Об области сходимости обобщенного ряда экспонент Текст научной статьи по специальности «Математика»

ИЗВЕСТИЯ

ПЕНЗЕНСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ПЕДАГОГИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА имени В. Г. БЕЛИНСКОГО ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ И ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ № 13 (17) 2009

IZVESTIA

PENZENSKOGO GOSUDARSTVENNOGO PEDAGOGICHESKOGO UNIVERSITETA imeni V. G. BELINSKOGO PHYSICAL, MATHEMATICAL AND TECHNICAL SCIENCES № 13 (17) 2009

УДК 517.55

ОБ ОБЛАСТИ сходимости ОБОБЩЕННОГО РЯДА ЭКСПОНЕНТ

© о. г. НИКИТИНА

Пензенский государственный педагогический университет им. В. Г. Белинского кафедра математического анализа e-mail: kazakov@spu-penza.ru

Никитина О. Г. - Об области сходимости обобщенного ряда экспонент // Известия ПГПУ им. В. Г. Белинского.

да

2009. № 13 (17). С. 24-27. - Рассматривается область абсолютной сходимости ряда вида X dkf ("knzj, Цkz2),

, ч n,k=j

где f (tj, t2 ) - целая функция экспоненциального типа, удовлетворяющая определенным условиям. Дается описание наибольшей полной кратно-круговой области абсолютной сходимости рассматриваемого ряда. Ключевые слова: обобщенный ряд экспонент, область сходимости.

Nikitina O. G. - About domain of convergence for generalized row of exponent // Izv. Penz. gos. pedagog. univ.

im.i. V. G. Belinskogo. 2009. № 13 (17). P. 24-27. -In this paper is considered domain of absolute convergence for row

да

as X dn^f (-nZj, V-nz2), where f (j, 12 )- entire function of exponential type, which satisfies certain conditions. It is

n ,n=1

described the greatest full multicircular domain of absolute convergence for indicated above row. Keywords: generalized row of exponent, domain of convergence.

Пусть (Xn ), (цп ) - последовательности комплексных чисел, расположенных в порядке возрастания модулей, с предельной точкой в бесконечности, удовлетворяющие условию

ln (n, + n2)

lim , у 2/ = 0. (1)

n+n2 |\|+КI

да

f (t 1, ¿2 )= X akjk2¿f1 t22 " целая функция экспоненцИального типа с отлИчнымИ от нуля коэффициентами.

k1,k2 =0

Q = {(aj,a2)}- ее гиперповерхность сопряженных типов. Если функция f(tj,¿2) дополнительно удовлетворяет условию: существует система сопряженных типов (aj,a2)е Q такая, что

ln Mf (R )

lim -f v ' = 1, (2)

ri+r2 a 1R1 + a 2 R2

где M f (R) = max f (t1, t2), то имеет место следующая теорема.

ТЕОРЕМА. Наибольшая полная кратно-круговая область абсолютной сходимости ряда

да

X dnn2 f (\ zl, Цп2 Z2 ) (3)

nj, П2 =1

определяется формулой

D = ( U DGjG 2 ,

(C1 ,a2 1 2

где Da - полная выпуклая кратно-круговая область, граница образа которой в абсолютном октанте Daa |) определяется при фиксированных (aj,a2)е Q соотношением

— lnd + R— \k + R2—2

lim 1 1 1' z1' 2 2| 21 = 0. (4)

n+n\W+Kl

Доказательство. Пусть (Ri, R2 ) - какая-то система положительных чисел, определяемая соотношением (4) при некоторых (а1,а2)е Q. Покажем, что в полицилиндре E(R1'R2) = z2)| <R1,|z2| <R2 j- ряд (3) схо-

( ) R _|z| R _|z|

дится абсолютно. Пусть (zi,z2)e ^(R1 'R^)*- Положим v1 = ———, v2 = ———, v = min{v 1,v2}.

