CC BY
8
2. Szasz 0. Generalization of S.Bernstein's polinomials to the infinite interval //J, Res. Nat. Bur. Standards, Sect. B. 1950. Vol. 45. P. 239-245.
3. Гудошникова E. В. Оценки порядка приближения и теоремы насыщения для класса операторов // Математика. Механика : сб. науч. тр. Саратов : Изд-во Сарат. ун-та, 2015. Вып. 17. С. 21-25.
4. Вороновская Е. В. Определение асимптотического вида приближения функций полиномами С. Н. Бернштейна // Докл. АН СССР. 1932. № 4. С. 79-85.
5. Тихомиров Н. В., Рятин А. Г. Линейные положительные операторы и сингулярные интегралы / Калининский гос. ун-т. Калининск, 1979. 76 с.
6. Xiehua Sun. On the simultaneous approximation of functions and their derivatives by the Szasz-Mirakvan operator//Journal of Approximation Theory. 1988. Vol. 55, iss. 3. December. P. 279-288.
7. Гудошникова E. В. Сходимость последовательности натуральных и дробных производных операторов Саса-Мпракьяна// Математика. Механика.: сб. науч. тр. Саратов : Изд-во Сарат. ун-та, 2016. Вып.18. С. 21-25.
8. Дзядык В. К. Введение в теорию равномерного приближения функций полиномами. М. : Наука, 1977. 512 с.
9. Коровкин П. П. О сходимости линейных положительных операторов в пространстве непрерывных функций // Докл. АН СССР. 1953. Т. 90, JV2 6. С. 961-964.
10. Гудошникова Е. В. Приближение операторами типа Саса-Миракьяпа и Баскакова с весовыми множителями: дис. ... канд. физ.-мат. наук. Саратов, 1996. С. И.
11. Джрбашян М. М. Интегральные преобразования и представления функций в комплексной области. М. : Наука, 1966. С. 672.
УДК 517.927.25
B.C. Гуреев, B.C. Рыхлов
О ДВУКРАТНОЙ ПОЛНОТЕ КОРНЕВЫХ ФУНКЦИЙ ОДНОГО СИЛЬНО НЕРЕГУЛЯРНОГО ПУЧКА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ 5-ГО ПОРЯДКА
Поступила в редакцию 23.05.2018 г.
В пространстве [0,1] рассмотрим пучок обыкновенных дифференциальных операторов L(Л), порожденный дифференциальным выражением n-го порядка
£(y, Л) := ^ PjsXy(j), Pjs е C, Pn0 = 0, Pon = 0, (1)
j+s=n
и линейно независимыми распадающимися нормированными краевыми условиями
^ )(0) = 0, i = 1Д ^ ЛsвijsУ(j)(1) = 0, i = Г+Т~п, (2)
j+s=Ki j+s=Ki
где Л aijs, Pijs е C, к е N U {0} 1 < l < n — 1.
Далее используем, не повторяя в данном тексте, известные определения корневых функций (к.ф.), т-кратной (1 < т < и) полноты к.ф., характеристического многоугольника (х.о.) и т.п. из [1].
Решается задача о нахождении условий па параметры пучка Ь(Л),
т
в пространстве Ь2[0,1]. Историю вопроса можно посмотреть, например, в [1-3].
Предположим, что корпи ... ,шп характеристического уравнения р-вМ- = 0 попарно различны, отличны от нуля и лежат на двух или
Js
j+s=n
одном лучах, исходящих из начала в количествах bn — k (0 < k < n).
Не нарушая общности, можно считать, что корни расположены следующим образом:
< ип—< ... < < 0 < < U2e—lv <...< шк (3)
где < п/2. В случае одного луча (k = n ми k = 0) считаем, что ^ = 0 и k = n.
Обозначим далее [p, q] — = min{p, q}, [p, q] + = max{p, q}. В [4] исследована кратная полнота к.ф. для такого пучка с условием (3). Получены достаточные условия 2(n — /)-кратной полноты при [k, n — —k]+ < /и 21-кратной полноты при [k, n—k]— > / с возможным конечным дефектом. Отмечено, что в случае
[k,n — k]— <l< [k,n — k]+ (4)
используемое доказательство не проходит из-за пока непреодолимых трудностей. Это случай пучка L(A) с устойчивой сильной нерегулярностью, то есть такой сильной нерегулярностью (см. [1]), которая имеет место при любых значениях коэффициентов краевых условий« js и Д^-Как указано в [4], вопрос о кратной полноте в некоторых случаях удается решить, используя другой подход, предложенный в [1]. Чтобы проверить это, рассмотрим конкретный пучок 5-го порядка вида (1)-(2), для которого выполняются условия (3) и (4) со следующими корнями его характеристического многочлена:
ш1 = 1, ¡х>2 = 2, ш3 = 4, ш4 = 8, ш5 = 2i, и краевыми условиями
Uio = y'(0) = 0, U20 = y"(0) — A2y(0) = 0, U30 = y'"(0) + Ay"(0) = 0, U41 = y (1) = 0, U51 = y"(1) + Ay'(1) = 0.
