Об области абсолютной сходимости обобщенного ряда экспонент Текст научной статьи по специальности «Математика»

ИЗВЕСТИЯ

ПЕНЗЕНСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ПЕДАГОГИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА имени В. Г. БЕЛИНСКОГО ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ И ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ № 18 (22)2010

IZVESTIA

PENZENSKOGO GOSUDARSTVENNOGO PEDAGOGICHESKOGO UNIVERSITETA imeni V. G. BELINSKOGO PHYSICAL, MATHEMATICAL AND TECHNICAL SCIENCES № 18 (22) 2010

УДК 517.55

ОБ ОБЛАСТИ АБСОЛЮТНОЙ СХОДИМОСТИ ОБОБЩЕННОГО РЯДА ЭКСПОНЕНТ

© О. Г. НИКИТИНА

Пензенский государственный педагогический университет им. В. Г. Белинского, кафедра математического анализа e-mail: rector@spu-penza.ru

Никитина О. Г. - Об области абсолютной сходимости обобщенного ряда экспонент // Известия ПГПУ им. В. Г. Белинского. 2010. № 18 (22). С. 15-17. - Рассматривается область абсолютной сходимости ряда вида

да

X dnkf (ЛА, nkz2), где f (t, t2) - целая функция экспоненциального типа, удовлетворяющая определенным услови-

n,k=1

ям. Дается описание наибольшей полной кратно-круговой области абсолютной сходимости рассматриваемого ряда. Ключевые слова: обобщенный ряд экспонент, область сходимости.

Nikitina O. G. - About domain of absolute convergence for generalized row of exponent // Izv. Penz. gos. pedagog. univ. im.i V.G. Belinskogo. 2010. № 18 (22). P. 15-17. - In this paper is considered domain of absolute convergence for

да

row as ^ dnn f (^n z1, z2), where f (t1, t2) - entire function of exponential type, which satisfies certain conditions. It is

nn =1

described the greatest full multicircular domain of absolute convergence for indicated above row.

Key words: generalized row of exponent, domain of convergence.

Пусть (Лп ), (nn ) - последовательности комплексных чисел, расположенных в порядке возрастания модулей, с предельной точкой в бесконечности, удовлетворяющие условию

ln (п + П )

lim I || 2; = 0. (1)

П +п2 ^да Л + n

ni г П2

f t2 )= X - целая функция экспоненциального типа с отличными от нуля коэффициентами.

к к=0

П = {(сті,ст2)} - ее гиперповерхность сопряженных типов. Если функция f (tj, t2) дополнительно удовлетворяет условию: существует система сопряженных типов (ctj, а2) є Q такая, что

lnMf (R)

lim -------f-^- = 1, (2)

r+r2 alR1 + o2 R2

где Mf (R )= max f (t1, t2) , то имеет место следующая теорема и следствие из нее [2].

|tj |<Rj, |t2

ТЕОРЕМА 1. Наибольшая полная кратно-круговая область абсолютной сходимости ряда

да

X dnirh f (V^ ^ z2 ) (3)

nj ,»2 =1

определяется формулой

D= 4 ,

(a1,a1 )єП

где Daa - полная выпуклая кратно-круговая область, граница образа которой в абсолютном октанте (э|Daa |) определяется при фиксированных (с1,^) є Q соотношением

ИЗВЕСТИЯ ПГПУ ♦ Физико-математические и технические науки ♦ № 18 (22) 2010 г.

ln d П,П2 + 2^1 + ^2СТ2 К

Kl + \к n2

lim 1 nn‘1 1,111 = 0. (4)

П, + П2 л

СЛЕДСТВИЕ. Если ряд (3) сходится абсолютно в полной кратно-круговой области D, то кратный ряд

да

экспонент с такими же коэффициентами и показателями Z d^ - eKh +м"24 сходится абсолютно в области

п ,n=1

D' = П J U {(z,,Z2): IzJ <R,-a,, |zj < R2 -a2 }>. Справедливо и обратное утверждение: если кратный ряд

(a,,a2)єП [(RR)e3|D /II II ) J

экспонент сходится абсолютно в области D', то ряд (3) с такими же коэффициентами и показателями сходится

абсолютно в области D = U J П J (z,,z2):IzJ <R, —, IzJ <R2------------------->>, где Q = {(ct,,ct2)} - гиперповерх-

(r,,r2')є0|d 1 [(aa2)єп [ 11 a, ' ' a2 JJ n

ность сопряженных типов функции f .

Дадим другое описание полной кратно-круговой области сходимости ряда (3). Рассмотрим ряд (3) в случае, когда Кп, /лп (n = ,, 2,...) - положительны. Обозначим через

да

Z 40? ■ f (v^Мп2z2) (5)

n ,n=1

часть ряда (3), показатели которой лежат в конусе Q(а, с вершиной в начале координат, осью а = (а1,а2) и

і П П і

раствора о > 0 | а1 < —, а2 < — |.

(а,О) I

ln 1^П„2

Положим К (а,8) = - Ііт —¡= .Тогда если 8г <8,, то К (а,8,)< К (а,8) . В случае, когда в

4 > п1+пг ^да I/ ч2 / ч2 г 1

У(\ ) +(А* )

конусе Q (а, 8) окажется лишь конечное множество показателей ряда (5), будем полагать К (а, 8) = +да.

