CC BY
38
138 Вестник СамГУ — Естественнонаучная серия. 2010. № 2(76)
ФИЗИКА
УДК 621.373.826
КАЧЕСТВО ОВФ ПРИ ЧЕТЫРЕХВОЛНОВОМ ВЗАИМОДЕЙСТВИИ НА ТЕПЛОВОЙ НЕЛИНЕЙНОСТИ ПРИ БОЛЬШИХ КОЭФФИЦИЕНТАХ ОТРАЖЕНИЯ
© 2010 В.В. Ивахник1
Показано, что при четырехволновом взаимодействии в среде с тепловой нелинейностью с учетом тепловых решеток, записываемых первой волной накачки и сигнальной волной, второй волной накачки и объектной волной, изменение фурье-образов комплексных амплитуд сигнальной и объектной волн по мере их распространения описывается однородными дифференциальными уравнениями шестой степени. Получено аналитическое выражение, полностью описывающее соответствие между фурье-образами комплексных амплитуд объектной и сигнальной волн на передней грани нелинейного слоя.
Ключевые слова: тепловая нелинейность, четырехволновое взаимодействие, волновой фронт, амплитуда объектной волны.
При практическом использовании четырехволновых преобразователей излучения для коррекции фазовых искажений важно знать, насколько точно амплитуда объектной волны соответствует комплексно-сопряженной (обращенной) амплитуде сигнальной волны. Знание точности (качества) обращения волнового фронта (ОВФ) позволяет оценить параметры неоднородной среды, при повторном прохождении через которую фазовые искажения, внесенные в волну при первичном проходе, будут скомпенсированы [1].
До настоящего времени анализ точности ОВФ проводился, как правило, в приближении малого коэффициента отражения [2, 3, 4, 5]. Однако уже выполнены эксперименты, в которых достигнут коэффициент отражения порядка и больше единицы [6, 7]. Поэтому актуальным является изучение качества ОВФ при больших коэффициентах отражения. В этом случае необходимо учитывать динамические решетки, возникающие как при интерференции первой волны накачки и сигнальной волны, так и при интерференции второй волны накачки и объектной волны.
хИвахник Валерий Владимирович (ivakhnik@ssu.samara.ru), кафедра оптики и спектроскопии Самарского государственного университета, 443011, Россия, г. Самара, ул. Акад. Павлова, 1.
Пусть в среде с тепловой нелинейностью, расположенной между плоскостями г = 0 и г = Ь, распространяются навстречу друг другу две волны накачки с комплексными амплитудами А\ и А2 и сигнальная волна с амплитудой А3. В результате вырожденного четырехволнового взаимодействия и + и — и = и генерируется объектная волна с амплитудой А4. Стационарное волновое уравнение, описывающее такое взаимодействие, есть
V2 +
1 + - ^Т) — 2гка по аТ
ЕА + к.с. 3=1
0.
(1)
Здесь по — среднее значение показателя преломления, к = ^п0 — волновое число, а — коэффициент поглощения, 5Т — изменение температуры, обусловленное выделением тепла при поглощении излучения. Уравнение (1) необходимо дополнить уравнением Пуассона
2
V25T +
а
Лср V
ЕА* +
3 = 1
к.с.
0,
(2)
где Л — коэффициент теплопроводности, ср — удельная теплоемкость, V — объемная плотность вещества.
Изменение температуры представим в виде суммы меняющихся и не меняющейся в зависимости от поперечной координаты х составляющих
5Т(х, г) = 5То(г) + «31 (х, г) + «42(х, г).
(3)
Составляющие изменения температуры 5То, 5Тз1 и ¿Т42 удовлетворяют уравнениям
й2«о а . . . ...
0 + 7-(АА + А2А2) = 0,
йг2 Лс^
а
V 5Тз1 + --А1А3 = 0,
ЛcpV
V25T42 + Т^А2А4 = 0. Лс^
(4)
(5)
(6)
При условии отвода тепла от граней нелинейной среды граничные условия на изменения температуры запишутся в виде
5То(г = 0) = 5То(г = Ь) = 0, «к (г = 0) = «к (г = Ь) = 0, ¿Т42 (г = 0) = 5Т42(г = Ь) = 0.
