CC BY
18
_____________УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
Том 155, кн. 2 Физико-математические пауки
2013
УДК 517.54
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ ДЛЯ ПРОИЗВОДНЫХ ОДНОЛИСТНЫХ ФУНКЦИЙ
Ф.Д. Каюмов
Аннотация
В работе доказана гипотеза Бреннана для конформных отображений / единичного круга в предположении, что четные коэффициенты Тейлора функции 1п f' удовлетворяют некоторому условию. Доказана также справедливость гипотезы Вреппапа в случае, когда существует разложение функции 1/f' в ряд простых дробей, при условии, что этот ряд абсолютно сходится в пуле. Кроме того, получена оценка для приближения функции 1//' простыми дробями.
Ключевые слова: гипотеза Вреппапа, аппроксимация простыми дробями.
Пусть П - односвязная область на плоскости, граница которой состоит из более чем одной точки, и - конформное отображение области П на круг О = {г : |г| < < 1}.
Бреннаном [1] была высказана гипотеза о том, что ц>' € £Р(П) при 4/3 < р < 4, то есть
J |у/|р (1%(1у < то, з < р < 4. (1)
п
Пусть /: В ^ П - конформное отображение единич ного круга В на П. В [2] было доказано, что гипотеза Бреннана эквивалента соотношению
2п
1
/ '(те1
о
Поскольку гипотезу Бреннана не удалось доказать прямыми методами геометрической теории функции, то эту гипотезу стали доказывать для частных случаев. Бертильсон в своей диссертации [3] исследовал локальную версию гипотезы Бреннана для функций, близких к функции Кобе. В работе [4] также была доказана гипотеза Бреннана в предположении, что /(0) = 0 и тейлоровские коэффициенты функции 1og(z/'//) неотрицательны. Мы же докажем гипотезу Бреннана в предположении, что коэффициенты разложения 1п / ' заданы специальным образом, то есть докажем, что справедлива
Теорема 1. Если
1т
к=0
где ок - коэффициенты тейлоровского разложения 1п / ':
1п /'(г) = ^ Окгк:
к=о
то выполнено (2), и, следовательно, гипотеза Бреннана справедлива.
Доказательство. Без ограничения общности будем считать, что / € Здесь 5 - класс голоморфных и однолистных в единичном круге функций /, имеющих разложение
О
/(г) = г + С2г2 +-----= ^ Скгк
к=1
Из условия теоремы следует, что
(ОО \ / ОО ОО ^
53 ОкгМ = ехр ( ^2 02к+1г2к+1 + ^ 02кг2к
к=о к=о к=о
Поэтому
ОО
/ '(-г) = ехр - Е 02к+1г2к+1 + ]Т 02кг2к | =
V к=0 к=0
/о о о
= ехр ( - Е 02к+1г2к+1 - £ 02кг2к + 2 ]Т 02кг2к
к=о к=о к=1
Принимая во внимание то, что
О
/ (г
к=о
получим
О
/ '(-г) = ехр ( 2 ^ 02кг2Ч // '(г). (4)
к=о
Из равенства (3) следует, что для любого е > 0 существует постоянная Се такая, что
О1
ехр ^^ 1--
(4)
I/(-г)
к=о
Здесь для оценки 11//'| мы использовали тот факт, что
1
, 0 < г < 1.
< С2 (1 + г)3 (-5)
< С (1 _ г) 1+2е . ^
/ (г
< (1 + г)3
1г
который очевидным образом следует из теоремы искажения. /
JJ |/ '(г)|2 йжйу < пМ2
Ы <г
где М = тах | /1.
|г|<г
Воспользовавшись оценкой (5), получим
\/<-*>! < С‘1 (1(-+)1+2, * « 8С,2 І
Лт
(1 - т)
1+2,
4С2 і
є (1 — т)2є,
значит.
4С2 1
є (1 —
«є '
Таким образом, мы получаем неравенство
16С4
(1 — т)4є є2
(6)
4
1
/ '(—*)/'(*)
ехр
—2Е
в2к2
2к
к=0
<
с2
(1 — т)2
откуда
\/'М\2 " \ /'(—0/'(0 \2
Ы <г Ы<г
<
с4
(1 — т
4,
JJ \/'(—^)\2 ЛхЛу. (7)
|г| <г
Для дальнейших рассуждений нам потребуется равенство Парсоваля
2п „
лл О 2
/\/'(те«)\2 2п Ц \“к\2т2к’
где ак - тейлоровские коэффициенты функции
1 ~
/ '(*
ак^".
к=1
Перепишем равенство (8) следующим образом:
2п
= 2п^ \ак\2т4к.
