CC BY
30
УДК 523.11
НИГМАТЗЯНОВ Ильнур Ильясович, преподаватель, аспирант кафедры теоретической физики Башкирского государственного педагогического университета имени М. Акмуллы. Автор двух научных публикаций
НАНДИ Камал Канти, доктор философии, профессор, заведующий кафедрой математики Северо-Бенгалъского университета г. Силигури (Индия). Автор более 50 научных публикаций, в т.ч. трех монографий
МИГРАНОВ Наиль Галиханович, доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой теоретической физики Башкирского государственного педагогического университета имени М. Акмуллы. Автор боле 100 научных публикаций, в т.ч. трех монографий и 10учебно-методи-ческих пособий
МЕРА ОБЪЕМА ДЛЯ ЭКЗОТИЧЕСКОЙ МАТЕРИИ
В статье предложен точный интегральный измеритель объема для вещества, нарушающего «усредненное нулевое энергетическое условие». Проверка проведена с некоторыми хорошо известными решениями для статических сферически симметричных проходимых кротовых переходов.
Проходимая кротовая нора, энергетическое условие, мера объема
Введение. Проходимые кротовые норы являются следствием общей теории относительности Эйнштейна, таким же, как и черные дыры. Понятие экзотической материи, необходимой для постройки подобного перехода, обрело новый смысл в космологическом масштабе в роли темной материи [1—4]. Возникает естественный вопрос о том, сколько нужно данной экзотической материи, нарушающей так называемое «усредненное нулевое энергетическое условие» (Averaged Null Energy Condition, ANEC), для поддержания проходимой кротовой норы Лоренца в локальном масштабе. Этот вопрос был недавно поставлен Виссером, Каром и Дадхичем [5]. Их ключевая мысль - это предложение измерить объем всей материи, нарушающей ANEC, с помощью теоремы интеграла по объему. Данная теорема тесно связана с теоремами о топологической цензуре и
положительной массе в общей теории относительности. Более того, в связи с широким интересом к проходимым кротовым норам в последние годы, особенно среди сообщества физиков, вопрос об интеграле по объему обязательно должен быть изучен. Необходимость в корректном способе измерения объема была определена также ив [9].
В заключении статьи [5] есть качественное утверждение об общем количестве экзотической материи, говорящее, что соответствующе выбранная проходимая кротовая нора может быть поддержана достаточно небольшим количеством экзотической материи. Вначале отметим, что мы не противоречим этому важному выводу. Наш интерес в том, чтобы узнать точное количество присутствующей экзотической материи в данной метрике пространства-времени. Предполагаем, что более разумным под-
ходом может быть определение соответствующего интеграла по объему, а затем вывод заключений (например, большое или малое количество) в качестве логически вытекающих, что и является основной целью статьи. Мы предлагаем усовершенствованный способ для измерения объема, который хорошо проверяется в известных статических, сферически симметричных проходимых кротовых норах в теории минимально связанного скалярного поля Эйнштейна. Другими словами, интеграл удовлетворяет важным физическим критериям, воспроизводя существующий в решении скалярный заряд до первого порядка и, следовательно, точное количество экзотической материи.
Мера объема. Начнем с измепения интеграла по объему (IV, а именно: « 4пЯ2dR ». Это естественная четырехмерная величина в решениях Рейсснера-Нордстрема [6-8] в криволинейных координатах, где gttgRR = -1 • Но, если эта же величина «АпЯ2dR » применена для других типов сЛепически симметричных решений (где gttgRR ^-1), например таких, котооые мы собираемся рассмотреть, интеграл 4п |рЯ2dR не представляет собой экзотическую массу (скалярный заряд в нашем случае). Разумеется, он все еще может давать приближенное значение в некоторых случаях, но нас интересуют лить точные величины. Схожие замечания применимы И К величине « d3х »
(где gг - определитель пространственной части метрики).
Рассмотрим сферически симметричную кротовую нору в форме Морриса, Торна и Юр-тсевера (МТУ) [10, 11] в криволинейных координатах (? ,Я,д,ф). Возьмем С - с -1:
ds2 =- ехр[2 2 +
dR7
1 - Ь( Я)/Я
+ Я2{с102 + вт2 Qdq)2)
(1)
Горловина возникает в Я = Я0 так, что Ь(Я0) = Я0, предполагая, что ехр[2ф(Я0)] Ф 0.