В приближении заданного поля по волнам накачки ^А^Р >> |Аз;4|2^ из (1) с учетом (3) уравнения, описывающие изменение комплексных амплитуд волн накачки, сигнальной и объектной волн, имеют вид
2
к
V2 +
1 + - - 2ika
no dT
V2 +
V2 +
k2
1 + 2 dnÁT 1 +--
no dT
1 + 2 dn
1 +--
no dT
— 2ika
— 2ika
Am = 0, m = 1,2, (7)
2k2 dn
Аз +--^¿T42AI =0, (8)
no dT 2k2 dn
A4 + — ^¿TA = 0. (9)
no dT
Пусть волны накачки плоские и распространяются строго вдоль оси Z: Ai = Aio(z) exp (—ikz), A2 = A2o(z) exp (ikz). При выполнении граничных условий Aio(z = 0) = A lo, A2o(z = L) = A2o в приближении медленно меняющихся амплитуд из (4), (7) изменение амплитуд волн накачки и STo(z) по толщине нелинейной среды есть
Aio(z) = Alo exp [—iC(z) — az],
A2o(z) = A°o exp {i [C(z) — C(L)] + a(z — L)}
2
k
2
k
STo(z) = — {(Alo)2 [1 — exp(—2az)] + (A°o)2 [1 — exp(2az)] exp(—2aL) +
+ [1 — exp(—2aL)][(A°o)2 — (Ao^^ L}' Здесь C(z) = kdT I STo(zi)dzi.
no
o
Разложим амплитуды сигнальной и объектной волн по плоским волнам
Ap(р,z)=J Ар(Кр,^)ехр {—гКрр — гкргz}dкp, р = 3,4. (10)
—те
Здесь Кр и крг — поперечная и продольная составляющие волнового вектора кр, р — поперечная составляющая радиус-вектора.
Изменения температуры разложим по гармоническим решеткам
00
5Tзl(р,z)=¡ ¿Тз1(КТз^)ехр {—к3тр} ЛКзт,
^ - ^ _ (11) $Т42(р^)=§ ¿Т42(Кт4, z) ехр {—гК4тр} ЛК4т■
—те
С учетом (10)—(11) в параксиальном приближении (крг = к — уравнения, описывающие изменения фурье-образов амплитуд сигнальной и объектной волн, примут вид
dA^'z) = — igi5T42(K, z) exp { —iKfez| dA4d¿'Z) = ig2¿TT3i(K4, z) exp {iKkz} .
Здесь A'3(K3,z) = A3(K3,z)exp {az + iC(z)}, A4(K4,z) = A4(K4,z) x x exp {-a(z - L) - iC(z) + iC(L)}, gi = kdT A°o, 92 = k dTA2o-
Уравнения, описывающие изменение по толщине нелинейного слоя составляющих температуры, перепишутся следующим образом:
^ - К2«31 = -мз* exp i-iiz - 2az} ,
d^ - к25ТА2 = -h~A* exp I i g z + 2az} ,
где fi = papA0o, /2 = papA°o exp {-2aL}. При выводе уравнений (12)-(13) считали, что к = к3 = к4т = - к4 = - к3т.
Уравнения для амплитуд сигнальной и объектной волн должны быть дополнены граничными условиями
l3(K,z = 0)= А43°(К),
!4(K,z = L) = 0. 1 J
Дважды продифференцировав уравнения (12) с учетом (13), получим систему из двух связанных уравнений для комплексных амплитуд объектной и сигнальной волн
" „4
^^ + ^ «Л dA
dz3 ^ 1 ( k J dz2
d?A_ J A dA
dz3 4 k J dz2
к2 + K + 4k2
K2 + K + 4k2
d3 = igiM4* exp {2az} ,
ИЛ>~ (15)
ddt = exp {—2az} .
Из системы уравнений (15) можно получить однородные дифференциальные уравнения шестой степени для фурье-образов комплексных амплитуд волн
d А3 d А3 d A3 d A3 d A3 dAo 71 „ /_
—^ + a—^ + Ъ—3 + c—-33 + n—O + m—^ + GG* A'3 = 0, (16) dz6 dz5 dz4 dz3 dz2 dz 3 v 7
d6 Л'
— a
d5 Л', , d414 3 + b- 4
d3 Á'
d2 A
d А'л
- c^^ + n—^ - + GG* 14 = 0. (17)
dz2 dz
dz6 dz5 dz4 dz3 Здесь a = 2 (J«2 - 3a), b = 12a2 - 10iaf- - # - 2к
c = (к2 + 4k2) (8a - 2ik) + 16¿a2f2 + 4af4 - 8a3,
n = (к2 + «2 - 12a3 + 6iak
K + 4k2 ) - i
„•4a2 к2
k
m = (к2 + «2
8a3 - 4ia2 k - 2a к2 + £2)
2a - ik
Общий вид решения уравнений (16), (17) хорошо известен
^з(к, z) = Е Cj(к) exp tdJ (к)z]'
j=1
6
^4(к, z) = ^ Bj(к) exp [dj(к)^ , j=i
(18) (19)
где Лу и Л'у — корни характеристических уравнений шестой степени
г6 + аг5 + ы4 + ег3 + иг2 + шг + ас* = о, г6 — аг5 + ьг4 — ег3 + иг2 — шг + ас* = о .
