Научная статья на тему 'Шестиволновой преобразователь излучения на резонансной нелинейности в параболическом волноводе'

Шестиволновой преобразователь излучения на резонансной нелинейности в параболическом волноводе Текст научной статьи по специальности «Физика»

CC BY
7
0
Читать
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Журнал
Компьютерная оптика
Scopus
ВАК
RSCI
ESCI
Область наук
Ключевые слова
шестиволновой преобразователь излучения / обращение волнового фронта / резонансная нелинейность / six-wave radiation converter / wavefront reversal / resonant nonlinearity

Аннотация научной статьи по физике, автор научной работы — Ивахник Валерий Владимирович, Капизов Дархан Рахметулович, Никонов Владимир Иванович

C использованием метода функции размытия точки проанализировано качество обращения волнового фронта при шестиволновом взаимодействии в двумерном волноводе с резонансной нелинейностью, показатель преломления которого меняется по параболическому закону. При условии, что одна из волн накачки возбуждает нулевую моду волновода, а распределение амплитуды другой волны накачки на грани волновода меняется по гауссову закону, показано, что при малой интенсивности одномодовой волны накачки уменьшение ширины гауссовой волны накачки либо приводит к улучшению, либо слабо влияет на качество обращения волнового фронта. При большой интенсивности одномодовой волны накачки уменьшение ширины гауссовой волны накачки ухудшает качество обращения волнового фронта. Определен диапазон изменения ширины гауссовой волны накачки, в пределах которого наблюдается наибольшее изменение амплитуды волны с обращенным волновым фронтом. Показано наличие порогового значения ширины гауссовой волны накачки, при которой изменение интенсивности одномодовой волны накачки не влияет на качество обращения волнового фронта

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Похожие темы научных работ по физике , автор научной работы — Ивахник Валерий Владимирович, Капизов Дархан Рахметулович, Никонов Владимир Иванович

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
Предварительный просмотрDOI: 10.18287/2412-6179-CO-1540
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Six-wave radiation converter based on resonant nonlinearity in a parabolic waveguide

The quality of wavefront reversal during six-wave mixing in a two-dimensional waveguide with resonant nonlinearity and the refractive index varying by a parabolic law is analyzed using a point spread function method. Assuming that one of the pump waves excites the zero mode of the waveguide and the distribution of the amplitude of the other pump wave on the edge of the waveguide changes by the Gaussian law, it is shown that at a low intensity of the single-mode pump wave, reducing the width of the Gaussian pump wave either leads to an improvement of or has little effect on the quality of wavefront reversal. At a high intensity of the single-mode pump wave, reducing the width of the Gaussian pump wave deteriorates the quality of wavefront reversal. We determine the range of changes in the width of the Gaussian pump wave in which the greatest change in the amplitude of the wave with a reversed wavefront is observed. It is shown that there is a threshold value for the width of the Gaussian pump wave at which a change in the intensity of the single-mode pump wave does not affect the quality of wavefront reversal

Текст научной работы на тему «Шестиволновой преобразователь излучения на резонансной нелинейности в параболическом волноводе»

Шестиволновой преобразователь излучения на резонансной нелинейности в параболическом волноводе

В.В. Ивахник1, Д.Р. Капизов1, В.И. Никонов1 1 Самарский национальный исследовательский университет имени академика С.П. Королёва, 443086, Россия, г. Самара, Московское шоссе, д. 34

Аннотация

C использованием метода функции размытия точки проанализировано качество обращения волнового фронта при шестиволновом взаимодействии в двумерном волноводе с резонансной нелинейностью, показатель преломления которого меняется по параболическому закону. При условии, что одна из волн накачки возбуждает нулевую моду волновода, а распределение амплитуды другой волны накачки на грани волновода меняется по гауссову закону, показано, что при малой интенсивности одномодовой волны накачки уменьшение ширины гауссовой волны накачки либо приводит к улучшению, либо слабо влияет на качество обращения волнового фронта. При большой интенсивности одномодовой волны накачки уменьшение ширины гауссовой волны накачки ухудшает качество обращения волнового фронта. Определен диапазон изменения ширины гауссовой волны накачки, в пределах которого наблюдается наибольшее изменение амплитуды волны с обращенным волновым фронтом. Показано наличие порогового значения ширины гауссовой волны накачки, при которой изменение интенсивности одномодовой волны накачки не влияет на качество обращения волнового фронта.

Ключевые слова: шестиволновой преобразователь излучения, обращение волнового фронта, резонансная нелинейность.

Цитирование: Ивахник, В.В. Шестиволновой преобразователь излучения на резонансной нелинейности в параболическом волноводе / В.В. Ивахник, Д.Р. Капизов, В.И. Никонов // Компьютерная оптика. - 2025. - Т. 49, № 1. - С. 13-20. - DOI: I0.18287/2412-6179-C0-I540.

Citation: Ivakhnik VV, Kapizov DR, Nikonov VI. Six-wave radiation converter based on resonant nonlinearity in a parabolic waveguide. Computer Optics 2025; 49(1): 13-20. DOI: 10.18287/2412-6179-C0-1540.

Введение

Для получения волны с обращенным волновым фронтом (ОВФ), наряду с четырехволновыми процессами, используются шестиволновые процессы [1 - 4]. Путем подбора частот, интенсивностей взаимодействующих волн вклад в волну с ОВФ шестиволновых процессов может превосходить вклад четырехволно-вых процессов.

