Выражая из уравнений (21) и (22) линейную скорость и плотность соответственно, а в уравнении (23) коэффициент гидравлического сопротивления ^(ф шз) через коэффициент расхода [3]
М Q (<Р шз ) =
1
V1 +£(фшз )
получаем следующую систему уравнений:
PL 2dPL 2 =
XZRTM 2
dx;
2DS 2
Q = Mq (фшз )S^2gH;
J шз ф шз = M упр + М в^тр + М ^ + M гд ;
(24)
PL 3 dPL3 =
XZRTM ' 2 DS 2
■dx,
(25)
где Q - объемный расход через КР с ШЗ. Учитывая, что, согласно [4]
Н = +Q
2
2
Q=
(p 2 - p 32 )
D
X Z R T L 2
Q = Mq (фшз )S. 2g
(pз-P4+_Ql^
Pg
2gS
(26)
(27)
Jшз ф шз = Mупр + Мв.тр + М с.тр + Mгд ;
Q=
'V
(p42 - p5 ) D
X Z R T L 3
(28)
(29)
РЯ 2gS/
и интегрируя (24) ( РЬ2 е [р2, р3] , хе [0, 12]) и (25) ( РЬ3 е[р4, р5 ] , хе [0, Ь3]), после элементарных преобразований получаем систему:
Конкретные выражения для моментов, входящих в (28), приведены в [3] и [5].
Полученная система нелинейных уравнений не имеет в общем случае аналитического решения. Тем не менее она эффективно решается численно (после приведения к относительным координатам) и может быть линеаризована, давая при этом линейную динамическую модель объекта управления, пригодную для расчета настроек регуляторов давления, углового положения и скорости вращения ШЗ в САУ УРГ. Результаты численного решения системы (26)-(29) согласуются с результатами экспериментов на реальном УРГ, демонстрируя ошибку моделирования, не превышающую 5 % для всех технологически доступных управляющих воздействий.
Литература
1. Бобровский С.А. и др. Движение газа в газопроводах с путевым отбором. М., 1972.
2. КоловскийМ.З. Динамика машин. Л., 1989.
3. Яньшин Б. И. Гидромеханические характеристики затворов и элементов трубопроводов. М., 1965.
4. АльтшульА.Д. и др. Примеры расчетов по гидравлике. М., 1977.
5. Жилкин О.В. Учет сил трения в математической модели управляемого крана-регулятора // Автоматизацш техно-лопчних об'екпв та процеав: Пошук молодих: Зб1рник наукових праць IV Мйжнародно! науково-техшчно! кон-ференци астранпв та студентш в м. Донецьку 11-14 травня 2004 р. Донецьк, 2004. С. 118-124.
Ухтинский государственный технический университет
18 октября 2005 г
УДК 621.798.4-52:678.5-434
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОСТАТОЧНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ В ОБОЛОЧКАХ, ПОЛУЧАЕМЫХ МЕТОДОМ НАМОТКИ ИЗ КОМПОЗИТНЫХ МАТЕРИАЛОВ
© 2006 г. Г.В. Воронцов
Приведенные в статье общие выражения позволяют решать две основные задачи:
- о нахождении остаточных напряжений в готовом изделии по заданному закону силовой намотки и параметрам всего технологического процесса;
- о нахождении закона изменения натяжения в процессе намотки, обеспечивающего требуемое рас-
пределение оптимальных остаточных напряжений в готовом изделии.
Задачи решаются в предположении линейной деформируемости материала на всех этапах изготовления изделий. Точный учет ползучести будет представлен в следующей статье.
S
S
Постановка задачи и основные предположения
В процессе изготовления намоточных оболочек вращения возникают следующие группы остаточных напряжений:
- остаточные напряжения, обусловленные натяжением лент или жгутов при намотке и перераспределением внутренних усилий вследствие податливости оправки и предварительно уложенных слоев материала;
- остаточные напряжения, возникающие при разогревании полуфабриката с целью полимеризации связующего и вызванные: изменением механических характеристик материала изделия вследствие размягчения связующего и неравномерным температурным расширением оправки и материала полуфабриката;
- остаточные напряжения, образующиеся в процессе полимеризации связующего;
- термоупругие напряжения, возникающие при охлаждении изделия и отличающиеся как по величине, так и знаку от напряжений, вызванных разогреванием, что объясняется различием физико-механических характеристик пластика на стадии разогревания и после полимеризации;
- напряжения, возникающие при механической обработке и снятии изделия с оправки;
- наконец, напряжения, возникающие при отрезании концевых участков изделия («свидетелей»), причем происходит новое перераспределение остаточных напряжений, которое можно считать окончательным.
