CC BY
38
ВЕСТНИК ТГГПУ. 2011. №1(23)
УДК 514, 530.12, 531.51
ПЕРЕНОРМИРОВКА СОБСТВЕННОГО ПОТЕНЦИАЛА СТАТИЧЕСКОГО СКАЛЯРНОГО ЗАРЯДА
© А.А.Попов
В работе представлен метод перенормировки собственного потенциала скалярного поля, создаваемого покоящимся точечным зарядом, во внешнем статическом гравитационном поле. Вычислена сила самодействия на заряд в рассматриваемом случае.
Ключевые слова: собственный потенциал, перенормировка, искривленное пространство-время.
Введение
Движение точечного заряда во внешнем заданном гравитационном поле, как известно, определяется взаимодействием между зарядом и полем, которое этот заряд создает. Первые исследования в этой области были сфокусированы на самоускорении электрически заряженных точечных частиц в плоском пространстве-времени [1]. В дальнейшем Девитт, Брем и Хоббс [2; 3; 4] изучали влияние силы самодействия на электрический заряд в искривленном пространстве-времени. В отличие от случая плоского пространства-времени эта сила может быть не нулевой даже для статического заряда на искривленном фоне. Формальные выражения для гравитационной силы самодействия были получены Мино, Сасаки и Танакой [5] и независимо Куином и Уолдом [6], а для силы самодействия скалярного заряда на себя Куином [7]. В случае слабого гравитационного поля явные выражения для силы самодействия были получены Девиттом Б.С. и Девиттом С. [8], а также Пфеннингом и Пойсоном [9].
Потенциал, создаваемый зарядом в точке нахождения этого заряда, необходимый для вычисления силы самодействия, как известно, расходится. Получение конечного выражения для силы самодействия требует использования некоторой процедуры перенормировки. В общем случае такая процедура является нелокальной и требует вычислений в каждой из рассматриваемых ситуаций. В данной работе такая процедура разработана для статического скалярного заряда во внешнем статическом гравитационном поле. Основная идея такой перенормировки связана с хорошо известной процедурой перенормировки двухточечной функции Грина в квантовой теории поля в искривленных пространствах-временах [10; 11; 12]. В рамках этой процедуры из расходящегося потенциала вычитаются некоторые члены ("перенормировочные контрчлены") разложения по обратным степеням массы функции Грина массивного поля. Такие члены
определяются простым правилом: они не исчезают при стремлении массы поля к бесконечности. В простейшем случае ультрастатических пространств перенормировочные контрчлены совпадают с хорошо известными контрчленами Девитта-Швингера в трехмерном искривленном пространстве-времени [13; 14] .
В статье используется система единиц, в которой с = G = 1.
Перенормировка Массивное скалярное поле, создаваемое зарядом д , описывается уравнением
пф-(^Я + ш2 )ф =
ёт (1)
-4лд18(4) (х - х'(т))
-
г(4)
где £ - константа связи скалярного поля с кривизной Я пространства-времени, т -собственное время заряда, ш - масса поля, фунции хм (т) описывают мировую линию
(4)
заряда, gw - детерминант метрического тензора. В статическом пространстве-времени, метрика которого может быть представлена в виде
<*2 = -gtt (х')2 + gjk (х (ёх}ёхк, (2)
где ', j, к = 1,2,3, уравнение поля (1) для покоящегося заряда может быть переписано в следующем виде
дф( х'; х" р
, \ / \ 4лаЗі'3Чх1, х")
( + %Л )(';х и ) =-----------=---------,
(3)
где g(3) = det gI.J., при этом мы приняли во внимание, что йт/& = ^Jg^. В случае, когда комптоновская длина волны поля 1/ т много
меньше характерного масштаба кривизны Ь фонового гравитационного поля
— << Ь, ш
(4)
1 д
(3) дх3
т(3) п3к.
