Об области абсолютной сходимости обобщенного ряда экспонент Текст научной статьи по специальности «Математика»

ИЗВЕСТИЯ

ПЕНЗЕНСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ПЕДАГОГИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА имени В. Г. БЕЛИНСКОГО ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ И ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ № 18 (22)2010

IZVESTIA

PENZENSKOGO GOSUDARSTVENNOGO PEDAGOGICHESKOGO UNIVERSITETA imeni V. G. BELINSKOGO PHYSICAL, MATHEMATICAL AND TECHNICAL SCIENCES № 18 (22) 2010

УДК 517.55

ОБ ОБЛАСТИ АБСОЛЮТНОЙ СХОДИМОСТИ ОБОБЩЕННОГО РЯДА ЭКСПОНЕНТ

© О. Г. НИКИТИНА

Пензенский государственный педагогический университет им. В. Г. Белинского, кафедра математического анализа e-mail: rector@spu-penza.ru

Никитина О. Г. - Об области абсолютной сходимости обобщенного ряда экспонент // Известия ПГПУ им. В. Г. Белинского. 2010. № 18 (22). С. 15-17. - Рассматривается область абсолютной сходимости ряда вида

да

S dnkf (ЛА, nkz2), где f (tl, t2) - целая функция экспоненциального типа, удовлетворяющая определенным услови-

n,k=1

ям. Дается описание наибольшей полной кратно-круговой области абсолютной сходимости рассматриваемого ряда. Ключевые слова: обобщенный ряд экспонент, область сходимости.

Nikitina O. G. - About domain of absolute convergence for generalized row of exponent // Izv. Penz. gos. pedagog. univ. im.i V.G. Belinskogo. 2010. № 18 (22). P. 15-17. - In this paper is considered domain of absolute convergence for

да

row as ^ dnn f (^n z1, z2), where f (t1, t2) - entire function of exponential type, which satisfies certain conditions. It is

nn =1

described the greatest full multicircular domain of absolute convergence for indicated above row.

Key words: generalized row of exponent, domain of convergence.

Пусть (Лп ), (nn ) - последовательности комплексных чисел, расположенных в порядке возрастания модулей, с предельной точкой в бесконечности, удовлетворяющие условию

ln (п + П )

lim I || 2; = 0. (1)

П +п2 ^да Л + n

ni г П2

f (t1> t2 )= Z a^Ji1^ - целая функция экспоненциального типа с отличными от нуля коэффициентами.

=0

Q = [(CT1,CT2 )} - ее гиперповерхность сопряженных типов. Если функция f (t1, t2) дополнительно удовлетворяет условию: существует система сопряженных типов (ст1, а2) є Q такая, что

lnMf (R)

lim -------f-^- = 1, (2)

R1+R2 ^да a1R1 + o2 R2

где Mf (R )= max f (t1, t2) , то имеет место следующая теорема и следствие из нее [2].

t |<Rb |t2 |<-Й2

ТЕОРЕМА 1. Наибольшая полная кратно-круговая область абсолютной сходимости ряда

да

Z dnn2f Мп2 Z2 ) (3)

n n =1

определяется формулой

D = Ц ,

(ctj ,ст2 )єП

где Daa - полная выпуклая кратно-круговая область, граница образа которой в абсолютном октанте (э|Daa |) определяется при фиксированных (ctj ,иг) є Q соотношением

ИЗВЕСТИЯ ПГПУ ♦ Физико-математические и технические науки ♦ № 18 (22) 2010 г.

in d П ”2 + R W + Rlal W

Iя” 1 + ”2

Ііт 1 к, , , = 0. (4)

П + П2 л

СЛЕДСТВИЕ. Если ряд (3) сходится абсолютно в полной кратно-круговой области D, то кратный ряд

да

экспонент с такими же коэффициентами и показателями £ d - е^+м"24 сходится абсолютно в области

п ,п=1

D' = П І и {(^1,72): Ы <Rl-а,, Ы < R2 - и2 }>. Справедливо и обратное утверждение: если кратный ряд

(а,а2)єП [(ЯЯ)єй|В| 1 /II II )

экспонент сходится абсолютно в области В' , то ряд (3) с такими же коэффициентами и показателями сходится

абсолютно в области D = и І П і (7, 2г ): Ы < R1------------------, Ь2| < R2---->>, где П = {(ст1,ст2)} - гиперповерх-

(я| Я )єд|В'\ [(а,а )єП [ 11 (У2

ность сопряженных типов функции / .

Дадим другое описание полной кратно-круговой области сходимости ряда (3). Рассмотрим ряд (3) в случае, когда Хп, /лп (п = 1,2,...) - положительны. Обозначим через

да

£ dПО?’ / М* 7 2 ) (5)

п ,n=I

часть ряда (3), показатели которой лежат в конусе Q(а,с вершиной в начале координат, осью а = (а,а2) и

і П Пі

раствора S > 0 | а1< — ,а2 <— |.

(a,S) I

in Кп,

Положим К (а,8) = - Ііт —р= .Тогда если 82 <8,, то К (а,8,)< К (а,8) . В случае, когда в

4 > п+"2 //. \2 / \2 21 V и V 2/

у(\) + (м*)

конусе Q (а, 8) окажется лишь конечное множество показателей ряда (5), будем полагать К (а, 8) = +да.

