CC BY
63
ЧЕТЫРЕХВОЛНОВОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ НА РЕЗОНАНСНОЙ И ТЕПЛОВОЙ НЕЛИНЕЙНОСТЯХ
Акимов А.А., Воробьёва Е.В., Ивахник В.В.
Самарский государственный университет
Аннотация
В рамках скалярной теории исследовано взаимодействие четырёх монохроматических волн в схеме со встречными волнами накачки с учётом двух типов нелинейности: резонансной и тепловой. Получены зависимости модуля амплитуды объектной волны от толщины нелинейного слоя при условии неизменности температуры на гранях нелинейного слоя. В приближении плоских волн накачки исследована угловая зависимость амплитуды объектной волны.
Ключевые слова: четырёхволновое взаимодействие, тепловая нелинейность, резонансная нелинейность.
Введение
Важнейшей характеристикой любого четырёхволнового преобразователя излучения является соответствие между комплексными амплитудами падающей (сигнальной) и преобразованной (объектной) волн. Знание такого соответствия позволяет решить вопрос о целесообразности применения четырёхволновых преобразователей в системах нелинейной адаптивной оптики, в системах обработки и преобразования изображения и т. д. [1-3].
Как правило, изучение соответствия между комплексными амплитудами сигнальной и объектной волн при четырёхволновом взаимодействии происходит на нелинейности одного типа [4-8]. Учёт нескольких типов нелинейности существенно усложняет решение поставленной задачи [9-10].
При четырёхволновом взаимодействии в поглощающих средах, например, в средах с резонансной нелинейностью, существенный вклад в объектную волну может быть обусловлен наличием тепловой нелинейности [11, 12]. Поэтому представляет интерес изучение соответствия между комплексными амплитудами сигнальной и объектной волн при наличии как резонансной, так и тепловой нелинейностей.
1. Основная часть
Пусть в плоском слое с резонансной и тепловой нелинейностями толщиной I распространяются две волны накачки с комплексными амплитудами А1 и А2 и сигнальная волна с амплитудой А3. В результате четырёхволнового взаимодействия ю+ю-ю=ю генерируется объектная волна с комплексной амплитудой А4.
Исходное скалярное волновое уравнение, описывающее четырёхволновое взаимодействие в нелинейной среде, есть
V' + k2 +—ST -^
n0 dT 1 + bI
(A + A*) = 0. (1)
Здесь I = АА*, А = ^ А}, к - волновое число,
]=1
п0 - среднее значение показателя преломления.
Уравнение (1) дополняется уравнением Пуассона [13]
V2ST +
a0I
Лср v(l + bI)
= 0,
(2)
где 5Т - изменение температуры, обусловленное выделением тепла при поглощении излучения, ср - теплоёмкость, Л - температуропроводность, V -плотность вещества. В случае двухуровневой модели среды а0 = N а12 - начальный коэффициент поглощения, Ь = (о12 + о21) / §21 - параметр, представляющий собой комбинацию сечений поглощения (о12, о21) и скорости релаксации между энергетическими состояниями резонансной среды (§21), N - число частиц.
Будем рассматривать четырёхволновое взаимодействие при следующих условиях:
1) в нелинейной среде распространяются четыре волны;
2) справедливо приближение заданного поля по волнам накачки;
3) учитывается решётка, возникающая при интерференции первой волны накачки и сигнальной волны.
Изменение температуры можно представить в виде суммы быстро (5Т31) и медленно (5Т0) меняющихся в зависимости от координат составляющих ЪТ = ЪТ0 +5Т31 +5Т3*1.
С учётом сделанных приближений волновое уравнение (1) примет вид
2 k dn
V2 + k2 +——(5T0 + ST + ST*) -
2ika„
1 + bL
l-
dT
b( aa+a; A3)
1 + bL
(3)
A = 0.
Здесь I0 = I; +12. I. = A.Aj, j = 1,2.
Пусть волны накачки плоские:
A1,2 (r)= A1,2 (z) exP\-iki,22r ] .
