АППРОКСИМАТИВНЫЕ СВОЙСТВА ПРОИЗВОДНЫХ ОПЕРАТОРОВ САСА-МИРАКЬЯНА Текст научной статьи по специальности «Математика»

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Кириченко В.Ф., Рустанов А. Р. Дифференциальная геометрия квази-еаеакиевых многообразий // Матем, еб, 2002, Т. 193, № 8, С, 71-100,

2. Галаев С. В. О распределениях, со специальной, квази-сасакиевой структурой // Вестн, Волгогр, гос. ун-та. Сер, 1, Мат, Физ, 2017, JV2 2(39), С, 6-17,

3. Schouten J., van Катреп Е. Zur Einbettungs-und Krammungstheorie niehtholonomer Gebilde // Math. Ann. 1930. № 103. P. 752-783.

4. Bukusheva A. V., Galaev S. V. Almost contact metric structures defined bv connection over distribution // Bulletin of the Transilvania Universitv of Brasov. Ser. III : Mathematies, Informatics, Physies. 2011. Vol. 4, № 2. P. 13-22.

5. Вукушева A. В., Галаев С. В. Связности над распределением и геодезические пульверизации // Изв. вузов. Матем. 2013. JV2 4. С. 10-18.

6. Вукушева А. В., Галаев С. В. Почти контактные метрические структуры, определяемые связностью над распределением с допустимой финелеровой метрикой // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2012. Т. 12. вып. 3. С. 17-22.

7. Галаев С. В. N-продолженные симплектические связности в почти контактных метрических пространствах // Изв. вузов. Матем. 2017. JV2 3. С. 15-23.

УДК 517.51

Е. В. Гудошникова

АППРОКСИМАТИВНЫЕ СВОЙСТВА ПРОИЗВОДНЫХ ОПЕРАТОРОВ САСА^МИРАКЬЯНА

Поступила в редакцию 25.05.2018 г.

В теории линейных положительных операторов большую роль играют операторы Саса-Миракьяна [1-2]:

Ип(!; х) = ^/(П) ^е-пх, п е М, х > 0. (1)

к=0 '

Аппроксимативные свойства этих операторов хорошо известны, а именно имеет место Теорема 1

Для / е С |Мп(/; х) - /(х)|< 2(1 + и(/; ^); для / е С1 | Мп(/; х) - /(х) | < + ^ и (/'; );

для / е С2 |М„(/; x) - / (x) | < 1 W3x + M f ^) +

и |М„(/;х) - /(х) - ^|< 2П + П) / ТП)

где и(/; - модуль непрерывности функции /.

Эти оценки могут быть получены, например, как следствия теоремы 1 из работы [3]. Последнее неравенство является переносом известной

20

теоремы Вороновской ([4]), доказанной для операторов Бернштейна, на операторы Сиси Мирикьяни. Из него, в частности, следует, что класс насыщения для операторов Саса-Миракьяна - дважды дифференцируемые функции, и общий порядок приближения этими операторами не лучше O( П), то есть ее ли f"(x) = 0, то lim n\Mn(f; x) — f (x)\ = 0.

n n^TO 1 1

Наряду с операторами (1) рассматривались последовательности их производных (см., например, [5-7]):

TO 7 k

Mnp)(f; x) = ^ fQ^" (xke—nx)(p), p G N, n G N, x > 0, (2)

n

k=0

для которых имеет место Теорема 2

Для / е Ср |МПГ)(/; х) - /(р)(х)|< 2 ы(/(р); -п) + ы(/(р); £); для / е СР+1 |МпР)(/; х) - /(Р)(х}|< Ц/(р+1); ) + р||/(р+1)||;

для / G Cp+2 \ M,(p) (f; x) — f(p) (x) \ <

< 2n (1 + ) - (f (p+2); ^) + 2n llf (p+2)ll + P llf (p+1)l

и для некоторого в G (0; 1)

Mnp)(f; x) — f (p)(x) — 2nf (p+2)(x) — P?f (p+1)(x)\< o(П); п\мПр) (f; x) — f(p) (x)

(то есть lim п\мПр) (f; x) — f (p)(x)\= 0).

n

Доказательство. В работе [6] было получено представление

M^(f; x) = np ^

k=0

(nx)k

-——е— k! e

k

nx

Е (?)/ (¥) (-1)р"

Для рй разности функции / (см., например, [8])

А!(/; х) = Е (р)/ (¥) (-1)р-г

г=0 ^

найдется 0 е (0; 1) такое, что Д^(/; х) = ^р/(р)(х + поэтому

/ \ -

М«р>(/; х) = Е /(р) (П + ^Пте-"х = м,(ам)(0; х),

-=0 '

где #(£) = /(£ + р^)• И так как

Мр)(/; х) - /(р)(х)|< |мп(^(р)(^); х) - £(р)(х) | + |^р)(х) - /(р)(х) первые три неравенства могут быть получены из теоремы 1.

