщиной стенки изделия. Дискретную структуру материала заменяем сплошной анизотропной средой.

Зависимость между векторами напряжений о и деформаций £ полагаем линейной, причем

о = Ее, (1)

где Е - симметричная матрица упругих констант материала. После нахождения средних напряжений о в сплошной среде определяем напряжения в связующем и наполнителе.

2. Свойства материала и напряженно-деформированное состояние изделия считаем симметричным относительно оси вращения оболочки. Поэтому принимаем:

о = colon [a r Oq а s т rs ] ,

s = colon [е r ее е s Y rs ] ,

где индексы r, Q, s соответственно относятся к нормальному, широтному и меридиональному направлениям срединной поверхности оболочки.

Коэффициенты температурного расширения пластика объединяем в вектор

а=colon [аr ае аs аrs]

с различными по величине компонентами.

С учетом изменения температуры материала зависимость (1) преобразуем в

о = Е(е - аt) . (2)

3. Процесс изготовления представляем как последовательную смену конечного числа состояний материала и оболочки. Каждое состояние характеризуем температурой, физико-механическими константами и условиями опирания оболочки. При переходе от одного состояния к другому статически изменяются все или какой-либо один из указанных факторов.

Ползучесть материала учитываем эквивалентным изменением температурного поля или компонентов матриц Е, а в соответствии с уровнем остаточных напряжений предшествующего и длительностью последующего состояний. При этом может понадобиться введение ряда дополнительных фиктивных состояний оболочки.

Относительные удлинения в изделии в (/+1)-м состоянии вычисляем по формуле

8 i+1 = 8 i + Ф U i+1 (i = 1,2,...), (3)

где Ф - дифференциальный матричный оператор, осуществляющий преобразование вида £ = Ф U; U - дополнительные перемещения элементарных объемов оболочки, возникающие при смене состояний.

С учетом зависимости (2) соотношение (3) преобразуется в

о i+1 = Е i+1 (Е /г1о i - ti+1a i+1 + tia i + Ф U i+1) ,

i = 1,2,... . (4)

Здесь E i+1 и E i, ti+1 и ti, а i+1 и а i - упругие константы, температуры и коэффициенты расширения материала в различных состояниях.

4. Начальное напряженное состояние оболочки зависит от:

- способа намотки (продольно-поперечная, по геодезическим кривым) и закона изменения натяжения материала по длине оправки и от слоя к слою;

- жесткости и температуры оправки;

- физико-механических свойств и температуры укладываемого материала;

- скорости намотки.

При решении задачи:

1) предполагаем, что способ намотки обеспечивает соблюдение условий совместности деформаций по всему объему предварительно уложенного материала и по всей поверхности контакта с оправкой;

2) непрерывную намотку заменяем дискретным процессом - последовательностью намотки элементарных оболочек малой толщины.

Считаем, что намотка каждой элементарной оболочки производится на абсолютно жесткое основание (ранее уложенные слои) натянутыми лентами или жгутами, которые в момент укладки мгновенно затвердевают, сохраняя начальные напряжения о о и

деформации £ о, полностью соответствующие натяжению материала.

После окончания намотки очередной элементарной оболочки происходит «размягчение» материала полуфабриката и оправки, причем изменяется напряженное состояние как ранее уложенных, так и вновь намотанных слоев. Приращение напряжений определяем по формуле

До = ЕФД u,

(5)

где Д и - перемещения, возникающие при «размягчении» материала.

Перемещения и напряжения в элементарной оболочке находим с помощью уравнений:

БФД u = -Do 0, о = о 0 + ЕФД u,

(6)

D Оi+1 = 0,

(7)

где D - соответствующий матричный дифференциальный оператор. Подставляя выражение (4) в уравнение (7), имеем:

DEi+1m г+1 =-DE;-+i(E. 1о i +ti« i -^+1« i+i),

i = 1,..., n.

(8)

^Ег_1ФUi-1 = _DEi-1 (E_ 1оi +tiаi -^_1аi-1) , i = 1,n. (9)

Уравнения (9) применяем при решении задачи о нахождении закона намотки при заданном распределении остаточных напряжений в готовом изделии.