Плотность и давления могут быть вычислены в статической ортонормированной системе координат. Затем, используя их, получим
0. = 4пу. Г[р + рк ]х Л2dR =
(д - ъ) 1п
ехр[2ф]
1 - Ъ / Л
10 -»')
1п
ехр[2ф]
1 - Ъ / Л
dR,
(2)
где штрих означает дифференцирование по К. Дополнительно граничный член был принят равным нулю и вторая часть (интеграл) предложен в [5] в качестве теоремы интеграла по объему, дающего информацию о полном количестве нарушающей АКЕС материи в пространстве-времени. Граничный член можно обратить в нуль несколькими способами. Одна возможность заключается в том, чтобы ф(Я) и Ъ{Я) являлись асимптотически Шварцшильдовскими [5], т.е. ф(Я) ~-т/Я + 0(Я 2) и Ь(Я) ~ 2т + 0(Я _1). Полезной альтернативой может быть ф( Я) ~ 0( Я ~2) И Ы Я) - 0(Я_1), принимая во внимание кротовые норы, возможные для конструирования. Однако для наших целей мы нуждаемся, чтобы пространство-время было только асимптотически плоским, хотя примеры, которые будут рассмотрены, соответствуют первому множеству асимптотически Шварцшильдовских.
Чтобы сформировать представление о том, какой заряд мы хотим получить, рассмотрим теорию минимально связанного скалярного поля Эйнштейна, данную уравнениями поля
(3)
=-2ф
Ф
- 0, (4)
где = 0,1,2,3; Ф - скалярное поле, Я^ -тензор Риччи и точка с запятой обозначает кова-риантную производную по метрике gмv. Знак минус справа предполагает, что скалярное поле имеет отрицательную кинетическую энергию, чтобы давления нарушали энергетческие условия (призрачное скалярное поле) [12-16]. Данные
уравнения поля являются уравнениями Бранса-Дикке в вакуумной картине Иордана, переписанные в конформно измененной картине Эйнштейна. Шеель, Шапиро и Тьюколски [17, 18] показали, что общее асимптотически плоское статическое решение имеет асимптотическую форму:
8
00
, 2МТ = -1 + -
8 о.- = 8» = 1 + 8 ц
ґ 2МТЛ
* і 1М* Ф = 1 +----
где і,7 = 1,2,3; г-ременная, Мт и М5
, (5) изотропная радиальная пе-тензорная и скалярная (экзотическая) массы соответственно. М5 может быть описана как скалярный «заряд» на одной из сторон кротовой норы. С нашей точки зрения, М5 является тем, что требуемый измеритель объема должен выводить в первую очередь и посредством этого подтвердить себя до того, как будет использован для получения полной нарушающей АЫЕС материи. Для этого сформулируем наш интеграл по объему:
^ АМЕС = £ 11[^^3(6)
для нулевого вектора £^ , такого, что
тен-
зор напряжения, = det|gмv и горловина находится в хл. Мы взяли величину интегрирования «.^7^3х >у из закона сохранения общей
тг = о
теории относительности
с той лить
разницеи, что интеграция производится от хл до да из-за разрешенного координатного промежутка в геометрии кротовой норы. Это должно быть применимо к любому пространству-времени, которое является асимптотически Минковс-ким. В простейшем случае сферической симметрии, предполагая, что материя, нарушающая АКЕС, связана только срг и не связана с поперечными компонентами [5], получим
р2л
Проверка. Исследуем корректность уравнения (7) на различных примерах. Форма определенных точных решений общего класса уравнений (3) и (4) дана в изотропных координатах (Г,г,в,ф) как
,-2^( г)
х \^г2 + г2dв2 + г28т2 6dф2],
ф(г) = щ(г) = - —, Ф(г) = 1 - —. (8)
г г
Данное решение было предложено Иилма-зом [19] десятилетия назад - фактически на несколько лет раньше появления теории Бран-са-Дикке. Однако оно следует также и из этой теории в силу конформного изменения масштаба. Для данного решения Мт = М и М5 = —М / 2. Метрика в уравнении (8) точно совпадает вплоть до второго порядка с метрикой Шварцшильда в изотропных координатах, т.е. решение описывает все тесты слабых полей общей теории относительности также точно, как метрика Шварцшильда для г > М12, что является решением без сингулярности, т.к. все скаляры кривизны равны нулю в г - 0 ив г = да , и, таким образом, решение имеет два асимптотически плоских региона. Приливные силы везде конечны. Фактически оно удовлетворяет всем пяти условиям, сформулированным Виссером [20] для любой изотропной формы для определения ее как проходимой кротовой норы [21,22]. Горловина появляется в г0 = М. Вычисления плотности энергии (р )и давлений (Рг>Ре>Р9) Дает р = ~/,рг = -/,рв = рр = /, где / = (-^)М2г~4е~2м'г > 0, т.е. слабое (р> 0) и нулевое энергетические условия (р + рг > 0) нарушены, как и ожидалось, в пространстве-времени, содержащем кротовые норы. Используя данные выражения, интеграл (7) сходится и немедленно выдает значения для скалярного заряда: П^0С =-М/2 = М5,
2ж ---- скалярного заряда: 12=-М/2 = М8 ,и
П лжс =1 |п |п [р + Рг У - 8 4 drd6dф, (7) полной массы, нарушающей АКЕС,
• Га •и «У
где г0 - радиус горловины.
