CC BY
23
ИЗВЕСТИЯ
ПЕНЗЕНСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ПЕДАГОГИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА имени В. Г. БЕЛИНСКОГО ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ И ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ № 18 (22) 2010
IZVESTIA
PENZENSKOGO GOSUDARSTVENNOGO PEDAGOGICHESKOGO UNIVERSITETA imeni V. G. BELINSKOGO PHYSICAL, MATHEMATICAL AND TECHNICAL SCIENCES № 18 (22) 2010
УДК 517.55
НЕКОТОРЫЕ ПРИМЕРЫ ОБЛАСТЕЙ СХОДИМОСТИ ОБОБЩЕННЫХ РЯДОВ ЭКСПОНЕНТ
© О. Г. НИКИТИНА
Пензенский государственный педагогический университет им. В. Г. Белинского, кафедра математического анализа e-mail: rector@spu-penza.ru
Никитина О. Г. - Некоторые примеры областей сходимости обобщенных рядов экспонент // Известия ПГПУ им. В. Г. Белинского. 2010. № 18 (22). С. 18-20. - Рассматривается область абсолютной сходимости ряда вида
да . .
Z dn,-щ ■ f (4!1г1,---Арл)* где f ( t1,..., tp ) - целая функция экспоненциального типа, удовлетворяющая
nj,---,np =
определенным условиям. Дается описание наибольшей полной кратно-круговой области абсолютной сходимости рассматриваемого ряда. Приводятся примеры.
Ключевые слова: обобщенный ряд экспонент, область сходимости.
Nikitina O. G. - Some examples of domains of convergence for generalized row of exponent // Izv. Penz. gos. ped-agog. univ. im.i V.G. Belinskogo. 2010. № 18 (22). P. 18-20. - In this paper is considered domain of absolute convergence
да , .
for row as, Z dn n • f (Aj z1,.,Apzp), where f (t1,..., tp ) - entire function of exponential type, which satisfies cer-
n.,---,np =j
tain conditions. It is described the greatest full multicircular domain of absolute convergence for indicated above row. It is reduced examples.
Key words: generalized row of exponent, domain of convergence.
Ранее было получено описание наибольшей полной кратно-круговой области абсолютной сходимости многомерного обобщенного ряда экспонент. Приведем этот результат.
Пусть (A'n )(i = 1,., p) - последовательности комплексных чисел, расположенных в порядке возрастания модулей, с предельной точкой в бесконечности, удовлетворяющие условию
ln(п + + п )
lim —V---------= 0. (1)
n+-"+np■*" KI +... + |A,Pp|
f (t1,...,tp)= Z ак ktki ■■■'tkpp - целая функция экспоненциального типа с отличными от нуля коэффициента-
kj.-,kp=0
ми
. Q = {(a-j.....o-p )} - ее гиперповерхность сопряженных типов. Если функция f (t'...tp) дополнительно удовлетворяет условию: существует система сопряженных типов (ctj. —.CTp)єП такая, что
ln Mf (R)
lim -----------^--------= 1. (2)
Ri+-+Rp cT'R' + — + apRp
где Mf (R )= max f (t'.-. tp) , то имеет место следующая теорема.
ki l£Rj.-.\tp |^Rp' '
ТЕОРЕМА. Наибольшая полная кратно-круговая область абсолютной сходимости ряда
Т d f (Л1 z..-.Apz ) (3)
4-і n'-n2J \ nj j’ ’ np p )
n'.-.«p='
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ►►►►►
определяется формулой D = и Dо о , где D0 0 - полная выпуклая кратно-круговая область, граница образа
К-,т„И р р
которой в абсолютном октанте (д|Dо о |) определяется при фиксированных (о-',-,ор)еО соотношением
и- + —+п„ ^да
ln d nl—-p +Riai Л1 n1 + — + R а P P\
Л1 n1 + — + n ъ ’’a
Приведем некоторые примеры кратно-круговых областей абсолютной сходимости рядов вида (3).
1. Рассмотрим ряд
X (-1 + —+-p)k• exp(-|ЛИі|-——\лI).f(Л-zi,...APpzp),
-1,-,np=
где (Л И) (i = 1,-,p) - последовательности комплексных чисел, расположенных в порядке возрастания модулей, с предельной точкой в бесконечности, удовлетворяющие условию (1). Пусть G полная кратно-круговая область, граница образа которой в абсолютном октанте (d|G|) получается из О преобразованием r = —,i = 1, —,p. Если
обозначить R. ■аі = Rj (i = 1, —, p), то соотношение (4) перепишется в виде
lim --------^Л1',-------------------------------^= О
и- + —+ -p ^да
или, в силу условия (1),
t ln (И- + — + —p) + (R- — l) |, лі +—+( rp-іЖс|
iim (R-—-)l Л л +—+ +—+i К: (Rp —i)U,p np = О.
-] +—+-p ^да Л-il +—+ \<
Очевидно, что это соотношение справедливо для каждой системы вида (Я',-,', — ,Др), где Д =',<',
У =', —, і -', і +', —, р; і =', —, р. Отсюда, с учетом того, что Ді = = Д'• г (і =', —, р), где (г;, —, гр )єд10|,
0і
получим, что рассматриваемый ряд сходится абсолютно в области G, то есть в этом примере D=G.
