Научная статья на тему 'Об области сходимости обобщенного ряда экспонент'

Об области сходимости обобщенного ряда экспонент Текст научной статьи по специальности «Функции многих комплексных переменных»

CC BY
117
13
Поделиться
Ключевые слова
обобщенный ряд экспонент / область сходимости

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Никитина О. Г.

Рассматривается область абсолютной сходимости ряда вида, где целая функция экспоненциального типа, удовлетворяющая определенным условиям. Дается описание наибольшей полной кратнокруговой области абсолютной сходимости рассматриваемого ряда.

In this paper is considered domain of absolute convergence for row as, where entire function of exponential type, which satisfies certain conditions. It is described the greatest full multicircular domain of absolute convergence for indicated above row.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Текст научной работы на тему «Об области сходимости обобщенного ряда экспонент»

ИЗВЕСТИЯ

ПЕНЗЕНСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ПЕДАГОГИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА имени В. Г. БЕЛИНСКОГО ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ И ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ № 13 (17) 2009

IZVESTIA

PENZENSKOGO GOSUDARSTVENNOGO PEDAGOGICHESKOGO UNIVERSITETA imeni V. G. BELINSKOGO PHYSICAL, MATHEMATICAL AND TECHNICAL SCIENCES № 13 (17) 2009

УДК 517.55

ОБ ОБЛАСТИ сходимости ОБОБЩЕННОГО РЯДА ЭКСПОНЕНТ

© о. г. НИКИТИНА

Пензенский государственный педагогический университет им. В. Г. Белинского кафедра математического анализа e-mail: kazakov@spu-penza.ru

Никитина О. Г. - Об области сходимости обобщенного ряда экспонент // Известия ПГПУ им. В. Г. Белинского.

да

2009. № 13 (17). С. 24-27. - Рассматривается область абсолютной сходимости ряда вида X dkf ("knzj, Цkz2),

, ч n,k=j

где f (tj, t2 ) - целая функция экспоненциального типа, удовлетворяющая определенным условиям. Дается описание наибольшей полной кратно-круговой области абсолютной сходимости рассматриваемого ряда. Ключевые слова: обобщенный ряд экспонент, область сходимости.

Nikitina O. G. - About domain of convergence for generalized row of exponent // Izv. Penz. gos. pedagog. univ.

im.i. V. G. Belinskogo. 2009. № 13 (17). P. 24-27. -In this paper is considered domain of absolute convergence for row

да

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

as X dn^f (-nZj, V-nz2), where f (j, 12 )- entire function of exponential type, which satisfies certain conditions. It is

n ,n=1

described the greatest full multicircular domain of absolute convergence for indicated above row. Keywords: generalized row of exponent, domain of convergence.

Пусть (Xn ), (цп ) - последовательности комплексных чисел, расположенных в порядке возрастания модулей, с предельной точкой в бесконечности, удовлетворяющие условию

ln (n, + n2)

lim , у 2/ = 0. (1)

n+n2 |\|+КI

да

f (t 1, ¿2 )= X akjk2¿f1 t22 " целая функция экспоненцИального типа с отлИчнымИ от нуля коэффициентами.

k1,k2 =0

Q = {(aj,a2)}- ее гиперповерхность сопряженных типов. Если функция f(tj,¿2) дополнительно удовлетворяет условию: существует система сопряженных типов (aj,a2)е Q такая, что

ln Mf (R )

lim -f v ' = 1, (2)

ri+r2 a 1R1 + a 2 R2

где M f (R) = max f (t1, t2), то имеет место следующая теорема.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

ТЕОРЕМА. Наибольшая полная кратно-круговая область абсолютной сходимости ряда

да

X dnn2 f (\ zl, Цп2 Z2 ) (3)

nj, П2 =1

определяется формулой

D = ( U DGjG 2 ,

(C1 ,a2 1 2

где Da - полная выпуклая кратно-круговая область, граница образа которой в абсолютном октанте Daa |) определяется при фиксированных (aj,a2)е Q соотношением

— lnd + R— \k + R2—2

lim 1 1 1' z1' 2 2| 21 = 0. (4)

n+n\W+Kl

Доказательство. Пусть (Ri, R2 ) - какая-то система положительных чисел, определяемая соотношением (4) при некоторых (а1,а2)е Q. Покажем, что в полицилиндре E(R1'R2) = z2)| <R1,|z2| <R2 j- ряд (3) схо-

( ) R _|z| R _|z|

дится абсолютно. Пусть (zi,z2)e ^(R1 'R^)*- Положим v1 = ———, v2 = ———, v = min{v 1,v2}.

