CC BY
8
� (А4 А << 1). Учитывая выражение для интенсивности
I = А; А* + А; А3* + А;* А3 ,
представим заселенности энергетических уровней в виде
Nj (г,t) = Nр0 (х,г,t) + XN1? (г,t)/р (х),
р=0
1 = 1 * 3.
(4)
Здесь N0 и Щр - средние значения и коэффициенты в разложении заселенностей энергетических уровней по модам волновода.
Из уравнения Гельмгольца с учетом (3 - 4) получим систему уравнений, описывающую изменение вдоль оси волновода коэффициентов в разложении амплитуд взаимодействующих волн по модам волновода, вида
да.
= 0, 1 = 1п, 2т, 3s,
дг
да4г (г,t)
дг
к ст м м
-ХХа2т ()>
Рг т=0 р=0
(5)
< [Nр (г, t) - N2р (г, t)] утрг ехр [- (Рт - Рг ) г] .
Здесь утрг =|/т (х)/р (х)]~'(х)йх - интеграл перекрытия трех мод волновода. Считаем, что вероятности вынужденных переходов с основного состояния в возбужденное синглетное и обратно совпадают, т.е. СТ12 = СТ21.
При выполнении условий на гранях волновода
ащ (г = 0, t) = < (t), а2т (г = I, t) = а^ (t), а3, (г = 0, t) = а3)s (t), а4г (г = £, t) = 0
(6)
из (5) найдем на передней грани волновода коэффициенты в разложении амплитуды объектной волны по модам волновода
к ст м м аАг (г = 0,t) = --р2ХХа20т (t)ут
рг т=0 р=0
I
<|[NN1 р (г,t)-N2р (г,t)]ехр[-(Рт-Рг)г]йг.
(7)
1=1
Временные зависимости коэффициентов М^, г) и Й2р& г) однозначно определяют зависимость от времени коэффициентов в разложении амплитуды объектной волны по модам волновода.
1) для средних значений заселенности
Будем считать, что первая волна накачки возбуждает в волноводе одну моду с номером п. С учетом (4) система уравнений (2) распадается на две связанные системы уравнений:
dNw (x, z, t)
dt
N (x, z, t)
dt
N = N10 + N
= N10 (х, 2, () Iо (х, 2, () СТ12 - N20 (х, 2, () [Iо (х, 2, () СТ12 +821 +823 ] , !0 + N30,
2) для коэффициентов в разложении заселенностей энергетических уровней по модам волновода
1) = -Nlp (2,г)[ 1пр (2,г)Ст!2 +83!] + N2р (2,г)[ 1р (2,г) ст^ +82! -83!]+¥р (2,г), Ш2^ 1) = Nр (2, г)1пр (2, г) СТ12 - N2р (2, г) [ 1пр (2, г) с^ +821 +823 ] - Ер (2, г),
Np + N р + N3 p = 0.
Здесь
10 (х, z, t) = |а°и|2 f„ (x) fn (x)exp[-/' (p„ -pn )z], Inp (z, t) = |< |2 уmpp exp[-г (p„ - pn) z],
M
Fp (z, t) = < (t) <* (t)exp[-' (Pn - p:) z] x Jаю (x, z, t) f (x)fs* (x)fp (x) dx,
s=0
у nnpp
J| fn (x)|2| fp (x) dx.
Пусть в начальный момент времени (г = 0) все частицы находятся на основном энергетическом уровне
Nw (t = 0) = N, N20,30 (t = 0) = 0, Njp (z,t = 0) = 0, j = 1 + 3.
(10) (11)
Используя систему уравнений (8) с учетом начальных условий (10), при условии, что амплитуда первой волны накачки не меняется с течением времени (aQn (t) = const), найдем значения средних заселенностей основного и возбужденного синглетного энергетических уровней, среднее значение коэффициента поглощения ансамбля частиц
а
Ю (x, z, t) = СТ12 (N10 - N20) = - N СТ12 i —+ v ' v ' [1+bI0
[2/0CT12 +831 +X2 ^5з1 )
X1 (X2 - ) [2I0CT12 +831 ](531 + X 2)
X2 (X2 -X1)
exp (X1t )-exp (X 2t) >.