да

ЛЕММА. Ряд £ 4а8)- / , ^ 72 )

п п = 1

В = и | П {(7,72 )є С 2\ а ІС08 Д+а21721008 в - К (а,8)< 0}|.

(а ,а2 )єП^(Д,вг )єQ(а,8)^ 1 ’)

В любом полицилиндре Е таком, что Е П СВ, Ф 0 (где через СВ, обозначили дополнение области В, до всего пространства С2) найдется хотя бы одна точка, в которой ряд (5) абсолютно не сходится.

Доказательство. Пусть (7,,ь2)єВ,, всегда найдется система сопряженных типов (а1,а2)ёП такая, что

а 71008 в +а21721 ооб Д2 - К (а,8) < 0, V(Д1, Д2) є Q (а,8). Тогда [2] Ііт 11 11 п+п ^да

in d(“,S) П ”l +а •2 ЧІЛ +al • lzl •«n2

(я,)2+(«,2) l і

= iim

П +n ^да

I I ( S)l I

in d(“’S) ;

ПП2 I I o(”) , I I „(n) A n(n) \

■ + а • z • cosД, +CT2 • z2 • cospl’ < 0, где cos Д 7 = ^ =,

cos eln) = «” .. а это означает, что в точках (zI, z2) є DI ряд (Б) сходится абсолютно.

V(\ ) + («n )

Пусть (zI I ), zl ))є CDI, тогда какую бы систему сопряженных типов (a1,al )єП мы ни взяли 3(Д, Д2) є Q (a,S): а zI 1 ч cos Дх+а2 zlч cos Д2 - K (a,S)> 0. Из этого неравенства, при-

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ►►►►►

ln \da’s)\ n1n2 +т • Iz(1 1 \\ +т2 • Iz(1)| •«2

'W +(«2 1 2 1

нимая во внимание (4) для ряда (5), имеем: lim

«1+«2

ln Id^aS1! і j і і j і

= lim —j= nn + т1 • zf1 • cosв1("1+т2 • z^1 • cosв"1 > 0. А это означает [І], что в полицилиндре

""~Ци)'+(«}'

{(z1, z21 є C2: |zj < jz^1 j, |z21 < jz^1} найдется хотя бы одна точка, в которой ряд (5) абсолютно не сходится.

На основании этой леммы можно доказать следующую теорему [І].

ТЕОРЕМА 2. Ряд (З) абсолютно сходится внутри области

D = U

(СТі,СТ'2 )єП

П ^{(,1, ,2 ) є C 2| a1 |zJcosa1 + a2 |z2|cosa2 - K (a,S)< 0|

Л

0<«і<у,

л

0<a, <— V 2 2

, где K ( a = lim K (a, $1. В любом по-

лицилиндре Е таком, что Е П CD Ф 0 найдется хотя бы одна точка, в которой ряд (3) абсолютно не сходится.

Полная кратно-круговая область абсолютной сходимости ряда (3), определяемая соотношением (4), является логарифмически выпуклой. Возникает вопрос: любая ли полная кратно-круговая область D может быть областью абсолютной сходимости ряда (3)? Справедливы следующие утверждения, вытекающие из теоремы 1 и результатов работы [1].

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1. Для того чтобы полная кратно-круговая область D являлась областью абсолютной сходимости ряда вида (3), необходимо и достаточно, чтобы она была логарифмически выпуклой.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 2. Для того чтобы область голоморфности D являлась областью абсолютной сходимости ряда вида (3), где f - некоторая фиксированная целая функция экспоненциального типа, 0 = {(о'1,ст2)} - ее гиперповерхность сопряженных типов, необходимо и достаточно, чтобы область

D' = П

(т1,т2 1єЯ

\ U {(zpz21: IzJ < R т, |z2| < R2 • т2

[(R1R HD|lV 7 1 1 11 ’ J

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 3. Для того чтобы ряд (3) с фиксированной функцией f и с фиксированной системой показателей (4), (мп) , удовлетворяющих условию (2), мог иметь в качестве области абсолютной сходимости любую полную кратно-круговую логарифмически выпуклую область D, для которой область ^ является выпуклой, необходимо и достаточно, чтобы система этих показателей являлась асимптотически всюду плотной в октанте Q = {(- ,у)є R2\ х > 0, у > 0}

Аналогичные утверждения можно провести и для случая, когда (Лк), (рп) - последовательности комплексных чисел.

В некоторых случаях может быть полезно следующее утверждение: радиус R наибольшего шара с центром в начале координат, внутри которого ряд (3) сходится абсолютно, определяется по формуле R =--Ііт

ln d n1n2

KI + W

где <г - тип функции f (^, t2) по совокупности переменных (в качестве области исчерпывания пространства С2 берется гиперконус).

Это утверждение является следствием теоремы 1.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Громов В. П. К теории кратных рядов Дирихле. II // Известия АН Арм.ССР. Математика. 1972. Т. 7. № 2. С. 90-103.

2. Никитина О.Г. Об области сходимости обобщенного ряда экспонент // Известия ПГПУ им. В. Г. Белинского. Физико-математические и технические науки. 2009. № 13 (17). С. 24-27.