О Атс = —М , независимо от использованной
координатной сетки. Полученные результаты подтверждают достоверность нашего интеграла. Возвращаясь к форме Морриса, Торна и Юртсевера через преобразование Я = гехр[М / г] (заметим, что для г ^ О и г ^ да имеем Я ^ да, и горловина теперь возникает в Я0 = Ме), вычисляем (2) и обнаруживаем, что ОРг~0 = М(1 - е/2) Ф- М/2 и
О = М(2 - ё) Ф -М . Используя меру ^/^7с13х в (2) вместо «4лЯ2dR», получим П = М(1 - е) = -1,71 М, что, очевидно, не совпадает с желаемым значением. Теперь имеем проходимую кротовую нору с массой, нарушающей АКЕС О. Атс = -М , но как сделать ее сколь угодно малой? Можно принять М ^ 0, но это будет означать, что мы обнаружили банальное пространство-время Минковского!
Рассмотрим второй, качественно отличный пример, данный другим классом точных решений (3)и (4):
дыры Шварцшильда в соответствии с предположением Уилера об отсутствии «скалярных волос». Физически это означает возможность излучения скалярного поля наружу во время коллапса, и конечным результатом является черная дыра Шварцшильда. Но для /3 Ф 1 решение имеет «голую» сингулярность в = т/2. Однако горловина появляется в
NS
Т • — m
'о 2
[р+(рг - i}'1
> rNS, и известно, что ре-
шение представляет проходимую кротовую нору, т.к. р = -h, pr = -h, рв = pv = h с соответствующим выражением для ^ > 0 [24, 25]. Скалярное поле раскрывается как
Ф« 1 - (т/г)ylр2 -1 + 0(1/г2 ) и предоставляет заряд Ms = -(т /2)^fp (7), найдем
Рг =°
ANEC
2 -1 . Используя 1+1/р
1 -1/р
v(r) = (Р-1) In
fj тл 2r
- (Р +1) In
f л тл 1 + — 2r
Ф(г) = 1 + [р2 -lpln
1 --f-_______2r_
1 + —
. 2 г .
(9)
Они были предложены довольно давно Бух-далем [23], но также могут быть получены из решений Бранса-Дикке путем конформного изменения масштаба. Две неопределенные постоянные т и р связаны с источником сил гравитационной и скалярной частей конфигурации. Тензор массы отвечает за известные гравитационные эббекты и всегда является произведением МТ = тР так, что эффекты слабых полей не позволяют отдельно измерить компоненты. Когда скалярным компонентам установлены постоянные значения (Ф = 1 ^ р = 1), решения (9) упрощаются к решениям черной
(10)
откуда можно вывести скалярный заряд. Так же, как и в первом примере, Плжс = 20.рлжс . Интересным следствием уравнения (10) является следующее: возьмем полную энергию, обозначенную, например, как М = МТ + О,^0С. В р = 1, конечно же, М - т, но выходит, что с увеличением р со значения 1 количество М уменьшается до минимального значения М « 0,93т при р « 1,16, и снова увеличивается до М = т при р »1,51. Впоследствии, М продолжает расти выше значения т практически линейно с увеличением р . Эта информация позволяет представить, как полная масса изменяется при увеличении компонента «призрачной энергии» в конфигурации. Однако, возвращаясь к теме дискуссии, метрику в (9)
можем трансформировать в форму Морриса, Торна и Юртсевера, используя Я = ге~¥, и вычислить (2) с « 4пЯ2dR » либо с любым другим измерением, но это не даст нам (10). Теперь можно получить О.ШЕС ^ 0, задавая /3 ^ 1 + , в таком случае решение постепенно приближается к вакуумному решению Шварц-шильда.