да

ЛЕММА. Ряд х 4а8)- ^ ^ 2 )

п1,п2 =1

D1 = и | П_ {(2,, ) є С 2\ а, Ысоб в + аг Ысоб в, - К (а,8)< 0}|.

(а,а2 )єП^(Д,вг )єЄ(а,8^ 1 ’)

В любом полицилиндре Е таком, что Е П CD1 Ф 0 (где через CDl обозначили дополнение области D1 до всего пространства С2) найдется хотя бы одна точка, в которой ряд (5) абсолютно не сходится.

Доказательство. Пусть (2Х,2г)єD1, всегда найдется система сопряженных типов (а,,аг)єП такая, что

а 2,1 соб в, + аг І2,1 соб вг - К (а,8) < 0, V(в1, вг) є Q (а,8). Тогда [2] Ііт 11 11 п+п

ln d(lI,0) П,П2 + сг, • z ^2n +С2 • Z2 •«n2

(2,)' +(«,2) 2 1

= lim

n +n

і і ( О) і і

lnd {a’s)\ ;

ПП I I n(n), І I An) A An) n,

■ + u1 • z • cos ßl '+с2 • z2 • cos ß2 < 0, где cos ßl - , ,

cos в2и) = . ^”2 -. А это означает, что в точках(z1,z2) є D1 ряд (5) сходится абсолютно.

v(\) +К)

Пусть (Zj(1), z21)) є CD1, тогда какую бы систему сопряженных типов (а1,^)єП мы ни взяли 3(Д, в2) є Q (a, S'): 7 z1(1) cos Д +а2 z21) cos Д2 - K (a,S)> 0. Из этого неравенства, при-

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ►►►►►

ln \d(a’s)\ n1n2 +ст1 • Iz(1 1 \\ + СТ2 • Iz(1)| •«2

'М‘ +(«2 ) 2 1

нимая во внимание (4) для ряда (5), имеем: lim

«!+«2

ln l^n^l I I I !

= lim —j= nn l^_ + CTi. Zj(1) • cos Д(п)+о"2 • z21) • cos ßn) > 0. А это означает [1], что в полицилиндре

+(«2 )■

{(z1, z2) є C2: |z11 < |z|1)I, |z21 < |z21)} найдется хотя бы одна точка, в которой ряд (5) абсолютно не сходится.

На основании этой леммы можно доказать следующую теорему [1].

ТЕОРЕМА 2. Ряд (3) абсолютно сходится внутри области

D = U

(ст1,ст2 )єП

П J ,2 ) є C 2| CTj |zJcos«j + а2 |z2|cosa2 - K (a,ö}< 0j

Л

0<Oi<—,

л

0<«2 <— V 2 2

, где * ( а) = lim К (a, S). В любом по-

лицилиндре Е таком, что Е П CD Ф 0 найдется хотя бы одна точка, в которой ряд (3) абсолютно не сходится.

Полная кратно-круговая область абсолютной сходимости ряда (3), определяемая соотношением (4), является логарифмически выпуклой. Возникает вопрос: любая ли полная кратно-круговая область D может быть областью абсолютной сходимости ряда (3)? Справедливы следующие утверждения, вытекающие из теоремы 1 и результатов работы [1].

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1. Для того чтобы полная кратно-круговая область D являлась областью абсолютной сходимости ряда вида (3), необходимо и достаточно, чтобы она была логарифмически выпуклой.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 2. Для того чтобы область голоморфности D являлась областью абсолютной сходимости ряда вида (3), где f - некоторая фиксированная целая функция экспоненциального типа, 0 = {(о'1,ст2)} - ее гиперповерхность сопряженных типов, необходимо и достаточно, чтобы область

D' = П

(ОІ.О-2 )єП

\ U {(z1,Z2): IzJ <R IzJ < R2 • <j2

[(RR HD|lv 7 1 1 11 ’ J

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 3. Для того чтобы ряд (3) с фиксированной функцией f и с фиксированной системой показателей (4) , (Я) , удовлетворяющих условию (2), мог иметь в качестве области абсолютной сходимости любую полную кратно-круговую логарифмически выпуклую область D, для которой область D' является выпуклой, необходимо и достаточно, чтобы система этих показателей являлась асимптотически всюду плотной в октанте Q = {(- ,у)є R2\ х > 0, y > о}

Аналогичные утверждения можно провести и для случая, когда (Лк), (я) - последовательности комплексных чисел.

В некоторых случаях может быть полезно следующее утверждение: радиус R наибольшего шара с центром в начале координат, внутри которого ряд (3) сходится абсолютно, определяется по формуле R =--lim

ln d n1n2

kl + W

где <г - тип функции f t2) по совокупности переменных (в качестве области исчерпывания пространства С2

берется гиперконус).

Это утверждение является следствием теоремы 1.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Громов В. П. К теории кратных рядов Дирихле. II // Известия АН Арм.ССР. Математика. 1972. Т. 7. № 2. С. 90-103.

2. Никитина О.Г. Об области сходимости обобщенного ряда экспонент // Известия ПГПУ им. В. Г. Белинского. Физико-математические и технические науки. 2009. № 13 (17). С. 24-27.