CC BY
33
ВЕСТНИК ТГГПУ. 2010. №3(21)
УДК 514, 530.12, 531.51
СИЛА САМОДЕЙСТВИЯ НА СКАЛЯРНЫЙ ЗАРЯД В КРОТОВОЙ НОРЕ С ДЛИННОЙ ГОРЛОВИНОЙ
© А.А.Попов
В работе представлен аналитический метод вычисления силы самодействия на статический скалярный заряд в длинной горловине кротовой норы. Рассматриваемый метод основан на приближенном ВКБ решении уравнения для радиальных мод скалярного поля. Предполагается, что скалярное поле является безмассовым и имеет нулевую константу связи со скалярной кривизной пространства-времени.
Ключевые слова: сила самодействия, кротовая нора, ВКБ-приближение.
1. Введение
Изучение эффекта самодействия заряженной частицы на себя имеет длинную историю. Первые исследования в этой области были сфокусированы на самоускорении электрически заряженных точечных частиц в плоском пространстве-времени [1]. В дальнейшем ДеВитт, Брем и Хоббс [2; 3] изучали влияние силы самодействия на заряд в искривленном пространстве-времени. В отличие от случая плоского пространства-времени, эта сила может быть не нулевой даже для статического заряда на фоне искривленном фоне. К настоящему времени проанализировано большое число статических конфигураций, включая самодействие в пространстве-времени шварцильдовой черной дыры [4-15], керровской черной дыры [16; 17], черной дыры Керра-Ньюмена [6]. Аналитическое приближение силы самодействия на статический скалярный заряд было получено в аксиально симметричном пространстве-времени [18]. Было также показано, что сила самодействия может быть не нулевой для статического заряда в плоских пространствах-временах топологических дефектов [19-25]. В искривленных пространствах-временах с нетривиальной топологической структурой исследования эффекта самодействия имеют дополнительные интересные черты [26-32].
Эффект самодействия связан с нелокальной структурой поля, источником которого является заряд. При этом сила самодействия на скалярный заряд может быть представлена в виде [31]
Л = Ч1 3( - а2им ) + )(( + Я„уигим ) -
-12Ким +1ітх'}ат'
(1)
где Я, - тензор Риччи, Я - скалярная кривизна, и, - скорость заряда, а, - ускорение,
да, /
собственному времени т заряда, Оге( (х, х') -запаздывающая функция Грина скалярного поля. В этой работе создаваемое зарядом поле удается разделить на нелокальную (нулевая мода) и локальную части. Для локальной части удается построить приближенное, а для нелокальной - точное выражения. Исходные выражения можно получить, варьируя действие для безмассового скалярного поля со скалярным источником ]
8 = - 8П$ф,г^ё 4 хё 4 х (2)
по полю ф
□хф( х; х ) = -4п/( х; х), (3)
где
](х; х) = д13(4> (,хц (*))—=, (4)
- скалярный заряд, а его мировая линия описывается уравнениями Xм = Xм (т). В ультрастатических пространствах-временах, метрика которых может быть представлена в виде
ds2 = - Ж2 + gapdxadxp, (5)
где а = 1,2,3, уравнения поля (3) для статического заряда могут быть переписаны в виде
А хФ( Xа; Xа) = - £(3)( Xа, Xа),
(6)
ам =
дт
производная ускорения по
что, с точностью до постоянного множителя, совпадает с уравнением на функцию Грина искривленного трехмерного пространства с евклидовой сигнатурой. Это означает, что перенормировка скалярного потенциала ф(х; х) (который расходится в пределе х ^ х), может быть достигнута вычитанием известных контрчленов ДеВитта-Швингера фВ8 (х; х) и
стремлением, в дальнейшем, х ^ х:
ф геп (х) = Нш Гф(х; х) -фт (х; х)]. (7)
х
Выражение для физ (х; х) вычислено в [32] и в трехмерном пространстве имеет вид
Д1/2
ф из(х; х) = д^=, (8)
V 2а
где а - половина квадрата расстояния между точками х и х вдоль кратчайшей геодезической соединяющей их, а Д - детерминант ДеВитта-Моретта. Окончательное выражение для силы самодействия, действующей на статический заряд есть
L(x) = -2¥«ф -(x).