При нахождении напряженного состояния на всех этапах изготовления намоточных оболочек принимаем следующие гипотезы:
1. Допущения о сплошности, упругости и линейной деформируемости материала.
Толщину наматываемых слоев считаем пренебрежимо малой по сравнению с толщиной стенки изделия. Дискретную структуру материала заменяем сплошной анизотропной средой.
Зависимость между векторами напряжений о и деформаций £ полагаем линейной, причем
о = Ее, (1)
где Е - симметричная матрица упругих констант материала. После нахождения средних напряжений о в сплошной среде определяем напряжения в связующем и наполнителе.
2. Свойства материала и напряженно-деформированное состояние изделия считаем симметричным относительно оси вращения оболочки. Поэтому принимаем:
о = colon [a r Oq а s т rs ] ,
s = colon [е r ее е s Y rs ] ,
где индексы r, Q, s соответственно относятся к нормальному, широтному и меридиональному направлениям срединной поверхности оболочки.
Коэффициенты температурного расширения пластика объединяем в вектор
а=colon [аr ае аs аrs]
с различными по величине компонентами.
С учетом изменения температуры материала зависимость (1) преобразуем в
о = Е(е - аt) . (2)
3. Процесс изготовления представляем как последовательную смену конечного числа состояний материала и оболочки. Каждое состояние характеризуем температурой, физико-механическими константами и условиями опирания оболочки. При переходе от одного состояния к другому статически изменяются все или какой-либо один из указанных факторов.
Ползучесть материала учитываем эквивалентным изменением температурного поля или компонентов матриц Е, а в соответствии с уровнем остаточных напряжений предшествующего и длительностью последующего состояний. При этом может понадобиться введение ряда дополнительных фиктивных состояний оболочки.
Относительные удлинения в изделии в (/+1)-м состоянии вычисляем по формуле
8 i+1 = 8 i + Ф U i+1 (i = 1,2,...), (3)
где Ф - дифференциальный матричный оператор, осуществляющий преобразование вида £ = Ф U; U - дополнительные перемещения элементарных объемов оболочки, возникающие при смене состояний.
С учетом зависимости (2) соотношение (3) преобразуется в
о i+1 = Е i+1 (Е /г1о i - ti+1a i+1 + tia i + Ф U i+1) ,
i = 1,2,... . (4)
Здесь E i+1 и E i, ti+1 и ti, а i+1 и а i - упругие константы, температуры и коэффициенты расширения материала в различных состояниях.
4. Начальное напряженное состояние оболочки зависит от:
- способа намотки (продольно-поперечная, по геодезическим кривым) и закона изменения натяжения материала по длине оправки и от слоя к слою;
- жесткости и температуры оправки;
- физико-механических свойств и температуры укладываемого материала;
- скорости намотки.
При решении задачи:
1) предполагаем, что способ намотки обеспечивает соблюдение условий совместности деформаций по всему объему предварительно уложенного материала и по всей поверхности контакта с оправкой;
2) непрерывную намотку заменяем дискретным процессом - последовательностью намотки элементарных оболочек малой толщины.
Считаем, что намотка каждой элементарной оболочки производится на абсолютно жесткое основание (ранее уложенные слои) натянутыми лентами или жгутами, которые в момент укладки мгновенно затвердевают, сохраняя начальные напряжения о о и
деформации £ о, полностью соответствующие натяжению материала.
После окончания намотки очередной элементарной оболочки происходит «размягчение» материала полуфабриката и оправки, причем изменяется напряженное состояние как ранее уложенных, так и вновь намотанных слоев. Приращение напряжений определяем по формуле
До = ЕФД u,
(5)
где Д и - перемещения, возникающие при «размягчении» материала.
