Ряды типа рядов Дирихле для функций, аналитических в неограниченной кратнокруговой области Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.55

ряды типа рядов дирихле для функций, аналитических в неограниченной крАтно-круговой области

о. г. НИКИТИНА

Пензенский государственный педагогический университет им. В. Г. Белинского кафедра математического анализа

В работе исследуются условия, при выполнении которых всякую функцию, аналитическую в неограниченной полной

т

кратно-круговой области, можно разложить в ряд вида Р= V• I(^к121, №к2г2), где I(/1;/2) - целая

к\,к2=1

функция экспоненциального типа.

Пусть О с С2 неограниченная полная кратно-круговая область голоморфности с центром в точке (0, 0). Обозначим через Н(С) пространство функций, аналитических в области С с топологией равномерной сходимости на компактах.

т а

Пусть I(¿1, /2) = V —^^ • /И1 • /И2 - целая функция экспоненциального типа, коэффициенты которой

„ и !«2 ! =0 1 2

удовлетворяют условию:

И1 + «2

= —< А , (1)

vi П1"2\ K(А)

n2

^А

K(А) = lim dщ„2 (G),0 < А < <», söe d (G) = sup |zx|ni ■ 1"2-

«i+«2 v (z1,z2)eG

i ^А n2

Отметим, что аналогичная функция K(X) в других терминах вводилась ранее в работе С. Д. Окуня [ 4]. Функция K(X) оказалась полезной при изучении некоторых многомерных задач, особенно в случае неограниченной области. В частности она удачно выступает в роли обобщенного "радиуса" сходимости кратного ряда.

Обозначим через Р=[1, 1D) пространство целых функций t1, t2) двух комплексных переменных, D-тип которых по совокупности переменных при порядке 1 меньше 1 ( при этом в качестве области исчерпывания D пространства C2 взят единичный гиперконус D = {(z1;z2)е C2: |zj + |z2| < l}. Пусть K - класс положительных фун-

i \ exP)(1 _е)'(| Z1+ |z21)} I I I I ^ i \

кций k(z1, z 2 ) таких, что-—3—г—1—---при \zA + \z2\^да для любого е>0 и Inf k(z1, z2 0. Пусть

k iz1' z2 ) (z1,z2 >C2

S с C 2 некоторое подмножество пространства C2. Каждая функция k(z^ z2 ) определяет норму в пространстве P по формуле \q>(z1, z2 s = sup j^f 2Ц. Если S = C 2, то будем писать k =IHIkc2. Семейство норм ||| (соответс-

• (z1,z2 )ё£ [ k(z1, z2 )}

твенно Ц^ s ), определяет локально-выпуклую топологию на P, которую обозначим (P, K) (соответственно (P, K(S)).

Подмножество S с C2 называется достаточным для P, если топологии (P, K(S)) и (P, K) совпадают [3]. Известно, что если = 1,2) - регулярные множества с угловой плотностью А(©)= у— © при показателер(г)= 1, то

множество S = [i^jx является дискретным достаточным множеством для пространства Р=[1, 1D).

Пространство Р=[1, 1D) принадлежит к типу пространств, исследованных в работе [2]. Общая форма линейного непрерывного функционала F в таком пространстве известна:

= ГГ^ь * 2)

C' k(tl,*2)

где ф (*1, *2) е P , V - комплексная конечно-аддитивная мера ограниченной вариации, заданная на подмножестве комплексного пространства С2, k(1, *2 )е K.

F dv, (2)

Рассмотрим подпространство Р0 пространства Р:

Po =

где Ф(h,h) = X "Г!• tf1 • t«2.

л «i !«2! «i«=0 1 2

Ф(ti,Н )e P : lim ni+n2

«Ux

«2

а

< K (X) 0 < X <<x>

«1«2

Через И*(С) обозначим пространство, сильно сопряженное к И(С). Отображение

Т (Б )= Б/ (? о /),

а

где Б е Н * (о) (г1, г2 )е О, (/1; { 2 С , /(t1, {2 ^)=Х—' ^ '{ п - целая функция экспоненциального типа, удов-

пГ'п2!

