CC BY
24
_____________УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
Том 154, кн. 1 Физико-математические пауки
2012
УДК 517.538.52^517.444
СХОДИМОСТЬ РЯДОВ ПРОСТЫХ ДРОБЕЙ в ьр
А.В. Каюмова
Аннотация
В работе исследована сходимость рядов из простых дробей в пространстве ЬР(К). В частности, получены необходимые и достаточные условия сходимости в пространстве
ЬР(И) рядов с членами вида ———.где {рь} последовательность положительных чисел.
£ —
Ключевые слова: простые дроби, неравенство Харди.
Введение
п 1
Выражение; вида > ------. где го,, гп комплексные числа, называется
І — %к
к=1
наипростейшей дробью степени п. Наипростейшие дроби привлекают внимание многих исследователей, и исследованию их свойств посвящено большое количество научных статей (см., например. [1 6]). В [1] рассматривалась задача нахождения необходимого и достаточного условия сходимости рядов наипростейших дробей
оо і
------ в Ьр(Щ, р > 1 и была доказана следующая
к=1 І - гк
Теорема А. Пусть р > 1, гк = хк + іук Є С \ М для любо го к Є N. Если вы° кр— 1 ° 1
полнено условие У -—г—г < +оо, то ряд <Ьо(#) = 7 ----- сходится в Ь.„(Щ.
ук р 1 І — гк
к=1 к к=1 к
Обратно, если этот ряд сходится в Ьр(М) , послед овательность |ук | упорядочена
кР—1
по возрастанию и < С\ук\ для всех к, то | |р_1 < +оо.
Заметим, что из теоремы А напрямую не следует аналогичный результат для ря-
о
дов простых дробей вида <?(#) = ———, где р\, ро,... положительные числа.
і — гк к= 1 к
Используя метод, разработанный в [1]. в настоящей статье доказана следующая
Теорема 1. Пусть р > 1, гк = хк + іук Є С \ М, рк > 0 для любо го к Є М, тогда
1) если последовательность {рк}кем ограничена сверху некоторым положительным числом М и выполнено условие
Е
крк
ук
р—1
< +ю, (і)
к=1
то ряд
о
рк
сходится в Ьр(
2) если ряд (2) сходится в ЬР(Ш), последовательность \ук\ упорядочена по возрастанию и \гк\ < С\ук\ для некоторого фиксированного С > 1, а числа рк монотонно убывают к некоторому числу К > 0, то выполнено условие (1).
Доказательство. В [2] показано, что сходимости рядов
в пространстве ЬР(Ж) равносильны (гк и рк удовлетворяют условиям теоремы 1). Значит, вместо сходимости ряда д(Ь) в ЬР(Ж) можно доказывать сходимость ряда Эд(Ь) в этом же пространстве. Без ограничения общности будем считать, что ук > 0 для всех к .
Обозначим
^ ___ РкУк
^-хк)2 + у1
Докажем первую часть теоремы 1. Заметим, что если в условии (1) упорядочить последовательность {рк/ук} по убыванию, то сходимость ряда (1) сохранится. Поэтому будем предполагать, что последовательность {рк/ук} упорядочена по убыванию.
Теперь покажем, что ряд У~^к сходится в Ьр
к=1
Пусть сначала р £ (1,2).
