ОБ ЭКСТРЕМУМЕ ОДНОГО ЛИНЕЙНОГО ФУНКЦИОНАЛА В КЛАССЕ S^M Текст научной статьи по специальности «Математика»

3. Галаев С. В. Почти контактные метрические пространства с N-евязноетыо // Изв. Сарат, ун-та. Нов, сер. Сер, Математика, Механика, Информатика, 2015, Т. 15, вып. 3. С. 258-263.

4. Букушева А. В. Слоения на распределениях с финслеровой метрикой // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2014. Т. 14, вып. 3. С. 247-251.

5. Галаев С. В. N-продолженные снмплектнческпе связности в почти контактных метрических пространствах // Изв. вузов. Математика. 2017. JVS 3. С. 15-23.

6. Галаев С. В. Геометрическая интерпретация тензора кривизны Вагнера для случая многообразия с контактной метрической структурой // Сиб. мат. журн, 2016. Т,57, № 3 (337). С. 632-640.

7. Галаев С. В. Обобщенный тензор кривизны Вагнера почти контактных метрических пространств // Чебышевекий сб. 2016. Т. 17. JVS 3(59). С. 53-63.

8. Schonten J., van Kampen E. Zur Einbettungs-und Krümmungstheorie niehtholonomer Gebilde // Math. Ann. 1930. № 103. P. 752-783.

9. Вагнер В. В. Геометрия (n — 1)-мерного неголономного многообразия в n-мерном пространстве // Тр. семинара по векторному и тензорному анализу. М. : Изд-во Моск. ун-та. 1941. № 5. С. 173-255.

УДК 517.54

В. Г. Гордиенко, С. А. Голохвастова

ОБ ЭКСТРЕМУМЕ ОДНОГО ЛИНЕЙНОГО ФУНКЦИОНАЛА В КЛАССЕ SM

Обозначим через SM, M > 1, класс голоморфных однолистных в единичном круге E = {z : |z| < 1} функций

f (z ) = z + ß2Z2 + ..., (1)

удовлетворяющих ограничению |f (z)| < M, z £ E.

В работе [1] рассмотрен линейный функционал L(a,ß,f) = = Re(a4 + аа3 + ßa2) в кл ас се SM для M близких к 1. Там, в частности, доказано утверждение о том, что если (а, ß) £ l = {а < —2, ß = —1}, то существует константа M(а, ß) > 1 такая, что для всех M £ (1, M(а, ß)) и f £ SM выполняется неравенство

L^,ß,f) < L(a,ßfM), Л = 1/2 + 3/4а.

Функция fM отображает к руг E на круг радиуса M с двумя разрезами вдоль отрезка [—M, M], зависящими от Л. Известно [2], что функ-

f £ SM E M

лее чем двумя кусочно аналитическими разрезами, представимы в виде f (z) = Mw(z, log M), где

w(z, t) = e—t(z + a2(t)z2 + ...) (2)

является интегралом обобщённого дифференциального уравнения Лёв-нера:

2

dw л eiUk + w . л ,

— = —wVXk —-, w|t=o = z, 0 < t < logM, (3)

dt eiUk — w

k=l

с непрерывными функциями щ = Uk (t), k = 1, 2 и постоянными числами Xk > 0, k = 1, 2, X1+X2 = 1. Для функции имеем u1 = n, u2 = 0, X1 = = X, X2 = 1 - X.

В предлагаемой работе, используя алгоритм работ [3, 4], мы доказываем следующую теорему.

Теорема. Существует, M(—3, —1) = 2.82037... такое, что для всех M Е (1,M(—3, —1)) и f Е SM выполняется неравенство

L(—3, —1,f) < L(—3, — 1,fM4).

Доказательство. Совершим замену переменной t ^ 1 — e-t, и обозначим ak (t) = x2k—3(t) + ix2k—2(t), k = 2,... , 4. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях z в равенстве (3), после произведённой замены получим управляемую систему дифференциальных уравнений. Последнее уравнение этой системы будет иметь вид

2

x5(t) = — Ak (2x3 + (2x1 — 6)x — x2 — 1) cos uk+ k=i

+ (2x4 + 2(x1 — 3)x2) sinuk + (t — 1)(3(x1 — 1) cos 2uk + (4) +3x2 sin 2uk + (t — 1)2 cos 3uk)

X5(0) = 0, 0 < t < 1 — 1/M.