Эффективность трех-, четырех-, шестиволновых преобразователей излучения может быть повышена при рассмотрении таких взаимодействий в волноводах за счет увеличения длины взаимодействия при неизменной интенсивности взаимодействующих волн [5 - 9].

Наряду с эффективностью преобразования, важнейшей характеристикой многоволновых преобразователей излучения является качество ОВФ, определяющее возможность использования таких преобразователей в системах адаптивной оптики, для обработки в реальном времени изображений, временных сигналов [10 - 11].

Если вопросы качества ОВФ при четырехволно-вом взаимодействии в различных типах волноводах, с различной нелинейностью рассматривались в ряде экспериментальных и теоретических работ [12 - 15], то подобные работы по изучению качества ОВФ при

шестиволновом взаимодействии в многомодовых волноводах, по мнению авторов, проводились в недостаточно полной мере.

Одной из нелинейных сред, используемых для получения волны с ОВФ при шестиволновом взаимодействии, являются нелинейные среды, моделируемые системой энергетических уровней (среды с резонансной нелинейностью) [16 - 19].

В настоящей работе исследуется влияние на качество ОВФ при вырожденном шестиволновом взаимодействии на резонансной нелинейности в двумерном волноводе с параболическим профилем показателя преломления (параболический волновод) характеристик волновода, пространственной структуры, интенсивности волн накачки.

1. Модель шестиволнового преобразователя излучения

Рассмотрим шестиволновое взаимодействие в схеме со встречными волнами накачки в двумерном многомодовом волноводе, расположенном вдоль оси 2 между плоскостями г = 0 и ъ=1. На переднюю грань волновода падают первая волна накачки и сигнальная волна с комплексными амплитудами Л\ и А3, на частоте Ю1. На заднюю грань волновода падает вторая волна накачки с комплексной амплитудой Л2, на ча-

стоте ю2. В результате шестиволновых взаимодействий Ю1 + Ю1 - Ю1 + Ю2 - Ю1 = Ю2, Ю1 + Ю2 - Ю2 + ю2 -ю1 = ю2 в волноводе генерируется объектная волна на частоте Ю2, распространяющаяся навстречу сигнальной волне и имеющая комплексную амплитуду Аб, сопряженную амплитуде сигнальной волны (рис. 1).

Рис. 1. Схема вырожденного шестиволнового взаимодействия при а1 »а2 (а) и а1 ^ а2 (б)

Считаем, что волновод состоит из вещества с коэффициентом поглощения а0, показателем преломления п (х) и ансамбля частиц с коэффициентом поглощения а1 ^ а0.

Уравнение Гельмгольца, описывающее вырожденное (ю1 = ю2 = ю) многоволновое взаимодействие, есть [20]

[V2 + к 2п2 (х) - 2ik а] (А + к.с.) = 0.

(1)

Здесь

А = Х А] + А6

]=1

к = ю/с - волновое число, а = а0+а1, х - поперечная координата.

В качестве частиц рассмотрим частицы, моделируемые либо трехуровневой схемой энергетических уровней с возбужденными синглетными уровнями, либо четырехуровневой схемой энергетических уровней [21 - 22].

Коэффициент поглощения ансамбля частиц

1 + а1

1 + Ь1 + с12

(2)

Здесь I =АА* - интенсивность излучения, а, Ь, с -коэффициенты, определяемые сечением поглощения (излучения) и вероятностью безызлучательных переходов между энергетическими уровнями.

В приближении заданного поля по волнам накачки (Аи! ^ Аз,б|) коэффициент поглощения можно представить следующим образом

а1 = а10

1 + а10

-а,,

1 + Ь10 + с102 2с10 ( + А2) (1 + Ь10 + с12 )2

+ аш

(а - Ь )(А + А2 )А3 (1 + Ь10 + с12 )2

(3)

где 10 =А1 А1*+А2 А2*. Второе слагаемое в выражении (3) отвечает за генерацию волны с ОВФ при четырех-волновом взаимодействии, а третье слагаемое - при шестиволновом взаимодействии. Подробный анализ качества ОВФ при четырехволновом взаимодействии на резонансной нелинейности в многомодовых волноводах был проведен в работах [15, 25].

При малом коэффициенте преобразования (Аб| ^ Аз|) уравнение (1), описывающее генерацию волны с ОВФ при вырожденном шестиволновом взаимодействии, с учетом (3) распадается на четыре уравнения [23]

[V2 + к2п2 (х)- 2ikа0 ] Aj = 0, j = 1 - 3, (4)

[V2 + к2п2 (х)-2ikа0 ] А = ikаlо 8с1°АА2. (5)

^ ] (1+Ы0 + с12)

Разложим амплитуды взаимодействующих волн по модам волновода, не содержащего ансамбль частиц,

А1 ащ (г )• }п (х )• ехр (-Рп2),

п=0 М

А2 =Х а2т (г) и (х) ехр (Рт^),

т=0 М

А3 =Х а3* (г)• Ъ (х)• ехр (^г),

4=0

М

Аб =Х абг (г) Ъ (х) ехр (р^).

