А.А.Поііов
ПОЛЯРИЗАЦИЯ ВАКУУМА КВАНТОВАННОГО СКАЛЯРНОГО ПОЛЯ В УЛЬТРАСТАТИЧЕСКИХ АСИМПТОТИЧЕСКИ ПЛОСКИХ ПРОСТРАНСТВАХ
В работе получено аналитическое приближение для (ф2) квантованного скалярного поля в ультрастатических асимптотически
плоских пространствах. Предполагалось, что поле может быть массивным или безмассовым, с произвольной связью со скалярной кривизной и находится в квантовом состоянии с нулевой температурой. Выражение для
(ф‘) представлено в виде суммы на низкочастотной и высокочастотной
частей. Для высокочастотной части получено разложение, аналогичное разложению ДеВитта-Швингера для квантованного поля с большой массой. В качестве примера низкочастотный вклад вычислен на фоне слабо возмущенного плоского пространства-времени в квантовом состоянии, соответствующем вакууму Минковского на асимптотике. Обсуждаются пределы применимости рассматриваемых приближении.
I. Введение
Исследования излучения черных дыр и рождения частиц в расширяющейся Вселенной послужили стимулом для детального и систематического изучения теории квантованных полей в искривленных пространствах-временах. Основными объектами для вычислений в такой
теории являются величины (ф ) и (^/) , где ф есть квантованное поле и
гг, Ц
оператор тензора энергии-импульса для Ф . Среднее значение квадрата квантованного поля (ф2) играет роль, например, в теориях со спонтанным нарушением симметрии. Вакуумное среднее оператора
тензора энергии-имнульса ) является важной величиной для построения самосогласованной модели излучения черных дыр.
Функциональная зависимость ) от компонент метрического тензора
позволяет изучать эволюцию фоновой геометрии под действием квантовых флуктуаций материальных полей. Этот так называемый эффект
обратной реакции описывается полуклассическими уравнениями Эйнштейна: ^ — ^ ) . (1)
4
Однако точные результаты для (ф*) и (?/) в четырехмерных
пространствах-временах немногочисленны (см., например, [1]). Численные расчеты этих величин, как правило, весьма трудоемки [2-4]. Одним из наиболее широко используемых способов получения информации об этих величинах является разложение ДеВитта-Швингера [5], которое представляет собой ряд по степеням малого параметра
1
---«1
тЬ » (2)
где т - масса квантованного поля, а Ь - характерный размер фонового гравитационного поля [6]. Аналитические приближения (ф5) и
(С") для конформно инвариантных безмассовых полей [3.4.7-12] дают
хорошие результаты. Тем не менее остается еще проблема расширения границ применимости такого типа приближений. В случае массивных полей, масса которых не удовлетворяет условию (2), полученные
аналитические приближения (ф2) и {К/ еще более немногочисленны [3,4,11-14].
В этой работе получено приближенное выражение для (ф‘)
квантованного скалярного поля в ультрастатических асимптотически плоских пространствах-временах. Поле предполагалось массивным или безмассовым, с произвольной конформной связью и находящимся в
вакуумном состоянии с нулевой температурой. Выражение для (ф‘) представлено в виде суммы высоко- и низкочастотных частей. Для вычисления высокочастотной части (V) был использован подход,
развитый Банчем и Паркером [15]. Как и в случае безмассового поля, квантовое состояние поля с массой т«\И существенно зависит от топологии пространства и граничных условий. В данной работе такая
зависимость определяется низкочастотной частью (ф*). В качестве примера такой вклад вычислен на фоне слабо возмущенного плоского пространства-времени в квантовом состоянии, соответствующем вакууму Минковского на асимптотике. В работе использована система единиц, в
которой = с - G - кв = 1, Определение тензора кривизны соответствует работе [16].
II. Функция Грина
В евклидовом секторе метрика ультрастатического пространства-времени может быть записана следующим образом
ds1 -d\2 + gabdxadxb} (3)
где т = it есть евклидово время, gab - произвольные функции пространственных координат •*', *2> л-3. (Латинские индексы пробегают значения от 1 до 3, греческие от 0 до 3.)
В этой работе для регуляризации ультрафиолетовых расходимостей используется метод раздвижки точек. Если точки Р(х*) и Р(Т) раздвинуты, то
■2)
ипгеп
(с
q>‘) =0£(^,Г).