летворяющая условию (1), устанавливает изоморфизм между пространствами И*(С) и Р0

Докажем это. Известно [4], что любой линейный непрерывный функционал S(F) на пространстве И(С) мож-

но записать в виде

S (F) = X Ь

«1,«2 =0

С

п1п2 п1п2 5

(3)

n1'n2 =

где ^,22 )= X спхп2 21х 222 е Н(О), ^рП1„г } - последовательность комплексных чисел, удовлетворяющая условию

¡ш П1+П#ПЛ < к (Я),0

П1+П2 П2 ^Л 1

Поэтому имеем

ГУ . b

«1«2 «1«2 ."и «2

6с / \

Г (S)= S^^ t2 Z2 )}= X -T7 • t" t"2 ■ S (z"1 • z"2 )= X -1"2, 'Г'2 • С1"

n1,n2=0 "i^^! «1,«2=0 «1 ■ «2 !

где //'да «r

"л/ b« « < K(Л,), 0 < Л. < да. Следовательно, VI 1 21

//да "

+«2 «2

Ч/ЛИ < 1, VA,0<A<<x. То есть

T (S)= Ф (tj, 12) e P = [1,1D). Причем

//да

«1 +«2 ^да «J «2

= //да

"1+«2 «2

2

Ii

а b

«1«2 «1«2

//да, /чЮ<к(a),v^,0<д<с

«2 ^Л V I 1 2I

"1 +«2 /"2 ^^

а значит ф({1,?2 )= Т(Б)е /0. Таким образом, получили, что Т отображает И*(С) в Р0. Из определения видно, что Т - линейное отображение. Покажем, что Т - биекция.

ifi

Пусть ^(ti,t2) = X -Т^Г• С • t"2 eP0-

«i, «2 = 0 'V "2

Рассмотрим функционал Б = \ —П1П^ \, действующий по правилу:

«i«2

VF(zi,Z2)= Xc„i„2z?z«2 eH(G): Si(F)= £ c„

«i ,«2=0

«i ,«2=0

i < —1

"VI ил| - K(

где //да "i+"2/с«« <—,0<A<<x. (см. [3]). Поскольку //да c«

< 1, то St определен на

п1+п2 п2 ^Л VI >п'12\ К (А^ У Ь J' ^ п1 +п2 п2

И(С). Видно, что Sí линейный функционал, а его непрерывность следует из того, что это функционал вида (3). Причем Б1 /, {272 )}= Ф1 (/1, /2 ) .

да

п п

12

1 1 "2

YLYI

2

Г'2

да

да

да

Предположим, что существует другой функционал Б2 е Н * (О), такой, что Б2 {//, /2)}= Ф1 (Ч,/2). Тогда

да

Т ( ^2 )= ^2 {/( 71/1, ^2 )}= Е -П-. ■ /П ■ /П ■ Б ( 2? ) =

= x • ^2()• /п • с = x •—• 1 ■ /п2 (/1,/2),

п1,п21 2 п1,п21 2 щп2

то есть Б; р"1 • 2^2 ) = Б2 (г^1 • 2^2) в силу единственности степенного разложения и полноты системы |/1П1 • /п } в пространстве целых функций. Таким образом, получили S1=S2.

Итак, Т - биекция пространств Н*(С) и Р . Можно показать, что Т - топологический изоморфизм пространств Н*(С) и Р .

Используя представление (2) и факт изоморфности пространств Н*(С) и Р , докажем следующее утверждение.

ТЕОРЕМА 1. Любая функция Р(г1, г2), аналитическая в неограниченной полной двоякокруговой области С с центром в точке (0, 0), представляется в виде:

Р (21, 22 )=Я ^ГГ1 ^

С2 к (/1, / 2)

где V - комплексная конечно-аддитивная мера ограниченной вариации, заданная на подмножестве комплексного пространства С2, к(/^/2 )е К , /(/1,/2 ) - целая функция, удовлетворяющая условию (1).

Доказательство. Обозначим через Т* отображение, сопряженное с Т, через К - канонический изоморфизм пространства Н(С) на его второе сопряженное Н**(С), через ц - суперпозицию отображений Т* и К-1, т.е. ц = К-1 0 Т*; ц отображает пространство Р0* взаимно однозначно на Н(С). Тогда

VБ е Н * (О), VР (г1,22 )е Н (О), Р £ Р0*: (Б, р = (Б, д(Р)} = (Б, Ко Т * (Р)} = (Б,Т * (Р)} = Т(Б), Р). (4)

Обозначим через 8 - линейный непрерывный функционал Р ^ Р(гх,22) где (гх г2) - произвольная, но фиксированная точка из С. Положим в (4) Б = 8 . Так как Т(5^ ^ ) = /(г1/1,22/2) ,то:

F (Zl, z 2 )= (8 , f) = (F, f (zlh, z 2t2 )).

