CC BY
39
____________УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
Том 155, кн. 4 Физико-математические науки
2013
УДК 517.54
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ ДЛЯ БЕСКОНЕЧНЫХ ПРОИЗВЕДЕНИЙ ТИПА РИССА
Ф.Д. Каюмов
Аннотация
В работе доказана гипотеза Бреннана для конформных отображений f, для которых отношение 1/f'(z) представимо в виде некоторых бесконечных произведений типа Рисса. Ключевые слова: гипотеза Бреннана, спектр интегральных средних.
В статье доказывается гипотеза Бреннана из теории конформных отображений для одного частного случая. Прежде чем приступить к доказательству, опишем известные результаты, имеющие отношения к этой гипотезе.
Пусть Q - односвязная область на плоскости, граница которой состоит более чем из одной точки. Предположим, что f - конформное отображение единичного круга D на область Q. Гипотеза Бреннана утверждает, что
2п
У\f(гвгв)\-2d0 = O((l — r)-1-£) Vе> 0, r ^ 1. (1)
0
Соотношение (1) эквивалентно неравенству [3f (—2) ^ 1, где величина
2п
lnj \f(re“)|‘ dtl
в(t) =‘TT °|ln(1 - r)l (2)
есть спектр интегральных средних конформного отображения f .
Карлесоном и Макаровым [1] было установлено, что
ef(t) < \t\ — 1,
для достаточно больших отрицательных t, причем равенство достигается для функции Кебе f (z) = z/(1 — z)2. Показано, что для интервала (—2,1/3] спектр интегральных средних [3f (t) максимален для функции, отображающей единичный круг D на область с фрактальной границей. Поэтому при решении данной проблемы особый интерес представляют случаи областей с фрактальным типом границы. К настоящему моменту гипотеза Бреннана в общем случае не доказана, но существуют доказательства для частных случаев. В диссертации [3] Бертильсон исследовал гипотезу для функций, близких к функции Кебе. Бараньски, Воль-берг и Здуник [2] рассматривали класс квадратичных полиномов fc(z) = z2 + c.
55
56
Ф.Д. КАЮМОВ
Они доказали гипотезу Бреннана для конформных отображений внешности круга на области вида
Пс = {z : fn(z) n ^ то},
где fn = f о •••о f.
В работе [4] было доказано, что гипотеза Бреннана верна для конформных отображений f единичного круга D в предположении, что у функции log(zf'/f) тейлоровские коэффициенты в нуле неотрицательны. В [5] доказана также справедливость гипотезы для конформных отображении f , для которых справедливо представление
О
log f' = У2 akznk, ~k+1 > q ^ 15, N < 1.
Пь
i„_п k
В [6] было установлено, что для конформных отображений f , щих условию
1
ш
П (1+71
k=0
як
+ 72 z
23k
\z\ < 1,
удовлетворяю-
выполнено неравенство
f3f (-2) < 1.0650 •••
В настоящей работе мы рассматриваем конформные отображения единичного круга f , для которых справедливо представление
1
о q— 1
пп (1+
k=0j=1
Wj z
(3)
где \wj \ < 1.
Пусть q 2s 2. Основным результатом работы является
Теорема 1. Если для некоторого натурального s числа Wj удовлетворяют условию
2ns
arg Wj = п------
q-1
то для f справедлива гипотеза Бреннана.
(4)
Для доказательства теоремы нам понадобится
Лемма 1. Для функции f, удовлетворяющей условию (3), выполняется неравенство
f (2) < 1. (5)
Доказательство. Представим функцию f в виде
о q— 1
f' (z) = П п
. 1 + Wj zq
k=0 j=1 j
(6)
И.Р. Каюмовым в работе [7, с. 44] было доказано, что если для однолистной функции f верно представление
1
f'(z) = I^(zqfc), \z\ < 1, Ф(0) = 1,
k=0
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ
57
где Ф(^) - аналитическая в единичном круге и не равная нулю функция такая,
что
M < |ф(^)| < M,
где M < +то, то для любого е > 0 существует константа Се < +то такая, что
IfЫ < С
1 \1+е 1 — r )
(7)
Действительно,
Легко видеть, что
q-1
ф(*) = п
j=1
1
1 + Wj z
q-1 q-1
П(1 -Iwj I) < I$(z)i <Q
j=1
j=1
1
1 - Iwj Г
Отсюда следует справедливость неравенства (7) для функции f, удовлетворяющей условию (3).