— 1 — 2

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Для любого e > 0 из соотношения (4) имеем |d»» | < exp {e _R— )|\J + (e _R2— 2 )|M» |} » + »2 > N (e)- С другой стороны, в силу определения сопряженных типов функции, для любого 8 > 0

\f (\zi' М» Z2 )< exp{( zi|—1 + 8 )|\| + ( Z22 + 8 )| M» |}' »1 + n2 > N2 (8 ). Следовательно,

f (\ z1' Z2 ) < eXP{(e _ R— + I z11— 1 + 8 )| \\ + v

при e + 8 < —, Г 1 2

+ (e _ R2— 2 + |Z2 |— 2 + 8 )| ^ } ^ eXP { + 8 _V )(\ | + | ^ |)} eXP Г _V | + | M» |)l

где п1 + п2 > N(V ). Отсюда, в силу условия (1), следует, что ряд (3) в любом полицилиндре 2) сходится абсо

2

(gi,g 2 ) ,

\ I kJ I JD J11W W WiVl Ии^ШЦИ^ШИДи^ '

лютно. То есть ряд (3) сходится абсолютно внутри области D.

Теперь докажем, что D - наибольшая полная кратно-круговая область абсолютной сходимости ряда (3). Пусть (Ri, R2 )e d|D| . Покажем, что в любом полицилиндре Eq = {(zi, z2 )е C21 < qR1, |z21 < qR21, где q > 1, имеется хотя бы одна точка, в которой ряд (3) абсолютно не сходится. Предположим обратное: пусть в полицилиндре Eq ряд (3) сходится абсолютно. Тогда для любого qi (i < qi < q) найдется постоянная M(qi) такая, что

tmax {I dnn2 N f (Vi' ^ )|)< M (q) или К* ax {I f Uz^ ^ z2 ))< M (q) . Но в силу условия (2)

(z1'z2 ^ ' '' IZ1 ,z2 " '

(Ли { f z2 )|}> exP + 1) для любого е > О и ni + n2 > N(? ). Следо-

вательно,

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

\dn,n\ <M(qi)'exP+е)\Хп\ + (-42R2^2 +e)\^n11} < ехр{(-?Л^ +Si+ (-q2R2u2 +Bi)|я2|j (5) для любого ei > 0 и ni + n2 > N(ei).

С другой стороны, так как (Ri,R2 )e d|D|, из соотношения (4) получим, что для любого е > 0 найдется последовательность наборов {ni, ~2 )} такая, что

| > eXP {(-е - RiGi )|\| + (-е - R2G 2 )| |}, (6)

+ ~2 > Ni(е). Возьмем f + n2 > max{N(ех),Nl (ff)}. Так как qi > i, е и ei всегда можно выбрать столь малыми, чтобы выполнялись неравенства -е -RiGi > ei -q^Gi, -e -R2CT2 > e2 -2. Но тогда неравенства (5) и (6) противоречат друг другу. Следовательно, наше предположение неверно, и в любом полицилиндре Eq = {(zi,z2)e C^ |zj < qRi, < qR21, где q > i , найдется хотя бы одна точка, в которой ряд (3) абсолютно не сходится.

Таким образом доказали, что если выполняется условие (2), то ни в какой большей полной кратно-круговой области Di, Di з D , ряд (3) абсолютно не сходится. Теорема доказана.

ПРИМЕЧАНИЕ. Из доказательства теоремы видно, что если условие (2) не выполняется, то ряд (3) внутри области D абсолютно сходится. Однако в этом случае нельзя утверждать, что D наибольшая полная кратно-круговая область абсолютной сходимости рассматриваемого ряда.

Заметим, что соотношение (4) при каждых (gi,G2)е Q определяет границу полной выпуклой кратно-круговой области DG G , в которой ряд (3) сходится абсолютно. Но тогда и область D = U DGG есть полная

i 2 (Gj ,g2 )eQ 1 2

кратно-круговая область. Причем D - логарифмически выпукла.

ИЗВЕСТИЯ ПГПУ • Физико-математические и технические науки • № 13 (17) 2009 г.

i

,положив

Доказательство. Определим характеристическую функцию области G с C 2 G ф C 2

K(k) = lim «i+«2d (G),0 < X <да, где d (G) = sup |Zl|« • \z2]«2.