— 1 — 2

Для любого e > 0 из соотношения (4) имеем |d»» | < exp {e _R— )|\J + (e _R2— 2 )|M» |} » + »2 > N (e)- С другой стороны, в силу определения сопряженных типов функции, для любого 8 > 0

\f (\zi' М» Z2 )< exp{( zi|—1 + 8 )|\| + ( Z22 + 8 )| M» |}' »1 + n2 > N2 (8 ). Следовательно,

f (\ z1' Z2 ) < eXP{(e _ R— + I z11— 1 + 8 )| \\ + v

при e + 8 < —, Г 1 2

+ (e _ R2— 2 + |Z2 |— 2 + 8 )| ^ } ^ eXP { + 8 _V )(\ | + | ^ |)} eXP Г _V | + | M» |)l

где п1 + п2 > N(V ). Отсюда, в силу условия (1), следует, что ряд (3) в любом полицилиндре 2) сходится абсо

2

(gi,g 2 ) ,

\ I kJ I JD J11W W WiVl Ии^ШЦИ^ШИДи^ '

лютно. То есть ряд (3) сходится абсолютно внутри области D.

Теперь докажем, что D - наибольшая полная кратно-круговая область абсолютной сходимости ряда (3). Пусть (Ri, R2 )e d|D| . Покажем, что в любом полицилиндре Eq = {(zi, z2 )е C21 < qR1, |z21 < qR21, где q > 1, имеется хотя бы одна точка, в которой ряд (3) абсолютно не сходится. Предположим обратное: пусть в полицилиндре Eq ряд (3) сходится абсолютно. Тогда для любого qi (i < qi < q) найдется постоянная M(qi) такая, что

tmax {I dnn2 N f (Vi' ^ )|)< M (q) или К* ax {I f Uz^ ^ z2 ))< M (q) . Но в силу условия (2)

(z1'z2 ^ ' '' IZ1 ,z2 " '

(Ли { f z2 )|}> exP + 1) для любого е > О и ni + n2 > N(? ). Следо-

вательно,

\dn,n\ <M(qi)'exP+е)\Хп\ + (-42R2^2 +e)\^n11} < ехр{(-?Л^ +Si+ (-q2R2u2 +Bi)|я2|j (5) для любого ei > 0 и ni + n2 > N(ei).

С другой стороны, так как (Ri,R2 )e d|D|, из соотношения (4) получим, что для любого е > 0 найдется последовательность наборов {ni, ~2 )} такая, что

| > eXP {(-е - RiGi )|\| + (-е - R2G 2 )| |}, (6)

+ ~2 > Ni(е). Возьмем f + n2 > max{N(ех),Nl (ff)}. Так как qi > i, е и ei всегда можно выбрать столь малыми, чтобы выполнялись неравенства -е -RiGi > ei -q^Gi, -e -R2CT2 > e2 -2. Но тогда неравенства (5) и (6) противоречат друг другу. Следовательно, наше предположение неверно, и в любом полицилиндре Eq = {(zi,z2)e C^ |zj < qRi, < qR21, где q > i , найдется хотя бы одна точка, в которой ряд (3) абсолютно не сходится.

Таким образом доказали, что если выполняется условие (2), то ни в какой большей полной кратно-круговой области Di, Di з D , ряд (3) абсолютно не сходится. Теорема доказана.

ПРИМЕЧАНИЕ. Из доказательства теоремы видно, что если условие (2) не выполняется, то ряд (3) внутри области D абсолютно сходится. Однако в этом случае нельзя утверждать, что D наибольшая полная кратно-круговая область абсолютной сходимости рассматриваемого ряда.

Заметим, что соотношение (4) при каждых (gi,G2)е Q определяет границу полной выпуклой кратно-круговой области DG G , в которой ряд (3) сходится абсолютно. Но тогда и область D = U DGG есть полная

i 2 (Gj ,g2 )eQ 1 2

кратно-круговая область. Причем D - логарифмически выпукла.

ИЗВЕСТИЯ ПГПУ • Физико-математические и технические науки • № 13 (17) 2009 г.

i

,положив

Доказательство. Определим характеристическую функцию области G с C 2 G ф C 2

K(k) = lim «i+«2d (G),0 < X <да, где d (G) = sup |Zl|« • \z2]«2.

