СХОДИМОСТЬ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ОПЕРАТОРОВ Текст научной статьи по специальности «Математика»

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Prokhorov Г).. Vasileva Z. Linear extremal problems for univalent functions close to identity // Bull. Soc. et Lettre. Lodz, 1995. Vol. XLV. P. 11-17.

2. Прохоров Д. В. Множества значений систем функционалов в классах однолистных функций // Мат. сб. 1990. Т. 181, JVS 12. С. 1659-1667.

3. Прохоров Д. В., Гордиенко В. Г. Определение границы в локальной гипотезе Хажинского-Тамми // Изв. вузов. Математика. 2008. JVS 9. С. 59-68.

4. Гордиенко В. Г.,Самсонова К. А. Определение границы в локальной гипотезе Хажинского-Тамми для пятого коэффициента // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2013. Т. 13, вып. 4. ч. 1. С. 5-13.

5. Понтрягин Л. С., Болтянский В. Г., Гамкрелидзе Р. В., Мищенко Е. Ф. Математическая теория оптимального управления. М. : Наука, 1969. 308 с.

УДК 517.51

Е. В. Гудошникова

СХОДИМОСТЬ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ОПЕРАТОРОВ

В теории линейных положительных операторов хорошо известны операторы Саса-Миракьяна [1-2]:

Мп(/; х) = ^ /(П) ^Пте-ПХ' П е х > 0 (1) к=0 '

которые в силу теорем П. П. Коровкина [3] сходится к тождественному для любой / Е ВС, причем имеет место неравенство (см., например [4]):

\Mn(f ; x) - f (x)\ < 2(1 + VX) "(f; ),

где w(f; Vn) _ модуль непрерывности функции f. В работе [5] рассматривались операторы

Ln(f ; x)= У f (-) /.nx)tfc ч —, n E N, x > 0, (2) ^ \n) Г(k + д„) pn >

где Ьк = рк + Мп — 1 {Рп}£=1 и {дп}^- последовательности положительных чисел такие, что при некотором £ > 0

lim рПп = œ, pn < ln(ne), 1 < ßn < ^—г. (3)

- -- ln(ne)

n

n

При pn = ßn = 1 последовательность (2) превращается в (1).

Было доказано, что последовательность операторов Ьп(/; х) сходится к тождественному для любой / € ВС, причем

\Lnif; х) - /(х)| ^ + л/х) ;тах{^1п; -р-/п}).

Рассмотрим операторы

Hn(f; x) = jr Я-) Jnx)^n ,Mn), n g N, x > o, (4)

1( — + Mn)

k=0 V Pn

-1

где tk, pn и Mn , как и выше, ф(х; Mn) = ((nx)1/Pn; Mn))

то z k

Ер(г; м) = ——к-г - функция типа Миттаг-Леффлера [6].

к=0 П — + Мп)

4 Р— '

Также при рп = дп = 1 последовательность (4) превращается в (1) но не в (2)). Идея рассмотреть такие операторы возникла при изучении дробного дифференцирования.

Теорема 1. Пусть выполнены условия (3). Тогда для любой / € ВС последовательность операторов Нп(/; х) сходится к тождественному.

Доказательство. Проверим выполнение условий теоремы Коровки-на. Очевидно, что Нп(/; х)- линейный положительный оператор и

Нп(1; х) = 1. (5)

Имеет место утверждение (см. [5], лемма 2.6): найдется номерп0 такой, что для всех п > п0, для всех х > £

(пх) —1

1 — ад < ( ),—г < 1 + ад, (6)

п( ) < Рпепхф(х; Мп) < п( ), ()

где ^п(х) =-^—со = 14 • 21/3 + 1 + 14

nx min(1; рП^ 2 п sin Ц Так как

H (t; x) = x (nx)^n—2 pn6nx0(x; Mn)

n ' pnenx0(x; Mn — 1) (nx)^n—1

применяя неравенство (6), получим

1 — ¿n(x) . „ x . 1 + ^n(x)

x • 1 , w A - Hn(t;x) - x - i—• (7)

1 + dn(x) 1 — dn(x)

Поскольку

Н г.2. х) _ ф(х;Мп) + ф(х;Мп)

Нп(С , х) — 2 ,/ . +

п2ф(х; Мп - 2) п2ф(х; Мп - 1)

2 (пх)Мп—3 рпепхф(х; мп) х (пх)Мп—2 рпепхф(х; мп) рпепхф(х; мп — 2) (пх)^п—1 п рпепхф(х; мп — 1) (пх)^""1 ' применяя неравенство (6), получим

х2 + ж) 1 — ¿п(х) н ^ , /х2 + ж) 1 + ¿п(х) (8)

х + пУ 1 + ад - Нп(г'х) - г + пУ1 — ад' (8)

Из (5), (7), (8) следует, что последовательность операторов Нп удовлетворяет теореме Коровкина, следовательно, приближает непрерывную функцию.