Сигнальную и объектную волны разложим по плоским волнам
Aj(F ) =
¥ (4)
= j ~Ai (kj,z)exP(-ikjp-ikz^z)dkj, J = 3,4.
Здесь k. и kz - поперечная и продольная составляющие волнового вектора k..
n
Л
4
Быстро осциллирующую составляющую температуры разложим по гармоническим решёткам
ST31 (г) = j ST3l (kT,z)exp(-ikTp)dkT .
С учётом приближения медленно меняющихся амплитуд волновое уравнение (1) распадается на систему уравнений вида
4 А
dz kJz
d/4 k
—4+ — dz k4 z
2
fik dn ao Л
--STo+(їтй0) ,
v no dT
' ik dn
--------STo +
v nodT 0
A. = 0, j = 1 3 ,
ao
(;+bIo )у
A4 =
(5)
ik2 dn
k4zn0 dT
ST31A2 • exp{-iz (k2z - k4z )} +
ка0ЬЛ1Л2A* • exp (-/Dz)
+ k4z(1 + b I0 )2 ’
где A = (k1 + k2 - k3 - k4) - проекция волновой расстройки на ось Z.
Уравнение Пуассона распадается на два уравнения
V2ST0 +
ao Io
Лcpv(ї+bIo)
= 0,
AA exp {-iz ( k1z - k3z )}
d2 2Л о ri ao
----n---ky’ I ST3, + “
dz2 У 31 ЛСр v(1 + bIo )2
(6)
= 0.
р • V- ■ --0;
Системы уравнений (5), (6) записаны при условии равенства нулю проекций волновой расстройки на оси X и У: к1 + к2 - к3 - к4 = 0 и при условии, что
к1 - к3 = кТ .
Системы уравнений (5), (6) необходимо дополнить граничными условиями:
- на амплитуды взаимодействующих волн
А1 ( 2 = 0 ) = A10,
А2 ( 2 = 1) = А20 ,
А (к3 , 2 = 0)= ^^30 (к 3 ) ,
Аа (к 4,2 = I )= 0;
- на изменение температуры
ЪТ0 (г = 0) = 5Т0 (г = I) = 0,
8Т31 (г = 0 ) = 8Т31 (г = I ) = 0.
Граничные условия на изменения температуры записаны при условии неизменности температуры на гранях нелинейного слоя.
Решение первых трёх уравнений системы (5)
есть
A1,3 (z) = A 10,30 exp {-C1,3(z)J,
-/2 ( z )= A 20 exp { C2 (z) + C2 (l)}. Здесь
C, (z)=-L jf*1 to STo(z,)+
Л ! k j n dT 0V 1
(7)
Jz 0
ka0
(; + bIo (zi ))
dz,.
Если интенсивность первой волны накачки намного превосходит интенсивность второй волны накачки, то изменение по толщине нелинейной среды интенсивности первой волны накачки описывается следующим выражением
1 I1 (z) и!т 1 \ т \ 2aokz
+b (Ii (z)-Iio) = —
J10 k1z
(8)
где I10 = Ii (z = 0).
Сделаем замену
A4 = A4 ^ eXP |-C4 (Z )} .
Тогда с учётом (7) уравнения, описывающие изменение комплексной амплитуды объектной волны, быстро изменяющейся составляющей температуры по толщине нелинейной среды, имеют вид
dA4 kA20 eXP (-C2 (z)+ C2 (l)+ C4 ( Z))
dz
k
ik dn
-----— ST31 exp {-iz ( k2z - k4z )} +
n0 dT
ao io A30
-----------2
(1+bIo )
(9)
ex
p{-C1 ( z)- C3*( z)- iAz}
dz2
a A A"
ІА0Л10Л30
ACpV(1 + bIo ) (10)
X exP |-/z ( kiz - k3z )-C1 ( z )-C3* ( z )} = 0.