В результате, помня, что интеграл по объему в (7) аккуратно обеспечен известными примерами кротовых нор, задаемся вопросом, какой результат будет получен для = 0» двойственной себе кротовой норе [5, 26], для которой р = 0. Полезно представить решение в виде:
ds2 =-
/ N 2
______2г_
V 1 + -f- !
V 2 г J
dt +
+
1 + j [dr2 + г2d62 + г2 sin2 6dq2],
(11)
где е и Я - произвольные постоянные.
Решение Шварцшильда получается при значении £ — 0. Уравнение (7) преобразуется просто в
Q%\с = -2т£ In г]“
/2 *
(12)
Уравнение (12) показывает, что это £ контролирует величину материи, нарушающей АКЕС. К сожалению, данное уравнение вместе с похожими выражениями, полученными из метрики (11), показывает асимптотическое логарифмическое расхождение. Что данное обсто-
Список литературы
ятельство означает? Одна возможность возникает немедленно: установить £ равным нулю, т.е. заключить, что асимптотическое плоское пространство-время с р = 0 может являться только вакуумом Шварцшильда (ПРА®ЕС = 0). Более интересной возможностью является усечение пространства-времени так, что экзотическая материя будет находиться только внутри установленных радиусов (у,а], вне которых пространство-время является Шварцшильдов-ским [5]. С помощью уравнения (12) ограничивающие аргументы возникают упрощенными и более понятными. Имеем
^ 7жс = ~2т£ In
2а
т
(13)
Q р"0
АМЕС
—^ 0) как а ^ т/2 и/или
так, что £ ^ 0.
Заключение. Наше ключевое предложение
- это способ измерения объема, данный в уравнении (6). В простейшем случае сферической симметрии он подтвердил себя, вернув точное количество скалярного заряда в первом примере. Его использование во втором примере дало выражение для экзотической массы, а именно уравнение (10), очевидно не являющееся априорным и предоставляющее новое понимание в поведении полной массы. При использовании в двойственном себе случае уравнение (6) приводит к предсказуемому, достаточно приемлемому результату. И, наконец, как следствие, оно совместим с принципом, что материя, нарушающая АКЕС, может быть сколь угодно мала. В будущем будет полезно исследовать интеграл (6) в случаях с несферической симметрией.
1. PerlmutterS., Turner M.S., White M. Constraining Dark Energy with Type la Supemovae and Large-Scale Structure// Phys. Rev. Lett. 1999. Vol. 83. P. 670-673.
2. Zlatevl., WangL., andSteinhardt P.J. Quintessence, Cosmic Coincidence, and the Cosmological Constant//Phys. Rev. Lett. 1999. Vol. 82. P. 896-899.
3. Armendariz-Picon C., Mukhanov V., Steinhardt P.J. Dynamical Solution to the Problem of a Small Cosmological Constant and Late-Time Cosmic Acceleration//Phys. Rev. Lett. 2000. Vol. 85. P. 4438-4441.
4. Dodelson S., Kaplinghat M., StewartE. Solving the Coincidence Problem: Tracking Oscillating Energy// Phys. Rev. Lett. 2000. Vol. 85. P. 5276-5279.
5. VisserM., KarS., DadhichN. Traversable Wormholes with Arbitrarily Small Energy Condition Violations //Phys. Rev. Lett. 2003. Vol. 90. P. 201102-201106.
6. ReissnerH. bber die Eigengravitation des elektrischen Feldes nach der Einstein’schen Theorie II Annalen der Physik. 1916. Vol. 50. P. 106-120.
7. Nordstrom G. On the Energy of the Gravitational Field in Einstein’s Theory II Verhandl. Koninkl. Ned. Akad. Wetenschap.,Afdel. Natuurk., Amsterdam, 1918. Vol. 26. P. 1201-1208.
8. Мизнер Ч, Торн К., Уилер Дж. Гравитация: вЗт. / под ред. В.Б. Брагинского и И.Д. Новикова; пер. с англ. А.Г. Попнарева. Т. 3. М., 1977. С. 39-40,44-46.