Более того, имеет место

Теорема 2. Пусть выполнены условия (3). Тогда для любой / € ВС найдется номер п0 такой, что для всех п > п0? для всех х > е

Нп(/;х) — /(х) - 2 ^ ■ (1 + ^). (9)

д/п Ш1п(1; рп) V д/пх /

Доказательство теоремы проводится по следующей схеме. Применяя функцию Стеклова и ее свойства (см., например, [7]), получим

|Н(/; х) — /(х) - ||/ — Д||Нп(1; х) + ЦДЦН^ — х|; х) + ||/ — Д || -

- ы(/; Л)(2 + 1 Нп(|* — х|; х)). (10)

Обозначим:

к1

к _ [рп(пх—Мп+ 1)], «п _ Е (х — ^к(х) (если к < 0, то «п(х) _ 0);

к=о

то

к2 _ [рп(пх — Мп + 2)] +2 Ьп _ Е (| — х ^к(х)

к=к2

к2 — 1

Сп _ Е |х — пI ^к(х) (если к + 1 > — 1, то Сп(х) _ 0). к=к1+1

Применяя леммы работы [5], получим оценки:

й„(х) - М+1,6„(х) - -4- [рп^,С„(х) - (Р" + 1)(Р" + 2)

1 — ¿п рп\рлп' 1 — ¿п Рп\/Пп ' (1 — ¿п )прп л/Лпх'

Подставляя эти оценки в (10), после некоторых преобразований получим утверждение теоремы.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Миракьян Г. М. Аппроксимирование непрерывных функций с помощью поли-

та

помов e-nx ck,nxk Ц Докл. АН СССР. 1941. Т. 31. С. 201-205. к=0

2. Szasz О. Generalization of S. Bernstein's polinomials to the infinite interval // J. Res. Nat. Bur. Standards, Sect. B. 1950. Vol. 45. P. 239-245.

3. Коровкин П. П. О сходимости линейных положительных операторов в пространстве непрерывных функций // Докл. АН СССР. 1953. Т. 90, JVS 6. С. 961-964.

4. Xiehua Sun. On the simultaneous approximation of functions and their derivatives by the Szasz-Mirakvan operator // Journal of Approximation Theory. 1988. Vol. 55, iss.

P. 279-288.

5. Гудошникова E. В. Приближение операторами типа Саса-Миракьяпа и Баскакова с весовыми множителями : дис. ... канд. физ.-мат. наук. Саратов, 1996

6. Джрбашян М. М. Интегральные преобразования и представления функций в комплексной области. М, : Наука, 1966.

7. Дзядык В. К. Введение в теорию равномерного приближения функций полиномами. М, : Наука, 1977.

УДК 517.984

Л. С. Ефремова, В. А. Юрко

ВОССТАНОВЛЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ И ИНТЕГРОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ПУЧКОВ НА А-ГРАФАХ

Исследуется обратная спектральная задача для несамосопряженных пучков дифференциальных операторов второго порядка, заданных на компактных А-графах с произвольным числом циклов при стандартных условиях склейки во внутренних вершинах и краевых условиях в граничных вершинах. Основное внимание уделено наиболее важной нелинейной обратной задаче восстановления коэффициентов дифференциальных уравнений (потенциалов) при условии, что структура графа известна априори. Для этой обратной задачи доказана теорема единственности и получена конструктивная процедура построения решения. При этом используется развитие идей метода спектральных отображений [1]. Отметим, что некоторые классы обратных задач для интегро-дифференциальных операторов сводятся к изучению дифференциальных операторов и пучков операторов на А-графах.

Рассмотрим компактный связный граф О в с множеством ребер Е = {е1,..., еа}, множеством вершин V = ..., -ито} и с отображением а, которое каждому ребру ej Е Е ставит в соответствие упорядоченную пару (возможно равных) вершин: a(ej) := [и^], Uj Е V. Вершины