Космологическая эволюция скалярного поля с отрицательной кинетической энергией Текст научной статьи по специальности «Математика»

С.В.Сушков

КОСМОЛОГИЧЕСКАЯ ЭВОЛЮЦИЯ СКАЛЯРНОГО ПОЛЯ С ОТРИЦАТЕЛЬНОЙ КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИЕЙ

1. Рассмотрим теорию гравитации со скалярным полем ф, описываемую действием вида

_і_дЛ£(уф)>-г(ф)

(і)

где 8 ^ || ||, метрика, Я - скалярная кривизна.

Потенциал скалярного поля К(ф) мы возьмем в экспоненциальной форме:

Г(ф) = Г0ехр(-А:ф). (2)

Потенциал вида (2) рассматривался во многих работах, посвященных космологическим моделям со скалярными полями [1-5]. Отметим, что

экспоненциальный потенциал возникает как эффективный потенциал в некоторых теориях супергравитации или в теориях Калуцы-Клейна после размерной редукции к эффективной четырехмерной теории [6]. Он также появляется в различных теориях гравитации с высшими производными после перехода в сектор эйнштейновской теории гравитации [7-10]. Параметр £ в действии (1) может принимать значения ±1. При этом значению е = +1 соответствует обычное скалярное поле, минимально связанное с гравитацией. Значению £ = -1 соответствует скалярное поле с отрицательной кипетической энергией. Далее в статье мы будем

рассматривать случай £ = — 1. Варьируя действие (1) по метрике ^ и по полю ф, мы получим, соответственно, уравнения Эйнштейна и уравнение движения скалярного поля, которые в нашем случае могут быть представлены как

2. В случае У0 =0 (т.е., потенциал отсутствует) известно статическое сферически симметричное решение системы уравнений (3) (см. [11,12]). Это решение будет удобно записать в следующем виде [12]:

= 8яСг[-ф>цф1У + g^lУ,V0 ехр(-Аф)], УаУаф = кУ0 ехр(-&ф).

(ЗЪ)

(За)

(4)

ф(г) = (4тсСа2Г1/2и(>-),

(5)

где :

/ Ч т I Г

и(г) = — агйап—,

(6)

г0 'о

а

(7)

2 2*2 2 сЮ. =сІ9 + біп - линейный элемент единичной сферы,

координата г принимает значения в интервале от -с» до -к», и т иг, - два

свободных параметра. Отметим, что в пределе г ->■ ±оо

2т

+ 7Ш7

е2и(г)=е 'О

1

+ 0(г-*\

г

следовательно, метрика (4) описывает пространство-время с двумя асимптотически плоскими областями г-»±а>, соединенными горловиной, т.е., иначе говоря, кротовую нору. Радиус горловины соответствует минимуму функции Я2 (г) = е~Мг) (г2 +г02), который достигается при г = т и

г \

т т

равен: В-аго*, = ехр агОап — (т" +г02)|/2. (8)

V го г0 У

Асимптотические массы имеют значения т± =±техр(±кт/2г0), соответственно. В случае т = 0 решения (4), (5) принимают более простой

вид: (182 = -Ж2 + (1г2 + (Г2 + Г2 ) сЮ.2, (9)

= ТГт? агсШп ~ • СЮ)

г,

о

Следует отметить, что метрика (9) впервые была предложена a priori в работе Морриса и Торна [13] в качестве простого примера метрики кротовой норы.

3. Сформулируем теперь задачу о построении сферически симметричного, зависящего от времени решения уравнений (3) в общем случае V0 ф 0. Решение этой задачи дает следующая теорема.

Теорема. Сферически симметричное, зависящее от времени решение системы уравнений (3) существует, тогда и только тогда, когда У0 >0; в этом случае оно имеет вид

ds2 =-ехр(-2а 2аТ + 2 u)dT2 +ехр(2 аТ -2 u)[dr2 + (г2 + г02)сЮ2],(Ц)

ф(7>) = (4пСИа2)~1/2[и -а2аТ], (12)

где и(г) и а определены формулами % (6), (7), й - свободный

параметр, и параметры потенциала к и выражаются через ОС и й

» ^ г, З + а2)

следующим образом: к - Аа{%0) , 10- -------• (13)

оТССг

Доказательство. Для доказательства выполним следующие конформные преобразования

=ехР(2Ц(0)Яцу, (14)

ф = ф - (ЛтсСУ1'2 ац(/), (15)

где и Ф - ‘старые’ статические решения, определенные

формулами (4), (5), и М-(0 - новая неизвестная функция времени Л Тензор Риччи при этом преобразуется как

*00 = *00 3Д,

Ли=Яо/ + |13,.1о§(£00), (1б)

^ = Щ-Щ+2?)8118т.

Учитывая, что функции и ф являются решением уравнений

Эйнштейна : = > (17)

нетрудно убедиться, что уравнения (За) будут выполняться при

условии, ЧТО к = 4а(лС)1/г И функция (.1(0 подчиняется следующим двум

II =(1+а2)ц2,

уравнениям: (3+а2)Ц2 =^СГ„ехр[2(1+аг)ц] . ('8)

Решение этих уравнений имеет вид

ц(0 = -(1+а2)-11п | (\+а2)а( \, (19)

где а - свободный параметр. Подставляя функцию |д(0, данную формулой (19), в соотношения (14), (15), мы получаем

с&2 =| ду/ \~2'у |-е2"(г)Л2 + е~2и(г) \^г2 +{г2 + Гц)(Юг |) (20)

ф(/,г) = (4яС)~1/2 [аЛ(г) - ау_| 1п|ау/|]. (21)

Наконец, переопределяя переменную времени:

-—= ±ехр((1 + а2)а7,)> (22)

(1 + ог)а*

мы приходим к выражениям (11), (12). Для того, чтобы завершить доказательство, заметим, что уравнение (ЗЬ) в нашем случае совпадает с 11-компонентой уравнений Эйнштейна (За).