2. Рассмотрим ряд
X ехР(-п' - п22)• / (п222)+ X ехР (-п'2 - п2)• / (п'2рп222),
22
И- ,-2 =1 И- ,-2 = 1
И-=Л(О<Л<1) n-=Л(Л>1)
n2 n2
где у функции f (t1, t2) гиперповерхность сопряженных типов Q = {(c, (Г2)} такая, что sup j—| < да (i = 1,2).
(C ,^2 )e^
Запишем соотношение (4) для ряда
да
X exP (-nj - n2 )• f (njzj, n2z2 ) . (5)
n- ,-2 =1
—=Л(О<Л<1) n2
— (R--1)n1 +(R2 -n2)n2
Обозначив R. • at = Rt (i = 1,2), получим lim -----------------------— = О. Очевидно, что это соотношение выполня-
п, + -2 ^да 1
ется для каждой системы вида (', Д2) ,0 < Д2 < да. Но Д = • оі (і = ',2), следовательно, для ряда (5) соотношение (4)
справедливо для каждой системы вида I —, Д2 1, 0 < Д2 < да. То есть ряд (5) сходится абсолютно в полицилиндре
D1 =
( Z^ Z2 )
IzJ < sup <! —
( ■) О а-
(а- ,а2 )єО
. Рассуждая аналогично, получим, что ряд X exp (—n-2 - п2 )• f (n-z-, n2z2) схо-
=Л(Л>1)
n2
n , n =1
ИЗВЕСТИЯ ПГПУ ♦ Физико-математические и технические науки ♦ № 18 (22) 2010 г.
дится абсолютно в полицилиндре D2 = ся абсолютно в области
( Z1, Z2 )
|z^ < sup ^ — а2
(а- ,аг )єО
Следовательно, рассматриваемый ряд сходит-
D = D, n D2 =
( Z1, Z2 )
|z.| < sup ^ f, i = 1,2
(а1,а2)єО
3. Возьмем d-in2 = exp (—||Лп1пЛ) , где іЛ-.пЛ ^Л-J2 +K22f. Построим ряд
J еНЫ . f (Л^-ЛZ2),
(6)
где целая функция / (/', /2) такая, что для нее область G = {( 2', 22 )є С 2| |2'|2 +| 22|2 <'}, а последовательность (|л 'п |) (і = ',2;п = ',2,—) является асимптотически всюду плотной в октанте Q = {(х2)| X' > 0, х2 > 0} .
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Систему положительных чисел (|А'п|) (і = ',2;п = ',2,—) называют асимптотически
всюду плотной в октанте Q = {(X', х2)| X' > 0, х2 > 0} , если любой луч этого октанта, исходящий из начала, может быть как угодно хорошо приближен посредством векторов (Л |,|Л21), компоненты которых принадлежат соответствующим последовательностям (|л/ |) (і = ',2; п = ',2,—).
Рассмотрим соотношение
________ ln d + R, . Л + R, . Л2
, • I И,-, I 1 1-І
-1 + И-, ^да
Л1 +U2
= О,
(7)
г:— —1 + R, . cosа1(n) + R2 . cosа2n) ^ (п)
то есть lim ----------------1-----ттт-------^--------— = О, где а)' = arccosT
п, +-2 ^да
(n) (n)
cos а ' + cos а '
i = 1,2, (п) = (п,, п2). В силу свойств
опорной функции выпуклой области, для каждой точки (R1 ,R2 )ed|D|, где D = {(z1,z2)eC 2 | |ZJ +1Z2 | < J}
(её опорная функция Нщ (а) = sup {|zj• cosa1 +|z2|• cosa2} = 1) найдется направление (а)=(а^а2) такое, что
(IZ1|" lz2 )E|D'\
R1 • cosa1 + R2 • cosa2 = Нщ (а) = 1. Согласно условию, система (|Я in |) (i = 1,2;n = 1,2, ) является асимптотически
всюду плотной в Q. А это означает, что для каждого направления (а) можно указать последовательность векторов (И,1) таких, что а(")^ai (i = 1,2) при n + n2 ^да. Так как опорная функция Нщ (а) непрерывна, то
указанной последовательности векторов будем иметь lim
г:— R, . cosа1(n) + R2 . cos а2—)— 1
п, + -2 ^да
(п) (п)
cos а' + cos а'
для
= О. Следовательно, соот-
ношение (7) справедливо для каждой точки (R1 , R2 ) е д|D’|.
Рассмотрим область D абсолютной сходимости ряда (6). В [1] отмечалось, что Кв (А) = Кв, (А)-Кв (А).
Но воспользовавшись определением функции К (А) [2], нетрудно вычислить, что КВ,(А') = Кв (А)=^
Л
Л-^
1+Л
Л
Л1+1
Тогда Кв (А) = . Но это характеристическая функция гиперконуса. Следовательно, в этом примере
1 + А
D = {(z1, z2) е С21 + |z2| < 1} - гиперконус.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Никитина О. Г. Об области сходимости обобщенного ряда экспонент // Известия ПГПУ им. В. Г. Белинского. Физико-математические и технические науки. 2009. № 13 (17). С. 24-27.
2. Окунь С. Д. Характеристическая функция двоякокруговой области и ее применение к вопросам полноты и базиса. Дис.... канд. физ.-мат. наук. Ростов-на-Дону. 1961. 132 с.
n , n =1
12
nn
12
