CC BY
53
Вестник СамГУ. 2014. №' 10(121)
ФИЗИКА
УДК 535.317.1
Е.В. Воробьева, В.В. Ивахник, М.В. Лунева1
ВРЕМЕННАЯ ЗАВИСИМОСТЬ ФУНКЦИИ РАЗМЫТИЯ ТОЧКИ ЧЕТЫРЕХВОЛНОВОГО ПРЕОБРАЗОВАТЕЛЯ В ВОЛНОВОДЕ С ТЕПЛОВОЙ НЕЛИНЕЙНОСТЬЮ
Проанализировано изменение во времени качества обращения волнового фронта четырехволновым преобразователем излучения на тепловой нелинейности в волноводе. Исследовано влияние на характер временной зависимости параметров волновода модовой структуры волн накачки. Показано, что увеличение номера одномодовых волн накачки приводит к уменьшению разности ширины функции размытия точки в стационарном значении и в начальный момент времени.
Ключевые слова: функция размытия точки, четырехволновое взаимодействие, тепловая нелинейность, волновод, обращение волнового фронта.
Введение
Возможность получения больших коэффициентов преобразования за счет увеличения интенсивности волн накачки, длины взаимодействия обуславливает интерес к изучению четырехволновых преобразователей излучения в оптических волноводах с целью использования их в системах адаптивной оптики, квантовой криптографии, для сверхскоростной оптической обработки сигналов и т. д. [1—3].
Практическое использование таких преобразователей в системах коррекции фазовых искажений, системах обработки изображения в реальном масштабе времени требует знания соответствия между пространственно-временными характеристиками взаимодействующих волн. В приближении заданного поля по волнам накачки одним из наиболее распространенных методов оценки качества преобразования изображения (качества обращения волнового фронта (ОВФ)) при четырехволно-вом взаимодействии является метод, основанный на построении и анализе функции размытия точки (ФРТ) такого преобразователя [4-5].
В средах с тепловой нелинейностью четырехволновое взаимодействие привлекает внимание возможностью получения волны с ОВФ в среднем ИК-диапазоне
х© Воробьева Е.В., Ивахник В.В., Лунева М.В., 2014
Воробьева Елена Владимировна (loginovaely@mail.ru), Ивахник Валерий Владимирович (ivakhnik@ssu.samara.ru), Лунева Мария Викторовна (lunevam@mail.ru), кафедра оптики и спектроскопии, Самарский государственный университет, 443011, Российская Федерация, Самара, ул. Акад. Павлова, 1.
длин волн [6-8]. В работах [9-10] для стационарного случая с использованием метода ФРТ проанализировано качество обращения волнового фронта четырехволно-вым преобразователем излучения на тепловой нелинейности в волноводах с параболическим профилем показателя преломления, с бесконечно проводящими стенками.
В настоящей статье анализируются временная зависимость ФРТ четырехволнового преобразователя в оптическом волноводе с тепловой нелинейностью, влияние на характер временной зависимости параметров волновода пространственной структуры волн накачки.
1. Вывод выражения для ФРТ
Пусть в двумерном волноводе с тепловой нелинейностью, расположенном между плоскостями г = 0 и г = Ь, распространяются навстречу друг другу две волны накачки с комплексными амплитудами А, и А 2 и сигнальная волна с амплитудой Аз. В результате вырожденного четырехволнового взаимодействия ш + ш — ш = ш генерируется объектная волна с комплексной амплитудой А4.
В приближении заданного поля по волнам накачки при малом коэффициенте отражения такое взаимодействие описывается системой уравнений
(V2 + к2 +--—6То — 2гка)Ат = 0,т =1 ^ 3,
по аТ
(V2 + к2 + ^ а—5Т0 — 2гка)А4 + — О—^зА =0. (1)
—о аТ —о аТ
Здесь —о — среднее значение показателя преломления, к = ш—о/с - волновое число, а — коэффициент поглощения, 6То — изменение температуры, связанное с распространением в поглощающей среде волн накачки, а 5Тз, — изменение температуры, обусловленное интерференцией первой волны накачки с сигнальной волной.
Величины изменений температуры находятся из уравнений [10]
^ = Л^То + ^, (2)
ОТ ср V
мь ^2из, + а^к. (3)
ОТ сри
Здесь Л — температуропроводность, ср — теплоемкость, V — плотность вещества. 1о = А,А, + А2А2. Не будем учитывать изменение показателя преломления за счет самовоздействия волн накачки (п0 фп ^То ^ 1).