Анализ корней характеристических уравнений показывает, что
Л = Л'* + 2а. (20)
Тогда, используя (15), найдем связь коэффициентов Су и Ву в виде
igi¡2B* = C.
4 + (iKk) d2 + (к2 + ) d
(21)
Коэффициенты Ву определяются из граничных условий для амплитуд объектной и сигнальной волн
6
Y^ Bj exp [(d* — 2a) L] = 0, (22)
j=i
Е^з--Tr = iA3o (23)
j — i k 2 -
и условия отвода тепла от граней нелинейной среды
6 ( )
J2{d* — 2a) Bj = 0, (24)
j=i
6 ( ) [( ) ]
^ (d* — 2a) Bj exp [(d* — 2a) L] = 0, (25)
j=i
6B
E-2-B-= 0, (26)
j=i (j — i k (j + (к2 + K2)
6 Bj exp (d*L)
E„2 j Л j 7-- = 0. (27)
j=i ( dj i' — ik j2 + (к2 + 4^2) d*
у=1 — ^ (5; + (К2+
Используя систему из шести линейных алгебраических уравнений (21)—(27), найдем амплитуду объектной волны на передней грани нелинейного слоя
6
ЕАу
=
^ = А
3 = 1
Здесь А — определитель системы уравнений, А у — определитель при коэффициенте Ву .
A4 (к, z = 0) = ^ Bj = j=—. (28)
Выражение (28) с учетом уравнений (21)—(27) и зависимости коэффициентов dj от поперечной составляющей волнового вектора сигнальной волны полностью описывает соответствие между фурье-образами амплитуд объектной и сигнальной волн на передней грани нелинейного слоя с учетом тепловых решеток, записываемых как первой волной накачки и сигнальной волной, так и второй волной накачки и объектной волной.
Литература
[1] Воронин Э.С., Петникова В.М., Шувалов В.В. Использование вырожденных параметрических процессов для коррекции волновых фронтов // Квантовая электроника. 1981. Т. 8. № 5. С. 917-934.
[2] Ивахник В.В., Некрасова Г.Э., Никонов В.И. Точность обращения волнового фронта (ОВФ) при четырехфотонном параметрическом взаимодействии // Опт. и спектр. 1990. Т. 68. Вып. 3. С. 620-624.
[3] Ивахник В.В., Мартасова Э.Г., Никонов В.И. Качество обращения волнового фронта (ОВФ) при попутном четырехфотонном взаимодействии // Опт. и спектр. 1991. Т. 70. Вып. 1. С. 118-122.
[4] Ивахник В.В., Никонов В.И. Функция размытия точки четырехволно-вого "ОВФ-зеркала" на тепловой нелинейности // Опт. и спектр. 1997. Т. 82. Вып. 1. С. 55-59.
[5] Ивахник В.В., Никонов В.И., Харская Т.Г. Четырехволновое преобразование излучения на тепловой нелинейности в световоде c параболическим профилем // Известия вузов. Приборостроение. 2006. Т. 49. № 8. С. 54-60.
[6] Андреев Н.Ф. Беспалов В.И., Киселев А.М. Обращение волнового фронта слабых оптических сигналов с большим коэффициентом отражения // Письма в ЖЭТФ. 1980. Т. 32. № 11. С. 639-642.
[7] Бетин А.А., Митропольский О.В. Генерация излучения при четы-рехволновом взаимодействии в схеме с обратной связью в диапазоне // Квантовая электроника. 1987. Т. 14. № 5. С. 1002-1008.
Поступила в редакцию 26/XI//2009; в окончательном варианте — 26/XI/2009.
144
В.В. HeaxHUK
THE QUALITY OF THE WFR UNDER THE FOUR-WAVE INTERACTION ON THERMAL NONLINEARITY AT THE GREAT REFLECTION COEFFICIENT
© 2010 V.V. Ivakhnik2
It was shown that under the four-wave interaction in the thermal nonlinearity medium and taking into account thermal cell describable by first wave pumping and signal wave, second wave and object wave change of signal and object waves complex amplitude Fourier image according to its expansion may be described by homogeneous differential sextic equation. Analytic form which described completely compatibility between Fourier images of signal and object waves amplitude on the nonlinear layer fore face was received.
Key words: thermal nonlinearity, four-wave interaction, wave front, amplitude of object wave.
Paper received 26/XI/2009. Paper accepted 26/XI/2009.
2Ivakhnik Valeriy Vladimirovich (ivakhnik@ssu.samara.ru), Dept. of Optic and Spectroscopy, Samara State University, Samara, 443011, Russia.