(12)
Зная М0 и N20, решая систему уравнений (9) с учетом начальных условия (11), найдем коэффициенты в разложении заселенностей энергетических уровней по модам волновода [37]
+ lp(z К +521 -531 ^2 p exp ),
X,p + I0CT12 +831
где
b = •
i (823 + 2831)
831 (8 23 +8 21)
, . [ 2I0CT12 +821 +831 +823 ]
X1,2 (x, z ) = -±-2- ±
±[1 [2I0CT12 +821 +831 +823]2 -
-10 [CT12 (2831 + 823 )) - 831 (821 + 823 )) ,
D ( t) = ±X% + 2Inp (z)CT12 +821 +82 D1,2p (z, t) = ±
(8)
(9)
N2p (z,t) = Ap exp(xnpt) + D2p exp(Xft), (13)
N1 p (z, t ) = ^ 8-831 D1 p exp(xnpt) +
Xi + I0CT12 +831
(14)
X,p -X t
xJFp (z,t')exp(-Xnp2t')dt'.
0
Для определения Xnp2 в выражении для X12 необходимо заменить Iq (x, z) на I„p (z).
x
Подставив (13) и (14) в (7), найдем коэффициенты в разложении амплитуды объектной волны по модам волновода
M t
aAr (z = 0,t) = £ jx«sr (t,t') (t')dt'. Здесь
(15)
s=0 0
k m M
Xnsr (t, t ) = -a1« "P" £ £ a2m (() Уmpr ;
Pr m=0 p=0
P (~Í A „msrZ )
(16)
1 К (' )=ХР [^ (' - 0]+
+Bf (z)exp[Хf (t -1')]}x x[|aio (x,z,t')/„ (x)/; (x)fp (x)dx]dz -функция временного отклика,
Binp (z) = +CT12 [ХР (z) + 21 „p (z)CT12 + 821 +823 ]) ' xnp2 (z )-S2i + 2531
Х„Р2 (z)+ I,p (z)CT12 +83
Anmsr = P„ - Pm - PS + Pr - волновая расстройка.
Функция временного отклика устанавливает однозначную связь между временными зависимостями r-го и s-го коэффициентов в разложении по модам волновода амплитуд объектной и сигнальной волн.
Для четырехволнового преобразователя излучения в волноводе, удовлетворяющем условию Re (h.nmsr) Ф 0, £Re (Anmsr) >> 1 (длинный волновод), в случае одномо-довой второй волны накачки, интенсивность которой, как и интенсивность первой волны накачки, не зависит от времени (((t) = const), а номер моды совпадает с номером моды первой волны накачки (n = m), временная зависимость r-го коэффициента в разложении по модам волновода амплитуды объектной волны полностью определяется зависимостью от времени r-го коэффициента в разложении амплитуды сигнальной волны по модам волновода
a4=m (z = 0, t) = |хИгг (t, t') аз0; (С) dt'.
(17)
Если номера мод одномодовых волн накачки не совпадают (п ф т), то основной вклад в амплитуду объектной волны определяет мода волновода с номером, равным номеру моды второй волны накачки
a4=m (z = 0, t) = jx™ (t, t')a3°;=„ ()dt'.
(18)
Для длинного волновода и равных номеров мод одномодовых волн накачки при установившемся режиме (а10 (х, г, Г) = а10 (х, г)) функция временного отклика является однородной функцией вида
Xnrr (t -1') = -aMm^CT^ £Уп
p=0
4
exp (-2a0.
Xnp (z )-Xf (z) +Bf (z )exp [Xf (t -t')]}
B (z)exp [Xf (t -t')] + (19)
j f„ (x)f;(x)f;(x) dx J bI0 (x, z )+1
dz.
Знание функции временного отклика позволяет установить однозначную связь между временными зависимостями комплексных амплитуд сигнальной и объектной волн.
Если в качестве сигнальной волны взять волну от точечного источника (А3 (х, г = 0) = 5 (х - х0), х0 - расстояние от источника до оси волновода), то с учетом (19) выражение для амплитуды объектной волны (функция размытия точки (ФРТ)) можно записать следующим образом
м м t
О (х, х0, t, г = 0) = XX ^ (х)) ()) (, Г). (20)
г =0 s=0 0
При использовании четырехволновых преобразователей излучения в системах коррекции фазовых искажений вид ФРТ позволяет определить качество восстановления волнового фронта, пространственные и временные характеристики оптически неоднородной среды, которые могут быть скомпенсированы при обратном прохождении через эту среду волны с ОВФ [14].
3. Обсуждение результатов
В качестве двумерного волновода рассмотрим волновод, показатель преломления которого меняется по параболическому закону
! (x) = «i2
1 - 2A
где а, Д - параметры, задающие изменение показателя преломления. Модами волновода являются функции Гаусса-Эрмита [41]
ftp (x)= J——-~2 Hp (/^0 )exp í-4 I, (21)
^(2pp!ra0) V ' l®2)
Pp = (k2«2 - 2ikn1a0 - qp ). (22)
Здесь Hp (xV2/ю0) - функция Эрмитаp-го порядка,
®2 =
2a
MV2A
qp =
2 (2 p+1)
®2
Пусть частицы характеризуются параметрами ст12 = СТ21 = 10 -16 см2, 521 = 1,54 -109с -1, 523 = 5,6 -108с -1, 5э1 = 1,28 -103с N = 2,2 -10 13 см ~3 [40, 42]. В параболическом волноводе (п1 = 1,36, а0 = 0,1 см
ю0 =1,141 мкм) распространяется излучение на длине волны X = 0,53 мкм.