Из уравнения (9) следует, что амплитуду объектной волны можно представить в виде суммы амплитуд волн, возникающих в результате четырёхволнового взаимодействия соответственно на тепловой и резонансной нелинейностях
A4 (k 4 , z = 0 ) = A4r (k 4 , z = 0)+ Kr (k 4 , z = 0) . Здесь
A4t (k4,z = 0)=-
ik2 dn
k4zn0 dT
A20 exp{C2 (l )}X
Xj ST31 exp{-iz (k2z - k4z ) - C2 (z) + C4 ( z)}dz,
0
I ^ kaobAioA20A30 exp{C2 (l)}
A4R ( k4 , z = 0)=------------;--------------X
(її)
Xj
exp{-C1 (z)-C2 (z)-C3*(z)+ C4 (z)-iAz}
(12)
dz.
0 (1 + Ь10)
На быстро изменяющуюся в пространстве составляющую температуры, а значит, и амплитуду волны, возникающей в результате четырёхволнового взаимодействия на тепловой нелинейности, существенное влияние оказывает изменение интенсивности волн накачки, обусловленное наличием резонансной нелинейности.
Как следует из (11), (12) с учётом (6), при четырёхволновом взаимодействии плоских волн в тонкой нелинейной среде основной вклад в объектную волну даёт резонансная нелинейность при условии, что
(
X
\
-k; IST„ +
X
\
параметр g =
6п
йТ п0 кЛсрпЬ 8Іп 0
(0 - угол между
первой волной накачки и сигнальной волной) намного меньше единицы. Если параметр g »1, то основной вклад в объектную волну даёт тепловая нелинейность.
2. Обсуждение результатов
На рис. 1 приведены характерные графики зависимости модулей амплитуд объектной волны от толщины нелинейного слоя, полученные путём численного анализа выражений (10)—(12) при условии, что вклад тепловой и резонансной нелинейностей сравним.
Л'4Т,Л'4Я,отн.ед.
3
0 1 2 3 а0/
Рис. 1. Зависимость модуля амплитуды объектной волны от толщины нелинейного слоя (0 = 3 град, Ь110 = 1)
Графики построены при условии, что волны накачки распространяются строго вдоль оси 2 и при следующих значениях параметров:
к/ а0 = 100,
К
йп
уЛСр а0п0 йТ
= 1.
Значения амплитуд А4'Т и А'4К с ростом толщины нелинейного слоя вначале возрастают, а затем уменьшаются. Причём оптимальные толщины нелинейной среды 1ор1Т и 1орт , при которых значения амплитуд волн А4'Т и А'ак достигают наибольшего значения, различны.
С увеличением интенсивности волны накачки происходит уменьшение коэффициента поглощения и, как следствие этого, увеличение оптимальных толщин 1оР,т и 1т (рис. 2).
При этом растёт также и значение амплитуды объектной волны А'к, соответствующее 1орт . Рост значения 1ор1Т приводит вначале к увеличению, а затем к уменьшению А4Т (1орТ) (рис. 3).
В приближении плоских волн накачки угловая зависимость амплитуды объектной волны, возникающей в результате четырёхволнового взаимодействия на резонансной нелинейности, отсутствует [8]. Амплитуда волны, возникающей в результате четырёхволнового взаимодействия на тепловой нелинейности, с увеличе-
нием угла между сигнальной волной и первой волной накачки, уменьшается. Для характеристики угловой
зависимости амплитуды Л'4Т введём понятие ширины
полосы углов (Д0), определяемое из соотношения
|Л4т (0 = Д0)|= 1 Л4т (0 = 0 )|.
Рис. 2. Зависимость оптимальных толщин от интенсивности волны накачки (0 = 1 град)
А'л
, отн.ед.
Рис. 3. Зависимость модуля амплитуды объектной волны, соответствующего оптимальной толщине среды, от интенсивности волны накачки (0 = 1 град) Ширина полосы углов, соответствующая оптимальной толщине нелинейной среды Д01 = Д0(/орТ),
с увеличением интенсивности волны накачки монотонно уменьшается (рис. 4).