N / ипгеп
Евклидова функция Грина удовлетворяет уравнению
(4)
(5)
где т - масса скалярного поля, ^ - его связь со скалярной
кривизной Я, £(3)СО-^е1^ві(х‘,л:2,^3).
В статическом пространстве-времени 5 (х,т) и С£(х,1,х'’) могут быть разложены следующим образом
5 (т ,т ) = — Гс1(й е^1,
Отг •»-<*>
271 ’ (6)
0Е(х\?) = ^[У<о е'^^СЕ(0У,х\хь) (7)
а <~г£(со;ха,х6) удовлетворяет уравнению
С,(со;л-ДА)
ох
у'ЛО^'
/ ч - Я(3)(га
— ; ’ -1 V? <* ) '(8)
В случае /я» 1/1, где Ь - характерный масштаб кривизны фонового гравитационного поля, возможно построение итерационной процедуры решения этого уравнения с малым параметром МтЬ. Такая процедура дает
стандартное разложение (°Р )ипгеп в ряд по степеням \hriL.
<1
о тъ— ,т
В случае ^ (9)
малый параметр итерационной процедуры не существует. Тем не менее, если разложить с£ на низко- и высокочастотные части, как это было предложено в работе [12],
Ов(х\х') = + СЕ“п\х\х'), (10)
где ' (л:",1 "ЙО) С05[ш(т -т)]б£(т;х”,х*), (п)
ТС
вЕНРС(х'1,Э?) = - Г с1а> со8[(о(х -т)]ЭЕ(ш;ха,хь), я А,х
✓-тг НРС / ц V \
то разложение '-ге \х >х > по степеням малого параметра
^0 1
Чкв- — «\ * (13)
может быть получено методами, аналогичными методам получения разложения ДеВитта-Швингера. Ниже изложен метод Банча и Паркера для
НГС / ц ч
построения разложения ^е V* >х ) по степеням параметра ^шв .
III. Высокочастотный вклад в (ф")
Введем римановы нормальные координаты У° в 30 пространстве с началом в точке х“ [17]. В этих координатах
^ с
асЬйУ У )’ (14)
г-6(/)=лЛ+^-Л//,+о(У),
Яаь(уа)=^аЬ-^ЯамУСу'1 +0(у3),
*<*>(/)«! АКаЬу'/+о{уъ) ,
(15)
(16)
3
где коэффициенты здесь и ниже вычисляются при у" = 0 (т.е. в точке ), ^\аь обозначает метрику трехмерного евклидового пространства. Все индексы поднимаются и опускаются с помощью метрики . Определяя
<5(а> ;/) = >/«(Э)Су')С£ (<»;/) (17)
и оставляя в (8) только члены с коэффициентами, включающими производные метрики не выше второго порядка, найдем, что <2(со;/) удовлетворяет уравнению
яТ-Н Г Г 1Л
^ д2с !?11л1, дгс
•п ------ — са й + - Д с 4 у у ---т-
ду‘дуь 3 ду°дуь
0 = -Ь»\у). (18)
Отметим, что величины Кьы’ Кьу &, вычисленные в метрике (3), и соответствующие ИМ, вычисленные В 30 метрике §аЬ , совпадают. Представим: ) = £0(«;/■) +б, (й;,/) + С2(со;/) + ..., (19)
где коэффициенты, входящие в величины ^ (®; ), включают
■ производных метрики в точке у" =0 . Тогда эти функции удовлетворяют уравнениям
дуадуь
дЩъ-у)
дуаду
.дЩигу)
(20)
(21)
ду°дуь
С0(<й;/) = -8(3)О»).
(22)
Функция С'о(а);/) удовлетворяет условию
с А0* (<°'У) ЬдС»{Ю>Уа) п
к с 6у у --1—-Я ьу -------1- = О,
' ду°дуь ду°
(23)
Т.К. ^(^У) является функцией только л аЬУаУь [15]. Поэтому уравнение (22) может быть переписано следующим образом
,.аЬдЩ^Уа)
дуадуь
дуа
т2 +
/ П
3,
Л
С0(со;/) = -5(3>(.у).