Следуя принципам оптимизационного формализма, введём вектор множителей Лагранжа Ф = (Ф1,... , Ф5)т и запишем функцию Гамильтона:

H(t, X, ^,u, A) = —2 ^ A

k

k=i

cos uk Ф1 — sin uk Ф2 +

+ (2(x1 cosuk+x2 sinuk) — (t — 1) cos2uk)Ф3 — (2(x1 sinuk—x2 cosuk)— (5) — (t — 1) sin 2uk)Ф4 + ((2x3 + (x1 — 6)x1 — x2 — 1) cosuk+ +2(x4 + (x1 — 3)x2) sinuk — 3(t — 1)((x1 — 1) cos2uk + x2 sin2uk) +

+(г - 1)2 еовЗмк)Фб

где и = (и^и2), Л = (Л1,Л2), Ак > 0, к = 1,2, А1 + А2 = 1, х = (х1,..., хБ)т удовлетворяет системе (4), а Ф = (Ф1,..., ФБ)Т, ФБ = 1, удовлетворяет сопряжённой системе дифференциальных уравнений и условиям трансверсальности ф(1 — 1/М) =0, 3 = 1,... , 4.

Оптимальная управляющая функция и* = (и*,и2), соответствующая экстремальной функции /* Е Sм в (5), удовлетворяет принципу максимума Понтрягина [5]:

тахН(г,х, Ф,и, А) = Н(г,х*, Ф*,и*,А), 0 < г < 1 — 1/М,

и,Л

где (х*, Ф*) является решением системы (4) и сопряжённой системы си = и* в их правых частях. Следовательно, при положительных значениях А1, А2 каждая го координат и*,и2 является корнем уравнения

Нм, (г,х, Ф, и, Ак) = 0, к = 1, 2,

где х = х*, Ф = Ф*, а Ак — это один из векторов (1,0) или (0,1). Наличие двух различных на [0, 2п) значений и*,и2 координат оптимально-и*

М

что вектор начальных данных сопряжённой системы имеет нулевые координаты. Полагая ^2(0) = а1,^4(0) = а2, сохраняя при этом оптимальный скользящий режим, мы рассмотрим все возможные вариации функции /М в окрестности точки (а1,а2) = (0,0). Следовательно, за-

М(—З, —1)

функции ^м(а), ^м : (^(0),А) ^ хБ(1 — 1/М), а = (а1,а2) в точке а = 0.

Из (4) непосредственной подстановкой проверяем, что

"((хб)«

(г

= 0, 3 = 1, 2.

а=0

м

Значит, (хБ)а.(1 — 1/М)|а=0 = ^ (0) = 0, 3 = 1, 2. Следовательно, 3 3

для всех М > 1 выполняются необходимые условия локального экстремума функции ^м(а) в точке а = 0. Поэтому остается лишь проверить достаточное условие экстремума функции ^м, зависящей от двух коор-

а, а = 0

ная форма, порождённая квадратной матрицей А = Д(М) с элементами (хБ)а.а (1 — 1/М), 3,1 = 1, 2, отрицательно определена. Численное интегрирование систем дифференциальных уравнений данной задачи приводит к значению М(—3, —1) = 2.82037....

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Prokhorov Г).. Vasileva Z. Linear extremal problems for univalent functions close to identity // Bull. Soc. et Lettre. Lodz, 1995. Vol. XLV. P. 11-17.

2. Прохоров Д. В. Множества значений систем функционалов в классах однолистных функций // Мат. сб. 1990. Т. 181, JVS 12. С. 1659-1667.

3. Прохоров Д. В., Гордиенко В. Г. Определение границы в локальной гипотезе Хажинского-Тамми // Изв. вузов. Математика. 2008. JVS 9. С. 59-68.

4. Гордиенко В. Г.,Самсонова К. А. Определение границы в локальной гипотезе Хажинского-Тамми для пятого коэффициента // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2013. Т. 13, вып. 4. ч. 1. С. 5-13.

5. Понтрягин Л. С., Болтянский В. Г., Гамкрелидзе Р. В., Мищенко Е. Ф. Математическая теория оптимального управления. М. : Наука, 1969. 308 с.

УДК 517.51

Е. В. Гудошникова

СХОДИМОСТЬ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ОПЕРАТОРОВ

В теории линейных положительных операторов хорошо известны операторы Саса-Миракьяна [1-2]:

Мп(/; х) = ^ /(П) ^Пте-ПХ' п е х > 0 (1) к=0 '

которые в силу теорем П. П. Коровкина [3] сходится к тождественному для любой / € ВС, причем имеет место неравенство (см., например [4]):

|Mn(/; x) - f (x)| < 2(1 + VX) "(f; ),

где w(f; Vn) _ модуль непрерывности функции f. В работе [5] рассматривались операторы

Ln(f ; X)= У f (-) /.nx)tfc ч —, n G N, x > 0, (2) ^ \n) Г(k + д„) pn >

k>max{0; (1-M„)} Vn rn

где Ьк = рк + Мп — 1 {Рп}£=1 и {дп}^- последовательности положительных чисел такие, что при некотором £ > 0

lim рПп = œ, pn < ln(ne), 1 < ßn < ^—г. (3)

- — ln(ne)

n

n

При pn = ßn = 1 последовательность (2) превращается в (1).