Разложим взаимодействующие волны по модам волновода
N
Ау = ^2 0>2п(г,г)/п(х,г)л = 1 + 4. (4)
п=о
Здесь /п(х, г) = /п(х)ехр(^г^пг) — п-я мода волновода; /Зп — постоянная распространения п-й моды, N — число отсечки, ауп(Ь, г) — коэффициенты в разложении амплитуд волн по модам волновода, знаки "минус" и "плюс" соответствуют распространению волны в направлении оси Z или в противоположном направлении.
Из системы уравнений (1) следует, что для волн накачки и сигнальной волны
аы(Ъ, г) = аЛп(Ъ, г = 0) = а°п(Ъ),
а2т(г, г) = а2т(г, г = Ь) = о02т{Ь), (5)
азк(г, г) = ази(г, г = 0) = а0к (г).
Изменение температуры, обусловленное интерференцией первой волны накачки с сигнальной волной, представим следующим образом:
N
г)-р(х). (6)
р=0
Подставив (6) в (3) с учетом (4), получим
дТ дг
дчтр + г- —¿п -
дг2 + °Тр - р х ах
+ 1п,к,рехР[-г(вп - в*к)г\. (7)
р п=0к=0
Здесь ^п,к,р = /}п(х)}1^(х)}р(х)йх — интеграл перекрытия, характеризующий эффективность взаимодействия трех мод волновода. При выводе уравнения (7) использовалось условие ортонормированности мод волновода: / -п(х)-т(х)ах = 6пт, где 5пт — символ Кронекера. Для решения уравнения (7) необходимо задать как вид мод волновода, так и граничные условия на изменение температуры на передней и задней гранях волновода.
Из (1), используя (4) и (6), получим уравнение, описывающее изменение коэффициентов в разложении амплитуды объектной волны по модам волновода
да к2 ¿п N N
=--^ У^ "У^\а2т^1,р,т5Трвхр[1(вт - в()г\. (8)
дг по аТ ^ ^
т=0р=0
С учетом граничного условия а4[(г,г = Ь) = 0 на передней грани волновода коэффициенты в разложении амплитуды объектной волны по модам имеют вид
NN „ ь
к ¿п Гь
а 41 (г,г = 0) = --а2т(г, г)6Тр(г, г)вхр[г(вт - в^г^г. (9)
в— т=0 р=0
Функция размытия точки на передней грани четырехволнового преобразователя излучения на тепловой нелинейности в волноводе есть
гк 2 — 1 ()
С(1, х,х0,г = 0)= — -У^—У, Е X
1=0 т=0 р=0
X I а02т(г)6Тр(г,г)вхр[г(вт - в^гЦг, (10)
где 5Тр(г,г) находится из решения уравнения (7) при условии
а3к(г = 0)= /к(х)З(х - х0)ах =-к(х0).
2. Качество обращения волнового фронта при четырехволновом взаимодействии в волноводе с идеально проводящими поверхностями
Рассмотрим волновод, ограниченный идеально проводящими поверхностями, параллельными оси Z и расположенными на расстоянии 2а друг от друга. Для такого волновода
1п(х)
зт(дпх)
вп = [к2 - 2ika - дП]2,
(11)
Чп
п(п + 1)
2а ■
Для мод, распространяющихся вблизи оси волновода дп ^ к, постоянная распространения имеет вид
вп = к — ia--
вп 2к
п(п + 1)
2а
С учетом (11) уравнение (7) можно записать следующим образом:
д0Тр дЬ
Л
д2 5Тр
р 2 т дг2 ЧР 01Р
N N
+ — 2а°1п(Ь)аЦ(ЬЪп,к,рехр[-^вп - в*к)г]. (12)
срV
р п=0к=0
При условии неизменности температуры на гранях волновода 0Тз\(Ь,х, г = 0) 0Тз\(Ь,х,г = Ь) = 0 решение уравнения (12) имеет вид
^ \ Г NN „4
Т;ат[Тг1^^п,к,р а°1п(Ь1)а3к (Ь1)ехР[-ш"^р(Ь - Ь1)]х
я = 0 V / !-п=0 к = 0
0Тр(Ь, г) =--
CpV
^п=0 к=0
Ь ! ехр[-^вп - вк)г1]ып(^г^
(13)
чр + (Ь )2
Здесь ш1р = Л
Подставив (13) в (10), получим выражение, описывающее изменение во времени ФРТ четырехволнового преобразователя излучения в волноводе с идеально проводящими стенками
. , 2 , N 2 / . N N Л ¿ак бп^ / 1(х) ^ \ - 0 С(Ьхх0 ,г =0) = - бТ ^ ЪЪтШрт
1=0 ' 1 т=0 р=0
Ь ~
XI у ^ эту ьг
0
s=0
\ Г N N Г*
т( —г У2У2^п,к,р а°0п(Ь1 )а0к (Ь^ехр-ш^Ь-Ь^ехр-^вт-в^г^гх
\Ь / ^=0 к=0 ]0
2
X
Ал
(14)
В случае одномодовых волн накачки при условии, что их амплитуды не зависят от времени, выражение для функции размытия точки примет вид
О(Ь, х, хо, г = 0) = —
21п2ак2 йп с^п^Щ3 йТ
N
а1иа2т '
1=0
Мх), в1
N N оо
Х ШтШ
11,р,т 1и,к,р1 к (х0>
к=0р=0з=0
( — 1)«ехр[—г(ви — вн)Щ] — 1
( — 1)зехр[*(вт — А )Щ — 1
(Т )2 — (ви — ^)2 [1 — ехр(—
( Т )2 — (вт — в)
(15)
зр
Выражения (14), (15) описывают временную динамику ФРТ четырехволнового преобразователя на тепловой нелинейности в волноводе.
