Штрафы при управлении уровнем риска на предприятии Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

ШТРАФЫ ПРИ УПРАВЛЕНИИ УРОВНЕМ РИСКА НА ПРЕДПРИЯТИИ

Щепкин Д.А.

(Институт проблем управления РАН, Москва) schmail@mail.ru

Введение

Будем считать, что уровень риска х, вызываемый деятельностью предприятия или вероятность возникновения ЧС на этом предприятии, зависит от объема выпуска и и объема средств V, направляемых на снижение уровня риска: на совершенствование технологии, предупреждение возникновения нештатных ситуаций, укрепление производственной и технологической дисциплины. То есть х=х(иу), причем

(|) х,(0,*,) = 0, ЇХіШ>0, ЇХіШ<08-ЩїА>0.

4 у \ ’ , / ’ ^ ’ -л* ’ л. 2

8иі 8vi 8vi

При применении механизма штрафов для предприятия устанавливается предельно допустимый уровень риска X. В этом случае прибыль предприятия может быть записана в виде

/ ч ГИ(х), если х > X

/ = си - -.(и)-Vь , .

[0, если X < X

Наиболее распространенные виды функций штрафа следующие:

- штраф за превышение допустимого уровня риска И(х)=И;

- штраф за превышение допустимого уровня риска с дальнейшим ростом Н(х) =ёх;

И г, если х > хг

ступенчатая функция штрафа к(х) =

И2, если х > х2 Ик, если х > хк

Для того чтобы использовать ступенчатую функцию штрафов необходимо задать несколько ступеней превышения минимального допустимого уровня риска.

Рассмотрим более подробно случай, когда прибыль предприятия определяется выражением

, ч Г Н, если х > X / = си - г{и)-V Ч < х .

[О, если х < х

1. Механизм сильных штрафов.

Будем считать, что действует механизм сильных штрафов [1]. Это значит, что для предприятия превышение допустимого уровня риска всегда оказывается невыгодным. Кроме того, в дальнейшем будем считать, что затраты на выпуск продукции является возрастающей, выпуклой, имеющей непрерывную производную, функцией, то есть

(2) г (о)= О, ^ > О, > О,

причем (3) dz(,)

du

du du2

dz(u )

7 = ¥

0 du

u=0 u=¥

Положим здесь также, задача предприятия заключается в максимизации остающейся в распоряжении предприятия прибыли. Следовательно, при определении объема выпуска предприятие решает задачу

feu - z(u)- v ® max

(4) 1 ( W - ,

[.x(u,v) < x

здесь v - объем средств, направляемых предприятием на снижение уровня риска.

Пусть u решение уравнения

df dz(u)

(5) — = с-------^ = 0 .

du du

Если x(u ,0) < X, то предприятие выпускает такой объем продукции, который обеспечивает ему получение максимальной при-

были, и при этом предприятие не тратит свои средства на снижение уровня риска. Если же

(6) х(и* ,0)> X,

то предприятие должно либо сократить объем выпуска до размеров и , таких что

(7) х(и** ,0 )= х,

либо потратить часть своих собственных средств на снижение уровня риска. Другими словами, предприятие решает либо задачу

л * * I * 1

(7) и получает прибыль в размере / = си - г\и ),

либо задачу (4) и получает прибыль в размере /' = си' - г(и') - V',

где и' и V решение задачи (4). Ситуация/=/ возникает лишь в

г ** г п

случае, и = и , V = 0.

Утверждение 1. Если в системе действует механизм сильных штрафов, справедливо (6) и и ' Ф и , то предприятию всегда вы-

_ **

годно превысить объем выпуска и потратить при этом часть своих средств на снижение уровня риска.

Доказательство. Необходимо доказать справедливость неравенства />/\ Если бы / </* , то пара (и ,0) являлась бы решением задачи (4), но это противоречит условию утверждения. Нетрудно

видеть, что и' > и , иначе, в противном случае, х = х(и** ,0)< х(и'), но тогда и' и V не являются решением задачи (4) в силу условия

(1).

Утверждение доказано.

Следствие. При выполнении условий утверждения 1 выполня-

*

ется соотношение и < и .

