CC BY
1
Шестиволновое взаимодействие в многомодовых волноводах с керровской нелинейностью с учетом гауссовой структуры волн накачки
В.В. Ивахник1, Д.Р. Капизов1, В.И. Никонов1 1 Самарский национальный исследовательский университет имени академика С.П. Королёва, 443086, Россия, г. Самара, Московское шоссе, д. 34
Аннотация
Проанализировано качество обращения волнового фронта при шестиволновом взаимодействии в двумерных многомодовых волноводах с керровской нелинейностью при условии, что одна из волн накачки возбуждает нулевую моду волновода, а распределение амплитуды другой волны накачки на грани волновода меняется по гауссову закону. Показано, что в волноводе с бесконечно проводящими стенками полуширина модуля функции размытия точки шестиволнового преобразователя излучения полностью определяется поперечными размерами волновода, слабо зависит от ширины гауссовой волны накачки. В волноводе с параболическим профилем показателя преломления уменьшение ширины гауссовой волны накачки на гранях волновода приводит, как правило, к монотонному уменьшению полуширины модуля функции размытия точки.
Ключевые слова: шестиволновой преобразователь излучения, обращение волнового фронта, керровская нелинейность.
Цитирование: Ивахник, В.В. Шестиволновое взаимодействие в многомодовых волноводах с керровской нелинейностью с учетом гауссовой структуры волн накачки / В.В. Ивахник, Д.Р. Капизов, В .И. Никонов // Компьютерная оптика. - 2024. - Т. 48, № 4. - С. 483-490. -DOI: 10.18287/2412-6179-CO-1439.
Citation: Ivakhnik VV, Kapizov DR, Nikonov VI. Six-wave interaction in multimode waveguides with Kerr nonlinearity with allowance for the Gaussian structure of pump waves. Computer Optics 2024; 48(4): 483-490. DOI: 10.18287/2412-6179-CO-1439.
Введение
По сравнению с трех-, четырехволновыми преобразователями излучения шестиволновые преобразователи излучения обладают большими возможностями управления формой волнового фронта, пространственной фильтрации, преобразования изображения, передачи информации с одних пучков на другие и т.д. [1 - 7].
Для повышения эффективности (коэффициента отражения), как и при четырехволновом взаимодействии [8 - 13], целесообразно и шестиволновое взаимодействие рассматривать в волноводах [14].
Многоволновое взаимодействие в волноводах по сравнению с взаимодействием в неограниченных в поперечном направлении средах характеризуется по крайней мере двумя особенностями: 1) выполнение условий фазового синхронизма при переходе от непрерывного набора мод, на которые раскладываются амплитуды взаимодействующих волн, к дискретному набору накладывает часто более жесткие требования на номера мод взаимодействующих волн; 2) изменяется роль волн накачки. В нелинейной среде с неограниченными в поперечном направлении размерами пространственная структура волн накачки на гранях нелинейной среды определяет объем нелинейной среды, в которой происходит эффективное многоволновое взаимодействие. В волноводе объем взаимодействия определяется в основном геометрическими размерами самого волновода. Пространственная
структура волн накачки на гранях волновода определяет распределения амплитуд волн накачки по поперечному сечению волновода.
При использовании многоволновых преобразователей излучения в системах коррекции фазовых искажений для обработки изображений в реальном масштабе времени необходимо знание соответствия между комплексными амплитудами падающей (сигнальной) на преобразователь и отраженной или прошедшей (объектной) волн [15]. Задача о нахождении однозначной связи между комплексными амплитудами объектной и сигнальной волн имеет решение лишь в приближении заданного поля по волнам накачки. В этом случае многоволновой преобразователь излучения можно рассматривать как линейный фильтр пространственных частот [16] и, используя, например, метод функции размытия точки (ФРТ), найти однозначную связь между комплексными амплитудами сигнальной и объектной волн [17].
В настоящей работе в приближении заданного поля по волнам накачки с учетом пространственной структуры волн накачки методом ФРТ анализируется качество обращения волнового фронта (ОВФ) при шестиволновом взаимодействии в многомодовых двумерных волноводах с керровской нелинейностью. В качестве волноводов рассматриваются волновод с бесконечно проводящими поверхностями и градиентный волновод с параболическим профилем показателя преломления (параболический волновод).