Перемещения и напряжения в элементарной оболочке находим с помощью уравнений:
БФД u = -Do 0, о = о 0 + ЕФД u,
(6)
D Оi+1 = 0,
(7)
где D - соответствующий матричный дифференциальный оператор. Подставляя выражение (4) в уравнение (7), имеем:
DEi+1m г+1 =-DE;-+i(E. 1о i +ti« i -^+1« i+i),
i = 1,..., n.
(8)
^Ег_1ФUi-1 = _DEi-1 (E_ 1оi +tiаi -^_1аi-1) , i = 1,n. (9)
Уравнения (9) применяем при решении задачи о нахождении закона намотки при заданном распределении остаточных напряжений в готовом изделии.
В качестве примера приведем основные уравнения для цилиндрического кольца:
о = colon [ar Oq], £=colon [еr ее], U=w; D =
Г d л , Ф = colon Г d \ 11
r— +1 -1 1
1 dr _ dr i r _
E = I
Er ^ r8 Er ^8rE8 E8
V = 1 re^8r.
(10)
Здесь аг и Од (8г и 8д) - радиальные и окружные напряжения (относительные деформации); и -радиальные перемещения; г - текущий радиус; Ег и
Ед - модули упругости; | гд и |дг - коэффициенты Пуассона ортотропного материала. Уравнение (8) преобразуется в
где О - дифференциальный матричный оператор уравнений равновесия.
Заметим, что напряжения о о не удовлетворяют дифференциальным уравнениям равновесия оболочки
(В * 0).
Решение задачи в перемещениях
Условия равновесия бесконечно малого элемента изделия в (1+1)-м состоянии записываем в виде
и U „2 u
u +--ß -Т
2 u
i+1
у1 (ß 2+1Vi,i+1 + re -ß 2 Vi+1,i)+
8i
ß 2+1 +Д^8г
Е ri
-r Дц r8 k
Е
8i
Уравнения (8) и (4) позволяют последовательно находить перемещения и |+1 и остаточные напряжения о ;-+1 на каждой стадии изготовления оболочки,
если известны параметры предыдущего состояния. Отметим, что вид уравнения (8) не зависит от того, остается оболочка насаженной на оправку или снята с оправки.
Поскольку состояния I, I + 1 в рассматриваемой модели процесса изготовления оболочки обратимы, из (8) следует:
+{Д(^r ) + Цr8,i+^(ta8 )--ß2+1 (Д(а8 ) + ^8r,i+1Д(ta8 ))} (11)
где введены обозначения
2Е
в = ЕГ' =1-1 r0í|0r,í+1,
Ег
Д| = |¿+1 I, Д(а0)= ¿¿+1«¿+1 - аI
Выражение (11) обобщает решение, полученное в статье В .Л. Бидермана [1].
Решение задачи в напряжениях
Предположим, что имеется решение вспомогательной задачи о нахождении перемещений! оболочки при заданном распределении напряжений о и температур /:
u = AIE ^+ta
(12)
где А - некоторый матричный оператор.
Поскольку дополнительные перемещения и+1 обусловлены изменением напряженного и температурного состояний оболочки от о I до ОI+1^1+1 (причем коэффициенты температурного расширения получают приращения а+1 — а), имеем
и/+1 = АI+1 (Е/+11° I+1 + *1+1а 1+1 )—
—Аi (Е—1о i + ца ,), (13)
где различия в матрицах А ;+1, Аобусловлены возможными изменениями упругих констант и условиями опирания оболочки.
Подставляя зависимость (13) в формулу (4), получаем:
(е—ФА i+1) (Е —+11о г+1 + +1а i+1) = = (е—фА г) (Е г"г + г)
(14)
-1
D|Ei+1(Ai+1Ei+lCi+1+(Ai+1- e)t/+lai+1
=DE;-+1(0A г- - едЕуС г- + tta t) .
(15)
u
u = TSq = r
а
Et
а,
—Mer--1 ta
E
A = [0| r] .
Подставляя выражения (10) и (15) в равенство (14), получаем:
а r i+1 ae,i+1
Er,i+1 Ee,/+1 a9,i+1
Ee,i+1
+ti+1(a r -аед+i-
-r—--rti+1ae,i+1:
аri aei-+ti(ar-ae) -r^ = rt'aei. (16)
Eri Eei
Eei
где е - единичная матрица.