3.1. Функция временного отклика
Численный анализ выражения (19) с учетом приосе-вых мод [17] показывает монотонное уменьшение значения функции временного отклика с течением времени. Введем понятие ширины функции временного отклика. Это временной отрезок (Дтпг), в течение которого значение функции временного отклика по сравнению с максимальным значением уменьшается в 2 раза
%пгг (г - г' = Дх„г) = 1%пгг (г - г' = 0).
(23)
В случае малой интенсивности первой волны накачки (¿10° < 102,10" = 10 (х = 0,2 = 0)) и при условии ХПр ^ 0 , что справедливо для случая 831 << 821, 82з и почти всегда реализуется в трехуровневой схеме с триплетным метастабильным уровнем [40], ширина временного отклика определяется выражением
ДХ„ = -
1
821Х 2
-1п
111 - К
21 ВТ
(24)
Ширина временного отклика Дтпг не зависит от длины волновода, номеров мод волн накачки, объектной волны, полностью определяется параметрами ансамбля частиц.
При большой интенсивности первой волны накачки (т > 10) с увеличением длины волновода ширина временного отклика увеличивается, выходя на постоянное значение Дт0„г (рис. 1а). Рост интенсивности волны накачки увеличивает разность между значением Дт 0„г и значением ширины временного отклика при длине волновода (¿а), начиная с которой волновод можно считать длинным (для параболического волновода 1Х «10кп 1®2). Ширина временного отклика Дт°г с увеличением интенсивности волны накачки уменьшается.
Максимальное значение временного отклика (Хт = %(г - г = 0)) с увеличением длины волновода возрастает, выходя затем на постоянное значение. Величина этого постоянного значения увеличивается с ростом интенсивности первой волны накачки (рис. 16). Коэффициент поглощения а0 в основном определяет длину волновода, на которой максимальное значение функции временного отклика выходит на постоянное значение.
При интенсивности первой волны накачки Ыт < 15 наибольшее значение максимума временного отклика наблюдается при совпадении номера моды в разложении амплитуды объектной волны по модам волновода с номером моды волн накачки (рис. 2). Именно эта мода волновода дает наибольший вклад в амплитуду объектной волны.
В случае одномодовых волн накачки с номером моды п = т = 0 при Ыт > 103 с увеличением номера моды в разложении амплитуды объектной волны по
модам волновода ширина временного отклика увеличивается, выходя на постоянное значение Дт0 (рис. 3 а). Причем разность между Дт0 и значением Дт00 с увеличением интенсивности первой волны накачки возрастает. При номерах мод волн накачки п = т Ф 0 с увеличением номера моды в разложении амплитуды объектной волны по модам волновода ширина временного отклика осциллирующе меняется около среднего значения (рис. 36). Амплитуда осцилляций с ростом номера моды волн накачки уменьшается, а с ростом интенсивности первой волны накачки увеличивается (рис. 36).
ДТпг * 821 0,6
0,4
0,2
_______
/
а)
0 20
т -1
X , с
4000
2000
60 80 ^ см .........3
V.
/
6)
0
^_I_I_и
20 40 60 80 I, см
Рис. 1. Зависимость ширины (а), максимального значения (6) временного отклика от длины волновода при т = к = 0, Ыт = 27,4х 104 (1), 6,8*104 (2), 1,7х 104 (3), 6,8 (4)
Хт, о-1*
150 100 50
О О
а)
0
Хт, о-1
150
10
15
100
50
о о
6)
0 5 10 15 г
Рис. 2. Зависимость максимального значения функции временного отклика от номера моды объектной волны при ¿=5 см а) п = 0, Ыт=1,6 ; 6) п = 4, Ы^ =0,6
5
г
Д*пг - 521
0,6' 0,1 0,4 0,3
а) 0
Д^пг ' 521 0,6
о°°евва°в
* л *
* * 3
10
15
0,5
0,4
1
^ооооо8О@о82
* ч*3
А * ^
б) 0 5 10 15 г
Рис. 3. Зависимость ширины временного отклика от номера моды в разложении амплитуды объектной волны по модам волновода при £= 5 см,
а) п = 0 Ыт = 1,7х 104 (1), 6,8* 104 (2), 27,4*104 (3) ; б) п = 8 Ыт = 0,5*104 (1), 2,0*104 (2), 8,0*104 (3)
Зависимость функции временного отклика не только от номера моды волн накачки, но и от номера моды в разложении амплитуды сигнальной волны по модам волновода свидетельствует о влиянии при больших интенсивностях волн накачки не только временной, но и пространственной структуры комплексной амплитуды А3*(х, г = 0, t) на временную зависимость комплексной амплитуды А4 (х, г = 0, /).