1. Вывод выражения для функции размытия точки шестиволнового преобразователя излучения
Имеется волновод с керровской нелинейностью, расположенный между плоскостями z=0 и z=l. В волноводе навстречу друг другу распространяются две волны накачки с комплексными амплитудами A1,A2 и сигнальная волна с комплексной амплитудой A3. В среде в результате вырожденного шестиволнового взаимодействия ю + ю - ю + ю - ю = ю наводится нелинейная поляризация Pm ~ (A2A*A2 + A¡A2A*)A3*, которая выступает как источник объектной волны с комплексной амплитудой A6, сопряженной амплитуде сигнальной волны и распространяющейся ей навстречу.
В приближении заданного поля по волнам накачки, без учета изменения показателя преломления из-за распространения волн накачки, при малом коэффициенте преобразования (|A6| << A3I) система уравнений, описывающая распространение волн накачки, сигнальной волны, генерацию волны с обращенным волновым фронтом, имеет вид [17 - 18]:
[V2 + k2n2 (x)]4,2,3 = 0,
[V2 + k 2n2 (x)] A« = -g (A2 A*A2 + Aj A2 A*).
(1)
Здесь g= 240як2%(5), %(5)- нелинейная восприимчивость пятого порядка, к = ю /с, ю - циклическая частота, п (х) -показатель преломления, х - поперечная координата. Пусть модами волновода являются функции:
fm (X, Z) = f„ (x)eXp(-iPmZ) .
(2)
Здесь рт - постоянная распространения т-й моды волновода, г - продольная координата.
Разложим комплексные амплитуды взаимодействующих волн по модам волновода:
Aj (x, z) = X ajр (z)fp (x) exp(-ippz),
p=0
N
A3 (x, z) = X a3s (z)fs (x) exp(-i'Psz),
s=0 N
A2 (x, z) = X a2m (z)fm (x)exp(ipmz),
m=0 N
A« (x, z) = X a«r (z)fr (x)exp(i'Prz),
(3)
(4)
где ап (г) - коэффициенты разложения волн накачки, сигнальной и отраженной волн по модам, N - число мод волновода, учитываемых в разложении. Из системы уравнений (1) следует, что коэффициенты апп (г), ] = 1,2,3, не меняется вдоль оси 2.
В приближении медленно меняющихся амплитуд из (1) с учетом разложения взаимодействующих волн по модам волновода уравнение, описывающее изменение вдоль оси 2 коэффициентов в разложении амплитуды волны Лб (х, г) по модам волновода, можно записать следующим образом:
(5)
С1а N N NN N
= g X ХХХХ а ра1р 'а1>а2таз*,
ёг р =0 р'=0 р"=0 т=0 í=0
Хурр'р'т$г ехр [ рр'р'т$гг J ^ N N NN N
+gXXX X Хара2та*2т'а2т"а3 X
р =0 т=0 т' = 0 т"=0 $=0 Хуртт'т'$г ехр [ IАртт'т'$гг J
Здесь
У рр ' р" тзг = | !р ( х) Ъ ( х) !р" ( х) !т ( х)/$ ( х) X /г ( х) ёх -
интеграл перекрытия, характеризующий эффективность взаимодействия шести мод волновода,
Арр'р' ' тзг = Рр + Рр' - Рр" - Рт - Р* + Рг,
Артт'т''*г Рр Рт Рт' + Рт'' + Рг
волновые расстройки.
С учетом граничного условия абг (г = €) = 0, проинтегрировав правую и левую части выражения (5) по продольной координате г, получим
(z=0)=- g- XXXXXy
N N NN N
2P
pp'p ' msr r p aj p
r p=0 p'=0 p=0 m=0 s=0
(6)
A ,. f \ ( A ,. f
* * , ppp msr^ • ppp msr^
xa1p.a2ma3ssinc| —^-|exp| -i-
igf N N NN N
- ... P "X XYpmm' m" sralpa2ma*m'a2m" a3s
2pr p=0 m=0 m'=0 m"=0 s=0
, A pmm'm'srf | ( . A pmm'm'srf
xsinc| -Iexp| -i—-
Зная выражение для коэффициента абг, найдем амплитуду объектной волны на передней грани волновода:
Лб( х, г = 0) = X абг/г (х,) = ХЦг *
г=0 2 г=1 Рг
N N NN N
XX X XXУрр'р'т*га1 ра1 р'а1р"а2та3* Х
p=0 p'=0 p"=0 m=0 s=0
, A pp'p'msrf | ( . A pp'p'msrf . ,
xsinc | -2-r-I exp | -'^Щ-| +
N N NN N
^Xalpa2ma2m'a2m'a3sУpmmlm'sr X p=0 m=0 m=0 m'=0 s=0
(7)
A ' ' f
pmm m sr^
A , . f
-*pmm' m"sr^ I I • 1-xpmm m sr^
<sinc| —-|exp| -i—-
Пусть сигнальная волна - это волна от точечного источника, расположенного на передней грани волновода на расстоянии х0 от оптической оси,
A3 (x, z = 0) = S(x - x0).