*

Действительно, если бы было и > и , то можно было бы записать, х(и',0)> х(и*,0),

в то же время си - г(и )> си' - 1(и').

Но в силу условия (1) и (4) х(и'^') = х > х(и*^') и при этом си* - г (и*)-V ’ > си ’ - г (и ’ )- V ’, а отсюда следует, что и' и V не являются решением задачи (4) и это противоречие доказывает следствие.

с—

дх(ы,у)=0 ды

Решение задачи (4) сводится к решению системы уравнений: ёг(п) 1 дх(ы,

дх(ы,у) ду

х(ы,у)- X = 0

В дальнейшем будем рассматривать следующую зависимость уровня риска от объема выпуска и размера средств на снижение уровня риска

(9) х(ы,у)= (^+1( ) •

(0(ы ) + д(у)

Будем также полагать, что

(10) а(0 )=ё^ы>

ёы

= 0 ско(ы) > 0 ё2®(ы) > 0

ы=0

(11) 0(0)= т, ё00у)

ёу

* 0

у=0

ёы ёы2

, ё0(у) > 0> ё0(у) < 0 ёу ’ ёу2

В этом случае система (8) может быть представлена в виде

ёг(и ) а 6

(12)

с-

ёы а>{ы)

= 0 а0'

- X = 0

а(и)+6 (у)

Выразив из второго уравнения системы (12) 6^ и V = v(u,X), и подставив его в первое уравнение, получаем уравнение относительно и

ёг(и) 1 - х а

(13) с -

ёы

X ё0

ёу у=у(ы,х)

= 0 •

Утверждение 2. Для того, чтобы уравнение (13) имело решение, достаточно, чтобы выполнялись условия (2), (3) и (10), (11).

Доказательство. Обозначим ¥ (и ) =

йі (и ) йи

+

1 - х со'

х йв

йу у=у(и,х )

В силу условий (3) и (10) ¥(0) = 0 . С другой стороны, в силу справедливости условий (2), (10) и (11) можно подобрать такое и , чтобы было справедливо неравенство

¥ (~ ) =

йа

йг(и ) 1 - х йи и =~

йи ~ х йв и=и

йу у= у (и,х)

> с

Таким образом, функция Щи) определена на отрезке \0,и'\ и в крайних точках этого отрезка она принимает не равные значения ¥ (0) < ¥ (~ ), а по теореме о промежуточном значении функции

[2], для любого ¥ (о)< с < ¥ (и ) существует, по меньшей мере, одна такая точка и', 0 < и' < и , что ¥(и') = с.

Этот вывод и доказывает Утверждение 2.

Изменяя предельно допустимый уровень риска можно влиять на объем выпуска продукции на предприятии и на объем средств, выделяемых предприятием на снижение уровня риска.

Утверждение 3. Если зависимость уровня риска от объема выпуска и размера средств на снижение уровня риска определяются выражением (9) и выполняются условия (10), то уменьшение допустимого уровня риска всегда приводит к уменьшению объема выпуска.

Доказательство. Для доказательства утверждения необходимо йи

показать, что —7 > 0 .

йх

Из второго уравнения системы (12) получаем в(у) = а(и)1 ^Х .

Подставив это значение в первое уравнение системы (12), можем записать

F(X,u,v) = c -ф(X,u,v) =

dz(u ) du rn(u )

1 - X a' (u) = О ~т Ov) ~

- X = О

co(u)+в (v)

Эта система уравнений задает две функции одной переменной и(Х) и v(x).

Производные функций и(Х) и v(X), заданных системой (14) записываются в виде [3]

(15) du = КФХ - FX01 у } dX F& - F$U

и, соответственно,

(16) dv=рХФ - КФХ

у } dX F№ - F'^'u

Так как FI = 1 w'(u)

Ф = Hf - x)^

(u )

O(v )

F, = d2z(u) 1 - X a''(u) u du2 X в '(v)

и

■ = e'(v)

du

dx

(u )

1 - X a (u)0"(v) a '(u)

X O' (v )F a (u)

то (15) можно переписать

d2z (u ) 1 - X a''(u ) du2 X в' (v)

O'(v) x2 a (u)

-(1 - x)

2 в в'(v)[a ’ (u )\2

a (u Ъ ' (v)]2

Числитель этой дроби отрицательный, а знаменатель - положи

жительный, поэтому —^ > 0 .