дх
2^ дх:'
дх3
(5)
-(от2 +%Я)Е (х',хи')
8(3)(х', х")
/ 3 N
,(у' ) = 8 - 3 Я 'кз,\у=0 уку1 + О У
т(3)
(у ) = 1- 3 Я 'з\у=0 у'у3 + О
Ч Ь ;
( у3 > ч^,
(6)
(7)
(8)
Я3 Яз 'т„ ' /!„ 2
Я = Я -
2^ 4gt,
>tt;i , c>tt;i ой
(9)
2 gt,
выше второго, получим следующее уравнение на
° (у')
д2 а 2—
можно построить итерационную процедуру получения приближенного решения уравнения (3) с малым параметром 1/(тЬ) [10; 15]. Для этого рассмотрим уравнение для трехмерной евклидовой функции Грина Ое(х1, х " ),
следующее из уравнения (3)
ЗОе (х1, х11 р
ду' ду3 (
+8
- ш2 а + з
да
2gtt ду1
tt,'к 6tt, i&tt, к
+Я '3
уку1 д2 а
2gtt 2 gtt
Я
у
да
ду3
(11)
-$я
а = -8(3\у).
3 ду1 ду3 ^ 3 ^
Представим О (у1) как о(у1) = Оо (у1) + о (у1) + 02 (у1) + ..., (12)
где О а (у1) содержит а-тые производные метрики в точке у = 0 . Тогда
- т2 О о = -5'3 (у),
д2 а 0
и введем римановы нормальные координаты у в
3Б пространстве с началом в точке х" [16]. В этих координатах
ду' ду3
д2в1 2~ . сї gtt,i да0
ду1 ду3
--ш2 01 + 8'3
8^ ~~~~~ - ш2 а 2 + 8
ду' ду3
Г
+8'3
2gtt ду] п»' да
= 0.
(13)
(14)
2gtt ду]
\
ІІ,'к C>tt,i 6tt,к
2gtt 2gt,
у
да 0
ду3
(15)
уку д2 а0
к 1
ЯЯ-#я1 а 0 = 0.
где все коэффициенты здесь и ниже вычисляются в начале нормальной римановой системы координат у1 = 0 (т.е. в точке х11), 5^
обозначает метрику плоского трехмерного евклидового пространства, Я 3 и Я13 обозначают компоненты тензоров Римана и Риччи
трехмерного пространства с метрикой g 3
3 ду 'ду3
Отметим, что функция Ос (у') удовлетворяет условию
, , д2 Ос .. д0с
(16)
Я \\уку1 - Я 'у3 д0с =0,
ду 'ду3 3 ду1
так как Ос (у') может быть функцией только 83-у'у3. Поэтому уравнение (15) может быть переписано так
З д202 (у ') ..л- Л.Л . З gtt,' д01
ду' ду3
.
Все индексы поднимаются и опускаются с помощью метрики 83. Вводя новую функцию
°(у')
0(у)=4^>Ое (у) (10)
и оставляя в (5) члены с коэффициентами, содержащими производные метрики порядка не
ш2 а 2 (у' ) + 8
gtt,jgtt, к 2gtt 2gtt2 ,
О с = 0.
2gtt ду]
у
да с ду'
(17)
(я ^ ЯЯ-4Я 3
Введем в точке у =0 локальное импульсное пространство с помощью трехмерного преобразования Фурье
• ёк1ёк2ёк, (2п)
Легко показать, что
0о (у' ) = Я і ( 2)3 3 ЄХР (' у' ) Са (Г ) . (18)
-да (2П)
а 0 (к') 01 (к')
1
к2 + ш2
8'^,, к.