Тогда выражение для коэффициента азг в разложении амплитуды сигнальной волны по модам волновода можно представить в виде:
r=0
= 0) = | £ (х) Аз (х, г = 0)^ =/. (Хо).
(8)
Подставив (8) в (7), получим выражение, описывающее преобразование точечного сигнала (функция размытия точки (ФРТ)) вида
О( х, хо, г = 0) = -/^ ¿¿^ х
2 г=1 Рг
{К N N N N
¿, ¿, ¿¿^рр'р'т.га1Ра1 р'а\р'а2т!. (Х0) Х р=0 р=0 р"=0 т=0 .=0
_ [ Арр'р"т.г ^ | [ ■ Арр'р"т.г ^ | , /п\
хбшс I—^2-I ехр ^-1 + (9)
N N NN N
^^ ^^ ра2та1т'а2т'/. (Х0 )У ртт'т'.г Х
р=0 т=0 т'=0 т'=0 .=0
'А ' ' /^ ^ А ' ' /
, ртт т .г ^ . ртт т .г^
хбшсI —-IехрI -г—-
Будем рассматривать длинные волноводы, т.е. считаем, что при условии Аррр'т^г * 0, Артт'т'^г * 0, Арр'р'тыI >> 1, Артт'т'5гI >> 1. Тогда основной вклад в выражение для комплексной амплитуды объектной волны дают слагаемые, для которых выполняются условия
Арр'р'тзг 0, Артт'т''.г 0 .
(10)
Это условия фазового синхронизма для шестивол-нового взаимодействия. Условие фазового синхронизма уменьшает число сумм, входящих в выражение (9), устанавливает связь между номерами шести взаимодействующих мод волновода.
2. Обсуждение результатов
В качестве волноводов рассмотрим двумерный волновод с бесконечно проводящими поверхностями, расположенными на расстоянии 2а друг от друга, заполненный средой с показателем преломления щ, и двумерный волновод с параболическим профилем показателя преломления:
и2 (х) = п2
1 - 2б2 (х/х? )2
62 и Хq - параметры, характеризующие волновод.
Модами волновода с бесконечно проводящими поверхностями являются функции
£ (х )=-г51п
Vа
п(г +1)
2а
(х + а)
(11)
Модами параболического волновода являются функции Гаусса-Эрмита [19].
1 (х)=4-
1
п ^2гг !ю.
Н
л/2 ^
ю0
V 0 I
ехр| --- I. (12)
Здесь Нг (хл/2/ю0) - многочлен Эрмита г-го порядка, ю2 = (2хд )/(^П;(2б 2)1/2). Постоянная распространения г-й моды волновода есть
Рг = {к2и? - д2 }1/2, (13)
где дг2 = 2(2г +1)/ю2 - для параболического волновода, д2 = [л(г + 1))2а] - для волновода с бесконечно
проводящими поверхностями.
Из условий фазового синхронизма (10) следует связь между номерами мод взаимодействующих волн вида: в волноводе с бесконечно проводящими стенками
Арттт'г = 0 ^ (р +1)2 -(т +1)2 -(т ' +1)2 +
(14)
(15)
+(т '' +1)2 -(^ +1)2 + (г +1)2 = 0, Арр'р.т!Г = 0 ^ (р +1)2 +(р ' +1)2 -(р ' +1)2 --(т +1)2-(^ +1)2 + (г +1)2 = 0,
в параболическом волноводе
р - т - т' + т'-5 + г = 0, (16) р + р' - р' - т - 5 + г = 0. (17)
А ртт'т'.г 0 А ррртзг 0
Если обе волны накачки одномодовые и возбуждают нулевую моду волновода, выражение для ФРТ принимает вид
00(х, х0, г = 0) = -г —( а20 + а^а^,) к 4 '
N
х¿ £ (х) £ (х0)у
0000гг ■
(18)
На рис. 1 для шестиволновых преобразователей излучения в волноводе с бесконечно проводящими поверхностями (рис. 1а), в параболическом волноводе (рис. 1б) приведены нормированные на максимальное
значение (О = О (х, х0 = а, г = 0))шах |, втах - максимальные значения функции) зависимости модулей ФРТ от поперечных координат. При расчете ФРТ учитывалось 30 мод волновода. Вид модулей ФРТ типичен для многомодовых преобразователей излучения в средах с керровской, тепловой, резонансной нелинейностями [17] - увеличение поперечной координаты приводит к уменьшению (монотонному или осциллирующему) модуля ФРТ.