Так как (а + Ь)а < аа + Ьа щи а, Ь > 0 и а £ [0,1], то
+°/ п \Р +° п /и \ Р-1
/ & = ЕЗЕ Ук) ЛЬ < II + 12,
где
Чк=1 / —о І=1 \к=1
+0 п ( і \ Р—1
11 = / Ео- ЕУк) ль, (з)
-Оо *=1 ^к=1 '
+° п /и \ Р-1
12 = Е 0к\ ЛЬ. (4)
-о *=1 \к=3+1 )
Применяя неравенство Гельдера для оценки интеграла (3), имеем
п +о /з \Р-1 п /+° \1/0' ( +°/ * \(Р-1)в \ 1/в
II = Е / Оч ЛЬ <^| I ( I (ЕОк) ЛЬ
з=1-0 \к=1 У з=1
В последнем выражении положим а =1/(2 — р), в = 1/(р — 1) и заметим, что
+° \1/а /+°, . ,* '1/а
«?<* "вдЧ’'0! / ( —) *
1 + в2
{1-а)/а ( г- Г(« - 1/2) \ 1/а {1-а)/а
= РзУ) г(а) ) =РзУ)
а
где Г(а) - гамма-функция Эйлера. После подстановки, учитывая, что
+ о
/ Ок ЛЬ = при,
имеем
з Р- 1 п Р- 1
1о_ I ^ „р-к, 1 и/
> 7Г^~ / J V— 1 I / ; V— 1
2-р уР 1 I I 2-р уР 1
з=1 з к=1 з=1 з
п /'\Р-1 п/.ч)
з=1 з=1
Последнее неравенство справедливо, так как р*/М < 1 и (р — 1) £ (0,1). Далее мы будем использовать неравенство Копсона (теорема 344 из [7]): если ап > 0, 0 < в < 1, то
о о о
Е ЕаЛ ^"Е (папУ-
п=1 \з=п I п=1
Применим это неравенство при в = р — 1 и а* = р*/у*, тогда
п Р- 1 п п
Р-1
п Р- 1 п п
I ••••' - '/Е <^-17^м(р-1)(1-^х; Е- • (5>
2-р ^ V У ^ Ук)
Оцепим интеграл (4)
+о / \ Р-1 +о / \ Р-1
Р п I п \ п ' I п \
л < / Е«Л Е «'• *5Е % Е I '» =
-о *=1 \к=*'+1 / *=1-о \к=*'+1 /
Р- 1 Р- 1
п I п \ п I п
= 'Е«(еЫ ^'Е|1!
*=1
Отсюда вместе с (5) получаем, что
- 1 \ , - Ук I - 1 \ , . .. Ук
* = 1 ^=* + 1 ) * = 1 \к=* + 1
+ ° / п \ Р п / п
Е<э* л<с(Р,м)^2 Е-
х Р-1
■ 1 \ г. ук *=1 \к=*
где С(р, М) - константа, зависящая только от р и М.
(\ р-1
о \
> — сходится, то из последнего неравенства получаем.
к=ук/
что для любого е > 0 существует N такое, что для любых п > т > N
+°/ п \Р
/ ( Е О 1 ЛЬ < е.
\к=ш /
А это означает, что последовательность Бп = Qk фундаментальна в ЬР(М),
к=1
тогда в силу полноты ЬР(М) последовательность Бп сходится, и следовательно,
О
в Ьр(М) сходится ряд . И первая часть теоремы при р £ (1, 2) будет доказана.
р-1
к=1
оо / ОС
Докажем поэтому сходимость ряда У"^ I У"^ —
“ \ “ Ук
5 = 1 \к=5
оо
Р-1
Е|Егг1
/ Г) Б + 1 ■
о /о 2 5
Р-1
Рк
<
5= \к=5
Ук
5 = 1 \ в=0 к=2Б 5
Ук
(так как в силу условия 2) доказываемой теоремы последовательность {рк/ук} монотонно убывает)
О / О
2я + 1.5
р-1
о /о
Е(Е^У - ЕЕ^//,;
5=1 \я=0
У2бз
5=1я=0
У2б5
Последний ряд разобьем по четным и нечетным з на два ряда. Так как последовательность {рк/ук} монотонна, то эти два ряда будут сравнимы, то есть они будут сходиться или расходиться одновременно. Ряд по нечетным з совпадает
'*рЛр_1
рядом ]Г
к=1
Ук )
который по условию (1) сходится, следовательно, ряд
Р-1
также сходится.