х
х
х
2
3. Обсуждение результатов
Рассмотрим ФРТ четырехволнового преобразователя излучения при условии, что сигнальная волна распространяется от точечного источника, расположенного на передней грани волновода в точке х0 = а. Такая волна возбуждает нулевую и четные моды волновода. Предположим, что волны накачки одномодовые с равными номерами мод. Будем считать, что четырехволновое взаимодействие излучения с длиной волны Л =10, 6 мкм осуществляется в волноводе с поперечным размером а = 30 мкм, заполненном нелинейной средой (Л = 75, 7• 10~5 см2/с, П0 = 1,46, а =1 см-1).
На рис 1, а, б, в, г приведены характерные графики нормированного модуля ФРТ ( О = 0/0тах, где Отах = О(Ь, х = а, х0 = а, г = 0) ) в различные моменты времени, полученные путем численного анализа выражения (15).
Максимальное значение ФРТ характеризует коэффициент отражения четырехволнового преобразователя излучения, ширину центрального максимума модуля ФРТ Дх, определяемую из уравнения
Дх 1
О(t, х = —— , х0 = а,г = 0) = ^Отах,
качество ОВФ.
С течением времени увеличивается как максимальное значение, так и ширина центрального максимума ФРТ (рис. 2), достигая стационарного (установившегося) значения Дхто = Дх(Ь ^ то). Качество ОВФ с течением времени, как и для четырехволнового преобразователя излучения в неограниченной среде с тепловой нелинейностью, ухудшается [11].
Введем начальный момент времени 1и = 10~4£з, где Ьз — время, в течение которого ширина центрального максимума модуля ФРТ достигает стационарного значения.
С ростом номера одномодовых волн накачки разность между шириной центрального максимума модуля ФРТ в стационарном случае и в начальный момент времени Дхи = Дх(Ь = Ьи) уменьшается.
Рис. 1. Нормированный модуль ФРТ в различные моменты времени: сплошная линия Ь = 10-4 е, пунктирная линия Ь = 0,1 е при Ь = 0,1 см п = т = 0 (а), п = т =1 (б), п = т = 2 (в), п = т = 3 (г)
Временная динамика вида ФРТ определяется временной динамикой тепловых решеток, записываемых в волноводе.
Амплитуда моды тепловой решетки 6Тр зависит от интеграла перекрытия, который максимален, если р = | п^ к |= 0 (номер моды первой волны накачки равен нулю или четный), р =| п^к |= 1 (номер моды первой волны накачки нечетный). При дифракции второй волны накачки на моде волновода с номером р = 0 (или р =1 ) и возникают моды объектной волны, дающие максимальный вклад в ФРТ.
При Ь ^ а время записи моды тепловой решетки ¿р связано с номером моды р простым выражением
1 2а
и.
Мэр п(р + 1)л/А"
Уменьшение номера моды тепловой решетки приводит к увеличению времени записи этой моды. Таким образом, при одномодовых волнах накачки временная динамика ФРТ определяется временем записи моды тепловой решетки с номером р = 0, если номера мод волн накачки четные (¿о = П^/х), и номером р =1, если номера мод волн накачки нечетные (¿1 = П^Л)
0 0,005 t, С
Рис. 2. Временная зависимость ширины модуля ФРТ при L = 0,1 см n = 0 (1), n = 1 (2), n = 2 (3)
Если для стационарного режима четырехволнового взаимодействия вид ФРТ определяется в основном видом интеграла перекрытия, длиной волновода, то в начальный момент времени существенную роль в формировании ФРТ оказывают моды тепловой решетки высоких порядков, зависимость амплитуд которых от времени определяется выражением
2
г.