(9)
В статье используется система единиц, в которой c = G = 1.
2. ВКБ вклад в ф(xa; ха) в длинной горловине кротовой норы
Рассмотрим ультрастатическое сферически симметричное пространство-время с метрикой
ds2 = —dt2 + dp2 + r(p)2 (dd2 + sm20dф2). (10)
Решение уравнения (6) может быть разложено по полиномам Лежандра р
да
ф( ха; Ха) = q £ (2l + 1) (cos у) g , (p, p), (11)
1=0
где cosy = cos 0 cos 0 + sin 0 sin 0 cos(^-tp) и gl (p, p) удовлетворяет уравнению
g ■■+ ^Lg, — g,=JAM) (12)
r r r
В этом выражении и ниже штрих означает производную по p. Обозначим независимые решения соответствующего однородного уравнения pj (p) и qr (p). Решение pt (p) выберем так, чтобы оно расходилось при p ^ +00 и имело хорошее поведение при
p ^ —да . Решение qt (p) выберем так, чтобы оно расходилось при p ^ —да и имело хорошее поведение при p ^ +оо . Таким образом
[ d (r2)' d l(l +1)I [Pi(p)]
= 0,
(1З)
р -8 до р + 8 и взятием предела 8 ^ 0 . Такие вычисления дают следующие условия на вронскиан
1
(
C
\
uq, l
d p d p
После замены переменных
Pi =-r==exP(f Wdp),
(15)
qi
V27W
1
г exp
(-J wdp)
(1б)
42у 2Ж
и подстановки этих выражений в (15) легко видеть, что условие на вронскиан удовлетворяется при
С =1. (17)
Подстановка выражений (16) в уравнения (13) дает следующее уравнение для Ж (р)
1(1 +1) (ж2 ) "
W 2=.
5 (W2 )2 (r2)" (r2)'2
(is)
16Ж4 2т2 4т4
Для мод с / > 1 может быть получено приближенное ВКБ решение этого уравнения в области, где метрическая функция т 2(р) меняется медленно, то есть
£ жкв = т(р)/Ь ^ 1, (19)
где Ь есть характерный масштаб изменения
т(р)
1
L(p)
■ = max<
(r 2)' (r 2)'' 1/2 (r 2r 1/З
r2 ? r2 ? r2 ? •
порядок ВКБ решения
(20)
[ ёр2 т2 ёр т2 ] 1д, (р) I
Я, (Р,р ) = с,Р, (р<)д, (р>) = = с 1 [©(Р - р)р 1 (р)д,(р) - ©(р - р)р 1 (р)д 1 (р)], (14)
где ©( х) есть функция Хевисайда, т.е. ©( х) = 1 для х >0 и ©( х) = 0 для х <0, С1 есть константа нормировки, которая может быть включена в определения р, и д,. Нормировка
Я/ достигается интегрированием (12) по р от
(18) соответствует пренебрежению членами с производными в этом уравнении
((р,/-^^^(1 + £кв ). (21)
Подстановка этого выражения в (16) и пренебрежение членами второго порядка и выше по £ №КВ дает следующее выражение для
приближения я, (р,р) нулевого ВКБ порядка при /> 1 и р = р + 8р> р
' р+8р \
exp
J W(p',l)dp'
(22)
2r(p)r(p)yjW(p,l)W(p,l) ’ l > 1, p = p + Sp> p.