(24)
Введем локальное импульсное пространство, связанное с точкой Уа = 0 , совершая трехмерные преобразования Фурье
И ехр (яу) С,.(со;Г)
-® (/я)
А
^~г / ш \__ 1
Не сложно увидеть, что °\ ’ ' к2 +(йг’
(25)
(26)
СгДсо^-О) (27)
где к1 = Л°ЧЛ. В импульсном пространстве уравнение (24) дает
-(е+«,г) О,(со-х)-\я°ьк"-(т2 + £,л) С0(со;Г) = 0 (28)
Следовательно,
62(со;£а) =
-т 2 Ка%кь
Т *
[к1 +со2)
(29)
Подстановка выражений (25), (26), (27), (29) в (19) и интегрирование приводит к
1 (т2+^я) 2 ДаЧА
о(а.у)ш 11
-а. \2Л )
+ аг ^2+со2)2 3^2+02|3
1 Г-*2-»- -1/6)Д , 2 КУуь
8п ехр(|со|_у) со У 6у
(30)
где У - Vrйyv". Используя определение ) (17) и
разложение (16), можно найги
е£(ю;/)=(и^уу1 ё(®;/) =
8тг ехр(|оэ | >?) |со
-т2-£-\/б)Я | 2 | яу/ У 6>'
(31)
Необходимым условием справедливости этого приближенного выражения является
1 1
<В >-------» —
к ь»
что позволяет вычислить
Сг£я/гс(Дт,У)=— | й?со соз(сс) Дт) Сг^со;/*)
К 1/Яо
т2 +
Л
С+-1п
2
у + Дт
V
2 1
■ + —Т +
А> V (/+Ат2) б(/ + Дт2)]’ (33)
где С « 0.577... - постоянная Эйлера, Дт =т -т .
IV. Низкочастотный вклад в (ф }
Поведение низкочастотных мод определяется граничными условиями и топологической структурой пространтва-времен и. В качестве
примера вычислим низкочастотный вклад в (ф2) на фоне слабо
возмущенного плоского пространства-времени в квантовом состоянии, соответствующем вакууму Минковского на асимптотике. Если характерный масштаб неоднородности гравитационного поля А,
—
удовлетворяет условию: ^ < , (34)
то низкочастотный вклад в (ф2) может быть разложен по степеням
этого малого параметра. Ниже нулевой член этого разложения будет
использован для вычисления низкочастотного вклада в (ф‘). Это означает,
что мы выбираем низкочастотные моды приближенно совпадающими с соответствующими модами вакуума Минковского. Для этих мод
„ас 1 ‘'г г“|\л ехр(/<0 Ах+‘РГ,У“)
1 "г , />ип(ду)
V ,Г“ е 1ф>ч77т2)
1/^
1/Хо
1 "о
= —Т [ <*© 4л .А
/шДі
ехр | -ул1(£>2 +т21
-1/л. *
В пределе Ат -> 0, -> О
і«л
8л
і ^^0 1 ________________
Ся^с(Ат,/) = -Ц- | с/со е“Ат —^в>г+тг+0(у)
-1/Х,
1
8п2
2.іп(Лт/Л.)__1_ М +„._таь, > Дт
1/^ + ^jl7x^+m2
т
+ 0(у)
(36)
Если принять во внимание условия (9) и(13), т.е. т<< \ ' (37)
то
ь 1 2 1-0 ҐДт2] 1
' 8л2 уК ч ^0 > \2 0
т
Т
1 + 1п
л 2 2
*0 П1
0(\2т2)
+ 0
(38)
V. Процедура перенормировки и результаты
Процедура перенормировки (ф2)ишет состоит в вычитании
перенормировочных контрчленов [19] и стремлении
и.
/> =—+Л
где \ /ш 8л 2а 871"
= 1ІШ Г(<рП (ф2
х** ^ _ \ / млгел
' 0
т2 + §-7 X
ч 6, 9
'05
(39)
1
С + -ІП 2
ш2 1 ацау І6^?+96^Т
& это половина квадрата длины кротчайшей геодезической, соединяющей точки х и х г 0ц. ковариантная производная сг } а
%
постоянная тоз равна массе поля т в случае массивного поля. Для безмассового поля то5 является произвольным параметром
/ХУ
инфракрасного обрезания в (ф2)м . Выбор конкретного значения т
соответствует конечной перенормировки членов гравитационного лагранжиана и должен быть фиксирован экспериментом или
наблюдениями. Детали вычисления (ф2)м обсуждаются в Приложении:
(ф2) = — \ /05 Ятг
2 ( п -
т2 + І?