Пусть первая волна накачки возбуждает нулевую моду волновода (р = 0), а вторая волна накачки мно-гомодовая. Тогда ФРТ шестиволнового преобразователя излучения в параболическом волноводе есть
О1 (х, х0, г = 0) = -г ^ х
а130 ¿С ¿£р 'у000тф+т)а2т/5 (х0 ) +
т=0 5=0 Рг=. +т N N N N
(19)
I.
.+т+т -т
'(х).
+а10 ¿¿¿С Р
т=0 т=0 т'=0 .=0 Р.+т+т'-т' Ха2та2т'а2т']". (х0)}.
У 0тт'т'.(.+т+т'-т' )
г=0
a)
б)
Рис. 1. Вид модулей ФРТ шестиволновых преобразователей в волноводе с бесконечно проводящими поверхностями (а), в параболическом волноводе (б) при одномодовых волнах накачки (p=m=0)
Выражение для ФРТ шестиволнового преобразователя излучения в волноводе с бесконечно проводящими стенками совпадает с выражением для ФРТ шестиволнового преобразователя излучения в параболическом волноводе (19) при условии, что в первой сумме номер моды объектной волны находится из условия
(r +1)2 =(m +1)2 +(s +1)2 -1, (20)
а во второй сумме из условия
(r + 1)2 = (s + 1)2 +(m + 1)2 +(m ' + 1)2-(m" + 1)2-1. (21)
Если вторая волна накачки одномодовая и возбуждает основную моду волновода (m = 0), а первая волна накачки многомодовая, тогда выражение для ФРТ ше-стиволнового преобразователя излучения в параболическом волноводе запишется следующим образом
G2 ( x, х0, z = 0) = -i ~ х
N NN N
k X £ х £
f. -
p"( x)
То pp'p"s(s-p-p'+p" ) '
I p=0 p'=0 p"=0 s=0 ßs-p-p'+p" Xa1 pa1 p'aip" fs (X0) +
+a20 XX XX ß p a1 pfs ( X0)T 000 ps(s-p)
(22)
p=0 s=0
=.-p
Если шестиволновое взаимодействие реализуется в волноводе с бесконечно проводящими стенками, то
в первой сумме выражения (22) номер моды объектной волны находится из условия
(г +1)2 = ( +1)2 -(р +1)2 -(р ' +1)2 +(р ' +1)2 +1, (23)
а во второй сумме из условия
(r +1)2 =(s +1)2-(p +1)2 + 1.
(24)
Качество ОВФ шестиволновым преобразователем излучения будем характеризовать полушириной центрального максимума ФРТ, расположенной на оси волновода (Д x), определяемой из решения уравнения [10],
|G( x = Дх, x0 = 0, z = 0)| = 2 G( x = 0, x0 = 0, z = 0). (25)
При условии, что обе волны накачки одномодовые с нулевыми номерами мод, полуширина модуля ФРТ че-тырехволнового преобразователя излучения в волноводе с бесконечно проводящими стенками Д x = 0,039а, в параболическом волноводе Д x=0,031ю0.
2.1. Параболический волновод
На рис. 2 для шестиволнового преобразователя в волноводе с параболическим профилем показателя преломления приведены зависимости нормированных полуширин модулей ФРТ, расположенной на оси волновода, от нормированной ширины волны накачки при условии, что одна из волн накачки возбуждает нулевую моду волновода, а распределение амплитуды другой волны накачки на грани волновода описывается гауссовой функцией (A1(x, z = 0) = exp (- x2/b2) или (A2 (x, z = l) = exp (- x2/b2), здесь b - ширина волны накачки).
При A1 A* >> A2A* для шестиволнового преобразователя излучения как при уменьшении ширины второй гауссовой волны накачки при условии возбуждения первой волной накачки моды волновода с нулевым номером, так и при уменьшении ширины первой гауссовой волны накачки при условии возбуждения второй волной накачки моды волновода с номером m = 0 наблюдается уменьшение полуширины модуля ФРТ (рис. 2а). Качество ОВФ улучшается. Причем в интервале 01ю0 < b < ю0 значения полуширин модулей ФРТ как в случае одномодовой первой волны накачки и многомодовой второй волны накачки, так и в случае одномодовой второй волны накачки и многомо-довой первой волны накачки с точностью 4 % совпадают. В интервале ю0 < b < 10ю0 скорость изменения полуширины модуля ФРТ с увеличением ширины пучка накачки в случае одномодовой первой волны накачки и многомодовой второй волны накачки оказывается меньше, чем в случае одномодовой первой волны накачки и многомодовой второй волны накачки.