При фиксированной толщине нелинейной среды увеличение интенсивности волн накачки слабо влияет на угловую зависимость амплитуды А4'Т. Так, при изменении нормированной интенсивности волны накачки Ь110 в пределах от 0,1 до 3, относительное изменение ширины полосы углов при а01 = 0,8 составляет 0,4%, при а01 = 4 - 3,6%.
1
A0j, град
Рис. 4. Зависимость ширины полосы углов, соответствующей оптимальной толщине среды, от интенсивности волны накачки
В рамках параксиального приближения угловой поворот второй волны накачки относительно первой при фиксированной толщине нелинейного слоя не меняет ширину углового спектра волны, возникаю -щей при четырёхволновом взаимодействии на тепловой нелинейности, при этом резко уменьшается ширина углового спектра волны, возникающей при четырёхволновом взаимодействии на резонансной нелинейности. Однако вплоть до значений к / а0 < 2000
и а01 < 2 ширина углового спектра волны А4'Т
меньше ширины углового спектра волны А'К .
Тот факт, что объектная волна представляет сумму двух волн с различной пространственной селективностью, позволяет использовать четырёхволновой преобразователь с учётом двух типов нелинейности для динамической фильтрации неоднородностей в системе «нелинейная среда - четырёхволновой преобразователь - нелинейная среда». Изменяя интенсивность волны накачки, можно увеличивать долю «резонансной» составляющей волны А'4К и, тем самым, компенсировать мелкие неоднородности или, наоборот, увеличивать долю «тепловой» составляющей волны А4 Т и компенсировать крупные неоднородности.
Благодарности Работа выполнена в рамках реализации ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 годы (Государственный контракт № 14.740.11.0063).
Литература
1. Воронин, Э.С. Использование вырожденных параметрических процессов для коррекции волновых фронтов (обзор) / Э.С. Воронин, В.М. Петникова, В.В. Шувалов // Квантовая электроника. - 1981. - Т. 8, № 5. - С. 917935. - КБЫ 0368-7147.
2. Бень, В.Н. О передаче изображения через неоднородные среды с помощью ОВФ / В.И. Бень, С.В. Бондаренко, Е.В. Ивакин, А.И. Кицак, К. Пушкарова, А.С. Рубанов // Физические основы и прикладные вопросы голографии: сб. статей. - Л.: 1984. - С. 110-119.
3. Дмитриев, В.Г. Нелинейная оптика и обращение волнового фронта / В.Г. Дмитриев - М.: Физматлит, 2003.
- 256 с.
4. Воронин, Э.С. Компенсация фазовых искажений при вырожденном четырёхчастотном взаимодействии / Э.С. Воронин, И.В. Ивахник, В.М. Петникова, В.С. Соломатин, В.В. Шувалов // Квантовая электроника. -1979. - Т. 6, № 9. - С. 2009-2015. - ISSN 0368-7147.
5. Ивахник, В.В. Точность обращения волнового фронта (ОВФ) при четырёхфотонном параметрическом взаимодействии / В.В. Ивахник, Г.Э. Некрасова, В.И. Никонов // Оптика и спектроскопия. - 1990. - Т. 68, № 3.
- С. 620-624. - ISSN 0030-4034.
6. Ивахник, В.В. Функция размытия точки четырёхволнового «ОВФ-зеркала» на тепловой нелинейности / В.В. Ивахник, В. И. Никонов // Оптика и спектроскопия. - 1997. - Т. 82, № 1. - С. 55-59. - ISSN 0030-4034.
7. Ивахник, В.В. Четырёхволновое преобразование излучения на тепловой нелинейности в двумерном многомодовом световоде / В.В. Ивахник, В.И. Никонов, Т.Г. Харская // Физика волновых процессов и радиотехнические системы. - 2006. - Т. 9, № 1. - С. 5-11. -ISSN 1810-3189.