В качестве примера приведем основные уравнения для цилиндрического кольца:

о = colon [ar Oq], £=colon [еr ее], U=w; D =

Г d л , Ф = colon Г d \ 11

r— +1 -1 1

1 dr _ dr i r _

E = I

Er ^ r8 Er ^8rE8 E8

V = 1 re^8r.

(10)

Здесь аг и Од (8г и 8д) - радиальные и окружные напряжения (относительные деформации); и -радиальные перемещения; г - текущий радиус; Ег и

Ед - модули упругости; | гд и |дг - коэффициенты Пуассона ортотропного материала. Уравнение (8) преобразуется в

где О - дифференциальный матричный оператор уравнений равновесия.

Заметим, что напряжения о о не удовлетворяют дифференциальным уравнениям равновесия оболочки

(В * 0).

Решение задачи в перемещениях

Условия равновесия бесконечно малого элемента изделия в (1+1)-м состоянии записываем в виде

и U „2 u

u +--ß -Т

2 u

i+1

у1 (ß 2+1Vi,i+1 + re -ß 2 Vi+1,i)+

8i

ß 2+1 +Д^8г

Е ri

-r Дц r8 k

Е

8i

Уравнения (8) и (4) позволяют последовательно находить перемещения и |+1 и остаточные напряжения о ;-+1 на каждой стадии изготовления оболочки,

если известны параметры предыдущего состояния. Отметим, что вид уравнения (8) не зависит от того, остается оболочка насаженной на оправку или снята с оправки.

Поскольку состояния I, I + 1 в рассматриваемой модели процесса изготовления оболочки обратимы, из (8) следует:

+{Д(^r ) + Цr8,i+^(ta8 )--ß2+1 (Д(а8 ) + ^8r,i+1Д(ta8 ))} (11)

где введены обозначения

2Е

в = ЕГ' =1-1 r0í|0r,í+1,

Ег

Д| = |¿+1 I, Д(а0)= ¿¿+1«¿+1 - аI

Выражение (11) обобщает решение, полученное в статье В .Л. Бидермана [1].

Решение задачи в напряжениях

Предположим, что имеется решение вспомогательной задачи о нахождении перемещений! оболочки при заданном распределении напряжений о и температур /:

u = AIE ^+ta

(12)

где А - некоторый матричный оператор.

Поскольку дополнительные перемещения и+1 обусловлены изменением напряженного и температурного состояний оболочки от о I до ОI+1^1+1 (причем коэффициенты температурного расширения получают приращения а+1 — а), имеем

и/+1 = АI+1 (Е/+11° I+1 + *1+1а 1+1 )—

—Аi (Е—1о i + ца ,), (13)

где различия в матрицах А ;+1, Аобусловлены возможными изменениями упругих констант и условиями опирания оболочки.

Подставляя зависимость (13) в формулу (4), получаем:

(е—ФА i+1) (Е —+11о г+1 + +1а i+1) = = (е—фА г) (Е г"г + г)

(14)

-1

D|Ei+1(Ai+1Ei+lCi+1+(Ai+1- e)t/+lai+1

=DE;-+1(0A г- - едЕуС г- + tta t) .

(15)

u

u = TSq = r

а

Et

а,

—Mer--1 ta

E

A = [0| r] .

Подставляя выражения (10) и (15) в равенство (14), получаем:

а r i+1 ae,i+1

Er,i+1 Ee,/+1 a9,i+1

Ee,i+1

+ti+1(a r -аед+i-

-r—--rti+1ae,i+1:

аri aei-+ti(ar-ae) -r^ = rt'aei. (16)

Eri Eei

Eei

где е - единичная матрица.

Равенство (14) доказывает инвариантность выражения

(е-ФA) (E 1с + ta

Считая О г*, Од;- известными и присоединяя к соотношению (16) дифференциальное уравнение равновесия

О г,/'+1 + гО'г,/'+1— Ое,/'+1 = 0 получаем систему уравнений для нахождения напряжений о г ,г-+1 и ое,г-+1.