Є>гг,і 3
2 &г (к 2 + ш 2 )2
(19)
(20)
-(к2 + ш2 )о2 (к') + і З-2gtkL0l (к') -
+Ік,
2 gt,
( я ' Л
Як +33 gtt,jk 8'3 gtt,jgtt,к
2 gtl
(Я Л ЯЯ-дЯ 3
2 gt,
укас (к') (21)
а 0 (к' ) = 0
Следовательно,
55"
2 g,
8' g g
гг,' і , Ьгг,г Ьгг, 1 п
—- +----------------- дЯ
2 gг,
(к2 + ш2)
- +
кк8Ік8 1
' 3
+ -
2 V . gгг,-1 5gгг,jgгг, 1
—Я 31 +—-------------3——
3 gгг 4 gгt
(22)
2 -+1 у 2gгг у ш
8'^„'3 + 38
4 gгг
5гг,і <~>гг,3
16 gг,
20 Я -дя+—
6
где
л
gгг, 'і + 5gгг, igгг, 3 Я '3
4^7 “^7 6"
Ч бгг
у'у1
у
у = >/5зу у3 . (24)
Используя определение О (у1) (10), разложение (8) и выражения (9), найдем
1 + - Я у у3 + О 6 3
а (у')
_ ехр (-шу)
8п
2 gtt,' у'
у 2gtt у
(25)
\
з + 38gtt,'^gtt, з дя + ЯЯ
V 4 gtt 16 gt2 ? 6,
( gtt,', . 5 gtt, 'gttL . Я г Л у'у
+О
4 gtt 16 ^
( 1 Л (
6
у у
ш2 Ь3
+ О
ш Ь
Ч УЧУ
у
\
+ О
у
(у2'
ч^у
1 I 2 у'
8п I у 2gtt у
- 2ш +
где к2 = 5'3ккз . В импульсном пространстве + ]_
уравнение (17) дает т
ЗЗзш,+53
12 gtt
«,'*«,3 { " |п
58^7“-|д“'Я
2gt,
8^„,- 58
5 гг, їо гг, -
12gtt 48gt,
у
6gtt 48&
гг, і6,, , - і-
6
у у
у
( 1 Л (
+О
+ О
у
Л
чшЬ У
+О
у
ч Ь У
+ О
ш у
Ь
ч У
О (ш3 у2)1
(к2 + т2)
Подставляя (18), (19), (20), (22) т (12) и интегрируя, получим
Оо (у ) + 01 (у ) + °2 (у )= р(;г у) х
Переходя к произвольным координатам,
получим
Ое (; х11 ) = —{-^ + ^<,,а -8п [л/2ст 2gt,t, 42а
;1 , 5gt't', 1 ^33
-2ш +-----
ш
(23)
12gг'г' 48 &,/ 611
І
g^^ ,іа , 2 ПГ~
-ш-------:------+ ш V2а -
2 gt't
gt't';! 5gt't' ,І^ҐҐ
12^; їв^;;7"
■\І2а
(26)
:>г'г';г’/ . 13gt't',^ҐҐ, 3 . ЯІ 3 а а
5 г г , г1 о г г , / г1
6
42а
+О
( і Л ( г~ Л 1 '+О( ^
ш Ь
+О| | + О
( ш а312 Л 13
ч У
О(ш2а)!
где а - это половина квадрата расстояния между точками х' и х11 вдоль кратчайшей геодезической, их соединяющей, и аа = да/дх". Отметим, что (см. [17])
= (x'l - x)- 2 Vjk(x'( - j >
x(x' (- xk )і O (x' - x )3).
(27)
Следуя ранее изложенной идее, а именно перенормировочные контрчлены - это члены разложения (27), не исчезающие при стремлении массы поля к бесконечности, получим искомое выражение для этих контрчленов
( , „ а ^
Фаз (;х " ) = ч
і
420 4gt,t, 420
- m
(27)
Если заряд является источником массивного скалярного поля с комптоновской длиной 1/ ш, много меньшей характерного масштаба Ь кривизны фонового пространства-времени, то разложение перенормированного собственного потенциала по малому параметру (4) имеет вид
gгг;i . 5gгг,igгг
Pen (x) =
q
2m
-|#-б 1R
^ga 4S gu
f л
і O q
m2 L3 у /
(2S)
При этом сила самодействия определяется выражением
q дРггп (x)
fl(x )=~
2 д xl
(29)
Заключение
В работе получено выражение (27) для пере-нормировочных контрчленов, позволяющее проводить перенормировку собственного потенциала покоящегося скалярного заряда в статическом гравитационном поле. Если заряд является источником массивного скалярного поля с компто-новской длиной і/m, много меньшей характерного масштаба кривизны фонового гравитационного поля, то полученное разложение собственного потенциала позволяет вычислить силу са-модействия (29) на заряд в рассматриваемом случае.