При A1A* << A2A* для шестиволнового преобразователя излучения уменьшение ширины пучка второй гауссовой волны накачки при условии возбуждения
х
первой волной накачки моды волновода с номером р = 0 уменьшает полуширину модуля ФРТ.
а)
б)
Рис. 2. Зависимость нормированной полуширины модуля
ФРТ от нормированной ширины волны накачки.
Интенсивности волн накачки: А1А >> а2а (а), да* << а2А (б). Первая волна накачки возбуждает нулевую моду волновода, амплитуда второй волны накачки меняется по гауссовому закону (1); амплитуда первой волны накачки меняется по гауссовому закону, вторая волна накачки возбуждает нулевую моду волновода (2)
Однако в случае, когда амплитуда первой волны накачки на передней грани волновода меняется по гауссову закону, а вторая волна накачки возбуждает нулевую моду волновода, уменьшение ширины пучка накачки практически не меняет полуширину модуля ФРТ.
В табл. 1 приведены максимальное и минимальное значения полуширин модулей ФРТ в диапазоне изменения ширины волны накачки 0125ю0 < Ь < 5ю0
Табл. 1. Максимальное и минимальное значения полуширин модулей ФРТ шестиволнового преобразователя в волноводе с параболическим профилем показателя преломления
Первая волна накачки Вторая волна накачки Максимальное значение полуширины Минимальное значение полуширины
а^ А >> а2 А* одномодовая гауссова 0,358ю0 0,226ю0
гауссова одномодовая 0,687ю0 0,225ю0
а а1 << а2 а2* одномодовая гауссова 0,881 ю0 0,183ю0
гауссова одномодовая 0,331 ю0 0,332ю0
Сравнение минимальных значений полуширины модулей ФРТ шестиволновых преобразователей излучения в параболическом волноводе показывает, что среди рассмотренных случаев наилучшее качество ОВФ будет наблюдаться при А1 А* << А2А* и условии, что первая волна накачки одномодовая с нулевым номером моды, а распределение амплитуды второй волны накачки на задней грани волновода описывается гауссовой функцией, изменение ширины которой позволяет изменять разрешающую способность шестиволнового преобразователя излучения, оцениваемую по полуширине модуля ФРТ.
В случае А1А* >> А2А*, когда первая волна накачки одномодовая, а вторая волна накачки многомодо-вая, ФРТ шестиволнового преобразователя излучения можно представить в виде когерентной суммы ФРТ, соответствующих одномодовым волнам накачки,
О (х, хь, г = 0) = ¿ О0т (х, х0, г = 0),
(26)
где
О)т (х, х0, 2 = 0) =
2кп1
а10 а2т ¿ I (х) I -т (х0 )у000тг(г-т)
В функциях О0т (х, х0, г = 0) отсутствуют моды волновода с номерами от 0 до т-2. При условии, что первая волна накачки возбуждает нулевую моду волновода, увеличение номера моды второй волны накачки приводит к сужению ширины центрального максимума модуля функций О0т (х, х0 = 0, г = 0), возрастанию величины боковых максимумов (рис. 3). По мере отклонения от единицы отношения ю0 /Ь увеличивается вклад в выражении (26) ФРТ, соответствующих одномодовым волнам накачки с неравными номерами мод. Причем при Ь < ю0 центральные максимумы этих функций складываются синфазно, а при Ь > ю0 - в противофазе. Это объясняет улучшение качества ОВФ с уменьшением ширины пучка накачки. Сходный характер зависимости полуширины модуля ФРТ от ширины пучка гауссовых волн накачки наблюдается и для четырехволнового преобразователя излучения [20].
Аналогично выражение для ФРТ шестиволнового преобразователя излучения в виде когерентной суммы ФРТ, соответствующих одномодовым волнам накачки, можно представить и в случае А1 А* << А2А*, когда вторая волна накачки возбуждает одну моду волновода, например, с номером т = 0, а первая волна многомодовая. В этом случае ФРТ, соответствующие одномодовым волнам накачки, есть
О2 р (х, х0, г = 0) = -г
Х1+р (х0)у000рг(г+р).
—- а30 а1 р ¿уТ(х) >
2ки1 г=0
(27)
т=0
Рис. 3. Нормированные на максимальное значение модули ФРТ шестиволнового преобразователя излучения в параболическом волноводе, соответствующие одномодовым волнам накачки с номерами мод р = 0, т=2(1), 4(2), 6(3)
Численный анализ выражения (27) показывает, что в диапазоне изменения ширины первой гауссовой волны накачки 0,1юо < Ь < 10юо имеем
р2р (х, хо, г = 0) << ^2о(х, хо, г = 0)|, р = 2,4,...