STp = л
r(p +1)
2a
Это приводит к сужению в начальный момент времени центрального максимума ФРТ, улучшению качества ОВФ.
Наличие мод тепловой решетки высоких порядков р ^ 2 обусловлено, прежде всего, многомодовой структурой сигнальной волны, взаимодействующей с волной накачки. Однако даже при взаимодействии одномодовых сигнальной волны и волны накачки в волноводе возбуждается несколько мод тепловой решетки. Объектная волна является результатом дифракции второй волны накачки на тепловых решетках.
При переходе от "коротких" (Ь ^ ка2) к "средним" (Ь ~ ка2), а затем и "длинным" (Ь ^ ка2) волноводам уменьшается число мод тепловой решетки, участвующих в формировании ФРТ, меняется соотношение между коэффициентами мод волновода объектной волны и, как следствие этого, в начальный момент времени с ростом длины волновода наблюдается уширение центрального максимума ФРТ, уменьшается разность Д = Дхж — Дж„ между шириной центрального максимума ФРТ в стационарном случае и в начальный момент времени (рис. 3).
В длинных волноводах вид ФРТ в начальный момент времени и для стационарного режима четырехволнового взаимодействия совпадает.
Увеличение номера мод одномодовых волн накачки сужает ширину центрального максимума ФРТ как в начальный момент времени, так и для стационарного режима.
Заключение
Получено аналитическое выражение для ФРТ четырехволнового преобразователя излучения в волноводе с тепловой нелинейностью, позволяющее проанали-
Л, СМ
К
0,002
0.00]
\
о
Рис. 3. Зависимость разности между шириной центрального максимума ФРТ в стационарном случае и в начальный момент времени от длины волновода при n = 0
зировать временную зависимость качества обращения волнового фронта таким преобразователем.
Показано, что с течением времени ширина модуля ФРТ увеличивается, выходя на стационарное значение. Исследовано влияние на характер временной зависимости длины волновода, пространственной структуры волн накачки. С увеличением длины волновода, номера одномодовых волн накачки разность между шириной ФРТ в начальный момент времени и для стационарного значения уменьшается.
Литература
[1] Зельдович Б.Я., Пилипецкий Н.Ф., Шкунов В.В. Обращение волнового фронта. М.: Наука, 1985. 240 с.
[2] Generation of photon pairs in dispersion shift fibers through spontaneous four wave mixing: influence of self-phase modulation / Ma Xiaoxin [et al.] // Optical Communications. 2011. Vol. 284. P. 4558-4562.
[3] Optical time lens based on four-wave mixing on a silicon chip / R. Salem [et al.] // Optic Letters. 2008. Vol. 33. № 10. P. 1047-1049.
[4] Воронин Э.С., Петникова В.М., Шувалов В.В. Использование вырожденных параметрических процессов для коррекции волновых фронтов (обзор) // Квантовая электроника. 1981. Т. 8. № 5. С. 917-935.
[5] Ивахник В.В., Никонов В.И. Функция размытия точки четырехволнового "ОВФ-зер-кала" на тепловой нелинейности // Оптика и спектроскопия. 1997. Т. 82. Вып. 1.
[6] Регистрация излучения среднего ИК диапазона при записи фазовых голограмм в поглощающих жидкостях / А.А. Бетин [и др.] // Журнал технической физики. 1987. Т. 57. № 5. С. 925-931.
[7] Галушкин М.Г., Митин К.В., Свиридов К.А. Четырехволновое взаимодействие на тепловой нелинейности в активных средах твердотельных лазеров // Квантовая электроника. 1994. Т. 21. № 12. С. 1157-1159.
[8] 2-kW Average power CW phase-conjugate solid-state laser / Y.A. Zakharenkov [et al.] // IEEE Journal of selected topics in quantum electronics. 2007. Vol. 13. № 3. P. 473-479.
[9] Ивахник В.В., Никонов В.И., Харская Т.Г. Четырехволновое преобразование излучения на тепловой нелинейности в световоде с параболическим профилем // Известия вузов. Сер.: Приборостроение. 2006. Т. 49. № 8. С. 54—60.
С. 55-59.