Учитывая соотношение (2), получим искомое представление. Тем самым теорема доказана. Если S - достаточное множество для пространства Р , то, рассуждая аналогично [1], получим:

F (zi, z2) = ijf^f^1dv, (z, Z2)e G.

Пусть теперь S = {kk, ци )} - достаточное множество для пространства Р. Тогда из аддитивности функции v следует, что

F (zi, z 2 )= У f z 2 )-v(Ak, ^)+fff ^ z2t 2 ) dv,

\Як\+\^\<К k(4, M„) S0 k (/i, / 2 )

где S0 = S П {(/i,/2)s C2 : /i + \/2\ > R

Так как f (/i, /2) удовлетворяет условию (1), то при любых фиксированных (zi, z2 )е G найдутся (ri, r2 )е d|G такие, что для любых (/i, /2 )е C2 имеем:

if LI Л Л ^ Л 1 |f(zi/i,z2/21<A{e)-expj + s .|/J + LA + е .|/2|L<л(е)-exp{(i+ |/2|)J

Возьмем m таким, чтобы е было больше 1/т. И для данной функции к(/х,/2 )е К выберем R таким, чтобы к (/1 , /2) > ехр||\--^/1 +|/2 |)|,если +|/2| ^ К- Обозначим через а(V, S) полную вариацию меры V на S. Тогда

\\ dv

^(/1, /2 )

^ ( сЛ V 2212 л

<ст(у,Ь)■ sup -——.-Т-^-:

1»1|+| »2| >* к (/1, г 2)

М»,ЬУ *ир ^-1 ^ +1/21» Ь). 8ир ехр{Г1 -е\\ +|/2|)} =

ехр^Г1 +Ц Ж'2И [1т } ]

= а(у, Ь )• ехрЯ — -я]- 0 при R ^-<х>, так как — -е< 0. т ) \ т

Таким образом, доказали следующую теорему.

ад

ТЕОРЕМА 2. Каждая функция Р22)е Н(О) представляется в виде Р(гх,г2) = ^dkkk2 ■ I(кк^ъ Цк2г2),

к1,к2 =1

где I (/1, /2) - целая функция экспоненциального типа, удовлетворяющая условию (1), £ = {кк, Ц п )} - дискретное достаточное множество для пространства Р.

список литературы

1. Калинин С. И. О достаточных множествах для целых функций экспоненциального типа // Матем. заметки. 1978. Т. 24. Вып. 6. С. 839-846.

2. Красичков И. Ф. Полнота в пространствах комплекснозначных функций, описываемых поведением модуля // Матем. сб. 1965. Т.68 (110). Вып. 1. С. 26-57.

3. Напалков В. В. О дискретных достаточных множествах в некоторых пространствах целых функций // Доклады АН СССР. 1980. Т. 250. № 4. С. 809-812.

4. Окунь С. Д. Общий вид линейного функционала в пространстве функций двух переменных, аналитических в двоя-кокруговой области // Труды Новочеркасского политехнического института. 1959. Т. 99. С. 3-27.

УДК 517.55

о некоторых условиях сходимости рядов экспонент в пространстве аналитических функций

О. г. НИКИТИНА

Пензенский государственный педагогический университет им. В. Г. Белинского кафедра математического анализа

В статье рассмотрены необходимые и достаточные условия сходимости рядов экспонент в пространстве функций, аналитических в единичном круге и имеющих определенные ограничения в росте при подходе к границе круга.

Будем говорить, что функция а (х) принадлежит классу Л [1], если а (х) определена на промежутке [а,+да), неотрицательна на этом промежутке, дифференцируема внутри него, строго возрастает при х стремящемся к бесконечности стремится к бесконечности и

а'

11т

х^+ш а[х)

(сх)_!

для любого с > 0 (т. е. функция а(х) является медленно возрастающей). Через Р(х,с) обозначим функцию Р(х, с) = а~\с ■ а(х)).

Пусть теперь а (х) е Л и для любого ст, 0 < ст < 1 выполняются следующие условия:

а) а\ —1—т I= а(х) • (1+°(1)) пРи х ^ iР (ыМ