Так, например, при юо /Ь = 3 отношение максимальных значений модулей функций 02р и О20 составляет при р = 2, 4, б соответственно 0,12, 0,04, 0,02. Это объясняет слабую зависимость ширины модуля ФРТ шестиволнового преобразователя излучения от ширины первой гауссовой волны накачки.
2.2. Волновод с бесконечно проводящими поверхностями
Для шестиволнового преобразователя излучения в волноводе с бесконечно проводящими поверхностями изменение ширины одной из гауссовых волн накачки при условии возбуждения второй волной накачки нулевой моды волновода в диапазоне 0,125а < Ь < 5а независимо от соотношения интенсивностей волн накачки слабо меняет полуширину модуля ФРТ (табл. 2). Относительное изменение полуширины модуля ФРТ, оцениваемое как
5 = ( Ахтах Ахшт )/Ах0
где А хтах, А хтт - максимальное и минимальное значение полуширины модуля ФРТ на рассматриваемом диапазоне ширин волны накачки, А х0 - значение полуширины модуля ФРТ при одномодовых волнах накачки (р = т = 0) в рассмотренных случаях меняется от 5,1 % до 25,6 %.
Остановимся на случае Л;Л, >> Л2Л,, когда происходит изменение ширины второй гауссовой волны накачки при условии возбуждения первой волной накачки в волноводе нулевой моды.
Для этого случая условие фазового синхронизма (20) выполняется при двух условиях:
1) номер моды второй волны накачки равен нулю (т = 0), а номера мод сигнальной и объектной волн совпадают (г = *);
2) номер моды сигнальной волны равен нулю (* = 0), совпадают номера мод объектной волны и второй волны накачки (г = т).
Табл. 2. Максимальное и минимальное значения полуширин модулей ФРТ шестиволнового преобразователя в волноводе с бесконечно проводящими поверхностями
Первая Вторая Мини- Макси- 5,
волна волна мальное мальное %
накачки накачки значение полуширины значение полуширины
л1 л, >> л2 л22 одномо-довая гауссова 0,039а 0,041а 5,1
гауссова одномо-довая 0,038а 0,046а 20,5
л;Л1 << Л2л22 одномо-довая гауссова 0,038а 0,048а 25,6
гауссова одномо-довая 0,039а 0,044а 12,6
Тогда выражение для ФРТ (19) можно записать следующим образом
^(х, хо = о, г = 0) = -/
2кп1
I N
х^а2о Xsin I г=0
N
+X а2г яш
г=2
п(г +1)
2а
п(г +1)
2а
(х + а) (х + а)
а13о '
81П
п(г +1) 2
У 0000гг + (28)
у0000п
В случае Л2Л22 >> Л;Л;2, когда первая волна накачки многомодовая, а вторая волна - одномодовая (т = т ' = т' ' = 0), условие фазового синхронизма (24) может быть выполнено, если:
1) номер моды первой волны накачки равен нулю (р = 0), а номера мод сигнальной и объектной волн совпадают (г = *);
2) номер моды объектной волны равен нулю (г = 0), совпадают номера мод сигнальной волны и первой волны накачки (* = р). В этом случае выражение для ФРТ запишется следующим образом
0(2)( х, хо = 0, г = 0) = -/
2кп1
аю X
г=0
л(г +1)
2а
(х + а )
а20 •
81П
л(г +1)
У оооо ГГ + (29)
+ Б1П
2а
(х - а)
N
X а р ®1п
р=2
Ъ(р + 1)
Численный анализ выражений (28), (29) показывает, что величины первых слагаемых, значения которых определяет нулевая мода второй (первой) волны накачки, намного превосходит значение второго слагаемого, зависящего от коэффициентов высших мод в
разложении амплитуды второй (первой) волны накачки по модам волновода. Так, например, для функции G^2' отношение максимальных значений модулей второго и первого слагаемых составляет 0,042. Это объясняет слабую зависимость полуширины модуля ФРТ от ширины гауссовой волны накачки.
Заключение
С использованием метода ФРТ в приближении малого коэффициента отражения проанализировано качество ОВФ шестиволновыми преобразователями излучения в многомодовых волноводах (параболическом, с бесконечно проводящими поверхностями) с керровской нелинейностью с учетом гауссовой пространственной структуры волн накачки.