Равенство (14) доказывает инвариантность выражения
(е-ФA) (E 1с + ta
Считая О г*, Од;- известными и присоединяя к соотношению (16) дифференциальное уравнение равновесия
О г,/'+1 + гО'г,/'+1— Ое,/'+1 = 0 получаем систему уравнений для нахождения напряжений о г ,г-+1 и ое,г-+1.
Заметим, что члены равенства (16) не зависят от коэффициентов Пуассона. Однако, поскольку эти коэффициенты входят в граничные условия, значения
| ге и |ег влияют на остаточные напряжения (/'+1)-го
состояния.
Если в уравнении (16) произвести замены
°ее =Оге + гОге (е = * + 1,*) получаем инвариант
I-
1 U . з ,
для любых состояний и правомочность «обращения» задачи (см. соотношения (8) и (9)).
Добавляя к выражению (14) дифференциальные условия равновесия Оо ;+1 = 0, получаем полную систему уравнений, достаточную для нахождения вектора о г-+1.
Общие уравнения для решения задачи в напряжениях могут быть также составлены в результате непосредственной подстановки формулы (13) в выражение:
Ee
iar + -ar +
(-ß2)) -
E
—e-t(ar -ae)+—^t'ai
Ee
r
(17)
Однако решение задачи с помощью уравнений (14) является более простым. Для цилиндрического кольца
Выражение (17) обобщает решение, приведенное в статье [2] Ю.М. Торнопольского и Г.Г. Портнова.
Нахождение остаточных напряжений на стадии намотки по методу начальных параметров
Непрерывную намотку изделия заменяем дискретным процессом последовательного насаживания предварительно напряженных элементарных оболочек - сначала на оправку, а затем на ранее уложенные слои. Такая модель процесса намотки позволяет свести нахождение остаточных напряжений в изделии к совокупности однотипных расчетов элементарных тонкостенных безмоментных оболочек.
Каждая оболочка рассматривается как элемент с конечным числом степеней кинематической (статической) неопределимости. Условия совместности деформаций и напряжений элементарных оболочек могут быть записаны в форме методов сил, перемещений или начальных параметров.
r
В качестве примера приведем алгоритм нахождения остаточных напряжений, возникающих при продольно-поперечной намотке цилиндрической оболочки. Считаем возможным ограничиться рассмотрением кольца, вырезанного из изделия двумя поперечными сечениями.
Передаточная матрица элементарного цилиндрического кольца оболочки
Рассматриваем элементарное кольцо с радиусами
rj, r
i 8
и
и
'(r) ß
2
"(r 2u (r )=-
N
r r откуда следует
u (r ) = C1r e+ C 2 r "P+ u (r )
rN
rEr 8
u
(r )=-
E
(1-ß2)
(19)
(20)
a r (r ) = Eru(r ) = = (3Er (r e-1 + C2r "p-1)+Eru (r) . (21)
Определяя постоянные Ci и C2 из условий
U (rj ) = Uj' 0 2 (rj )
О
rj>
с помощью выражений (20) и (21) находим
uj+1 =П j " uj- Ü j' + Ü j+1
r, j+1_ 0rj -0rj _ 0 r, j + 1_
(22)
'j+1 и шириной, равной единице. Полагаем, что
кольцо получено в результате поперечной намотки ленты на абсолютно твердую оправку с внешним радиусом гj. Считаем, что лента в момент укладки
мгновенно затвердевает, сохраняя натяжение N .
После окончания намотки до радиуса гj+1 происходит «размягчение» материала, причем:
а) точки внутренней поверхности кольца получают заданные перемещения и j ;
б) на внутренней поверхности кольца прикладываются радиальные напряжения О ^ ;
в) модули упругости Ег , Е0 постоянны по объему кольца, коэффициенты Пуассона равны нулю;
о! N
где передаточная матрица кольца ' ß ß Л
r
П j = 2
j 2
f
'j+1 + - rj
r ß r ß
rj rj+1
V J J
ßEr
,ß
'j +1 'j
•ß+1
•ß-1 rß rj+1
ßEr
'r ß"1 r ß+1 j +1 rj
rß rß+1 rj rj+1
\
j 1
j+1__
rß-1 rß+1 rj rj+1
' r ß -1 rf+
(23)
В уравнении (22)
и j =
rjN
E
0 rj =О r, j + 1:
(1-ß2) 8
N
(24)
(1-ß2)
г) начальные напряжения о о = colon изменяются до
о = о0 + ЕФ u(r) , (18)
где u (r) - перемещения слоя радиуса r; 8 - толщина ленты.