лл
\/'(т
к=1
Воспользовавшись равенством (8), получим
г 2п
т Лт
лл
Ы <г
\/'(^)\2 У ' У \/'(теІЄ
00
2ПИ
\ак\2т
2т2к+2
к=1
2к + 2
В силу того, что
(2к + 2)т2к-2 < Є
-1
1 — т'
(8)
(9)
(Ю)
1
ОС
2
имеет место неравенство
~ ~ и, |2г2й+2
У^|а-|2г4- ^ е--------- У ---------------
^ -| ^ (1 - г) ^ 2^ + 2
-=1 у ' -=1
(Н)
Из (9) (11) вытекает, что
-1
|//(г
<
!Л^Г
2 •
(12)
0 |г|<г
12
2п
<
С
|//(г2еі»)|2 ^ (1 - г) 1+8є :
где С = 16пС|/( в£2). Отсюда при г2
:р получим
2п
Г
|//(ре
■£\ 12
<
С
<
С1
(1 -^р)1+8е " (1 - р)
где С1 = 21+8е С.
Теорема доказана.
Рассмотрим ряд простых дробей
□
(13)
Ряды вида (13) обладают важными свойствами. Вольф [8] в 1921 г. доказал теорему о разложении произвольной аналитической функции в ряд вида (13). Эта теорема была усилена в работах Данжуа [9]. В настоящее время исследования простых дробей активно продолжаются(см.. в частности, работы [10. 11]).
Исследуем этот ряд на сходимость в круге {|г| < 1}. Рассмотрим круг = = {г : |г| < г}, ще г < 1.
Если |г| < г, то
1 ,
Е
й=1
а-
г - г-
<
1г
й=1
«к
г-
Откуда следует, что если сходится числовой ряд
й=1
а-
г-
то по признаку Вейер-
штрасса ряд (13) сходится в круге |г| < г.
Тогда ряд (13) сходится и притом равномерно по признаку сравнения Войор-штрасса. вследствие чего по теореме Вейерштрасса [7. с. 17] этот ряд сходится к голоморфной функции.
Пусть / Є 5, тогда по теореме искажения |1///(г)| < (1 + г)3/(1 - г). Поэтому можно надеяться, что 1/// имеет разложение в ряд V'''----------—. В следующей
^ г - г-
теореме мы докажем справедливость гипотезы Броииаиа в части предположения о том, что для функции 1/// существует разложение в ряд простых функции, который сходится в нуле абсолютно.
2
/
связную область. Предположим, что 1/// представима в виде ряда из простых дробей, то есть
ОО
1 Е — («)
А--«■ ^ — -
Если
то справедливо неравенство
Е
й=1
а-
г-
<
2П
//(гег6
С
1 - г2
то есть справедлива гипотеза Бреннана. Доказательство. Пусть
N
а-
й=1
г - г-
Для оценки интеграла из равенства (2) проинтегрируем квадрат модуля этой функции по окружности |г| = г
2п 27
1(ге®0)|2 Й9 = I 00
N
Еа-ге®0 ____
-=1
ге®0 - г-
N N
ЕЕ
-=1 5 = 1 '
2п
а-
ге®0 - 2- у ^гв®0 - г,
Й9. (15)
После замены е®0 = і получим
N N
ЕЕ
-=15=1
«| = 1
__ NN __
1_о*-----^ = 2^ у у а- а 2 .
* гі - г- г - іг, ^ ^ г-г, - г2
В силу того, что
1
/ /(ге®0
при N ^ то равномерно по 9, имеют место равенства
2п 0 2п
1
//(ге®0)
2
ОО
Й9 = ііт I |<^(ге®0)|2 Й9 = 2п^^^^
а- а,
-=15=1
г-г,
Поэтому
2п
//(ге®0)
Й9 ^ 2п ЕЕ
-=1 5=1
а-а,
г- г,- - г2
ЕЕ
-=1 5=1
(1 - г2)
а- а,
(16)
7Т
2
2
а
5
2
г
2
ОО
1
Из условия (14) следует, что двойной ряд из неравенства (16) сходится и верно неравенство
В книге [6] было доказано утверждение о представлении аналитической в круге функции в виде предела последовательности рациональных функций. Поскольку /' не имеет нулей в единичном круге, функция 1//' аналитична, и, следовательно. к ней применима теорема Уолша. В следующей теореме мы дополним данный результат.
Теорема 3 (О приближении простыми дробями). Пусть Я < 1м / -
однолистная в круге В = (г : |г| < 1} функция, тогда существует функция д„,
где £]_, £2, • • •,£п, £п+1 = ^1 - последовательные точки, лежащие на окружности дВг и выбранные так, что |£&+1 — £&| ^ 0 равномерно при п ^ то.
Мы можем записать
(17)
Оценки (16) и (17) доказывают утверждение теоремы, так как
о
Теорема доказана.