В силу однолистности f справедливо неравенство
JJ If'(z)I2 dxdy < nM2,
где M = max If (z)I.
Применяя оценку (7), получаем
If (z)I < С
dr
С 1
(1 - r)1+E е (1 - r)E
откуда вытекает неравенство
JJ If'(z)I2 dxdy <
п С
2
■2 (1 — г)2е "
Из равенства Парсеваля
2п
I If'(reie)I2 dd = 2п]Т Ы2r2
n k=0
следует, что
Г Г oo i 12 1
jj If/(reie)I2 dxdy = 2nYl
i i ’i k=0
\z\<r
^ aI2r2k+2 + 2 ,
где ak - тейлоровские коэффициенты функции f'. В силу неравенства
e-1
(2k + 2)r2k-2 <
1r
-1 IakI2r2k+2
YIakI2r4k ^ — Y
^ kI 1 — r ^ 2k + 2
k=0
k=0
r
имеем
(8)
(9)
(10)
(11)
58
Ф.Д. КАЮМОВ
Согласно (9) и (10) неравенство (11) эквивалентно неравенству
2п
J \f'(r2eid)|2 dd < \f'(z)\2 dz,
0 \z\<r
откуда с учетом (8) получаем неравенство
\f'(re*)\2 dd <
С
(1 - г)1+2е ’
(12)
где C = пС'2/ee2
□
Доказательство теоремы 1. Для удобства введем обозначение m = q — 1. Докажем, что
fif (—2) < 1, (13)
откуда и будет следовать справедливость теоремы.
Из леммы 1 вытекает, что при выполнении условий теоремы имеем [3f (2) ^ 1. Покажем, что
(—2) < (2). (14)
Для доказательства (14) достаточно установить справедливость неравенства
2п
П П(1+wjzqk)
k=0j=0
2 2п
dd </
0
пп
1
1 + Wj zq
k=0j=0 j
2
dd, z = re10.
(15)
Преобразуем левую часть неравенства (15). Для подынтегральной функции справедливо представление
1
f'(z)
ПД(1+ Wj zq) = (1 + 7izq + 72z2q +--+ Ymzmq^j , (16)
k=0 j=0 k=0
где коэффициенты Yj можно выразить по формулам Виета
П
Yi = wi + W2 +-+ wm,
Y2 = W1W2 + W1W3 +-+ wm-iwm,
Ym-l = W1W2 . . . Wm-i + W1W2 . . . Wm-2Wm +-+ W2W3 . . . Wm,
Ym = W1W2 . . .Wn.
Далее преобразуем правую часть неравенства (15). Заменив z на zei2ns/q-1, получим
оо m
f' (zei2ns/q-1) =
k=0j=l
1 1
1 + wj zqk ei2ns/q-1
П П(1+fjzqk
k=0j=l
+ t2z2q
+--)^П(1 + «izq + «2z2q +-)
k=0
(17)
где tj = —Wjei2ns/q 1.
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ
59
Представим коэффициенты aj в виде
aj = B(tj) + C(tj )> (I8)
где C(tj),B(tj) - некоторые многочлены от tj , причем многочлены B(tj) имеют ту же структуру, что и коэффициенты Yj в равенстве (16).
Докажем, что aj > 0. Из условия (4) следует неравенство Wjel2ns/(q-1) < 0 или то же самое, что tj > 0. Так как многочлены B(tj) и C(tj) являются различными комбинациями произведений положительных чисел tj, можно утверждать, что B (tj), C (tj) > 0.