(б)

Здесь /р (х,2) = /р (х)ехр(^Рр2) - р-ая мода волновода, Рр - постоянная распространения р-й моды, р = п, т, г, М - число мод волновода, учитываемых при анализе качества ОВФ, ajp (г) - коэффициенты в разложении амплитуд волн по модам волновода, j =1* 3,6.

В приближении медленно меняющихся амплитуд из уравнения (4) с учетом (б) получим уравнения, описывающие изменение коэффициентов в разложении амплитуд волн накачки, сигнальной волны по модам волновода в зависимости от координаты 2, вида

= 0,

ёа2т = 0 ёа3* = 0

ёг

ёг

Коэффициенты в разложении амплитуд волн накачки, сигнальной волны по модам волновода не меняются в зависимости от координаты г:

аы (г) = аы (г = 0) = <,

а3* (г) = а3* (г = 0) = а3*,

а2т (г) = а2т (г = I) = а20т.

При условии, что первая волна накачки одномо-довая с номером моды п

Д( х, г) = а!п/п (х )ехр (-iРn2)

г=0

и ее интенсивность намного больше интенсивности второй волны накачки из (5), с учетом (6) найдем изменение коэффициентов в разложении амплитуды объектной волны по модам волновода в зависимости от координаты г

ёа з м м *

Рг-^- = к (< ) XX ат (аз°,) У(г)х (7)

ёг 4=0 т=0 (7)

<ех1

Р [-А

■гг I.

Здесь

Упппт,г (г) = 4а10С | /3 (X)}т (X)/, (X)/* (х)х

х[1 + Ь/„2 (х)ехр[-' ( - Р,)г] + е/„4 (х)х хехр[-2/ (р,-р,)г]] ёх

- интеграл перекрытия, характеризующий эффективность взаимодействия шести мод волновода,

Апппт,г (2р, Р, Рт Р* + Р*)

- волновая расстройка.

При выполнении граничного условия

6* (г = I) = 0

(8)

коэффициенты в разложении амплитуды объектной волны на передней грани волновода есть

(а0 )3 м м

аб* (г = 0) = к^-ХХа0т (а0,)*:

рг ,=0 т=0

I

хпппт,* (г)ехр[г'Аттт,тг] ёг.

(9)

С учетом (9), используя в качестве сигнальной волны волну от точечного источника А3(х, г =0) = 5 (х - х0), выражение для функции размытия точки (ФРТ) ше-стиволнового преобразователя излучения запишется следующим образом

3 м / (х) мм _

О1 (х, х0) = к (а10п ) X X X а°т/, (0) >

г=0 рг ,=0 т=0

I

х^у пппт,* (г )ехр Апппт,гг ] ёг.

(10)

При условии, что вторая волна накачки одномодо-вая с номером моды т

Л2 (х, г) = а20т/т (х )ехр (¡Ртг )

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

и ее интенсивность намного больше интенсивности первой волны накачки, проводя рассуждения, аналогичные приведенным выше, получим выражение для ФРТ шестиволнового преобразователя излучения вида

3 м / (х) м м

О2 (х, х0) = к (а°т )3 X Р X X а°п х

г=0 Р* ,=0 п=0

I

х(х0 )]*упттт,г (г) ехр [/'Апттт,*г] ёг.

(11)

Здесь

У_г (г) = 4ашс| (х) / (х) /, (х) /г (х) х

1 + Ь (т/т (х))2ехр [/' (Рт - Рт ) ]+ С (/т (х)) х

хехр[2/'(Рт -рт)г]] ёх - интеграл перекрытия,

Апттт,г Рп 2Рт + Рт Р* + Рг .

Выражения (10), (11) позволяют проанализировать качество ОВФ шестиволнового преобразователя излучения в многомодовом волноводе с резонансной нелинейностью в зависимости от пространственной структуры волны накачки, интенсивности одной из одномодовых волн накачки, характеристик нелинейной среды, параметров волновода.

2. Обсуждение результатов

Шестиволновое взаимодействие рассмотрим в длинном волноводе. Считаем, что если интенсивность первой волны намного больше интенсивности второй волны накачки, то при Яе (Апппт,г) ф 0 выполняются условия Яе (А„„пт*г£) » 1, если интенсивность второй волны намного больше интенсивности первой волны накачки, то при Яе (Апттт,г) ф 0 выполняется условие Яе (Апттт,г^) » 1.

В качестве волновода рассмотрим двумерный параболический волновод (волновод с параболическим профилем показателя преломления

п2 (х) = п2

1 - 2б2 (х/хд )2

62 и хч - параметры, характеризующие волновод).

Модами параболического волновода являются функции Гаусса-Эрмита [24].