9. Kar S., Dadhich N., Visser M. Quantifying Energy Condition Violations in Traversable Wormholes II Pramana. 2004. Vol. 63. P. 859-864.
10. Morris M.S., Thome K.S. Wormholes in Spacetime and their Use for Interstellar Travel: Atool for Teaching General Relativity//Am. J. Phys. 1988. Vol. 56. P. 395-412.
11. Morris M.S., ThorneK.S., YurtseverU. Wormholes, Time Machines, and the Weak Energy Condition//Phys. Rev. Lett. 1988. Vol. 61. P. 1446-1449.
12. Barcely C., Visser M. Traversable Wormholes from Massless Conformally Coupled Scalar Fields II Phys. Lett. B. 1999. Vol. 466. P. 127-134.
13.1idem. Scalar Fields, Energy Conditions, and Traversable Wormholes// Class. Quant. Grav. 2000. Vol. 17. P. 3843-3864.
14. Bronnikov K.A. Spherically Symmetric False Vacuum: No-go Theorems and Global Structure II Phys. Rev. D. 2001. Vol. 64. P. 064013-064017.
15. EllisH.G. Ether Flow throughaDrainhole: AParticle Model in General Relativity// J. Math. Phys. (NY.). 1973. Vol. 14. P. 104.
16. Idem. Errata: Ether Flowthrough a Drainhole: AParticle Model in General Relativity// J. Math. Phys. (N.Y.). 1974. Vol. 15. P. 520.
17. Scheel M.A., Shapiro S.L., Teukolsky S.A. Collapse to Black Holes in Brans-Dicke Theory. I. Horizon Boundary Conditions for Dynamical Spacetimes//Phys. Rev. D. 1995. Vol. 51. P. 4208-4235.
18. Iidem. Collapse to black holes in Brans-Dicke theory. II. Comparison with general relativity//Phys. Rev. D. 1995. Vol. 51. P. 4236-4249.
19. YilmazH. NewApproach to General Relativity//Phys. Rev. 1958. Vol. 111. P. 1417-1426.
20. Visser MLorentzian Wormholes-From Einstein to Hawking. N.Y., 1995. P. 150.
21. Nandi K.K., Zhang Y.-Z., Kumar K.B. Semiclassical and Quantum Field Theoretic Bounds for Traversable Lorentzian Stringy Wormholes // Phys. Rev. D. 2004. Vol. 70. P. 064018-064027.
22. Nandi K.K., Zhang Y.-Z. Traversable Lorentzian Wormholes in the Vacuum Low Energy Effective String Theory in Einstein and Jordan Frames II Phys. Rev. D. 2004. Vol. 70. P. 044040-044050.
23. Buchdahl H.A. Reciprocal Static Metrics and Scalar Fields in the General Theory ofRelativity// Phys. Rev. 1959. Vol. 115. P. 1325-1328.
24. Nandi K.K., Islam A., Evans J. Brans Wormholes//Phys. Rev. D. 1997. Vol. 55. P. 2497-2500.
25. Brans-Dicke Wormholes in the Jordan and Einstein Frames / K.K. Nandi, B. Bhattacharjee, S.M. Alam, J. Evans II Phys. Rev. D. 1998. Vol. 57. P. 823-828.
26. Dadhich N., Kar S., Mukherjee S., Visser M. R=0 Spacetimes and Self-dual Lorentzian Wormholes II Phys. Rev. D. 2002. Vol. 65. P. 064004-064011.
Nigmatzyanov Ilnur, Nandi Kamal Kanti, Migranov Nail
VOLUME MEASURE FOR EXOTIC MATTER
The authors of the article suggest an exact integral quantifier for matter violating the averaged null energy condition. It is checked against some well known static, spherically symmetric traversable wormhole solutions of general relativity.
Контактная информация: Нигматзянов Ильнур Ильясович e-mail\ ilnur.nigma@gmail.com Нанди Камал Канти e-mail', kamalnandil952@yahoo.co.in Мигранов Наиль Галиханович e-mail', ufangm@yahoo.co.uk
Рецензенты - Матвеев В.И., доктор физико-математических наук, профессор кафедры теоретической физики Поморского государственного университета имени М.В. Ломоносова; Пашев И.Н. кандидат физико-математических наук кафедры теоретической физики Поморского государственного университета имени М.В. Ломоносова