8. Ivakhnik, V.V. Angular dependence of diffraction of a dynamic hologram in a reversible photochomatic medium / V.V. Ivakhnik, V.I. Nikonov, E.V. Shilnikova // Компьютерная оптика. - 2002. - Вып. 24. - С. 94-98. - ISSN 0134-2452.
9. Туморин, В.В. О роли тепловой нелинейности при вырожденных взаимодействиях в насыщенных лазерных средах / В.В. Туморин, Н.Н. Ильичев // Квантовая электроника. - 2007. - Т. 37, № 9. - С. 821-826. - ISSN 0368-7147.
10. Жердиенко, В.В. Попутное четырёхпучковое взаимодействие в резонансных средах с тепловой нелинейностью / В.В. Жердиенко, С.А. Лесник, А.И. Хижняк // Украинский физический журнал. - 1985. - Т. 30, № 12.
- С. 1788-1792. - ISSN 0503-1265.
11. Ивакин, Е.В. Обращение волнового фронта световых пучков в растворах сложных органических красителей / Е.В. Ивакин, В.В. Кабанов, А.М. Лазарук. - Минск: Препринт ИФ АН БССР, 1982. - № 258. - 30 с.
12. Кабанов, В.В. Энергетическая эффективность обращения волнового фронта при вырожденном четырёхволновом взаимодействии в растворах красителей / В.В. Кабанов, А.С. Рубанов // Квантовая электроника
- 1982. - Т. 9, № 6. - С. 1277-1280. - ISSN 0368-7147.
13. Васильев, Л.А. Обращение волнового фронта при четырёхволновом взаимодействии в среде с тепловой нелинейностью / Л. А. Васильев, М.Г. Галушкин, А.М. Серёгин, Н.В. Чебуркин // Квантовая электроника. -1982. - Т. 9, № 8. - С. 1571-1575. - ISSN 0368-7147.
References
1. Voronin, E.S. Use of degenerate parametric processes for wave front correction (review) / E.S. Voronin, V.M. Pet-nikova, V.V. Shuvalov // Soviet Journal of Quantum Electronics. - 1981. - V. 11, No. 5. - P. 551-561. - ISSN 0049-1748. - (in Russian).
2. Ben', V.N. About transfer of the image through nonuniform medium by means of wavefront reversal // V.N. Ben', S.V. Bondarenko, E.V. Ivakin, A.I. Kitsak, K. Pushkarova, A.S. Rubanov // Physical bases and applied questions of holography. - Leningrad, 1984. -P. 110-119. - (in Russian).
3. Dmitriev, V.G. Nonlinear Optics and WaveFront Reversal / V.G. Dmitriev - Мoscow: “Fizmatlit” Publisher, 2003. -256 p. - (in Russian).
4. Voronin, E.S. Compensation of phase distortions in degenerate four-frequency interaction / E.S. Voronin, V.V. Ivakh-nik, V.M. Petnikova, V.S. Solomatin, V.V. Shuvalov // Soviet Journal of Quantum Electronics. - 1979. - V. 9, No. 9. - P. 1180-1184. - ISSN 0049-1748. - (in Russian).
5. Ivakhnik, V.V. Precision of reversed wave front under four-photon parametric interaction / V.V. Ivakhnik, G.E. Nekrasova, V.I. Nikonov // Optics and Spectroscopy. - 1990. -V. 68, No. 3. - P. 620-624. - ISSN 0030-4034. - (in Russian).
6. Ivakhnik, V.V. The point spread function of four - wave phase - conjugating mirror on the basis of thermal nonlinearity / V.V. Ivakhnik, V.I. Nikonov // Optics and Spectroscopy. - 1997. - V. 82, No. 1. - P. 47-51. - ISSN 00304034. - (in Russian).
7. Ivakhnik, V.V. The four-wave radiation converter on thermal nonlinearity in optical waveguide / V.V. Ivakhnik, V.I. Nikonov, T.G. Harskaya // Physics of Wave Processes and Radiotechnical Systems. - 2006. - V. 9, No. 1. - P. 5-
11. - ISSN 1810-3189. - (in Russian).