3.2. Функция размытия точки
Выражение для ФРТ четырехволнового преобразователя излучения (24) с учетом %тг (/, f) перепишется следующим образом
м, м, м, м,
О1 (х, х0, (, г = 0) = -а10„ X Л (х)Х X X Л ( ) X
г=0 т=0 s=0 р=0
0 ехр(Д„„„г)
ха2тутр | ^ (г)-Хпр (г)
г
х|{вг (г )ехр [хпр ( - * )] +
0
+Б^ (г)ехр[X^ ( - ^ )]}х
да
| а,0 (х,, г, ^ )/п (х,) /; (х,) Л* (х,) йх,
(25)
й^йг.
Здесь м1 - число приосевых мод.
Выражение (25) описывает изменение во времени ФРТ четырехволнового преобразователя излучения в волноводе, заполненном ансамблем частиц.
В стационарном случае (/ ^ да) выражение для ФРТ преобразуется к виду:
Ом (х, х0, г = 0) = - N ст,2 X Лг (х )XXX Л, (
т=0 ,=0 р=0
у , |
ха1па2тутр, I
ехр (-Д
г=0
■гг )
БГ (г) + БЧр (г)
Х^ (г) - ХТ (г) [ Х^ (г) Хпр (г)
(26)
I Лп (х, )Л;(х1 УгАх,) ^ -да ЬД (х,, г)+1 1
йг.
Численный анализ выражений (25 - 26) показывает, что основная доля энергии в изображении сигнала от точечного источника сосредоточена в центральном максимуме ФРТ.
Пусть сигнальная волна распространяется от точечного источника, расположенного на оси волновода (х0 = 0). Будем характеризовать качество обращения волнового фронта (разрешающую способность) полушириной центрального максимума модуля ФРТ (Д х), которая определяется из решения уравнения
|О (х = Дх, х0,/, г = 0) = 2 О (х = 0, х0, /, г = 0 )|. (27)
Анализ выражения (26) показывает, что с увеличением номера одномодовых волн накачки наблюдается перераспределение энергии, сосредоточенной в «хвостах» ФРТ, и уменьшение полуширины модуля функции размытия точки (рис. 4). Улучшение качества ОВФ с ростом номера моды волн накачки, по-видимому, связано с более «равномерным» распределением с увеличением номера моды интенсивности волн накачки по поперечному сечению волновода [31, 43].
0,28
Дх
ю„
0,24
0,20
0
1
-о±
0 5 10 п
Рис. 4. Зависимость полуширины модуля ФРТ от номера мод волн накачки при £= 5 см, Ыт =3,2
С увеличением интенсивности первой волны накачки полуширина модуля ФРТ монотонно уменьшается. При этом максимальное значение модуля ФРТ вначале увеличивается, достигает наибольшего значения, а затем уменьшается. Характер зависимости полуширины модуля ФРТ четырехволнового преобразователя излучения в параболическом волноводе от номера моды волн накачки, интенсивности первой волны накачки сходен с аналогичными зависимостями для четырехволнового преобразователя излучения в волноводе с зеркальными стенками с резонансной нелинейностью [37].
X
5
г
Пусть первая волна накачки является одномодо-вой с номером моды п = 0, а амплитуда второй волны накачки в зависимости от поперечной координаты на задней грани волновода меняется по Гауссову закону
a, (x, z = i)~ exp I - — I.
Здесь ё - радиус пучка накачки. В качестве частиц рассматривались частицы, моделируемые двухуровневой схемой энергетических уровней. При ё < 0,5ю0 уменьшение радиуса Гауссова пучка накачки приводит к уменьшению полуширины модуля ФРТ (рис. 5). В случае многомодовых волн накачки функцию размытия точки четырехволнового преобразователя можно представить в виде суммы ФРТ, соответствующих од-номодовым волнам накачки. Когерентное сложение таких ФРТ и приводит при учете Гауссовой структуры второй волны накачки к улучшению разрешающей способности четырехволнового преобразователя излучения. Сходная зависимость полуширины модуля ФРТ от радиуса Гауссова пучка накачки наблюдается для че-тырехволнового преобразователя излучения в волноводе с тепловой нелинейностью [38].