Заметим, что члены равенства (16) не зависят от коэффициентов Пуассона. Однако, поскольку эти коэффициенты входят в граничные условия, значения

| ге и |ег влияют на остаточные напряжения (/'+1)-го

состояния.

Если в уравнении (16) произвести замены

°ее =Оге + гОге (е = * + 1,*) получаем инвариант

I-

1 U . з ,

для любых состояний и правомочность «обращения» задачи (см. соотношения (8) и (9)).

Добавляя к выражению (14) дифференциальные условия равновесия Оо ;+1 = 0, получаем полную систему уравнений, достаточную для нахождения вектора о г-+1.

Общие уравнения для решения задачи в напряжениях могут быть также составлены в результате непосредственной подстановки формулы (13) в выражение:

Ee

iar + -ar +

(-ß2)) -

E

—e-t(ar -ae)+—^t'ai

Ee

r

(17)

Однако решение задачи с помощью уравнений (14) является более простым. Для цилиндрического кольца

Выражение (17) обобщает решение, приведенное в статье [2] Ю.М. Торнопольского и Г.Г. Портнова.

Нахождение остаточных напряжений на стадии намотки по методу начальных параметров

Непрерывную намотку изделия заменяем дискретным процессом последовательного насаживания предварительно напряженных элементарных оболочек - сначала на оправку, а затем на ранее уложенные слои. Такая модель процесса намотки позволяет свести нахождение остаточных напряжений в изделии к совокупности однотипных расчетов элементарных тонкостенных безмоментных оболочек.

Каждая оболочка рассматривается как элемент с конечным числом степеней кинематической (статической) неопределимости. Условия совместности деформаций и напряжений элементарных оболочек могут быть записаны в форме методов сил, перемещений или начальных параметров.

r

В качестве примера приведем алгоритм нахождения остаточных напряжений, возникающих при продольно-поперечной намотке цилиндрической оболочки. Считаем возможным ограничиться рассмотрением кольца, вырезанного из изделия двумя поперечными сечениями.

Передаточная матрица элементарного цилиндрического кольца оболочки

Рассматриваем элементарное кольцо с радиусами

rj, r

i 8

и

и

'(r) ß

2

"(r 2u (r )=-

N

r r откуда следует

u (r ) = C1r e+ C 2 r "P+ u (r )

rN

rEr 8

u

(r )=-

E

(1-ß2)

(19)

(20)

a r (r ) = Eru(r ) = = (3Er (r e-1 + C2r "p-1)+Eru (r) . (21)

Определяя постоянные Ci и C2 из условий

U (rj ) = Uj' 0 2 (rj )

О

rj>

с помощью выражений (20) и (21) находим

uj+1 =П j " uj- Ü j' + Ü j+1

r, j+1_ 0rj -0rj _ 0 r, j + 1_

(22)

'j+1 и шириной, равной единице. Полагаем, что

кольцо получено в результате поперечной намотки ленты на абсолютно твердую оправку с внешним радиусом гj. Считаем, что лента в момент укладки

мгновенно затвердевает, сохраняя натяжение N .

После окончания намотки до радиуса гj+1 происходит «размягчение» материала, причем:

а) точки внутренней поверхности кольца получают заданные перемещения и j ;

б) на внутренней поверхности кольца прикладываются радиальные напряжения О ^ ;

в) модули упругости Ег , Е0 постоянны по объему кольца, коэффициенты Пуассона равны нулю;

о! N

где передаточная матрица кольца ' ß ß Л

r

П j = 2

j 2

f

'j+1 + - rj

r ß r ß

rj rj+1

V J J

ßEr

,ß

'j +1 'j

•ß+1

•ß-1 rß rj+1

ßEr

'r ß"1 r ß+1 j +1 rj

rß rß+1 rj rj+1

\

j 1

j+1__

rß-1 rß+1 rj rj+1

' r ß -1 rf+

(23)

В уравнении (22)

и j =

rjN

E

0 rj =О r, j + 1:

(1-ß2) 8

N

(24)

(1-ß2)

г) начальные напряжения о о = colon изменяются до

о = о0 + ЕФ u(r) , (18)

где u (r) - перемещения слоя радиуса r; 8 - толщина ленты.