Докажем последнее утверждение теоремы. Пусть / е Ср+2. Так как /(р)(( + *) = /(р)(х) + /(р+1»(х)(( + р? - х) + 2/(р+2)(х)(г + * - х)2+

+ 2

1 f(p+2)(i) - /(p+2)(x)] (i + * - x)2,

где ^ - точка между i + — и x, и учитывая, что

n

X

Мп(1; х) = 1, Мп(£ - х; х) = 0, Мп((£ - х)2; х) = -, что может быть проверено непосредственным вычислением), получаем

M,<p)(/; X) = Mn(g(p))(i}; x) = /(p)(x) + /(p+1)(x) £ +1 /(p+2)(x}( n + РП22) +

+1M»((/(p+2)(i) - /(p+2)(x))(i + p? - x)2; x)

откуда

M^(/; x) - /(p)(x) - /(p+1)(x)p? - /(p+2)(x)

x '2n

<

<1/(p+2)(x)|pn2+2M,,(|/(p+2)«)-/<p+2)(x)|(i+p?-x)2;x) < <11/(p+2)llpn2+2"(/(p+2); ^)[Mn(|i+p?-x|2; x)+VnMn(|i+p?-x|3; x)

так как |/(i) - /(x)| < (1 + ^n|i - x|) • ; . В силу неравенства Коши-Буняковского

Mn(|t + p? - x|3;x) < ^Mn(|i + p? - x|2;x)^Mn(|i + p? - x|4;x). Проводя непосредственные вычисления, получаем:

Mn(|t + ? - x|2; x) = П + ^,

V n / n n2

_ (| p0 |3 ) x p2f2 /3x2 x 4pfx 6p2f2x p4f4 Mn |i + p? - x| ; x < J- + — + - + -pr + ^ + ^.

n n n2 n2 n3 n3 n2 n4

Подставляя полученные оценки, получим утверждение теоремы.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Миракъян Г.М. Аппроксимирование непрерывных функций е помощью полита

помов е-га Е ск,гахк // Докл. АН СССР. 1941. Т. 31. С.201-205. к=0

2. Szasz 0. Generalization of S.Bernstein's polinomials to the infinite interval //J, Res. Nat. Bur. Standards, Sect. B. 1950. Vol. 45. P. 239-245.

3. Гудошникова E. В. Оценки порядка приближения и теоремы насыщения для класса операторов // Математика. Механика : сб. науч. тр. Саратов : Изд-во Сарат. ун-та, 2015. Вып. 17. С. 21-25.

4. Вороновская Е. В. Определение асимптотического вида приближения функций полиномами С. Н. Бернштейна // Докл. АН СССР. 1932. № 4. С. 79-85.

5. Тихомиров Н. В., Рятин А. Г. Линейные положительные операторы и сингулярные интегралы / Калининский гос. ун-т. Калининск, 1979. 76 с.

6. Xiehua Sun. On the simultaneous approximation of functions and their derivatives by the Szasz-Mirakvan operator//Journal of Approximation Theory. 1988. Vol. 55, iss. 3. December. P. 279-288.

7. Гудошникова E. В. Сходимость последовательности натуральных и дробных производных операторов Саса-Мпракьяна// Математика. Механика.: сб. науч. тр. Саратов : Изд-во Сарат. ун-та, 2016. Вып.18. С. 21-25.

8. Дзядык В. К. Введение в теорию равномерного приближения функций полиномами. М. : Наука, 1977. 512 с.

9. Коровкин П. П. О сходимости линейных положительных операторов в пространстве непрерывных функций // Докл. АН СССР. 1953. Т. 90, JV2 6. С. 961-964.

10. Гудошникова Е. В. Приближение операторами типа Саса-Миракьяпа и Баскакова с весовыми множителями: дис. ... канд. физ.-мат. наук. Саратов, 1996. С. И.

11. Джрбашян М. М. Интегральные преобразования и представления функций в комплексной области. М. : Наука, 1966. С. 672.

УДК 517.927.25

B.C. Гуреев, B.C. Рыхлов

О ДВУКРАТНОЙ ПОЛНОТЕ КОРНЕВЫХ ФУНКЦИЙ ОДНОГО СИЛЬНО НЕРЕГУЛЯРНОГО ПУЧКА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ 5-ГО ПОРЯДКА

Поступила в редакцию 23.05.2018 г.

В пространстве [0,1] рассмотрим пучок обыкновенных дифференциальных операторов L(A), порожденный дифференциальным выражением n-ro порядка

£(y, A) := ^ PjSAsy(j), PjS е C, Pn0 = 0, Pon = 0, (1)

j+s=n

и линейно независимыми распадающимися нормированными краевыми условиями

^ Asaijsy(j}(0) = 0, i = 1Д ^ AsAjSy(j)(1) = 0, i = Т + Щ (2)

j+s=Ki j+s=Ki

где A a^s, eijs е C, Ki е N U {0} 1 < I < n — 1.