Поскольку напряжения (18) должны удовлетворять условию равновесия D0 0 = о , см. формулы (6), (10), получаем
см. выражения (20) и (21).
Формула (21) может быть использована также при вычислении передаточной матрицы оправки.
Определение закона изменения натяжения
при заданных давлении на оправку и ограничениях на остаточные напряжения
Передаточную матрицу оправки обозначаем П о. Давление на оправку О г считаем заданным и по
1
формуле
Ü1 u 0
= П 0
0 r1 _ 0
определяем и1 , ио на внешней и внутренней поверхностях оправки.
Предполагаем, что модуль упругости материала Ег в радиальном направлении зависит от величины
межвиткового давления р = Ог, причем известна зависимость Ег = Ег (р).
Насаживаем на оправку первое элементарное кольцо с механическими характеристиками Е0 и
ЕГ1 = Ег (01). В результате взаимодействия первого кольца с оправкой последняя получает перемеще-
ния и~[, и о ; между кольцом и оправкой возникают О г на оправку. Из полученных решений выбираем
напряжения О.
1
Зная параметры иу, Ог на «входе» кольца, находим перемещение и 2 и напряжение О ^ на «выходе»:
иу О,
u 2
= П1
а r _ Г2 _
1
N
f " r1" " r2 " л
П1 V . E1. + . E1.
un+1 0
Nn
(( ß 2 )rn
= П n
П
u
а,
Er
+
rn+1 E
(26)
натяжение Nn.
Определение остаточных напряжений при заданном законе изменения натяжения
В этом случае выполняем серию расчетов напряженного состояния оболочки при заданных натяжениях Ну,...,N п , но различных значениях давления
, 2ч ". ^ ■ ^ , (25)
§1 (1-Р12)
см. формулы (22), (24). В соотношении (25) N. -натяжение ленты при намотке первого слоя толщиной §1.
Если полученная величина О г или значения , . и. (г)
Од (г) =-Ед. не удовлетворяют расчетчика,
корректируем (или назначаем) натяжение N..
По найденному О гнаходим Ег и переходим
к расчету второго кольца и т.д. Для последнего кольца имеем:
то, которое удовлетворяет условию Ог п+. = 0 на
внешней поверхности оболочки.
Если из найденных решений ни одно не удовлетворяет требованию О г п+. = 0, составляем модель
функции О г п+1 = / (о ) и находим значение О
из условия / (о ) = 0 .
Если величина модуля Ег не зависит от межвит-
кового давления, решение упрощается:
а) производим расчет оболочки по методу начальных параметров при некотором произвольном О г1 и
определяем соответствующее значение О г п+.;
б) прикладываем на внешней поверхности оболочки напряжения, равные Ог п+., и выполняем расчет оболочки, не учитывая начальные напряжения;
в) суммируем напряженные состояния, полученные в результате обоих расчетов.
Выводы
Полученные в работе общие уравнения, основанные на упругой модели полуфабриката и готового изделия, позволяют разработать алгоритмы расчета остаточных напряжений или закона силовой намотки для произвольных оболочек вращения с любой анизотропией физико-механических свойств материала.
Поскольку на свободной поверхности оболочки ОгП+1 = 0, из уравнения (26) находим требуемое
Литература
1. Бидерман В.Л., Дмитриенко И.П. и др. Определение
остаточных напряжений при изготовлении колец из стеклопластика // Механика полимеров. 1969. № 5. С. 892-898.
2. Тарнопольский Ю.М., Портнов Г.Г. Программная намотка стеклопластиков // Механика полимеров. 1970. № 1. С. 48-53.
Южно-Российский государственный технический университет (Новочеркасский политехнический институт)
14 февраля 2006 г.