Непосредственным подсчетом удалось установить, что
VI / (а), V / (а), Уз / (а), / (а), V, е (а),
W1 е (а), Ж е (а), Жз е (а), Ж е (а), Ж е (а).
Для того чтобы было удобно подсчитывать соответствующие определители, строить х.м. М, Мд, М(V}) и М(Ж}) и проверять выполнение условий V} е (а) и Ж} е (а) (обозначения взяты из [1]), была составлена компьютерная программа в среде ППП МаЛаЬ.
Некоторые результаты работы программы показаны на рис. 1 3.
На рис. 1 изображен х.м. Мд (сплошной линией) и много угольник М (пунктирной линией). Точки ¡х обозначены как «г», ¡х + ¡¡-как «г^'» и
Наряду с этими многоугольниками программой построены х.м. М(V}) и М(Ж}) (в кружочек обведены те точки которые принадлежат и
соответствен но), ^ = 1, 5. На рис. 2-3 приведены для примера самые важные х.м. М(У5) и М(Жв), которые удовлетворяют условию (а).
з] [15] [25] 11251 [35~ 351 !35] [12351 ¡45] [145 2451 112451 345 1345 2345 | 2345 |
\
_ _ А \ Ж Л 1 1 1 V 1 1 1
У ¥ 3 У 1 0 0 0 0 [ 0 1 7 У 9 10 11 12 13 14 15 Й] 123 [7] [м] [24] 124 [34| 134 234 11234
Мд М
Так как имеется пара векторов с одинаковыми индексами {Ув, Жв} е е (а), то по теореме 2 из [1] можно заключить, что система к.ф. данного пучка однократно полна в Ь2[0,1] с возможным конечным дефектом.
Естественно возникает вопрос, а имеет ли место двух- и более кратная полнота к.ф. для рассматриваемого конкретного пучка?
Используя подход, предложенный в [5] для пучков третьего порядка, удалось установить, что для рассматриваемого пучка 5-го порядка имеет место 2-кратная полнота в пространстве Ь2[0,1] с возможным конечным дефектом. Ввиду громоздкости выкладок мы опускаем детали.
Рис. 3. M(W5)
Отметим, что В. С. Рыхлов выполнил теоретическую часть работы, а В. С. Гуреев практическую ее часть.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Рыхлое В. С. О полноте корневых функций полиномиальных пучков обыкновенных дифференциальных операторов с постоянными коэффициентами // ТВИМ (Таврический вестник информатики и математики). 2015. JYS 1(26). С. 69-86.
2. Rykhlov V. S. Multiple Completeness of the Root Functions for a Certain Class of Pencils of Ordinary Differential Operators // Results in Mathematics. 2017. Vol. 72, iss. 1-2. P. 281-301. '
3. Рыхлое В. С. О кратной полноте корневых функций обыкновенного дифференциального полиномиального пучка с постоянными коэффициентами // СМФН (Современная математика. Фундаментальные направления), 2017. Т. 63, вып. 2. С. 340361.
4, Рыхлое В. С. Достаточные условия кратной полноты корневых функций одного класса пучков дифференциальных операторов // Современные методы теории краевых задач : материалы междунар, конф,, посвящ, 90-летию Владимира Александровича Ильина (Москва, 2-6 мая 2018 г.), М. : МАКС Пресс, 2017, С, 192—194,
5, Рыхлое В. С. Кратная полнота корневых функций некоторых нерегулярных пучков дифференциальных операторов // ТВИМ, 2016, 2(31), С, 87-103,
УДК 519.853
С. И. Дудов, М. А. Осипцев
О КОЛЬЦЕ МИНИМАЛЬНОЙ ПЛОЩАДИ, СОДЕРЖАЩЕМ ГРАНИЦУ ДВУМЕРНОГО КОМПАКТА
Поступила в редакцию 21.05.2018 г.
1. Пусть О - некоторый компакт из пространства К2, дО - его граница, ||ж|| - евклидова норма элемента х € К2. Рассматривается задача
к(x) = R2(x) — p2(x) —> min . (1)
xeR2
Здесь функции
R(x) = max llx — yII, p(x) = min llx — y\\
yeD yedD
x
самой близкой точки границы компакта D. Кольцо с центром в точке x,
R(x) p(x)
цу компакта D. Величина nx(x) выражает площадь кольца. При этом данное кольцо обладает наименьшей площадью из подобных колец с цен-xD Авторам не известно, рассматривалась ли такая задача ранее. Если
D
назвать задачу
^(x) = R(x) — p(x) ^ min (2)
xeD
- о кольце наименьшей ширины, содержащем границу D [1, 2]. Простые примеры показывают, что задачи (1) и (2) могут иметь различные решения, а следовательно, задача (1) имеет самостоятельное значение.
Далее используются следующие обозначения :
- int A, co A, dA - внутренность, выпуклая оболочка, граница множества A соответственно
