Статическое сферически симметричное решение в теории гравитации с двумя скалярными полями Текст научной статьи по специальности «Математика»

С.В.Сушков, Е.Ю.Никитина

СТАТИЧЕСКОЕ СФЕРИЧЕСКИ СИММЕТРИЧНОЕ РЕШЕНИЕ В ТЕОРИИ ГРАВИТАЦИИ С ДВУМЯ СКАЛЯРНЫМИ ПОЛЯМИ

Топологические ручки, соединяющие удаленные области пространства, или "мосты", связывающие различные вселенные называются в физической литературе кротовыми норами [1, 2]. Как известно, необходимым условием для существования кротовых нор является присутствие в горловине "экзотической" формы материи, нарушающей изотропное энергетическое условие. Моделями, в рамках которых возможно нарушение энергетических условий, являются различные варианты скалярно-тензорной теории гравитации [3-9]. Отысканию точных решений в теории гравитации со скалярным полем посвящено множество работ; укажем важнейшие из них [3,10-15]. В данной работе мы получаем точное статическое сферически симметричное решение в теории с двумя минимальным образом связанными с гравитацией скалярными полями, одно из которых является обыкновенным и имеет правильный знак кинетического члена, а другое, называемое духовым полем, имеет отрицательную кинетическую энергию.

Рассмотрим теорию гравитации с двумя скалярными полями * и ,

описываемую действием вида 3 = ^ 1

(1)

,;г7 - метрика, Я - скалярная кривизна. Здесь - это

где К г- I Я а,

обыкновенное скалярное поле, а - духовое поле с отрицательной кинетической энергией. Варьируя действие (1) по метрике и по полям ‘ и , мы

получим, соответственно, уравнения Эйнштейна и уравнения движения полей, которые в нашем случае могут быть записаны как

^ (2)

Vе'Ус/ = 7а7'с.к = 0 . (3)

Из формулы (3) следует, что поля и можно представить следующим образом:

/ = Л?'- (4)

где - некоторая функция координат, и у,, - константы, имеющие смысл

амплитуд полей. С учетом (4) система уравнений(2), (3) принимаетвид

-V,- , (5)

Ч*¥гф~0, (6)

где введено обозначение

Отметим, что может иметь любые числовые значения в зависимости от соотношения между и ,|г . Ниже мы будем искать статические сферически симметричные решения системы уравнений (5), (6).

Метрика статического сферически симметричного пространства-времени имеет следующий общий вид:

. (8)

Здесь -л ! и - 1 - неизвестные функции радиальной координаты г .

Кроме того, скалярное поле .1 в статическом сферически симметричном случае может зависеть только от , поэтому примем, что С = К 7 . При этом уравнения Эйнштейна (5) сводятся к следующей системе:

А АВ гА

■>12

1 А" В" Л В' 1 А'В' А' 1 В'

2 А В гВ 2 АВ

гА

2

■= Лф'

А'В' -А' В" ЛВ'

-----+ 2 — + — + 4—— —т------

АВ гА В гВ г АВ

2 В*

+-И

(9)

(10)

(11)

где штрих означает производную по . Уравнение движения скалярного поля (6), записанное для метрики (8), принимает вид

,■ :■ _■ : . (12)

Ф"+

---+----+-

А В г)

Отметим, что в силу выполнения тождества 1/ = 0 и

уравнения сохранения = 0 только три уравнения из системы (9-12) являются независимыми.

Получим некоторые следствия из системы уравнений (9-12). Перепишем уравнение (9) следующим образом:

г . (13)

~В~ 7

Отсюда, интегрируя, находим

В =

(14)

г2 А*

где ^ , = и - константа интегрирования. Далее, подставляя выражение (13) в (12) и интегрируя, мы получим следующее выражение * = ^ л .Л , где

^1,, ; - константы интегрирования. Учитывая инвариантность действия (1) относительно сдвига ; —■ £ + с, мы без потери общности можем полагать,

что = 0 . Также, выбором амплитуд •' и зг., мы можем добиться того, что Д = 1 . Таким образом,

^ -- ^ . (15)

Подставляя выражения (13), (14) и (15) в (10), мы получим после некоторых преобразований уравнение для функции -4 :

(л") г 1 <А"' 2 /

= Я

[а1) 2

(16)

Заметим, что это уравнение является дифференциальным уравнением третьего порядка, и поэтому оно может давать лишние решения, которые, в конечном счете, необходимо исключить. Для решения этого уравнения введем новые переменные:

" (17)

и - , где

_/Т .

А

В этих обозначениях уравнение (16) принимает вид

1 : ,

' ' - - (18)

где штрих теперь обозначает производную по . Общее решение уравнения (18) можно представить в следующем виде:

1 ■. ■. ,

(19)

х и'+С где - константа интегрирования, и

о- = (21 +1)1/3 . (20)

Далее нам будет удобнее отдельно анализировать классы решений, соответствующие различным значениям параметра .

Класс I. Л > — 1 / .

В этом случае сг= - действительный параметр. Решение в

окончательном виде может быть представлено следующим образом:

(21)

(22)

г;

где о = 1 42.1 — 1 и ; ■ 1! - произвольная положительная константа.

Класс II. ^ '.

В этом случае решение принимает следующий вид: сЧ2 -• , (23)

где и - произвольная положительная константа.

Класс III. : .

Этому случаю соответствует решение следующего вида:

и , - произвольная положительная константа.

В заключение отметим, что в данной работе в рамках теории гравитации с двумя скалярными полями, описываемой действием вида (1), было построено однопараметрическое семейство решений.

Литература

Morris M.S., Thome K.S., Am. J. Phys, Vol.56, P.395, 1988.

Visser M., Lorentzian wormholes - from Einstein to Hawking, AIP Press,

Фишер И. З., ЖЭТФ, Т.18, С.636-640, 1948.

Bergmann P.G., Int. J Theor. Phys, Vol.1, P.25-36, 1968.

Wagoner R., Phys. Rev. D, Vol.1, P. 3209-3216, 1970.

Nordtvedt K., Jr., Astrophys. J.,V.161, P.1059-1067, 1970.

Bekenstein J. D., Phys. Rev. D, V.15, P.1458-1468, 1977.

Jordan P., Schwerkraft und Weltall Vieweg, Braunschweig, 1955.

Brans C., Dicke R. H., Phys. Rev., V.124, P.925-935, 1961.

Brans C. Phys. Rev., V.125, P.2194-2201, 1962.

Ellis H.G., J Math. Phys., V.14, P.104, 1973.

Bronnikov K.A., Acta Phys. Pol. B, Vol.4, P.251, 1973.

Barcelo C., Visser M., Class. Quantum Grav., V.17, P.3843-3864, 2000. Armendariz-Picon C., Phys. Rev.D, Vol.65, 104010, 2002.

Sushkov S.V., Kim S.-W., Gen. Rel Grav., V.36, P.1671-1678, 2004.

<p(r) = 2u{r),

(26)

где

(27)

New York, 1995.