«i+«2 V (zi,z2)eG

i ^k «2

Отметим, что аналогичная функция K(\) в других терминах вводилась ранее в работе Окуня С. Д. [3]. Функция K(\) оказалась полезной при изучении некоторых многомерных задач, особенно в случае неограниченной области. В частности, она удачно выступает в роли обобщенного "радиуса" сходимости кратного ряда. Было показано, что K(\) непрерывна в некотором интервале (а, ß )с [0,да], равна бесконечности (если область G неограниченная)

в дополнении отрезка [а, ß ] и существуют пределы lim K (k )= K (а )< да lim K(k)= K(ß )< да

k ^а +0 k^ß -0

q(k)=(l + k)• lnK(k) выпукла в интервале (а, ß), если G область голоморфности. Причем справедливо и обратное утверждение: если некоторая функция обладает выше перечисленными свойствами, то существует двоякокру-говая область голоморфности G , для которой эта функция является характеристической функцией K(X). Рассмотрим соотношение (4). Обозначив в нем

Ri • аi = Rl, R2 • а2 = R2, (7)

придем к соотношению

_ ln|d 1+ R, • |k 1 + R • |ц I

1 • ««2 l «i 2 Г «2 r\

lim —1-4—Iii--= 0.

«+«2 k + ц

«i «2

Оно определяет некоторую выпуклую полную кратно-круговую область. Обозначим ее D'. Из (7) имеем

Ri = Ri' •— = Ri' • ri, R2 = R^ — = R2 ' • >2, (8)

а i а 2

где ri = —, r2 = ~, (а i,a 2 )eQ . а i а 2

Поскольку Q - гиперповерхность сопряженных типов, то [4] область

G = U Uz,, z9 )е C2: Izl < r, IzJ < r9, r = —, r9 =

и г2 )е С2 : Ы < г1, Ь2| < г2, г1 = —, г2 = — I (°1>° 2 а 1 а 2 является областью голоморфности.

Обозначим характеристическую функцию области В' через К0. (X), характеристическую функцию области О через К0 (X) и рассмотрим функцию р(X)= Кп.(X)• К0 (X). Очевидно, что эта функция обладает всеми выше перечисленными свойствами. Следовательно, ей соответствует определенная область голоморфности, для которой р (X) является характеристической функцией К (X). Но из соотношения (8), в силу определения характеристической функции, имеем р(X)= Кп (X). Следовательно, действительно, В - область голоморфности.

Как следствие доказанного утверждения получаем следующий результат: функция

R =w{r2)= r,max R )• x(r2)},

К 'г2 =К

0<К <тах Г2 -тах К2

изображающая зависимость сопряженных абсцисс абсолютной сходимости ряда (3), непрерывна в каждой точке интервала своего определения (здесь Я1 = ф (я2 ) описывает границу образа в абсолютном октанте области В', а функция = % ) - области О )

Отметим, что если /(¡1,/2 )= е'1+'2, то из доказанной теоремы, как частный случай, вытекают известные результаты В. П. Громова [1, 2] относительно области абсолютной сходимости кратного ряда Дирихле. Из выше изложенного с учетом теоремы 7 работы [2] получаем следующее следствие.

СЛЕДСТВИЕ. Если ряд (3) сходится абсолютно в полной кратно-круговой области В, то кратный ряд экспонент с такими же коэффициентами и показателями сходится абсолютно в области

О' = П ^ и 22)• ги < р2< (( • Справедливо и обратное утверждение: если кратный

(а1,а2 )еП )ед|О| }

ряд экспонент сходится абсолютно в области О', то ряд (3) с такими же коэффициентами и показателями сходится абсолютно в области О = и ] П , 22): 21< Я1 ' —, \г2\< Я2 '— >>, где О = {(а 1 ,а 2 )}- гипер-

(д1',д2')ЕдО'| [(а1.а2[ а1 а2

поверхность сопряженных типов функции / .

Интересно отметить, что если область О' неограниченна по переменной 2^, а область О неограниченна по переменной 2^ ( Ф /), то ряд (3) представляет собой целую функцию.

список ЛИТЕРАТУРЫ

1. Громов В. П. К теории кратных рядов Дирихле // Известия АН Арм.ССР. Математика. 1970. Т^. № 5. С. 449-458.

2. Громов В. П. К теории кратных рядов Дирихле. II // Известия АН Арм.ССР. Математика. 1972. Т^П. № 2. С. 90-103.

3. Окунь С.Д. Характеристическая функция двоякокруговой области и ее применение к вопросам полноты и базиса. Дис. ... канд. физ.-мат. наук. Ростов-на-Дону, 1961. 132 с.

4. Фукс Б. А. Введение в теорию аналитических функций многих комплексных переменных. М.: Физматгиз, 1962. 420 с.