В диапазоне 0,05ю0 < ё< 0,5ю0 с коэффициентом корреляции 0,97 приближенное выражение, устанавливающее связь между полушириной модуля ФРТ че-тырехволнового преобразователя излучения и радиусом пучка накачки, есть:
Ax = ^d + 0,266ю0.
(28)
Здесь ^ = 0,150; 0,072 при 210^/8^ = 0,16; 1,6 соответственно.
Выражение (28) позволяет оценить влияние на разрешающую способность четырехволнового преобразователя как радиуса пучка накачки, так и поперечных размеров волновода.
Q,26
1Q 1S
d
Рис. 5. Уменьшение полуширины модуля ФРТ при изменении радиуса пучка накачки при ¿= 5 см, 21%^^12
1^21 =0,16 (1); 1,6 (2)
Заключение
С использованием функции временного отклика для четырехволнового преобразователя излучения в двумерном параболическом волноводе с резонансной нелинейностью проанализирована связь между временными зависимостями амплитуд объектной и сигнальной волн.
Показано, что при большой интенсивности первой волны накачки зависимость от времени амплитуды объектной волны на передней грани волновода определяется не только временными зависимостями амплитуд сигнальной волны, волн накачки на гранях волновода, но и их пространственной структурой. При одномодовых волнах накачки с равными номерами мод:
1) зависимость от времени r-го коэффициента в разложении по модам волновода амплитуды объектной волны полностью определяется временной зависимостью r-го коэффициента в разложении по модам волновода амплитуды сигнальной волны;
2) наибольший вклад в амплитуду объектной волны дает мода волновода, номер которой совпадает с номером моды волн накачки;
3) при n = 0 увеличение номера моды в разложении амплитуды объектной волны по модам волновода приводит к росту ширины функции временного отклика с последующим выходом на постоянное значение.
С использованием выражения для ФPТ при стационарном режиме четырехволнового взаимодействия показано, что в случае одномодовых волн накачки с n = ñ увеличение номера моды волн накачки, рост интенсивности первой волны накачки приводит к перераспределению энергии, сосредоточенной в «хвостах» функции размытия точки и, следовательно, к улучшению разрешающей способность четырехволнового преобразователя излучения. При распределении по Гауссову закону на задней грани волновода амплитуды второй волны накачки наблюдается с уменьшением радиуса пучка накачки монотонному уменьшению с последующим выходом на постоянное значение полуширины модуля функции размытия точки, что свидетельствует об улучшении качества ОВФ.
Заметим, что, хотя численный анализ пространственных и временных характеристик четырехволнового преобразователя излучения в длинном волноводе с резонансной нелинейностью проводился для конкретных параметров ансамбля частиц (ста, = СТ21 = 10 -16 см2, 521 = 1,54 • 109 c -l, 523 = 5,6 • 108 c -l, 5з1 = 1,28 • 103 c -1, N = 2,2 • 1013 см -3), волновода с параболическим профилем показателя преломления (n = 1,36, a0 = 0,1 см -1, ю0 = 1,141 мкм), длины волны взаимодействующих волн X = 0,53 мкм, изменение значений этих параметров в рамках используемых приближений не меняет существенно характер полученных зависимостей.
References
[1] Turitsyn SK, Bednyakova AE, Fedoruk MP, Papernyi SB, Clements WRL. Inverse four-wave mixing and self-parametric amplification in optical fibre. Nat Photonics 2015; 9: 608-664. DOI: 10.1038INPHOTON.2015.150.
[2] Weng Y, He X, Wang J, Pan Z. All-optical ultrafast wavelength and mode converter based on intermodal four-wave mixing in few-mode fibers. Opt Commun 2015; 348: 7-12. DOI: 10.1016Ij.optcom.2015.03.018.
Q
S
00
0
[3] Nazemosadat E, Pourbeyram H, Mafi A. Phase matching for spontaneous frequency conversion via four-wave mixing in graded-index multimode optical fibers. J Opt Soc Am B 2016; 33(2): 144-150. DOI: 10.1364/JOSAB.33.000144.
[4] Anjum OF, Guasoni M, Horak P, Jung Y, Petropoulos P, Richardson DJ, Parmigiani F. Polarization insensitive four wave mixing based wavelength conversion in few-mode optical fibers. J Lightw Technol 2018; 36(17): 3678-3683. DOI: 10.1109/JLT.2018.2834148.
[5] Zhang H, Bigot-Astruc M, Bigot L, Sillard P, Fatome J. Multiple modal and wavelength conversion process of a 10-Gbit/s signal in a 6-LP-mode fiber. Opt Express 2019; 27(11): 15413-15425. DOI: 10.1364/OE.27.015413.