Поскольку напряжения (18) должны удовлетворять условию равновесия D0 0 = о , см. формулы (6), (10), получаем

см. выражения (20) и (21).

Формула (21) может быть использована также при вычислении передаточной матрицы оправки.

Определение закона изменения натяжения

при заданных давлении на оправку и ограничениях на остаточные напряжения

Передаточную матрицу оправки обозначаем П о. Давление на оправку О г считаем заданным и по

1

формуле

Ü1 u 0

= П 0

0 r1 _ 0

определяем и1 , ио на внешней и внутренней поверхностях оправки.

Предполагаем, что модуль упругости материала Ег в радиальном направлении зависит от величины

межвиткового давления р = Ог, причем известна зависимость Ег = Ег (р).

Насаживаем на оправку первое элементарное кольцо с механическими характеристиками Е0 и

ЕГ1 = Ег (01). В результате взаимодействия первого кольца с оправкой последняя получает перемеще-

ния и~[, и о ; между кольцом и оправкой возникают О г на оправку. Из полученных решений выбираем

напряжения О.

1

Зная параметры иу, Ог на «входе» кольца, находим перемещение и 2 и напряжение О ^ на «выходе»:

иу О,

u 2

= П1

а r _ Г2 _

1

N

f " r1" " r2 " л

П1 V . E1. + . E1.

un+1 0

Nn

(( ß 2 )rn

= П n

П

u

а,

Er

+

rn+1 E

(26)

натяжение Nn.

Определение остаточных напряжений при заданном законе изменения натяжения

В этом случае выполняем серию расчетов напряженного состояния оболочки при заданных натяжениях Ну,...,N п , но различных значениях давления

, 2ч ". ^ ■ ^ , (25)

§1 (1-Р12)

см. формулы (22), (24). В соотношении (25) N. -натяжение ленты при намотке первого слоя толщиной §1.

Если полученная величина О г или значения , . и. (г)

Од (г) =-Ед. не удовлетворяют расчетчика,

корректируем (или назначаем) натяжение N..

По найденному О гнаходим Ег и переходим

к расчету второго кольца и т.д. Для последнего кольца имеем:

то, которое удовлетворяет условию Ог п+. = 0 на

внешней поверхности оболочки.

Если из найденных решений ни одно не удовлетворяет требованию О г п+. = 0, составляем модель

функции О г п+1 = / (о ) и находим значение О

из условия / (о ) = 0 .

Если величина модуля Ег не зависит от межвит-

кового давления, решение упрощается:

а) производим расчет оболочки по методу начальных параметров при некотором произвольном О г1 и

определяем соответствующее значение О г п+.;

б) прикладываем на внешней поверхности оболочки напряжения, равные Ог п+., и выполняем расчет оболочки, не учитывая начальные напряжения;

в) суммируем напряженные состояния, полученные в результате обоих расчетов.

Выводы

Полученные в работе общие уравнения, основанные на упругой модели полуфабриката и готового изделия, позволяют разработать алгоритмы расчета остаточных напряжений или закона силовой намотки для произвольных оболочек вращения с любой анизотропией физико-механических свойств материала.

Поскольку на свободной поверхности оболочки ОгП+1 = 0, из уравнения (26) находим требуемое

Литература

1. Бидерман В.Л., Дмитриенко И.П. и др. Определение

остаточных напряжений при изготовлении колец из стеклопластика // Механика полимеров. 1969. № 5. С. 892-898.

2. Тарнопольский Ю.М., Портнов Г.Г. Программная намотка стеклопластиков // Механика полимеров. 1970. № 1. С. 48-53.

Южно-Российский государственный технический университет (Новочеркасский политехнический институт)

14 февраля 2006 г.