8. Ivakhnik, V.V. Angular dependence of diffraction of a dynamic hologram in a reversible photochomatic medium / V.V. Ivakhnik, V.I. Nikonov, E.V. Shilnikova // Computer Optics. - 2002. - V. 24. - P. 94-98. - ISSN 0134-2452.
9. Tumorin, V.V. On the role of thermal nonlinearity in degenerate interactions in saturated laser media / V.V. Tumorin, N.N. Il'ichev // Quantum Electronics. - 2007. -V. 37, No. 9. - P. 821-826. - ISSN 0049-1748.
10. Zherdienko, V.V. Forward four-wave mixing in resonant media with thermal nonlinearity / V.V. Zherdienko, S.A. Les-nik, A.I. Khizhnyak // Ukrainian Journal of Physics. -1985. - V. 30, № 12. - P. 1788-1792. - ISSN 0503-1265.
11. Ivakin, E.V. Wavefront reversal of light beams in complex organic dye solutions / E.V. Ivakin, V.V. Kabanov, A.M. Lazaruk. - Minsk: Preprint IP AS BSSR, 1982. -No. 258. - 30 p. - (in Russian).
12. Kabanov, V.V. Energy efficiency of wavefront reversal in degenerate fourwave interaction in dye solutions / V.V. Kabanov, A.S. Rubanov // Soviet Journal of Quantum Electronics. - 1982. - V. 12, No. 6. - P. 810-812. -ISSN 0049-1748.- (in Russian).
13. Vasil'ev, L.A. Wavefront reversal in four-wave interaction in a medium with a thermal nonlinearity / L.A. Vasilev, M.G. Galushkin, A.M. Seregin, N.V. Cheburkin // Soviet Journal of Quantum Electronics. - 1982. - V. 12, No. 8. - P. 1007-1009. - ISSN 0049-1748.- (in Russian).
FOUR-WAVE INTERACTION WITH ALLOWANCE FOR THERMAL AND RESONANT NONLINEARITIES
A.A. Akimov, E.V. Vorobjeva, V.V. Ivakhnik Samara State University
Abstract
The interaction of four monochromatic waves in counter pumping waves scheme and with allowance for thermal and resonant nonlinearities is investigated within the limits of the scalar theory. Dependence of the object wave amplitude module on a thickness of a nonlinear layer under condition of temperature invariance on sides of a nonlinear layer is obtained. The angular selectivity of four-wave converter is investigated.
Key words: four-wave interaction, thermal nonlinearity, resonant nonlinearity.
Сведения об авторах
Акимов Александр Александрович, 1988 года рождения. Инженер кафедры оптики и спектроскопии Самарского государственного университета. Область научных интересов: нелинейная оптика, динамическая голография.
E-mail: alexakimov50@mail.ru
Aleksandr Aleksandrovich Akimov (b. 1988). Engineer of Chair of Optics and Spectroscopy of Samara State University. Research interests include nonlinear optics and dynamic holography.
Воробьёва Елена Владимировна, 1977 года рождения. Кандидат физико-математических наук, ведущий инженер кафедры оптики и спектроскопии Самарского государственного университета. Область научных интересов: динамическая голография.
E-mail: loginovaely@mail.ru
Elena Vladimirovna Vorobjeva (b. 1977). Candidate in Physics & Maths, lead engineer of Chair of Optics and Spectroscopy of Samara State University. Research interests include dynamic holography.
Ивахник Валерий Владимирович, 1951 года рождения. Доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой оптики и спектроскопии, декан физического факультета Самарского государственного университета. Область научных интересов: нелинейная оптика, динамическая голография.
E-mail: ivakhnik@ssu.samara.ru
Valery Vladimirovich Ivakhnik (b.1951). Doctor in Physics & Maths, professor, Head of Chair of Optics and Spectroscopy, Dean of Faculty of Physics of Samara State University. Research interests include nonlinear optics and dynamic holography.
Поступила в редакцию 11 октября 2010 г.