[6] Gupta R, Kaler RS. Nonlinear Kerr and intermodal four-wave mixing effect in mode-division multiplexed multimode fiber link. Opt Eng 2019; 58(3): 036108. DOI: 10.1117/1.OE.58.3.036108.
[7] Zhang H, Bigot-Astruc M, Sillard P, Fatome J. Spatially multiplexed picosecond pulse-train generation in a 6 LP mode fiber based on multiple four-wave mixings. Appl Opt 2019; 58(31): 8570-8576. DOI: 10.1364/AO.58.008570.
[8] Yuan J, Kang Z, Li F, Zhang X, Sang X, Zhou G, Wu Q, Yan B, Wang K, Yu C, Tam HY, Wai PKA. LDemonstra-tion of intermodal four-wave mixing by femtosecond pulses centered at 1550 nm in an air-silica photonic crystal fiber. J Lightw Technol 2017; 35(12): 2385-2390. DOI: 10.1109/JLT.2017.2681183.
[9] Yulin AV, Skryabin DV, Russell PSJ. Four-wave mixing of linear waves and solitons in fibers with higher-order dispersion. Opt Lett 2004; 29(20): 2411-2413. DOI: 10.1364/OL.29.002411.
[10] Esmaeelpour M, Essiambre RJ, Fontaine NK, Ryf R, Toulouse J, Sun Y, Lingle R. Power fluctuations of intermodal four-wave mixing in few-mode fibers. J Lightw Technol 2017; 35(12): 2429-2435. DOI: 10.1109/JLT.2017.2660459.
[11] Mondal P, Bhatia N, Mishra V, Haldar R, Varshney SK. Cascaded Raman and intermodal four-wave mixing in conventional non-zero dispersion-shifted fiber for versatile ultra-broadband continuum generation. J Lightw Technol 2018; 36(12): 2351-2357. DOI: 10.1109/JLT.2018.2809914.
[12] Guasoni M, Parmigiani F, Horak P, Fatome J, Richardson DJ. Intermodal four-wave mixing and parametric amplification in kilometer-long multimode fibers. J Lightw Technol 2017; 35(24): 5296-5305. DOI: 10.1109/JLT.2017.2767103.
[13] Trägardh J, Pikalek T, Stibürek M, Simpson S, Cifuentes A, Cizmar T. CARS microscopy through a multimode fiber probe with reduced four-wave mixing background. In: Bi-ophotonics congress: Biomedical optics 2022 (Translation-al, Microscopy, OCT, OTS, BRAIN), Technical digest series (Optica Publishing Group, 2022) 2022: JM3A.43. DOI: 10.1364/TRANSLATIONAL.2022.JM3A.43.
[14] Voronin ES, Petnikova VM, Shuvalov VV. Use of degenerate parametric processes for wave front correction (review). Soviet Journal of Quantum Electronics 1981; 11(5): 551-561. DOI: 10.1070/QE1981v011n05ABEH006899.
[15] Barashkov MS, Matveev IN, Petnikova VM, Umnov AF, Ustinov ND, Shuvalov VV. Compensation of phase distortions in a single-transit wavefront-reversal system with a degenerate four-photon interaction. Soviet Journal of Quantum Electronics 1982; 12(11): 1524-1525. DOI: 10.1070/2FQE1982v012n11ABEH006186.
[16] Lukin VP. Adaptive optics in the formation of optical beams and images. Physics-Uspekhi 2014; 57(6): 556-592. DOI: 10.3367/UFNe.0184.201406b.0599.
[17] Lukin VP, Kanev FY, Kulagin OV. Possibilities of joint application of adaptive optics technique and nonlinear optical phase conjugation to compensate for turbulent distortions. Quantum Electron 2016; 46(5): 481-484. DOI: 10.1070/QEL15874.
[18] Zhou P, Fan D. Terahertz-wave generation by surface-emitted four-wave mixing in optical fiber. Chin Opt Lett 2011; 9(5): 051902. DOI: 10.3788/COL201109.051902.
[19] Pourbeyram H, Nazemosadat E, Mafi A. Detailed analysis of amplified spontaneous four-wave mixing in a multimode fiber. Frontiers in Optics 2015: FW5F.3. DOI: 10.1364/FIO.2015.FW5F.3.
[20] Chuprina IN, An PP, Zubkova EG, Kovalyuk VV, Kala-chev AA, Goltsman GN. Optimisation of spontaneous four-wave mixing in a ring microcavity. Quantum Electron 2017; 47(10): 887-891. DOI: 10.1070/QEL16511.