Данная статья поддержана грантами РФФИ іі-02-0іі62, іі-02-00696 и іі-02-90477.
1. Dirac P. Classical theory of radiating electrons // Proc. R. Soc. London, Ser. A. - 1938. - Vol.167. -P.148-169.
2. DeWitt B., Brehme R. Radiation damping in a gravitational field // Ann. Phys. - 1960. - Vol.9. - P.220-259.
3. Hobbs J. A vierbien formalism of radiation damping // Ann. Phys. - 1968. - Vol.47. - P.141-165.
4. Hobbs J. Radiation damping in conformally flat Universes // Ann. Phys. - 1968. - Vol.47. - P. 166-172.
5. Mino Y., Sasaki M., Tanaka T. Gravitation radiation reaction to a particle motion // Phys. Rev. D. - 1997.
- Vol.55. - P.3457-3476.
6. Quinn T., Wald R. Axiomatic approach to electromagnetic and gravitational radiation reaction of particles in curved space-time // Phys. Rev. D. - 1997. -Vol.56. - P.3381-3394.
7. Quinn T. Axiomatic approach to radiation reaction of scalar point particles in curved space-time // Phys. Rev. D. - 2000. - Vol.62. - P.064029-1-064029-9.
8. DeWitt B.S., DeWitt C.M. Falling charges // Physics.
- 1964. - Vol.1. - P.3-20.
9. Pfenning M.J, Poison E. Scalar, electromagnetic, and gravitational self-forces in weakly curved spacetimes // Phys. Rev. D. - 2002. - Vol.65. - P.084001-1-084001-30.
10. DeWitt B.S., Dynamical Theory of Groups and Fields. - New York: Gordon and Breach, 1965. -247 p.
11. Christensen S.M. Vacuum expectation value of the stress tensor in an arbitrary curved background: The covariant point-separation method // Phys. Rev. D. -1976. - Vol.14. - P.2490-2501.
12. Christensen S.M. Regularization, renormalization, and covariant geodesic point separation // Phys. Rev. D. - 1978. - Vol.17. - P.946-963.
13. Khusnutdinov N.R., Bakhmatov I.V. Self-action of a point charge in a wormhole space-time // Phys. Rev. D. - 2007. - Vol.76. - P.124015-1-124015-13.
14. Bezerra V.B., Khusnutdinov N.R. Vacuum stress-energy tensor of a massive scalar field in a wormhole spacetime // Phys. Rev. D. - 2009. - Vol.79. -P.064012-1-064012-6.
15. Bunch T. S., Parker L. Feynman propagator in curved spacetime: A momentum-space representation // Phys. Rev. D. - 1979. - Vol.20. - P.2499-2510.
16. Петров А.З. Пространства Эйнштейна. - М.: Физ.-мат. лит-ра, 1961. - 464 с.
17. Popov А.А. Local expansion of the bivector of geodesic parallel displacement // Gravitation & Cosmology. - 2007. - Vol.13. - №.2(50). - P.119-122.
RENORMALIZATION OF STATIC SCALAR CHARGE SELFPOTENTIAL
A.A.Popov
The author of the article presents the method that allows the renormalization of selfpotential for a static point charge in curved space-time. Self-force is calculated in considered case.
Key words: self-potential, renormalization, curved space-time.
Попов Аркадий Александрович - кандидат физико-математических наук, доцент кафедры геометрии и математического моделирования Татарского государственного гуманитарнопедагогического университета.
E-mail: [email protected]
Поступила в редакцию 20.01.2011