□
П
такая, что для г Є = (г : |г| < Д} верно неравенство
/'(г) 3"(г) ^ п(1 - Д)3 •
(18)
Доказательство. Положим
2Д
(19)
г
1 + Д
Рассмотрим интеграл Коши на границе круга Вг = (г : |г| < г}
(20)
Интеграл (20) является пределом при п ^ то последовательности
1
гп \ — д"(г) = У)
/ '(г) 2п
£к + 1
£ к
1
1
/ ' (£)(£ — г) / ' (£&)(£& — г)
А.
(21)
Для оценки 1
1
— дп(г) в равенстве (21) воспользуемся неравенством
/ (г)
1
/ ' (£)(£ — г) / ' (£&)(£& — г)
<
£й — г
1
1
/'(£) /' (*к)
+
1
/' (£)
|£к — £|
|£ — г||£й — г|
Воспользуемся формулой оценки конечных приращений
1
1
/' (£) /' (£*
Известно [7. с. 53]. что
< тах Се[*к,«
1
/' (С) /' '(г)
|£к — £| = тах
Се[*кЛ
/' '(С)
/ ,2(С)
|£й — £|.
/'(*
<
1 г2
следовательно.
/' '(0
/ ,2(С)
< 6(1 + г)2 < 24
(1 — г)2 (1 — г)2
Воспользуемся следующими очевидными неравенствами:
1
£й — г
<
1
<
1
£ — г
<
| |£к | |г || г — |г|
11
<
||£| —
— |г
. . 2пг
|£к — £| <-------•
п
Учитывая вышеизложенное, получим оценку подынтегрального выражения равенства (21) падуге £ € [£к,£к+1]:
1
1
<
16пг
/ ' (£)(£ — г) / ' (£к )(£& — г
следовательно, на Гг имеет место неравенство
16пг2
1 3
+
|/(г) — дп(г)| <
п(г — |г|)(1 — г) у г — |г| 1 — г
1
п(г — |г|)(1 — г) у г — |г| 1 — г
В силу последнего неравенства в круге Вд верно неравенство
(23)
1
/' (г
— дп(г
<
512п
1(1 — Я)3'
□
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект Л*1' 12-01-97013).
Summary
F.D. Kayumov. Integral Estimates for the Derivatives of Univalent. Functions.
In this paper we prove Brennans’s conjecture for the conformal mapping of the unit circle on the assumption that even the Taylor coefficients of the function ln f' satisfies a certain condition. We also prove Brennan’s conjecture for the case when there is an expansion of the function 1/f' into a series of simple fractions, provided that this series converges absolutely to zero. In addition, we obtain an estimate for the approximation of the function 1/f' by simple fractions.
Keywords: Brennan’s conjecture, approximation by simple fractions.
Литература
1. Brennan J.E. The int.egrabilit.y of derivative in conformal mapping // J. London Math. Soc. 1978. V. s2-18, No 2. P. 261 272.
2. Pommerenke Ch.On the integral means of the derivative of a univalent function // J. London Math. Soc. 1985. V. s2-32, No 2. P. 254 258.
3. Bertilsson D. On Brennan’s conjecture in conformal mapping: Doct.. Thesis. Stockholm.
Sweden. 1999. 110 p. URL: http://www.diva-portal.Org/smash/gct./diva2:8593/
FULLTEXT01 .pdf, свободный.
4. Каюмов И.P. О гипотезе Вреппапа для специального класса функций // Матом, заметки. 2005. Т. 78, Вып. 4. С. 537 541.
5. Gronwall Т.Н. Some remarks on conformal representation // Ann. Math. Sor. 2. 1914
1915. V. 16, No 1 4. P. 72 76.
6. Уолш Дж.Л. Интерполяция и аппроксимация рациональными функциями в комплексной области. М.: Изд-во иностр. лит., 1961. 526 с.
7. Голути Г.М. Геометрическая теория функции комплексного переменного. М.: Наука, 1966. 345 с.
8. Wolff J. Sur les series £Г -—k 11 C' R' Aca(i ScL Paris' _ 192L _ V- 173' _ R Ю57-1058, 1327-1328.
9. Denjoy A. Sur los series do fractions rat.ionnelles // Bull. Soc. Math. Prance. 1924.
T. 52. P. 418 434.
10. Протасов В.Ю. Приближения паипростейшими дробями и преобразование Гиль-
борта // Изв. РАН. Сор. матом. 2009. Т. 73, 2. С. 123 140.
11. Данченко В.И. Оценки производных паипростейших дробей и другие вопросы //
Матом, сб. 2006. Т. 197, 4. С. 33 52.
Поступила в редакцию 25.01.13
Каюмов Фаниль Дамирович аспирант кафедры дифференциальных уравнений, Казанский (Приволжский) федеральный университет, г. Казань, Россия.
Е-шаП: /каиутоьвдтай.сит