[21] Lera G, Nieto-Vesperinas M. Phase conjugation by four-wave mixing of statistical beams. Phys Rev A 1990; 41(11): 6400-6405. DOI: 10.1103/PhysRevA.41.6400.
[22] Erokhin AI, Kovalev VI, Miheev PA, Faizullov FS. Quality of wavefront reversal of multifrequency radiation by four-wave interaction. Soviet Journal of Quantum Electronics 1985; 15(1): 116-119. DOI: 10.1070/QE1985v015n01ABEH005879.
[23] Ben' VN, Bondarenko SV, Ivakin EV, Rubanov AS. Influence of the angular selectivity on imaging properties of a four-wave wavefront-reversing mirror. Soviet Journal of Quantum Electronics 1987; 17(2): 239-241. DOI: 10.1070/QE1987v017n02ABEH007248.
[24] Arutunyan VM, Agadjanyan SA, Muradyan A, Oganyan AA, Papazyan TA. Efficiency and quality investigation of the phase conjugation of degenerate four-wave parametric mixing of picosecond pulses in a resonance dye. Opt Commun 1984; 50(3): 123-126. DOI: 10.1016/0030-4018(84)90148-2.
[25] Il'inykh PN, Kovalev VI, Suvorov MB. Spatial characteristics of a beam and quality of phase conjugation of radiation from a CO2 laser with InAs in its resonator. Soviet Journal of Quantum Electronics 1990; 20(6): 609-612. DOI: 10.1070/QE1990v020n06ABEH006623.
[26] Ivleva LI, Korol'kov SA, Lyubomudrov OV, Mamaev AV, Polozkova NM, Shkunov VV. Efficiency and quality of four-wave phase conjugation of a signal with a time-dependent spatial structure. Quantum Electron 1995; 25(3), 247-251. DOI: 10.1070/QE1995v025n03ABEH000336.
[27] Ill'inskii YA, Petnikova VM. Influence of linear filtering on wavefront reconstruction. Soviet Journal of Quantum Electronics 1980; 10(2): 250-252. DOI: 10.1070/QE1980v010n02ABEH009960.
[28] Kirsanov AV, Yarovoi VV. Phase conjugation of a speck-le-inhomogeneous beam by an Nd glass oscillator based on four-wave mixing with feedback. Quantum Electron 1997; 27(3): 239-244. DOI: 10.1070/QE1997v027n03ABEH000910.
[29] Betin AA, Ergakov KV, Mitropol'skii OV. Reflection of speckle-inhomogeneous CO2 laser radiation under four-wave interaction conditions with feedback. Quantum Electron 1994; 24(1): 59-62. DOI: 10.1070/QE1994v024n01ABEH000020.
[30] Dmitriev VG. Nonlinear optics and wavefront reversal [In Russian]. Moscow: "Fizmatlit" Publisher; 2003. ISBN: 59221-0080-7.
[31] Ivakhnik VV. Wavefront reversal at four-wave interactions [In Russian]. Samara: Samara State University; 2010. ISBN: 978-5-86465-471-2.
[32] Akimov AA, Vorobeva EV, Ivakhnik VV. The time response of a four-wave converter of radiation on thermal nonlinearity [In Russian]. Computer Optics 2011; 35(4): 462-466.
[33] Ivakhnik VV, Savelyev MV. Four-wave mixing in a transparent medium based on electrostriction and Dufour effect at large reflectance. Physics Procedia 2015; 73: 26-32. DOI: 10.1016/j.phpro.2015.09.117.
[34] Akimov AA, Ivakhnik VV, Nikonov VI. Four-wave interaction on resonance and thermal nonlinearities in a scheme with concurrent pump wavesat high conversion coefficients. Radiophysics and Quantum Electronics 2015; 57: 672-679. DOI: 10.1007/s11141-015-9553-x.
[35] Vorobieva EV, Ivakhnik VV, Luneva MV. Time dependence of the point spread function of a four-wave converter in a waveguide with thermal nonlinearity [In Russian]. Vestnik of Samara University, Natural Science Series 2014; 10(121): 130-139. DOI: 10.18287/2541-7525-201420-10-130-139.
[36] Ivakhnik VV, Kapizov DR, Nikonov VI. Four-wave interaction in a multimode waveguide with a thermal nonlinear-ity in a circuit with codirectional pumping waves [In Rus-
sian]. Physics of Wave Processes and Radio Systems 2020; 23(3): 27-33. DOI: 10.18469/1810-3189.2020.23.3.27-33.
[37] Vorobyeva EV, Ivakhnik VV, Kaurov AV. The spatial characteristics of a four-wave converter of radiation in multimode waveguide with resonant nonlinearity. Physics of Wave Processes and Radio Systems 2018; 21(1): 4-11.