/ р (х) =

1

Р Рр!ю(

Н

< хМ Л

Ю0 V 0 У

ехр

юЗ

(12)

ЗдесьНР(х>/2/ю0) - многочлен Эрмита р-го порядка, ю2 = 2хч / кп1(2б2)1/2. Постоянная распространения р-й приосевой моды волновода есть

Р р = кп1 -

(2 Р +1)

кп1ю2

(13)

С учетом (13) при шестиволновом взаимодействии в параболическом волноводе волновые расстройки имеют вид

Дпппт*г Рп + Рп Рп Рт Р* + р i4ао

V х )

п+п-п-т-*+г

(14)

Дпппт*г Рп +Рт Рт Рт Р* + Рг i4а 0

п + т-т-т-* + г

V ч /

В случае длинного волновода, как и при четырех-волновом взаимодействии, между номерами мод взаимодействующих волн выполняется условие

п-т-* + г = 0. (15)

Будем считать, что волна накачки, интенсивность которой намного больше интенсивности другой волны накачки, возбуждает нулевую моду волновода, а распределение амплитуды другой волны накачки на грани волновода описывается гауссовой функцией А1 (х, г = 0) ~ ехр (-х2/52) (или А2 (х, г = I) ~ехр (-х2/52), 5 - ширина волны накачки).

Численный анализ выражений (10), (11) с учетом (12) - (15) показывает, что модуль ФРТ с ростом поперечной координаты монотонно уменьшается.

На рис. 2 приведены характерные нормированные графики зависимости модуля амплитуды объектной волны

(О^

О<°°>(х, хр = 0)

О т

о= о(020) (х = 0, х0 = 0)

а0^ = а 0 = 0,01,

- максимальное значение амплитуды), расположенной на оси волновода (х0 = 0) от нормированной поперечной координаты при условии одномодовых волн накачки с номерами мод п = т = 0 и фиксированном значении нормированной интенсивности или первой волны накачки 11 = Ь(аЮ) ю01\/2Лл (при условии А1 А1*»А2А2*), или второй волны накачки 12 = Ь (а00) ю0^2/п (при условии А2А2*+А1 А1*). При расчете ФРТ считали ^Ь2 = ц = 0,1, использовали 30 мод волновода.

ё5>

0,8

0,6

0,4

ОД

-2 -1 0 1 х/ац

Рис. 2. Зависимость модуля ФРТ от поперечной координаты при одномодовых волнах накачки: 11=0,1(1), 10(2)

В качестве количественной величины, характеризующей качество ОВФ, будем использовать полуши-

рину модуля ФРТ (Д х), значение которой находится из решения уравнения вида [14 - 15]

|О12 (х = Дх, х0 = 0) = 1 |О12 (х = 0, х0 = 0 )|.

(1б)

Полуширина модуля ФРТ определяет разрешающую способность шестиволнового преобразователя излучения. Изменение интенсивности, пространственной структуры волн накачки приводит к изменению полуширины модуля ФРТ.

При одномодовых волнах накачки, возбуждающих нулевую моду волновода, из (10), (11) выражение для ФРТ шестиволнового преобразователя излучения примет вид

О1,2 '(Х х0 ) =

Здесь

) а0 т

ъг (х)/г (х )У0000гг . (17)

У 0000 гг = {У 0000 ГГ (г )ехр^4а0 г ]]

- приведенный интеграл перекрытия.

Из выражения (17) следует, что качество ОВФ в длинном волноводе при одномодовых волнах накачки определяется зависимостью приведенного интеграла перекрытия от номера моды объектной (сигнальной) волны. Идеальное ОВФ будет наблюдаться при условии, что

у 0000 гг = ^^.

(18)

Значение приведенного интеграла перекрытия с ростом номера моды объектной волны монотонно уменьшается, причем скорость изменения у0000гг в зависимости от г с увеличением интенсивности волны накачки также уменьшается (рис. 3). Это объясняет уменьшение полуширины центрального максимума модуля ФРТ при одномодовых волнах накачки с номерами мод п = т = 0 с ростом интенсивности волны накачки. При а0 = 0,01, ц = 0,1 полуширина модуля ФРТ при /1 = 0,1 равна Дх = 0,32ю0, при /1 = 10 равна Дх = 0,2бю0.

%0001-г1 н •

0,8 -

0,6 ■ •

0,4 А ■ • • ■ • ■ .

0,2 ▲

0 1

0 10

Рис. 3. Нормированные на максимальные значения зависимости приведенных интегралов перекрытия от номера моды объектной волны при аоо = 0,1, ц = 0,1, 11 = 0,1 (треугольники), 10 (квадраты), 20 (кружки)

г=0

На рис. 4 приведены характерные зависимости нормированной полуширины модуля ФРТ от нормированной ширины гауссовой волны накачки (§ = ю0 /5). При A1Ai*»A2A2*, как и для четырехволно-вого преобразователя излучения [25], уменьшение ширины второй гауссовой волны накачки приводит при малых интенсивностях первой одномодовой волны накачки (11< 0,1) к улучшению качества ОВФ (полуширина модуля ФРТ уменьшается), а при больших интенсивностях первой волны накачки (/1 > 1) - к ухудшению качества ОВФ (полуширина модуля ФРТ увеличивается). При A1 A1*^A2A2* в случае малых значений интенсивности второй волны накачки (/2< 0,1) полуширина модуля ФРТ с уменьшением ширины первой волны накачки слабо меняется и увеличивается при больших интенсивностях второй волны накачки (12 > 1). Причем при больших значениях интенсивности волн накачки влияние на полуширину модуля ФРТ расходимости второй гауссовой волны накачки оказывается значительно меньше, чем влияние на полуширину модуля ФРТ расходимости первой гауссовой волны накачки. Так, при а0 = 0,1, ц = 0,1, /12 = 10 изменение ширины гауссовой волны накачки от 5 = 2ю0 до 5 = 0,2ю0 меняет полуширину модуля ФРТ: при условии одномодовой первой волны накачки и гауссовой второй волны накачки от 0,235ю0 до 0,355ю0; при условии одномодовой второй волны накачки и гауссовой первой волны накачки от 0,234ю0 до 0,653ю0. Максимальное изменение характеристик волны с обращенным волновым фронтом наблюдается при изменении ширины гауссовых волн накачки в диапазоне от 0,3ю0 до 3ю0.