[у + Ах' \ 6,
С + -ІП 2
т
05
у2 + А т:
т
Кьуау
(41)
2 б(>>2 + Дт2)
Используя уравнения (4), (10), (33), (38), (39) и (41) легко показать, что
И,«,=1ж[с^с (Лт ’Л+ в"к' (Лт>>,“ )-(<р2)П5]
я
16л'
ІП
Л 2 2
'41
+ 0
2 Л
'П'КВ
V Ї J
+ 0
Л* У
(42)
Приведем условия применимости этого приближения еще раз
<1 тъ—
I ’
(43)
(44)
X « Х0 «I.
Присутствие в выражении (42) произвольного параметра является общей чертой локальных аппроксимационных схем [3,4,11,12,20]. Для конформно инвариантного поля этот параметр может быть внесен в
определение постоянной тоя
Отметим, что приближение, соответствующее аналитическому
приближению Андерсона, Хискока и Самьюэля [3] для (ф2) в случае
ультрастатического асимптотически плоского пространства-времени, может быть получено, если использовать высокочастотное приближение
) (см. уравнение (31)) для всех значений ® . Однако
использование высокочастотного приближения (со; у“) для частот
со«1/Хр не кажется очевидным. Тем не менее в случае конформно инвариантного безмассового поля такая процедура дает хорошие результаты [3,4,10,14] и совпадает с рассмотренной выше.
Автор выражает признательность С.В.Сушкову и Н.Р.Хуснутдинову за полезные дискуссии. Эта работа поддержана Российским фондом фундаментальных исследований, грант № 02-02-17177 и фондом НИОКР Республики Татарстан, грант № 06-6.5-110.
Приложение
Ниже описывается разложение (ф по степеням разности координат раздвинутых точек.
Пусть точки Р{х) и соединены кратчайшей геодезической
х“ ~ х° (5), где s канонический параметр. Функции (-?) могут быть
разложены в ряд Тейлора в окрестности точки М*)
0 _а 1 dxa 1 d2xa 2 1 d%xa з i, \4 \
x =jc +-------A? +-----—(Дs) +-------r-(As) +0 A.V) /Ai\
1! ds 2! ds 3 Ids3 ' I'
где коэффициенты вычисляются в точке Р(х). Используя уравнения геодезической
а dx& dx' ds2 plr ds ds ’
можно также найти
^3*а _ ( р) га + 9га Г5 Ї ^ ^ ^
~ \ стр + а8А (?у /'
<ь*
сЬ сіб <і$
(АЗ)
где ду обозначает частную производную по ху . Следовательно, выражение (А1) может быть переписано следующим образом
(А4)
Xа +Іи“Д5-1 пУкг(Л5)2 +
1! 2! Рг ' +^НЛ +ад, ум (Д5)3 +о((Д5)4)
где - <2ха /йя . Это уравнение может быть разрешено относительно
мвД*
и“Д* = е“ Н-ІГ^Є^ +^(СГр, +ЭгГ:())е”8»Е' +0(в4)
. (А5)
где еа = ха -ха . Если использовать определение о” и 57 из работы [21], можно получить следующее разложение
ст(^Д)=^арЕа8Р +^арГ758Р8Т63 +^арГ^5Г8 вРеУеЦБУ
II О
+^Г,//б,8'8’ +0(£5)
Следовательно, конечное выражение для (ф' )л5 есть (ф2) =—~
V /05 4д •
(А6)
1
5а(3Г“бЄ'ЄбЄР (^аРЄ“ЄР)2
є'Ує'є" ,
гм
т2 +(% -1/6) R
8тс'
1 ( 2 л С +—In
2
mDS I „ _а_ р I
|2аР£ £
/
/Я* 1 ^хз8“£р
16л2’+48тс2 gaf5eaep +°^- (А7)
а .О
В координатах х-> У , где У - римановы нормальные координаты с началом в точке ха в 3D пространстве
80=Ат,8в=/. (А8)
В этих координатах в точке Р [17]
ГРг =° (А9)
и &„(a.ri) =■+ Д“*.)уУ/У = о (А|0)
После подстановки этих выражений в (А7) легко видеть, что (ф")ns имеет вид (41).
Литература
[1] J. S. Dowker and R. Critchley, Phys. Rev. D 13 3224 (1976); L. S.
Brown and J. P. Cassidy, Rev. D 15 2810 (1977); T. S. Bunch and P.