[38] Ivakhnik VV, Kapizov DR, Nikonov VI. Quality of wave-front reversal for four-wave interaction in a multimode waveguide with thermal nonlinearity. Computer Optics 2022; 46(1): 48-55. DOI: 10.18287/2412-6179-CO-1011.
[39] Vinogradova MB, Rudinko OV, Sukhorukov AP. Theory of waves [In Russian]. Moscow: URSS Publisher; 2019. ISBN: 978-5-9710-6283-7.
[40] Tikhonov EA, Shpak MT. Nonlinear optical phenomena in organic compounds [In Russian]. Kiev: "Naukova Dumka" Publisher; 1984.
[41] Adams MJ. An introduction to optical waveguide. New York: John Wiley and Sons Ltd; 1981.
[42] Slyusareva E, Gerasimova M, Plotnikov A, Sizykh A. Spectral study of fluorone dyes sorption on chitosan-based polyelectrolyte complexes. J Colloid Interface Sci 2014; 417: 80-87. DOI: 10.1016/j.jcis.2013.11.016.
[43] Zel'dovich BY, Pilipetskii NF, Shkunov VV. Wavefront reversal [In Russian]. Moscow: "Nauka" Publisher; 1985.
Сведения об авторах
Воробьева Елена Владимировна, 1977 года рождения. Кандидат физико-математических наук, доцент кафедры оптики и спектроскопии Самарского университета. Область научных интересов: нелинейная оптика, динамическая голография. E-mail: loginovaely@mail.ru.
Ивахник Валерий Владимирович, 1951 года рождения. Доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой оптики и спектроскопии Самарского университета. Область научных интересов: нелинейная оптика, динамическая голография. E-mail: ivakhnik@ssu.samara.ru.
Капизов Дархан Рахметулович, 1996 года рождения. Аспирант кафедры оптики и спектроскопии Самарского университета. Область научных интересов: нелинейная оптика, динамическая голография. E-mail: darkhankapizov@gmail. com .
ГРНТИ: 29.33.27
Поступила в редакцию 27 июня 2022 г. Окончательный вариант - 22 июля 2022 г.
Spatial and time characteristics of a four-wave radiation converter in a parabolic waveguide with resonant nonlinearity
E.V. Vorobeva1 V.V. Ivakhnik1, D.R. Kapizov1 1 Samara National Research University, 443086, Samara, Russia, Moskovskoye Shosse 34
Abstract
Spatial and temporal characteristics of a degenerate four-wave converter in a multimode waveguide with resonant nonlinearity in a scheme with counter-pumping waves are analyzed using the time response function and the point spread function. For single-mode pump waves with equal mode numbers, the dependences of the time response width on the waveguide length, the intensity of the first pump waves, and the mode number in the mode expansion of the object wave amplitude are obtained for the four-wave converter. The greatest contribution to the object wave amplitude is shown to be from the waveguide mode whose number coincides with the mode number of single-mode pump waves. For the stationary model, taking into account the spatial structure of the Gaussian pump wave leads to a monotonous decrease with a decrease in the pump beam width, followed by a constant value of the PSF module width. With single-mode pump waves with equal mode numbers, An increase in the mode number of the pump waves leads to a redistribution of energy concentrated in the side maxima of the point signal image and improvement in the quality of the wave-front reversal for a model with single-mode pump waves with equal mode numbers.
Keywords: four-wave converter of radiation, parabolic waveguide, resonant nonlinearity, point spread function, time response.
Citation: Vorobeva EV, Ivakhnik VV, Kapizov DR. Spatial and time characteristics of a four-wave radiation converter in a parabolic waveguide with resonant nonlinearity. Computer Optics 2023; 47(1): 27-35. DOI: 10.18287/2412-6179-CO-1199.
Authors' information
Elena Vladimirovna Vorobeva (b.1977). Candidate in Physics & Maths, associate professor of Optics and Spectroscopy department of Samara National Research University. Research interests include nonlinear optics and dynamic holography. E-mail: loginovaely@mail.ru.
Valery Vladimirovich Ivakhnik (b.1951). Doctor in Physics & Maths, professor, Head of Optics and Spectroscopy department of Samara National Research University. Research interests include nonlinear optics and dynamic holography. E-mail: ivakhnik@ssu. samara.ru.
Darkhan Rakhmetulovich Kapizov (b. 1996). 1st year postgraduate student of Optics and Spectroscopy department, Samara National Research University, Samara, Russia. Research interests: nonlinear optics, dynamic holography. E-mail: darkhankapizov@gmail. com.
Received June 27, 2022. The final version - July 22, 2022.