Существует пороговая ширина гауссовой волны накачки (5cr). В случае фиксированной ширины гауссовой волны накачки увеличение интенсивности од-номодовой волны накачки приводит при 5 > 5cr к улучшению качества ОВФ, а при 5 < 5cr - к ухудшению качества ОВФ (рис. 5). При а0 = 0,01 и ц = 0,1 пороговое значение ширины второй гауссовой волны накачки при условии, что первая волна накачки од-номодовая с номером моды n = 0, есть 5cr и 0,6ю0.

Увеличение квадратичной составляющей в знаменателе коэффициента поглощения ансамбля частиц приводит к более значительному изменению полуширины модуля ФРТ с увеличением интенсивности волн накачки. Так, в случае одномодовой первой волны накачки и гауссовой второй волны накачки при 5 = 3,33ю0 увеличение нормированной интенсивности первой одномодовой волны накачки до 10 уменьшает полуширину ФРТ при ц = 0,1 до Ах = 0,228ю0, при ц = 1 до Ах = 0,17ю0. При 5 = 0,33ю0 увеличение нормированной интенсивности первой одномодовой волны накачки до 10 увеличивает полуширину ФРТ при ц = 0,1 до Ах = 0,341ю0, при ц = 1 до Ах = 0,46ю0. Причем если при 5 = 0,33ю0 и ц = 0,1 увеличение полуширины ФРТ с ростом нормированной интенсивности волны накачки в диапазоне от 0,1 до 10 проис-

ходит по закону, близкому к линейному, то при 5 = 0,33юо и ц = 1 с ростом интенсивности волны накачки наблюдается замедление увеличения полуширины модуля ФРТ (рис. 5а).

Ах

Q2 I I I I I I I I I I_

а) О 2 4 6 8 <ц,/5

Ах СЦ,

0,65 -0,5 -0,35 -

0 -¿С.—1-1-1-1-1-1-1-1-1-

б) 0 2 4 6 8 КЦ/8

Рис.4. Зависимость полуширины модуля ФРТ в параболическом волноводе от ширины волны накачки при 000 = 0,01, ц = 0,1,11,2 = 0,1, (1), 10 (2); а) первая волна накачки одномодовая (п = 0), амплитуда второй волны накачки меняется по гауссову закону, б) вторая волна накачки одномодовая (т = 0), амплитуда первой волны накачки меняется по гауссову закону

при 000 = 0,01, ц = 0,1, (1, 2),ц = 1, (1', 2'), 4= 0,3 (1, 1'), 4= 3 (2, 2'): (а) одномодовая первая волны накачки (п = 0), вторая волна накачки гауссова; (б) одномодовая вторая волна накачки (т = 0), первая волна накачки гауссова

В случае одномодовой второй волны накачки и гауссовой первой волны накачки наблюдаются сходные зависимости полуширины ФРТ от нормированной интенсивности одномодовой второй волны накачки при фиксированных значениях ширины первой гауссовой волны накачки (рис. 56).

Заметим, что при малой интенсивности волны накачки зависимости полуширины модуля ФРТ ше-стиволнового преобразователя излучения от ширины волны накачки при наличии в волноводе как резонансной, так и керровской нелинейностей совпадают.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Для объяснения зависимостей полуширины ФРТ при больших интенсивностях одной одномодовой волны накачки с учетом гауссовой структуры другой волны накачки представим ФРТ в виде когерентной суммы ФРТ, соответствующих одномодовым волнам накачки.

1. При условии, что интенсивность первой одно-модовой волны накачки намного больше интенсивности второй волны накачки, используя (10), ФРТ ше-стиволнового преобразователя излучения можно записать следующим образом

м

в1 ( х, х0 = 0) = ¿Г' (х, х0 = 0) + £ в^ ( х, х0 = 0). (19)

Здесь

О« (х, Х0 = 0 ) = ^^ х «1

м

/г ( Х)/(г-т) ( х0 = 0)) 000тг( г-т).

В функциях О[0т) (х, х0 = 0) отсутствуют моды волновода с номерами от 0 до т - 2. На рис. 6 в качестве примера приведены графики нормированных зависимостей центрального и части первого бокового максимумов ФРТ, соответствующей номерам мод волн накачки п = 0 (¿Г (х,х0 = 0) = ¿Г'(х,х0 = 0)/¿1, С! -максимальное значение функции на интервале изменения поперечной координаты от -2ю0 до 2ю0) от поперечной координаты при различных значениях нормированной интенсивности первой одномодовой волны накачки. С ростом интенсивности одномодовой волны накачки полуширина центрального максимума модуля функции 02) ( х, х0 = 0) вначале (до нормированной интенсивности волны накачки 11 — 3) увеличивается, затем в центре максимума появляется провал, величина которого растет. Центральный максимум раздваивается, расстояние между положением новых, возникших максимумов, по мере увеличения интенсивности волны накачки вначале растет, а затем перестает меняться. Дальнейшее увеличение интенсивности первой волны накачки приводит при 11 >12 к появлению в центре модуля функции 02) ( х, х0 = 0) еще одного максимума. Сходные зависимости центрального максимума от интенсивности волны накач-

ки наблюдается и для других ФРТ, соответствующих одномодовым волнам накачки с номерами мод п = 0,

т = 4, 6, 8, ...