дх

Утверждение доказано.

Содержательно, это довольно естественный вывод. Чем более высокие требования предъявляются к уровню безопасности производства при действии механизма сильных штрафов, тем менее активно осуществляется производственная деятельность, что и приводит к снижению уровня выпуска продукции. Но при этом

2

остается вопрос: «Как изменяется объем средств, выделяемых предприятием для снижения уровня риска, если происходит изменение допустимого уровня риска?».

Для этого определим количество собственных средств У$ которое выделяет предприятие на снижение уровня риска, если допустимый уровень риска принимает значение

х = х(и*,0)-8 = \ - 8 ,

со Ои )+1

где 8 малая величина больше нуля. Для максимизации своей прибыли предприятие решает задачу (4), которую здесь можно записать в виде

си - г (и) - V ® тах

о (и) = о (и*) 8'

о (и )+б(у) ~<а{и*)+Т

Пусть и8 и v8 решение этой задачи. Тогда справедливо выражение

Очевидно, что при 8 ® 0 а(и*)&(у3)- а (ив)Г ® 0

а М ®(и*)

или —7-----г--т-------.

в(У8) Г

8—0

Докажем, что при 8 ® 0 и8 ® и и у8 ® 0 .

Пусть ііши8 = и0 и ІІШУ8 = У0 . Из следствия к утвержде-

8—0 8—0

нию 1 следует, что и8<и и у8>0. Так как и0 и у0 решение задачи (4) и при 8 ® 0 решение задач (4) и (5) совпадают, то это означает, что при 8 —— 0 и8 —— и и У8 —— 0 .

Фактически здесь показано, что небольшое превышение х(и ,0) над допустимым уровнем риска не приводит к скачку средств, выделяемых предприятием на снижение уровня риска. Этот рост происходит постепенно, по мере уменьшения х. С другой сторо-

ны, из утверждения 3 следует, что по мере уменьшения х происходит уменьшение объема выпуска. Очевидно, что на всем диапазоне уменьшения х от х(и ,0) до 0 одновременное увеличение объема средств, выделяемых предприятием на снижение уровня риска и уменьшение объема выпуска, происходить не может. Действительно, так как уменьшается объем выпуска, то падает и прибыль предприятия, а это может привести к тому, что прибыль предприятия упадет настолько, что окажется меньше объема средств, которые необходимо выделить на снижение уровня риска. То есть прибыль за вычетом средств на снижение уровня риска окажется отрицательной. В то же время предприятие может просто определить объем выпуска из условия (7), который обеспечит для него положительную прибыль и при этом у=0. Следовательно, при достаточно маленьком хт из решения системы (12) можно получить У = 0. А это значит, что при уменьшении х на отрезке [х(и ,0); хт ] у' сначала возрастает от нуля до некоторой величины,

а потом убывает до нуля. А в этом случае —7 должна быть сначала

—х

положительной, а потом отрицательной.

Перепишем (16) в виде

1 - х [а '(и)^ ґ —2г(и) 1 - х а "(и)^

—у х а(и''(у) у —и2 х в'(у) )

—х |—2і(и) 1 - х а"(иУ(у) х2 (1 х)2 [а'(и^в” (у)

—и2 х в '(у)) а(и) а(и )[в '(у)]

Знаменатель этой дроби положительный. Поэтому знак производной определяется числителем. Запишем его в виде

I 1 - х а(и а '(и )-[а' (и )^ + —2z (и )|

I хв'(V) о (и) ди2 \

ду

Легко видеть, что —7 может менять знак, если

дх

а (и )а'' (и) - [а' (и )^ < 0 .

Обозначим о(и)о''(и^)-\а’(и)^ = \а(иУ] р(и), где рри)<0, то-о(и О ’ (и )-\о ’ (и )^ =

гда можем записать

= 4>(и ).

[°(и )]2

Это выражение можно представить в виде

(иУ'(и)-[°'(и)]2 _1 1 =

о(иУ'(и)-[°'(и)]2 = (О{и)Л = , ) Ш] \ о(и)) = (Р[и).

Интегрируя его, получаем ° ( ) = [р(и)ди .