C. W. Davies, Proc. R. Soc. London A360, 117 (1978); T. S. Bunch, J. Phys. A 12, 517 (1979); B. Allen and A. Folacci, Rev. D 35, 3771 (1987); A. Folacci, J. Math. Phys. 32, 2813 (1991); 32, 2828 (1991); K. Kirsten and J. Garriga, Phys. Rev. D 48, 567 (1993).
[2] P. Candelas, Phys. Rev. D 21, 2185 (1980); M. S. Fawcett, Commun.
Math. Phys. 89, 103 (1983); K. W. Howard and P. Candelas, Phys. Rev.
Lett 53, 403 (1984); B. P. Jensen and A. Ottewill, Phys. Rev. D 39, 1130 (1989); B. P. Jensen, J. G. Me Laughlin, and A. C. Ottewill, Phys. Rev. D 45, 3002 (1992); P. R. Anderson, W. A. Hiscock, and D. J. Loranz, Phys.
Rev. Lett 74, 4365 (1995); E. R. Bezerra de Mello, V. B. Bezerra, and N. R. Khusnutdinov, Phys. Rev. D 60, 063506 (1999).
[3] P. R. Anderson, W. A. Hiscock, and D. A'. Samuel, Phys. Rev. D 51, 4337(1995).
[4] P. B. Groves, P. R. Anderson, and E. D. Carlson, Phys. Rev. D 66, 124017 (2002).
[5] B. S. DeWitt, Dynamical Theory of Croups and Field (Gordon and Breach, New York, 1965).
[6] V. P. Frolov and A. I. Zel'nikov, Phys. Lett B 115, 372 (1982); V. P. Frolov and A. I. Zel'nikov, Phys. Lett B 123, (1983); V. P. Frolov and A. I. Zel'nikov, Phys. Rev. D 29, 1057 (1984); R. Herman, Phys. Rev. D 58, 084028 (1998); J. Matyjasek, Phys. Rev. D 61, 124019 (2000); H. Koyama, Y. Nambu, and A. Tomimatsu, Mod. Phys. Lett. A 15, 815 (2000); J. Matyjasek, Phys Lett A 63, 084004 (2001).
[7] D. N. Page, Phys. Rev. D 25, 1499 (1982); M. R. Brown and A. C. Ottewill, Phys. Rev. D 31, 2514 (1985); M. R. Brown, A. C. Ottewill, and
D. N. Page, Phys. Rev. D 33, 2840 (1986).
[8] T. Zannias, Phys. Rev. D 30, 1161 (1984).
[9] V. P. Frolov and A.I. Zel'nikov, Phys. Rev. D 35, 3031 (1987).
[10] R. Balbinot, A. Fabbri, P. Nicolini, V. Frolov, P. Sutton, and A. Zelnikov Phys. Rev. D 63, 084029 (2001).
[11] A. A. Popov and S. V. Sushkov, Phys. Rev. D 63, 044017 (2001); A. A. Popov, Phys. Rev. D 64, 104005 (2001).
[12] A. A. Popov, Phys. Rev. D 67, 044021 (2003).
[13] A. Tomimatsu, and H. Koyama, Phys. Rev. D 61, 124010 (2000); S.
V. Sushkov, Gravitation Cosmol. 6, 45 (2000); V. Frolov, and A. Zelnikov, Phys. Rev. D 63, 125026 (2001); V. Frolov, S. Sushkov, and A. Zelnikov, Phys. Rev. D 67, 104003 (2003).
[14] R. Balbinot, A. Fabbri, P. Nicolini, and P. Sutton Phys. Rev. D 66, 024014(2002).
[15] T. S. Bunch and L. Parker, Phys. Rev. D"20, 2499 (1979).
[16] C. W. Misner, K. S. Thome, and J. A. Wheeler, Gravitation ( Freeman, San Francisco, 1973).
[17] A. Z. Petrov, Einstein Spaces (Pergamon, Oxford, 1969).
[18] B. T. Wittaker and G. N. Watson, A Course of Modem Analysis (Cambridge University Press, Cambridge, England, 1927).
[19] S. M. Christensen, Phys. Rev. D 14, 2490 (1976).
[20] V. Frolov, P. Sutton and A. Zelnikov, Phys. Rev. D 61, 024021 (2000).
[21] J. L. Synge, Relativity: The General Theory (North-Holland Publishing, 1964).