Теперь мы можем вычислить сумму по l в (11) в предположении, что 0 = 0,ф = ф и p = p + 8p> p
ф wkb (p,e,p;p,в,р) = «Х(2і+1)gl(p, p)
q
-X
З
m + 2 | exp
і p+S
J W(p',m + 1)dp'
V___p
(23)
'■ ( ) (P) lim
r(p)r(p) w—0
exp(-J P V(p',x + 1/2)dp') y]W ( p, x + 1/2)W (p, x +1/2)
(x + 1)dx
i exp(-ІР *W(p',z + 1/2)dp')
+ J ; ,-------r( z + 1)dz
w-WW(p,z + 1/2)W(p, z +1/2) (i + є-2nz )
(pp+Sp \
-I W (p', z + 1/2)dp')
- J /„„ Л............- z +1)dz
(24)
■sjW (p, z + 1/2)W (p, z +1/2) (i + e- 2n)
где
W (p, x +1/2) = ,
I x + 2 x + 3/4
r (p)
((Є2WKB ). (25)
exp| - T
iHi,
yjx1 + 2 x + 3/4
p+sp dpr
r (pP
=Vr(p)r(p) - ,+„
f dp/rp •V
и разложен по степеням Sp
да exp (—fP PW(p', x + 1/2)dp')
lim f , V p ; (x + 1)dx =
^o{ JW(p, x +1/2)W(p, x +1/2)
r (p)2
SP
1
dr (p) V3 d p 2
SP
r (p)
О (sSp2)
(27)
w (z + 1)exp(—Pw(p',z + 1/2)dp') W—0 l W-I^W (p, z +1/2)W(p, z +1/2) (i + ea’z)
(z + 1)exp(—JP *W(p',z)dp ')
lim і J
W—0 I J
—W+i
dz
y/W (p, z + 1/2)W (p, z +1/2) (i + e- 2nz)
, , ("Г (z + 1)dz
r(p)lim і J і 2 ,- -
W—0[ W Vz2 + 2z + 3/4 (i + є- 2nz)
dz У =
(2s)
г (z + 1)dz
w+i&^Jz1 + 2z + 3/4 (i + e i 2nz'J
-О (P
т(Р)т(р) т=0 (р, ОТ + 1)Ж (/7, ОТ +1)
Эта сумма может быть вычислена с использованием метода суммирования Абеля-Плана (см., например, (33))
ф жкв (р,в,ф;рв,ф) =
г (х +1)4- х + 3/4 +12 х + (х -/)4 - х + 3/4 - !.2х = т(Р) I --------1 - I ==\—ё +
0 (1 + е2жхл/ - х2 + 3/4 + г 2 х V- х2 + 3/4 -12 х)
+0 (8р).
Интеграл в этом выражении может быть вычислен численно
А = | (х + г)4-х + 3/4 + г2х + (х - г)4~хг + 3/4 - г2х ^ г,и
о (1 + вг"л1-хг + 3/4 + г2х4-х2 + 3/4 - г2х) (29)
- -0.01112___
Таки образом, нулевой порядок ВКБ
приближения для ф жкв при / > 1 и
р = р + 8р> р есть
ф wkb (p, в, p;p, в, Р) = q! (2l + t) gl (P, p) =
л/3
A- — 2
О (Sp).
(30)
Первый интеграл в этом выражении может быть переписан следующим образом
(e>p+Sp ш \
— I W (p, x + 1/2)d p)
lim I 1---p ■ (x + 1)dx
«0J (p, x + 1/2)W(p, x +1/2)
(x + 1)exp(—Jx2 + 2x + 3/4 fp +s dp
= 4 r (p)r (p) I--- ^ r(p)
8р т(р)
3. Нулевая мода и перенормировка
Решение уравнения (13) для / = 0 имеет вид
р ёр
Pi =0(P)= Di J
0
p
qt=0(p) = D3 J
о r (P) p- dp
2 ■ D2,
(31)
2 + D4,
0 r (p)
где D1,D2,D3,D4 - константы интегрирования. Если мы обозначим p- d p
J-
0 r (p) то условия
Pi=0(—да) = 0, qt=0(да) = 0
дают
D2 = BDt , D4 —BD3.