/71 111 I *

В свою очередь, это выражение можно представить в виде \1п

о (и)] =\р(и)ди ,

интегрируя которое, получаем 1по{и) = |[^р(м~)ди^и .

Из этого равенства можем определить функцию о (и) а(и) = в1Ми)ди]и.

Таким образом, задавая функцию р(и) < 0 можно определить о(и ).

Пусть рри) =-^, где к>0 тогда \1п о (и)] = —+ С}.

и и

Интегрируя еще раз, получаем 1по(и) = к 1п и + С1и + С2 или

(17) а(и) = иквСи+С2.

2. Пример действия механизма сильных штрафов

Для иллюстрации полученных результатов рассмотрим следующий пример [4]. Пусть

1

z = — га 2

І и2 ^

-2 +1 а )

, а(и) = н’и2, в(у) = ру + Г

где

д - объем продукции, обеспечивающий предприятию минимальную себестоимость продукции;

г - минимальная себестоимость;

н - коэффициент, характеризующий влияние объема выпуска продукции на уровень природно-техногенного риска; р - коэффициент, характеризующий эффективность использования средств, направляемых на снижение уровня риска;

Т - показатель, характеризующий безопасность производства.

Зависимость (о(и) = ни2 получается из (17) если положить к=2, С=0, н = в°2 . Тогда

/ ч ни2

х(и’у ) = —т~—+Т ■

ни +р\ + Т

Если бы при функционировании предприятия не накладывались ограничения на уровень риска, объем выпуска на нем составил бы величину

для определения объема выпуска необходимо решить систему уравнений (12), которую в этом случае можно переписать в виде

* са

и = — г

, а уровень риска был бы равен х = ——---------------2 .

нс а + Тг

2 2 нс а

Если же допустимый уровень риска х таков, что х > х, то

Решение этой системы дает

и=

расх

2 2

V = нра с

р

Т

Отсюда легко получить

> 0,

и, соответственно,

Из последнего выражения видно, что

^ > 0, дх

- < 0,

дх

если х<

если х >

2^ + гр

То есть существует такой уровень риска, при котором объем средств, направляемых предприятием на поддержание уровня безопасности, оказывается максимальным.

Пусть г=20, д=200, с=80, ^ =0,01, р=0,8 и Т=1500. Графики изменения объема выпуска и размера средств на поддержание уровня безопасности в зависимости от предельно допустимого уровня риска представлены на рис. 1 и рис. 2.

Уровень риска

Рис. 1.

600

0,7 8 0,7 4 0,7 0,6 6 0,6 2 0,5 8 0,54 0,5 0,4 6 0,4 2 0,3 8 0,34 0,3 0,2 6 0,2 2 0,1 8 0,14 0,1 0,0 6 0,0 2

Уровень риска

Рис. 2.

Из выражения (18) и рис. 2 видно, что максимальный объем средств, направляемых на снижение уровня риска, предприятие

направляет при установленном предельном уровне риске равным

0,2.

На рис. 3 представлена зависимость изменения прибыли предприятия в зависимости от предельно допустимого уровня риска.

800

Л

0,78 0,74 0,7 0,66 0,62 0,58 0,54 0,5 0,46 0,42 0,38 0,34 0,3 0,26 0,22 0,18 0,14 0,1 0,06 0,02

Уровень риска

Рис. 3.

Анализ показывает, что в данном примере предприятию, при действии механизма сильных штрафов, имеет смысл начинать выпуск продукции, если предельно допустимый уровень риска больше 0,001, в противном случае производственная деятельность принесет предприятию только убытки.

Литература

1. Бурков В.Н., Кондратьев В.В. Механизмы функционирования организационных систем. М.: Наука, 1981.

2. Бермант А.Ф., Араманович И.Г. Краткий курс математического анализа. М.: Наука, 1968, с. 735.

3. Бронштейн И.Н., Семендяев К. А. Справочник по математике. -М.: Физматгиз, 1962. с. 608.

4. Щепкин Д.А., Оценка эффективности механизма платы за риск. -Правовые и экономические проблемы управления безопасностью и рисками. Сборник статей. ФЦНТП КП «Безопасность», Москва, 2003, С. 92 - 98.