«i+«2 V (zi,z2)eG

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

i ^k «2

Отметим, что аналогичная функция K(\) в других терминах вводилась ранее в работе Окуня С. Д. [3]. Функция K(\) оказалась полезной при изучении некоторых многомерных задач, особенно в случае неограниченной области. В частности, она удачно выступает в роли обобщенного "радиуса" сходимости кратного ряда. Было показано, что K(\) непрерывна в некотором интервале (а, ß )с [0,да], равна бесконечности (если область G неограниченная)

в дополнении отрезка [а, ß ] и существуют пределы lim K (k )= K (а )< да lim K(k)= K(ß )< да

k ^а +0 k^ß -0

q(k)=(l + k)• lnK(k) выпукла в интервале (а, ß), если G область голоморфности. Причем справедливо и обратное утверждение: если некоторая функция обладает выше перечисленными свойствами, то существует двоякокру-говая область голоморфности G , для которой эта функция является характеристической функцией K(X). Рассмотрим соотношение (4). Обозначив в нем

Ri • аi = Rl, R2 • а2 = R2, (7)

придем к соотношению

_ ln|d 1+ R, • |k 1 + R • |ц I

1 • ««2 l «i 2 Г «2 r\

lim —1-4—Iii--= 0.

«+«2 k + ц

«i «2

Оно определяет некоторую выпуклую полную кратно-круговую область. Обозначим ее D'. Из (7) имеем

Ri = Ri' •— = Ri' • ri, R2 = R^ — = R2 ' • >2, (8)

а i а 2

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

где ri = —, r2 = ~, (а i,a 2 )eQ . а i а 2

Поскольку Q - гиперповерхность сопряженных типов, то [4] область

G = U Uz,, z9 )е C2: Izl < r, IzJ < r9, r = —, r9 =

и г2 )е С2 : Ы < г1, Ь2| < г2, г1 = —, г2 = — I (°1>° 2 а 1 а 2 является областью голоморфности.

Обозначим характеристическую функцию области В' через К0. (X), характеристическую функцию области О через К0 (X) и рассмотрим функцию р(X)= Кп.(X)• К0 (X). Очевидно, что эта функция обладает всеми выше перечисленными свойствами. Следовательно, ей соответствует определенная область голоморфности, для которой р (X) является характеристической функцией К (X). Но из соотношения (8), в силу определения характеристической функции, имеем р(X)= Кп (X). Следовательно, действительно, В - область голоморфности.

Как следствие доказанного утверждения получаем следующий результат: функция

R =w{r2)= r,max R )• x(r2)},

К 'г2 =К

0<К <тах Г2 -тах К2

изображающая зависимость сопряженных абсцисс абсолютной сходимости ряда (3), непрерывна в каждой точке интервала своего определения (здесь Я1 = ф (я2 ) описывает границу образа в абсолютном октанте области В', а функция = % ) - области О )

Отметим, что если /(¡1,/2 )= е'1+'2, то из доказанной теоремы, как частный случай, вытекают известные результаты В. П. Громова [1, 2] относительно области абсолютной сходимости кратного ряда Дирихле. Из выше изложенного с учетом теоремы 7 работы [2] получаем следующее следствие.

СЛЕДСТВИЕ. Если ряд (3) сходится абсолютно в полной кратно-круговой области В, то кратный ряд экспонент с такими же коэффициентами и показателями сходится абсолютно в области

О' = П ^ и 22)• ги < р2< (( • Справедливо и обратное утверждение: если кратный

(а1,а2 )еП )ед|О| }

ряд экспонент сходится абсолютно в области О', то ряд (3) с такими же коэффициентами и показателями сходится абсолютно в области О = и ] П , 22): 21< Я1 ' —, \г2\< Я2 '— >>, где О = {(а 1 ,а 2 )}- гипер-

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

(д1',д2')ЕдО'| [(а1.а2[ а1 а2

поверхность сопряженных типов функции / .

Интересно отметить, что если область О' неограниченна по переменной 2^, а область О неограниченна по переменной 2^ ( Ф /), то ряд (3) представляет собой целую функцию.

список ЛИТЕРАТУРЫ

1. Громов В. П. К теории кратных рядов Дирихле // Известия АН Арм.ССР. Математика. 1970. Т^. № 5. С. 449-458.

2. Громов В. П. К теории кратных рядов Дирихле. II // Известия АН Арм.ССР. Математика. 1972. Т^П. № 2. С. 90-103.

3. Окунь С.Д. Характеристическая функция двоякокруговой области и ее применение к вопросам полноты и базиса. Дис. ... канд. физ.-мат. наук. Ростов-на-Дону, 1961. 132 с.

4. Фукс Б. А. Введение в теорию аналитических функций многих комплексных переменных. М.: Физматгиз, 1962. 420 с.