(32)
(33)
(34)
А условие на вронскиан (15) приводит к 1
(35)
C0 =
dd4 - d2 D3
Следующие два интеграла в (24) не расходятся при Sp ^ 0
Тогда
gl=0(P) = C0 lim P,=0(P)ql=0(P + SP) =
Sp—>+0
1
2B
в 2—[j
dp 0r (p)2
2
(3б)
Контрчлены ДеВитта-Швингера ф (х; х) в
пределе в = 9,ф = ф могут быть легко
вычислены для метрики (10)
2а = 8р2, Д = 1 + О (8р2), (37)
l=1
l =1
1/2
ф ds (р,0,р;р,0,р) = ч-^= =
( 1 ^
= q —+0 ( sp) •
\5р )
Таким образом, ф ren (х) есть
ф Геп(х) = qgi=op +
+ lim ГФшке (Р, 0 Р Р, 0, р) -
Sp^-0L
ф ds (р,0,р; р ,0,р) ]
q і B - 2d!
(3S)
l
r (p)
A -
>(l + O(£2WKB )).
dr f A- 1 1 p d p
d p V 2 + B ,o rp)2 _
r (P)2 = ro2 +-
1 +
Po4
ro2p2
(41)
г0, р0 являются постоянными величинами (г0 имеет смысл радиуса горловины кротовой норы, а р0 - параметр, характеризующий длину
горловины) и предположим
r2
< 1.
po
(42)
Отметим, что
(
r (p)2 = ro2
1 + P + O
Po
f r2 ^ ^ P6
Vpo JJ
для
P2 << Po2
o
(43)
r2
V 'o
r (p)2= P2 + ro
-^+1 r
V 'o J
> f p/r 6 >
Ho"o
O
p
для p2 > po2
Ho
r 2
V 'o J
(44)
Для этой метрики условие справедливости ВКБ приближения (19) имеет вид
Р ^Роу Для этой области
L(p) ~
1/4
(r 2)'
- Po
r(p)2 - ro2.
Для рассматриваемой метрики
n( ro2 +Po2 )
B =
2ro2V
(45)
(46)
(47) (4S)
и
fo(P) = -
А единственная ненулевая компонента вектора силы самодействия есть
г (х) = _ Я дФ геп _ Я2 х
■/р( ) 2 др 2г(р)2
(39)
(1 + ( ( шкв ))•
3. Пример
Рассмотрим пример пространства-времени кротовой норы с длинной горловиной
й,?2 _ _й2 + йр2 + г(р)2 (йв2 + 5т29ёд>2), (40)
где
p
arctan
P + Po /ro 2p-\J2po2 - ro2 A
'2 + To2
+arctan
V V" ^o 1 'o
f 2p + V2po2 - ro2 Л
V2Po2 + ro2
q V2Po2 + ro2(Po2 - ro2)
W2Po2 - ro2 (Po2 + ro2) | ro2 + P +P 4/ 2 1 P +Po /ro
(49)
dn
fp2 +Po2 +p2po2 - ro2
P2 +Po2 -p2Po2 - ro2
/
?2 A -f |p ( + 2Po4/ro2)
2|ro2 + 2 +P 4/ 2
P +Po /ro
3/4
( +Po4/ro2 )2
4. Заключение
Рассмотренный подход дает возможность вычислять приближенные выражения для само-потенциала (38) и силы самодействия (39) статического скалярного заряда в длинной горловине кротовой норы. Область пространства-времени, в которой справедливо условие применимости рассматриваемого приближения, определяется выражениями (10, 19, 20). В отличие от случая шварцшильдовой черной дыры, эффект самодействия в рассматриваемом случае существует, что можно объяснить различием в топологической структуре этих пространств-времен.
Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ № 08-02-00325.