Рис. 6. Вид модуля функций размытия точки, соответствующих одномодовым волнам накачки с номерами мод п = 0, т = 2 (а); п = 2, т = 0 (б) при ооо = 0,01, /и = 0,1,11,2 = 0,1 (1), 3 (2), 10 (3)

Когерентное сложение при 5 < ю0 центрального максимума функции 00) 0х, х0 = 0) с центральными максимумами функций т) ( х, х0 = 0) и приводит к увеличению полуширины ФРТ шестиволнового преобразователя излучения. Наличие провала в центре функций 0т) ( х, х0 = 0) уменьшает при их сложении с центральным максимумом функции 00) ( х, х0 = 0) значения ФРТ в центре, а наличие новых возникших максимумов функций ¿1 0т) ( х, х0 = 0) увеличивает значение на краях центрального максимума ФРТ. С уменьшением радиуса пучка накачки вклад функций ¿1 0т) ( х, х0 = 0) в функцию ¿1(х, х0 = 0) возрастает, что и объясняет увеличение полуширины модуля ФРТ с уменьшением ширины пучка накачки.

Существование порогового значения ширины гауссовой волны накачки связано с различным характером зависимости полуширин центральных максимумов ФРТ, соответствующих одномодовым волнам накачки, при п = т = 0 и при п = 0, т Ф 0 с изменением интенсивности волны накачки. При пороговом значении ширины гауссовой волны с увеличением интенсивности одномодовой волны накачки изменение полуширины ФРТ из-за уменьшения полуширины центрального максимума функции 00) ( х, х0 = 0) компенсируется за счет изменения вида центральных максимумов функций 0т) ( х, х0 = 0).

2. При условии, что интенсивность второй одно-модовой волны накачки намного больше интенсивно-

т=2

сти первой волны накачки, ФРТ шестиволнового преобразователя излучения можно записать следующим образом

G2 (х,x0 = a) = G200) (х,x0 = 0) +

м , ч (20)

+Х G2и0)(x, х = 0).

п=2

Здесь

М"0)/ А\ al0n )

G2 '(х,x0 = 0) =--—— х

«1

M

ХХ ^ (х)(г+п) (х0 = 0) У000пг(г+п).

г=0

В отличие от функций G1(0m) (х, х0 = 0), в которых значения величин побочных максимумов сравнимы или даже превосходят значение центрального максимума, модули функций G2n0)(x, х0 = 0) с ростом поперечной координаты осциллирующе уменьшаются. Динамика изменения вида модулей ФРТ, соответствующих одномодовым волнам накачки с номерами мод п Ф 0, т = 0, с увеличением интенсивности второй волны накачки совпадает с динамикой изменения центрального максимума функций G1(0m) (х, х0 = 0) с увеличением интенсивности первой волны накачки. Графики зависимостей от поперечной координаты нормированной ФРТ, соответствующей номерам мод волн накачки п = 2, т = 0.

G(20)(rr = 0) = Х° = 0) G(20)

^2 х0 - V) — (20) , ^шах

G2,шаx

— максимальное значение функции на интервале изменения поперечной координаты от —2ю0 до 2ю0. При различных значениях нормированной интенсивности второй одномодовой волны накачки приведен на рис. 6б. Таким образом, механизмы уширения ФРТ с ростом интенсивности одномодовой волны накачки как в случае одномодовой первой волны накачки и гауссовой второй волны накачки, так и в случае од-номодовой второй волны накачки и гауссовой первой волны накачки совпадают.

Из характера зависимости вида функций G2n0) (х, х0 = 0) от значений /2 становится понятной слабая зависимость полуширины модуля ФРТ от ширины гауссовой волны накачки при малой интенсивности второй волны накачки.

При /2 < 0,1 численный анализ выражения (20) показывает, что в диапазоне изменения ширины первой гауссовой волны накачки 0,1ю0 < 5 < 10ю0 выполняется условие

^2п0) (х, Х0, 2 = 0) << ^200) (х, Х0, 2 = 0)|,

п = 2,4,...

поэтому учет в выражении для ФРТ функций G<"0) (х, x0 = 0), n = 2, 4, 6,... слабо влияет на зависимость полуширины модуля ФРТ шестиволнового преобразователя излучения от ширины первой гауссовой волны накачки.

Заключение

Проанализировано качество обращения волнового фронта при шестиволновом взаимодействии в двумерном параболическом волноводе с резонансной нелинейностью при условии, что одна из волн накачки возбуждает нулевую моду волновода, а распределение амплитуды другой волны накачки на грани волновода описывается гауссовой функцией.

С использованием в качестве количественной характеристики качества ОВФ полуширины модуля ФРТ показано, что при одномодовых волнах накачки, возбуждающих нулевую моду волновода, как и при четырехволновом взаимодействии, с увеличением интенсивности волны накачки наблюдается улучшение качества ОВФ.