4. Проанализируем полученное решение (11), (12). Отметим, прежде всего, что оно зависит от трех свободных параметров т, (X и Я . Положив а = 0 в формулах (11), (12), мы получаем статическое решение (4), (5). Из доказательства (см. формулу (20)) следует, что метрика (11) является конформно статической. Для дальнейшего анализа рассмотрим отдельно два качественно различных случая:

А. Случай а = 0 (т-0). Решение (11), (12) принимает простой вид

<й2 = -йТг +в2"г[<*-2+(г2+г02)<Ю2], (23)

1 Г

ф(г) = .--агсіап —

го

лйяё Г0 • <24)

Следует отметить, что хотя метрика (23) нестатическая, скалярное поле (24) не зависит от времени. Потенциал скалярного поля К(ф) в данном случае равен константе:

что соответствует положительной космологическои постоянной 2

А — За в исходном действии (1). В пределе У —> ±оо метрика (23) является асимптотически метрикой Де-Ситгера. Таким образом, метрика (23) описывает пространство-время кротовой норы, соединяющей две вселенные Де-Ситтера. Вычисляя скалярную кривизну Л для метрики (24):

„_р,2 2гУгаТ

(26)

мы видим, чю она в каждый момент времени асимптотически, т.е. в

пределе г—>±оо, совпадает с кривизной мира Де-Ситтера, Я = 12а2. Кроме того, в пределе аТ —> -со скалярная кривизна сингулярна. Эта сингулярность имеет простую геометрическую интерпретацию. А именно, горловина кротовой норы, расположенная в точке г — 0, представляет собой в каждый момент времени двумерную сферу радиуса Ро = е"7г0. В пределе яГ —>• -<х> радиус этой сферы стремится к нулю. При этом кривизна двумерной сферы стремится к бесконечности, и соответствующая полная кривизна пространства-времени становится сингулярной.

Б. Случай а ф 0 (т & 0). Вычислим скалярную кривизну в метрике (11): Д-бд2(2 + а2)е~2и+ _2(т +Ц,)« ------

(г + П>)

Мы видим, что в этом случае кривизна сингулярна как в пределе аТ -> -оо, так и в пределе дГ —»оо. Для дальнейшего анализа будет удобно ввести собственное время X с помощью соотношения

-а ах- ехр(-а аТ) . (28)

Метрика (11) при этом принимает следующий вид:

ск2 =-е2ис1х2 + \а2ат\~2,<х е~2и[с1г2 +(г2 + г02)<Ю2], (29)

где координата т меняется от — со до 0. В пределе г —> ±оо метрика (29) становится следующей

ds2 =-dx2+\a2ax\~2la2 (dr2+r2d&2), (30)

и описывает конформно плоскую вселенную, расширяющуюся с ускорением вплоть до сингулярности при X = 0 .

5. В заключении отметим, что в этой статье мы получили сферически симметричное, зависящее от времени решение системы уравнений Эйнштейна и скалярного поля с отрицательной кинетической энергией и потенциалом экспоненциального вида. Полученное решение определяется формулами (11), (12) и описывает кротовую нору, асимптотически связывающую две конформно плоские, ускоренно расширяющиеся вселенные; радиус горловины кротовой норы также растет со временем. Поведение решения определяется тремя параметрами т (или ОС), г0 и а . Случай а = 0 приводит к полученному ранее в работах [11,12] статическому решению. Значение параметра т определяет два качественно различных решения. Если т = 0, то соответствующая метрика (23) имеет только одну сингулярность при аТ —> -со. В случае тФ 0 соответствующая метрика (11) сингулярна и в пределе аТ-+-°о, и в пределе аГ —> оо.

Литература

[1] Lucchin F., Mataresse S. // Phys. Rev. D - 1985 - Vol.32 - P.1316.

[2] Liddle A.R., Mazumdar A., Schunck F.E. // Phys. Rev. D - Vol.58

-061301.

[3] Malik K., Wands D. //Phys. Rev. D - 1999 - Vol.59 - 123501.

[4] Copeland E.J., Mazumdar A., Nunes N.J. // Phys. Rev. D - 1999 -

Vol.60-083506.

[5] Finelli F. // Phys. Lett. B - 2002 - Vol.545 - P.l; arXiv:hep-

th/0206112.

[6] Halliwell JJ. // Phys. Lett. B - 1987 -Vol.175 - P.341.

[7] Barrow J.D. // Nucl. Phys. B - 1988 - Vol.296 - P.697.

[8] Barrow J.D., Gotsakis S. // Phys. Leu. B - 1988 - Vol.214 - P.515;

Phys. Lett. B - 1988 - Vol.258 - P.299.

[9] Gotsakis S., Saich P.J. // Class. Quantum Grav. - 1994 - Vol.11 -

P.383.

[10] Burd A.B., Barrow J.D.// Nucl. Phys. B - 1988 - Vol.308 - P.929.

[11] Bronnikov K.A. // Acta Phys. Pol. B - 1973 - Vol.4 - P.251.

[12] Armendariz-Picon C. // Phys. Rev. D-2002-Vol.65- 104010.

[13] Morris M.S., Thome K.S. // Am. J. Phys. - 1988 - Vol.56 - P.395.