1. Dirac P., Proc. R. Soc. London, Ser. A, 1938, vol.167, p.148.
2
и
2
q
+
2. DeWitt B., Brehme R., Ann. Phys., 1960, vol.9, p.220.
3. Hobbs J., Ann. Phys., 1968, vol.47, p.166.
4. Smith A., Will C., Phys. Rev. D, 1980, vol.22, p.1276.
5. Zelnikov A., Frolov V., Sov. Phys. JETP, 1982, vol.55, p.191.
6. Leaute B., Linet B., Class. Quantum Grav., 1984, vol.1, p.55.
7. Wiseman A., Phys. Rev. D, 2000, vol.61, p.084014.
8. Burko L., Class. Quantum Grav., 2000, vol. 17, p.227.
9. Rosenthal E., Phys. Rev. D, 2004, vol.69, p.064035.
10. Rosenthal E., Phys. Rev. D, 2004, vol.70, p.124016.
11. Anderson W., Wiseman A., Class. Quantum Grav.,
2005, vol.22, p.S783.
12. Anderson P., Eftekharzadeh A., Hu B., Phys. Rev. D,
2006, vol.73, p.064023.
13. Cho D., Tsokaros A., Wiseman A., Class. Quantum Grav., 2007, vol.24, p.1035.
14. Ottewill A., Wardell B., Phys. Rev. D, 2008, vol.77, p.104002.
15. Lohiya D, J. Phys. A, 1982, vol.15, p.1815.
16. Leaute B., Linet B., J. Phys. A, 1982, vol.15, p.1821.
17. Piazzese F., Rizzi G., Gen. Rel. and Grav., 1991, vol.23, p.403.
18. Burko L.M., Liu Y.T., Phys. Rev. D, 2001, vol.64, p.024006.
19. LinetB., Phys. Rev. D, 1986, vol.33, p.1833.
20. Linet B., Ann. Inst. Henri Poincare, 1986, vol.45, p.249.
21. Smith A.G., in The Formation and Evolution of Cosmic Strings, edited by G.W. Gibbons, S.W.Hawking, and T.Vachaspati // Cambridge University Press, Cambridge, 1990.
22. Khusnutdinov N.R., Class. Quantum Grav., 1994, vol.11, p.1807.
23. Khusnutdinov N.R., in Quantum Field Theory under the Influence of External Conditions (Teubner-Texte zur Physik, Bd.30, Ed.M.Bordag) // Stuttgart: B.G.Teubner Verlagsgesellschaft, 1996, p.97.
24. Khusnutdinov N.R., Theor. Math. Phys., 1995, vol.103, p.603.
25. De Lorenci V.A., Moreira Jr E.S., Phys.Rev. D, 2002, vol.65, p.085013.
26. Khusnutdinov N.R., Bakhmatov I.V., Phys. Rev. D,
2007, vol.76, p.124015.
27. Linet B., Electrostatics in a wormhole geometry // arXiv:0712.0539 [gr-qc].
28. Krasnikov S., Class. Quantum Grav., 2008, vol.25, p.245018.
29. Bezerra V.B., Khusnutdinov N.R., Phys. Rev. D, 2009, vol.79, p.064012.
30. Casals M., Dolan S.R., Ottewill A.C., Wardell B., Self-Force Calculations with Matched Expansions and Quasinormal Mode Sums // arXiv:0903.0395 [gr-qc].
31. Quinn T., Phys. Rev. D, 2000, vol.62, p.064029.
32. Popov A.A., Phys. Rev. D, 2001, vol.64, p.104005.
SELF-FORCE ON A SCALAR POINT CHARGE IN THE WORMHOLE WITH A LONG THROAT
A.A.Popov
The article presents the analytic method which allows the computation of the self-force for a static particle with a scalar charge in the long throat of the wormhole. The method is based on the approximate WKB solution of a radial mode equation for a scalar field. This field is assumed to be massless and minimally coupled to the scalar curvature of space and time.
Key words: self-force, wormhole, WKB-approximate.
Попов Аркадий Александрович - кандидат физико-математических наук, доцент кафедры геометрии и математического моделирования Татарского государственного гуманитарнопедагогического университета.
E-mail: [email protected]