Таким образом, выполнено следующее равенство для коэффициентов функции
(16), (17):
\Yj \ < \aj\- (19)
Далее для доказательства неравенства (15) нам потребуется равенство Парсе-валя (9). Для удобства преобразуем функции из (16) и (17) следующим образом:
1
ш
П(1 + Yizqk + Y2Z2qk +---+ YmZmqk)
k=0
1 + Y'k zk>
k = l
f '(z)=]^[(1 + aizq + a2Z2q +----) = 1 + ^ a'kzk.
k=0 k=1
Из неравенства (19) имеем
\Yk I < \ak I V k. (20)
Применяя теперь равенство Парсеваля (9) к неравенству (15) и учитывая оценку
(20), мы приходим к справедливости неравенства (14), которое влечет за собой неравенство
f (-2) < f (2) < 1. (21)
Теорема доказана. □
Усиление оценки
(-2) < 1
является более сложной задачей. Это показывает следующий пример.
Рассмотрим функцию f, удовлетворяющую условию (3), где q = 2 и s = 1, то есть
.. ОО
т = П'1 - z2‘ >■ (22)
k=0
Докажем, что для данной функции неравенство (13) переходит в равенство, то есть
f (-2) = 1■
Для функции f имеет место разложение
1
ш
П(1 - z^) = ^2 akzk >
k=0 k=0
(23)
где ak = ±1■
60
Ф.Д. КАЮМОВ
Из равенств (9) и (23) вытекает
2п
ln
[3f (-2) = limsup -
Г—► 1
П(1 - и)
k=0
d0
| ln(1 — r)
ln I 2ц 52 r
,• V k=0
limsup———------
r^i | ln(1 — r
2k
2
1,
что и требовалось получить.
Стоит отметить, что функция, удовлетворяющая условию (3), неоднолистна в единичном круге. Данный факт следует очевидным образом из теорем искажения.
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 12-01-97013-поволжье).
Summary
F.D. Kayumov. Integral Estimates for Infinite Products of Riesz Type.
In this paper we prove Brennan’s conjecture for a conformal mapping f in the case when the ratio 1/f'(z) can be represented in the form of some infinite Riesz products.
Keywords: Brennan’s conjecture, spectrum of integral averages.
Литература
1. Carleson L., Makarov N.G. Some results connected with Brennan’s conjecture // Ark. Mat. - 1994. - V. 32, No 1. - P. 33-62.
2. Baranski K., Volberg A., Zdunik A. Brennan’s conjecture and the Mandelbrot set // Int. Math. Res. Notices. - 1998. - No 12. - P. 589-600.
3. Bertilsson D. On Brennan’s conjecture in conformal mapping: Doct. Thesis. - Stockholm, Sweden, 1999. - 110 p. - URL: http://www.diva-portal.org/smash/get/diva2:8593/ FULLTEXT01.pdf, свободный.
4. Каюмов И.Р. О гипотезе Бреннана для специального класса функций // Матем. заметки. - 2005. - Т. 78, Вып. 4. - С. 537-541.
5. Kayumov I.R. Integral means and the law of iterated logarithm. Preprint No 8. -Djursholm, Sweden: Institut Mittag-Leffler, 2002. - 11 p.
6. Каюмов И.Р. Интегральные характеристики конформных отображений: Дис. ... д-ра физ.-матем. наук. - Казань, 2006. - 221 c.
7. Каюмов И.Р. Граничное поведение аналитических произведений Рисса в круге // Матем. труды. - 2006. - Т. 9, № 1. - С. 34-51.
8. Голузин Г.М. Геометрическая теория функции комплексного переменного. - М.: Наука, 1966. - 628 с.
Поступила в редакцию 10.09.13
Каюмов Фаниль Дамирович - аспирант кафедры дифференциальных уравнений, Казанский (Приволжский) федеральный университет, г. Казань, Россия.
E-mail: fkauymov@gmail.com