Показано, что при шестиволновом взаимодействии в волноводе с бесконечно проводящими поверхностями при условии, что одна волна накачки возбуждает нулевую моду волновода, а распределение амплитуды другой волны накачки на грани волновода меняется по гауссову закону, ширина волны накачки слабо влияет на качество ОВФ. Сходная ситуация наблюдается для шестиволнового преобразователя излучения в параболическом волноводе при условии, что интенсивность второй накачки намного больше интенсивности первой волны накачки, вторая волна накачки возбуждает нулевую моду волновода, а распределение амплитуды первой волны накачки в зависимости от поперечной координаты меняется по гауссову закону.
В случае, когда интенсивность первой волны накачки намного превосходит интенсивность второй волны накачки, полуширина модуля ФРТ шестивол-нового преобразователя в параболическом волноводе с уменьшением ширины гауссовой волны накачки уменьшается. Качество ОВФ улучшается.
Заметим, что объяснение полученных результатов, используя представление ФРТ шестиволнового преобразователя излучения в волноводе в виде когерентной суммы ФРТ, соответствующих одномодовым волнам накачки, возможно лишь в случае, когда волна накачки, амплитуда которой входит в выражение для нелинейной поляризации среды в третьей степени, возбуждает одну из мод волновода, а многомодо-вой является волна накачки, амплитуда которой входит в выражение для нелинейной поляризации среды в первой степени.
References
[1] Ivakhnik VV, Nikonov VI. Six-wave interaction with double wavefront reversal on thermal nonlinearity in a medium with a nonlinear absorption coefficient. Computer Optics 2017; 41(3): 315-321. DOI: 10.18287/2412-6179-2017-413-315-321.
[2] Karpuk SM, Rubanov AS, Tolstik AL. Double phase conjugation in quadratic recording of dynamic holograms in resonance media. Opt Spectrosc 1996; 80(2): 276-280.
[3] Astinov V, Kubarych KJ, Milne CJ, Miller RJD. Diffractive optics implementation of six-wave mixing. Opt Lett 2000; 25(11): 853-855.DOI: 10.1364/OL.25.000853.
[4] Miller RJD, Paarmann A, Prokhopenko AI. Diffractive optics based four-wave, six-wave, ..., v-wave nonlinear spectroscopy. Acc Chem Res 2009; 42(9): 1442-1451. DOI: 10.1021/ar900040f.
[5] Romanov OG, Gorbach DV, Tolstik AL. Frequency transformation of optical vortices upon nondegenerate multiwave interaction in dye solutions. Opt Spectrosc 2010; 108(5): 768-773. DOI: 10.1134/S0030400X10050152.
[6] Gaizauskas E, Steponkevicius K, Vaicaitis V. Fifth-order intensity autocorrelations based on six-wave mixing of femtosecond laser pulses. Phys Rev A 2016; 93(2): 023813. DOI: 10.1103/PhysRevA.93.023813.
[7] Lin S, Hands ID, Andrews DL, Meech SR. Optically induced second harmonic generation by six-wave mixing: A novel probe of solute orientation dynamics. J Phys Chem A 1999; 103(20): 3830-3836. DOI: 10.1021/jp9845221.
[8] Heuer W, Zacharias H. Stimulated Raman effect and four-wave mixing in a hollow waveguide. IEEE J Quantum Electron 1988; 24(10): 2087-2100. DOI: 10.1109/3.8547.
[9] Lor KP, Chiang KS. Theory of nondegenerate fourwave mixing in a birefringent optical fibre. Opt Commun 1998; 152(1-3): 26-30. DOI: 10.1016/S0030-4018(98)00127-8.
[10] Ivahnik VV, Nikonov VI, Harskaja TG. Four-wave conversion of radiation by thermal nonlinearity in a fiber with a parabolic profile [In Russian]. Izvestija Vuzov: Priborostroenie 2006; 49(8): 54-60.
[11] Gupta R, Kaler RS. Nonlinear Kerr and intermodal four-wave mixing effect in mode-division multiplexed multimode fiber link. Opt Eng 2019; 58(3): 036108. DOI: 10.1117/1.OE.58.3.036108.
[12] Zhang H, Bigot-Astruc M, Sillard P, Fatome J. Spatially multiplexed picosecond pulse-train generation in a 6 LP mode fiber based on multiple four-wave mixings. Appl Opt 2019; 58(31): 8570-8576. DOI: 10.1364/AO.58.008570.
[13] Anjum OF, Guasoni M, Horak P, Jung Y, Petropoulos P, Richardson DJ, Parmigiani F. Polarization-insensitive four-wave-mixing-based wavelength conversion in few-mode optical fibers. J Lightw Technol 2018; 36(17): 3678-3683. DOI: 10.1109/JLT.2018.2834148.