При A\A\* »A2A2* и малой интенсивности первой одномодовой волны накачки 1\< 0,\ уменьшение ширины второй гауссовой волны накачки улучшает качество ОВФ. При больших интенсивностях одномодовой волны накачки Т\,2 < \ как в случае A\A\*»A2A2*, так и в случае A\A\*^A2A2* уменьшение ширины гауссовой волны накачки ухудшает качество ОВФ. Наибольшее изменение амплитуды волны с обращенным волновым фронтом наблюдается при изменении ширины гауссовых волн накачки в диапазоне примерно от 3юо до 0,3 юо.

Существует пороговое значение ширины гауссовой волны накачки, при котором увеличение интенсивности одномодовой волны накачки не оказывает существенного влияния на качество обращения волнового фронта.

References

[\] Blouin A, Denariez-Roberge MM. Theory and experiment of degenerate six-wave mixing in both isotropic and anisotropic saturable absorbers. IEEE J Quantum Electron \993; 29(1): 227-235. DOI: \0.\\09/3.\99263.

[2] Astinov V, Kubarych KJ, Milne CJ, Miller RJD. Diffractive optics implementation of six-wave mixing. Opt Lett 2000; 25(H): 853-855. DOI: \0.\364/0L.25.000853.

[3] Ormachea O. Comparative analysis of multi-wave mixing and measurements of the higher-order nonlinearities in resonant media. Opt Commun 2006; 268(2): 3\7-322. DOI: \0.\0\6/j.optcom.2006.07.028.

[4] Saleh MA, Banerjee PP, Carns J, Cook G, Evans DR. Stimulated photorefractive backscatter leading to six-wave mixing and phase conjugation in iron-doped lithium niobate. Appl Opt 2007; 46(24): 6\5\-6\60. DOI: \0.\364/ao.46.006\5\.

[5] Turitsyn SK, Bednyakova AE, Fedoruk MP, Paperny SB, Clements WRL. Inverse four-wave mixing and self-parametric amplification in optical fibre. Nat Photonics 20\5; 9(9): 608-6\4. DOI: \0.\038/nphoton.20\5.\50.

[6] Weng Y, He X, Wang J, Pan Z. All-optical ultrafast wavelength and mode converter based on intermodal four-wave mixing in few-mode fibers. Opt Commun 2015; 348: 7-12. DOI: 10.1016/j.optcom.2015.03.018.

[7] Nazemosadat E, Pourbeyram H, Mafi A. Phase matching for spontaneous frequency conversion via four-wave mixing in graded-index multimode optical fibers. J Opt Soc Am B 2016; 33(2): 144-150. DOI: 10. 1364/J0SAB.33.000144.

[8] Anjum OF, Guasoni M, Horak P, Jung Y, Petropoulos P, Richardson DJ, Parmigiani F. Polarization-insensitive four-wave-mixing-based wavelength conversion in few-mode optical fibers. J Lightw Technol 2018; 36(17): 3678-3683. DOI: 10.1109/JLT.2018.2834148.

[9] Zhou H, Liao M, Huang S-W, Zhou L, Qiu K, Wong CW. Six-wave mixing induced by free-carrier plasma in silicon nanowire waveguides. Laser Photonics Rev 2016; 10(6): 1054-1061. DOI: 10.1002/lpor.201600124.

[10] Zeldovich BIa, Pilipetskii NF, Shkunov VV. Wavefront reversal [In Russian]. Moscow: "Nauka" Publisher; 1985.

[11] Voronin ES, Petnikova VM, Shuvalov VV. Use of degenerate parametric processes for wavefront correction (review). Sov J Quantum Electron 1981; 11(5): 551-561. DOI: 10.1070/QE1981v011n05ABEH006899.

[12] Yariv A, AuYeung J, Fekete D, Pepper DM. Image phase compensation and real-time holography by four-wave mixing in optical fibers. Appl Phys Lett 1978; 32(10): 635637. DOI: 10.1063/1.89876.

[13] Ivahnik VV, Nikonov VI, Harskaja TG. Four-wave conversion of radiation by thermal nonlinearity in a fiber with a parabolic profile [In Russian]. Izvestija Vuzov. Priborostroenie 2006; 49(8): 54-60.

[14] Ivahnik VV, Kapizov DR, Nikonov VI. Four-wave interaction in a multimode waveguide with Kerr nonlinearity in a scheme with concurrent pump waves [In Russian]. Physics of Wave Processes and Radio Systems 2019; 22(2): 13-18. DOI: 10.18469/1810-3189.2019.22.2.13-18.

[15] Ivakhnik VV, Kapizov DR, Nikonov VI. Quality of wavefront reversal for four-wave interaction in a

multimode waveguide with thermal nonlinearity. Computer Optics 2022; 46(1): 48-55. DOI: 10.18287/2412-6179-CO-1011.

[16] Agishev IN, Tolstik AL. Highly effective six-wave mixing in linearly absorbing organic liquids. Tech Phys Lett 2009; 35(4): 362-364. DOI: 10.1134/ S1063785009040221.

[17] Delone NB, Krainov VP. Fundamentals of nonlinear optics of atomic gases [In Russian]. Moscow: "Fizmatlit" Publisher; 1986.