Пусть теперь р > 2. Покажем, что последовательность Бп = Е (^к фунда-
к=1
ментальна в ЬР(М) (тогда, как и в предыдущем случае, можно сделать вывод
о
о сходимости ряда в прострапстве Ьр
к=1
р > 2
имеет место неравенство
+о
Е^
к=1
А < С (р, М)
к=1
крк
Ук
Р-1
Отсюда получаем, что
+° / п \ Р п
||Бт - БпУр = И ]ТдИ ^ < С(р,М)]Г
— о \к=т / к=т
крк
Ук
Р-1
п
Р
И так как выполнено условие (1), то из последнего неравенства следует, что последовательность Бп фундаментальна в ЬР(М). Первая часть теоремы полностью доказана.
о
Докажем обратное утверждение. Пусть ряд '''^JQ к сходится в пространстве
к=1
ЬР(М). Покажем сходимость ряда (1) при р > 1.
По условию |^к| < С|ук| для некоторого фиксированного С > 1 отсюда следует, что (г - Хк)2 + у2 < 22(г2 + х\) + 22у 2 < 4(г2 + С2ук) < 4С2(г2 + у|) для любого
г £ м.
Так как последовательность р к монотонно убывает к числу К, а последовательность у к упорядочена по возрастанию, то
+О/о V 1 +О/о \Р
/(2»)*ЕяЦ/(£Яя)*-
п о /о \ р—1
1 I \ Рз'Уз \ РкУк \ ,
п о У/ /о \ р—1
1 у- Г РзУз V- РЬУЬ \ Л >
- (2С)2Р^У Ь2+У2 •' "
Уз
Р-1
л I ОО
>
(2C)2p j=i_/_ y2 + y2 t2 + y2
(даГ= Щ» (&Гг
(\ р-1
Ч’/"Л ^ 2
о
Отсюда и из сходимости ряда J^Qк в ЬР(М) делаем вывод о том, что ряд
=1
у,(Ур2з'р-1
V У2з
сходится. Поэтому в силу монотонности последовательности {рк/ук} должен схо-
ьл
ё^г
Теорема 1 доказана. □
Summary
A. V. Kayumova. The Convergence of Series of Simple Fractions in Lp(R).
The convergence of series of simple fractions in Lp (R) has been investigated. In particular.
necessary and sufficient conditions for the convergence of series with coefficients ------— , where
t zk
Pk is a sequence of positive numbers, in LP(R) have been obtained.
Key words: simple fractions, Hardy’s inequality.
Литература
1. Каюмов И.Р. Сходимость рядов наипростейших дробей в ЬР(М) // Матем. сб. -
2011. Т. 202, Л» 10. С. 87 98.
2. Протасов В.Ю. Приближение иаипростейшими дробями и преобразование Гильберта // Изв. РАН. Сер. матем. 2009. Т. 73, 2. С. 123 140.
3. Данченко В.И. О сходимости наипростейших дробей в Ьр (М) // Матем. сб. - 2010. -Т. 201, Л» 7. С. 53 66.
4. Бородин П.А. Приближение иаипростейшими дробями па полуоси // Матем. сб.
2009. Т. 200, 8. С. 25 44.
5. Каюмов И.Р. Необходимое условие сходимости наипростейших дробей в Ьр (М) // Матем. заметки. 2012. Т. 92, Л» 1. С. 149 152.
6. Каюмов И.Р, Интегральные оценки паипростейших дробей // Изв. вузов. Матем.
2012. Л» 4. Р. 33 45.
7. Харди Г., Литтлвуд Д., Полна Г. Неравенства. М.: Изд-во иностр. лит., 1948. 456 с.
Поступила в редакцию 16.01.12
Каюмова Анна Васильевна кандидат физико-математических паук, доцепт кафедры информатики и вычислительных технологий Казанского (Приволжского) федерального университета.
Е-таі1: апьаи ШпЬих. ги