[14] Zhou1 H, Liao1 M Huang S-W, Zhou L, Qiu1 K, Wong CW. Six-wave mixing induced by free-carrier plasma in silicon nanowire waveguides. Laser Photon Rev 2016; 10(6): 1054-1061. DOI: 10.1002/lpor.201600124.
[15] Dmitriev VG. Nonlinear optics and wavefront reversal [In Russian]. Moscow: "Fizmatlit" Publisher; 2003.
[16] Voronin ES, Petnikova VM, Shuvalov VV. Use of degenerate parametric processes for wavefront correction (review). Sov J Quantum Electron 1981; 11(5): 551-561. DOI: 10.1070/QE 1981v011n05ABEH006899.
[17] Ivakhnik VV. Wavefront reversal at four-wave interactions [In Russian]. Samara: "Samara State University" Publisher; 2010.
[18] Vinogradova MB, Rudenko OV, Sukhorukov AP. Wave theory [In Russian]. Moscow: "Fizmatlit" Publisher; 1979.
[19] Adams MJ. An introduction to optical waveguide. New York: John Wiley & Sons Inc; 1981.
[20] Ivakhnik VV, Kapizov DR, Nikonov VI. Quality of wavefront reversal for four-wave interaction in a multimode waveguide with thermal nonlinearity. Computer Optics 2022; 46(1): 48-55. DOI: 10.18287/2412-6179-CO-1011.
Сведения об авторах
Ивахник Валерий Владимирович, 1951 года рождения. Доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой оптики и спектроскопии Самарского национального исследовательского университета имени академика С.П. Королева. Область научных интересов: нелинейная оптика, динамическая голография. E-mail: ivakhnik@ssau. ru
Капизов Дархан Рахметулович, 1996 года рождения, аспирант 3-го года обучения кафедры оптики и спектроскопии Самарского национального исследовательского университета имени академика С.П. Королева. Область научных интересов: нелинейная оптика, динамическая голография. E-mail: darkhankapizov@smail. com
Никонов Владимир Иванович, 1959 года рождения. Кандидат физико-математических наук, доцент кафедры оптики и спектроскопии Самарского национального исследовательского университета имени академика С.П. Королева. Область научных интересов: нелинейная оптика, динамическая голография. E-mail: nikon5919@mail.ru
Поступила в редакцию 13 октября 2023 г. Окончательный вариант - 16 ноября 2023 г.
Six-wave interaction in multimode waveguides with Kerr nonlinearity with allowance for the Gaussian structure of pump waves
V.V. Ivakhnik1, D.R. Kapizov1, V.I. Nikonov1 1 Samara National Research University, 443086, Russia, Samara, Moskovskoye shosse 34
Abstract
The quality of wavefront conjugation in the case of six-wave interaction in two-dimensional multimode waveguides with Kerr nonlinearity is analyzed under the condition that one of the pump waves excites a zero waveguide mode and the amplitude distribution of the other pump wave at the waveguide end facet varies according to the Gauss law. It is shown that in a waveguide with infinitely conducting walls, the half-width of the modulus of the point spread function of a six-wave radiation converter is completely determined by the transverse size of the waveguide and weakly depends on the width of the Gaussian pump wave. In a parabolic-index profile waveguide, a decrease in the width of the Gaussian pump wave at the waveguide ends commonly leads to a monotonic decrease in the half-width of the point spread function modulus.
Keywords: six-wave radiation converter, wavefront conjugation, Kerr nonlinearity.
Citation: Ivakhnik VV, Kapizov DR, Nikonov VI. Six-wave interaction in multimode waveguides with Kerr nonlinearity with allowance for the Gaussian structure of pump waves. Computer Optics 2024; 48(4): 483-490. DOI: 10.18287/2412-6179-CO-1439.
Authors' information
Valery Vladimirovich Ivakhnik was born in 1951, Doctor of Physical and Mathematical Sciences, professor, head of Optics and Spectroscopy department, Samara National Research University, Samara, Russia. Research interests: nonlinear optics, dynamic holography. E-mail: ivakhnik@ssau.ru
Darkhan Rakhmetulovich Kapizov was born in 1996, 3st year postgraduate student of Optics and Spectroscopy department, Samara National Research University, Samara, Russia. Research interests: nonlinear optics, dynamic holography. E-mail: darkhankapizov@gmail. com
Vladimir Ivanovich Nikonov was born in 1959, Candidate of Physical and Mathematical Sciences, associate professor of Optics and Spectroscopy department, Samara National Research University, Samara, Russia. Research interests: nonlinear optics, dynamic holography. E-mail: nikon5919@mail.ru
Received October 13, 2023. The final version - November 16, 2023.