[18] Gorbach DV, Nazarov SA, Tolstik AL. Degenerate polarization multiwave mixing between light beams in a solution of rhodamine 6G dye. Bulletin of the Russian Academy of Sciences. Physics 2013; 77(12): 1412-1415. DOI: 10.3103/S1062873813120046.

[19] Zhang Z, Xue X, Li C, Cheng S, Han L, Chen H, Zheng H, Zhang Y. Coexisting four-wave mixing and six-wave mixing in three-level atomic system. Opt Commun 2012; 285(17): 3627-2670. DOI: 10.1016/j.optcom.2012.04.025.

[20] Vinogradova MB, Rudenko OV, Sukhorukov AP. Wave theory [In Russian]. Moscow: "Fizmatlit" Publisher; 1979.

[21] Tikhonov EA, Shpak MT. Nonlinear optical phenomena in organic compounds [In Russian]. Kiev: "Naukova Dumka" Publisher; 1979.

[22] Miyanaga S, Ohtateme H, Kawano K, Fujiwara H. Excited-state absorption and pump propagation effects on optical phase conjugation in a saturable absorber. J Opt Soc Am B 1993; 10(6): 1069-1076. DOI: 10.1364/JOSAB.10.001069.

[23] Ivakhnik VV. Wavefront reversal at four-wave interactions [In Russian]. Samara: Samara State University Publisher; 2010.

[24] Marcuse D, ed. Integrated optics. New York: IEEE Press; 1973.

[25] Ivakhnik VV, Vorobeva EV, Kapizov DR. Characteristics of a four-wave radiation converter in a multimode waveguide with resonant nonlinearity. 2023 IX Int Conf on Information Technology and Nanotechnology (ITNT). DOI: 10.1109/ITNT57377.2023.10139099.

Сведения об авторах

Ивахник Валерий Владимирович, 1951 года рождения. Доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой оптики и спектроскопии Самарского национального исследовательского университета имени академика С.П. Королева. Область научных интересов: нелинейная оптика, динамическая голография. E-mail: ivakhnik@ssau. ru

Капизов Дархан Рахметулович, 1996 года рождения, аспирант 4-го года обучения кафедры оптики и спектроскопии Самарского национального исследовательского университета имени академика С.П. Королева. Область научных интересов: нелинейная оптика, динамическая голография. E-mail: darkhankapizov@gmail. com

Никонов Владимир Иванович, 1959 года рождения. Кандидат физико-математических наук, доцент кафедры оптики и спектроскопии Самарского национального исследовательского университета имени академика С.П. Королева. Область научных интересов: нелинейная оптика, динамическая голография. E-mail: nikon5919@mail.ru

ГРНТИ: 29.33.27

Поступила в редакцию 12 апреля 2024 г. Окончательный вариант - 15 мая 2024 г.

Six-wave radiation converter based on resonant nonlinearity in a parabolic

waveguide

V.V. Ivakhnik1, D.R. Kapizov1, V.I. Nikonov1 1 Samara National Research University, 443086, Russia, Samara, Moskovskoe Shosse, 34

Abstract

The quality of wavefront reversal during six-wave mixing in a two-dimensional waveguide with resonant nonlinearity and the refractive index varying by a parabolic law is analyzed using a point spread function method. Assuming that one of the pump waves excites the zero mode of the waveguide and the distribution of the amplitude of the other pump wave on the edge of the waveguide changes by the Gaussian law, it is shown that at a low intensity of the single-mode pump wave, reducing the width of the Gaussian pump wave either leads to an improvement of or has little effect on the quality of wavefront reversal. At a high intensity of the single-mode pump wave, reducing the width of the Gaussian pump wave deteriorates the quality of wavefront reversal. We determine the range of changes in the width of the Gaussian pump wave in which the greatest change in the amplitude of the wave with a reversed wavefront is observed. It is shown that there is a threshold value for the width of the Gaussian pump wave at which a change in the intensity of the single-mode pump wave does not affect the quality of wavefront reversal.

Key words: six-wave radiation converter, wavefront reversal, resonant nonlinearity.

Citation: Ivakhnik VV, Kapizov DR, Nikonov VI. Six-wave radiation converter based on resonant nonlinearity in a parabolic waveguide. Computer Optics 2025; 49(1): 13-20. DOI: I0.18287/2412-6179-C0-I540.

Authors' information

Valery Vladimirovich Ivakhnik was born in 1951, Doctor of Physical and Mathematical Sciences, professor, head of the Department of Optics and Spectroscopy, Samara National Research University, Samara, Russia. Research interests: nonlinear optics, dynamic holography. E-mail: ivakhnik@ssau. ru

Darkhan Rakhmetulovich Kapizov was born in 1996, 4st year postgraduate student of the Department of Optics and Spectroscopy, Samara National Research University, Samara, Russia. Research interests: nonlinear optics, dynamic holography. E-mail: darkhankapizov@gmail. com

Vladimir Ivanovich Nikonov was born in 1959, Candidate of Physical and Mathematical Sciences, associate professor of the Department of Optics and Spectroscopy, Samara National Research University, Samara, Russia. Research interests: nonlinear optics, dynamic holography. E-mail: nikon5919@mail.ru

Received April 12, 2024. The final version - May 15, 2024.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.