[10] Ивахник В.В., Никонов В.И., Харская Т.Г. Четырехволновое преобразование излучения на тепловой нелинейности в световоде // Физика волновых процессов и радиотехнические системы. 2006. Т. 9. № 1. С. 5-11.
[11] Акимов А.А., Воробьева Е.В., Ивахник В.В. Временные характеристики четы-рехволнового преобразователя излучения на тепловой нелинейности в схеме с попутными волнами накачки // Компьютерная оптика. 2013. Т. 37. № 1. С. 25-30.
References
[1] Zeldovich B.Y., Pilipetsky N.F., Shkunov V.V. Principles of phase conjugation. M., Nauka, 1985, 240 p. [in Russian].
[2] Xiaoxin Ma [et al.] Generation of photon pairs in dispersion shift fibers through spontaneous four wave mixing: influence of self-phase modulation. Optical Communications, 2011, Vol. 284, pp. 4558-4562.
[3] Salem R. [et al.] Optical time lens based on four-wave mixing on a silicon chip. Optic Letters, 2008, Vol. 33, № 10, pp. 1047-1049.
[4] Voronin E.S., Petnikova V.M., Shuvalov V.V. Use of degenerate parametric processes for wave front correction (review). Kvantovaia elektronika [Quantum Electronics], 1981, Vol. 8, №5, pp. 917-935 [in Russian].
[5] Ivakhnik V.V., Nikonov V.I. The point spread function of four - wave phase -conjugating mirror on the basis of thermal nonlinearity. Optika i spektroskopiia [Optics and Spectroscopy], 1997, Vol. 82, Issue 1, pp. 55-59 [in Russian].
[6] Betin A.A. [et al.] The registration of middle infrared radiation at recording of phase holograms in absorbing liquids. Zhurnal tekhnicheskoi fiziki [Journal of technical physics], 1987, Vol. 57. №5, pp. 925-931 [in Russian].
[7] Galushkin M.G., Mitin K.V., Sviridov K.A. Four-wave interaction due to a thermal nonlinearity in active media of solid-state lasers. Kvantovaia elektronika [Quantum Electronics], 1994, Vol. 21, №12, pp. 1157-1159 [in Russian].
[8] Zakharenkov Y.A. [et al.] 2-kW Average power CW phase-conjugate solid-state laser. IEEE Journal of selected topics in quantum electronics, 2007, Vol. 13, № 3, pp. 473-479.
[9] Ivakhnik V.V., Nikonov V.I., Kharskaya T.G. The four - wave radiation converter on thermal nonlinearity in optical waveguide with parabolic profile. Izvestiya vuzov. Priborostroenie [News of Higher Educational Institutions. Instrument engineering], 2006, Vol. 49, №8, pp. 54—60 [in Russian].
[10] Ivakhnik V.V., Nikonov V.I., Kharskaya T.G. The four - wave radiation converter on thermal nonlinearity in optical waveguide. Fizika volnovykh protsessov i radiotekhnicheskie sistemy [Physics of Wave Processes and Radiotechnical Systems], 2006, Vol. 9, №1, pp. 5-11 [in Russian].
[11] Akimov A.A., Ivakhnik V.V., Vorobieva E.V. Time characteristics of a four-wave radiation converter on thermal nonlinearity in the scheme with codirectional pumping waves. Komp'iuternaia optika [Computer Optics ], 2013, Vol. 37, №1, pp. 25-30 [in Russian].
E.V. Vorobieva, V.V. Ivakhnik, M.V. Luneva2
TIME DEPENDENCE OF THE POINT SPREAD FUNCTION OF A FOUR-WAVE CONVERTER IN A WAVEGUIDE WITH THERMAL NONLINEARITY
The time dependence of a quality of wave-front reversal has been analyzed at four-wave interaction in a waveguide with thermal nonlinearity. The influence of waveguide parameters and mode structure of pumping waves on time dependence character has been investigated. It has been shown, that increases of number of single-mode pumping waves lead to decreases of difference in point spread function width in steady state and initial state.
Key words: point spread function, four-wave interaction, thermal nonlinearity, waveguide, wave-front reversal.
Статья поступила в редакцию 22/X/2014. The article received 22/X/2014.
2 Vorobieva Elena Vladimirovna (loginovaely@mail.ru), Ivakhnik Valery Vladimirivich (ivakhnik@ssu.samara.ru), Luneva Maria Victorovna (lunevam@mail.ru), Department of Optics and Spectroscopy, Samara State University, Samara, 443011, Russian Federation.
