CC BY
74
Fedoseev Sergey Vladimirovich
E-mail: fedserg@rambler.ru
147, Shevchenko street, Shakhty, 346500. Tel. 88636 22-31-30
Alikov Alan Uirevich
State educational institution of the higher vocational training «North Caucasian Institute of Mining and Metallurgy (State Technological University)».
E-mail: alan_alikov@rambler.ru
44, street of the Cosmonaut of Nikolaev, Vladikavkaz, Republic of North Ossetia-Alania, 346500. Tel. 8(8672)40-72-03
УДК 681.3.06:681.323(519.6)
Я.Е. РОММ, Г.А. ДЖАНУНЦ
СХЕМА РАЗНОСТНОГО РЕШЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫХ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОВЫШЕННОЙ ТОЧНОСТЬЮ НА ОСНОВЕ ИНТЕРПОЛЯЦИОННОГО ПОЛИНОМА
НЬЮТОНА
Изложена компьютерная схема разностного решения задачи математика Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений на основе кусочно-полиномиальной аппроксимации функций с помощью
интерполяционного полинома Ньютона. Схема обладает свойствами аналитического и разностного приближения, позволяя вычислять решение в узловых точках с разностным шагом и в промежутках между ними вследствие интерполяции. Показано, что схема повышает точность метода Рунге -Кутта в среднем на три десятичных порядка.
Компьютерная; схема; порядок.
Ya.E. Romm, G.A. Dzhanunts
THE SCHEME OF A DIFFERENCE SOLUTION OF THE ORDINARY DIFFERENTIAL EQUATIONS WITH THE RAISED ACCURACY ON THE BASIS OF NEWTON'S INTERPOLATIONAL POLYNOMIAL
The computer scheme of a difference solution of a Cauchy problem for the ordinary differential equations on a basis of a piecewise-polynomial approximation of functions by means of Newton’s interpolational polynomial is stated. The scheme possesses properties of analytical and difference approach, allowing to calculate a solution in central points with a difference pitch and in gaps between them owing to interpolation. It is shown, that the scheme raises accuracy of a Runge-Kutt method on three decimal order on average.
Computer; scheme; average.
Для разностных решений обыкновенных дифференциальных уравнений существуют границы повышения точности вычислений при уменьшении шага .
применения кусочно-полиномиальной аппроксимации функций [1]. Кратко данная схема аппроксимации выглядит следующим образом. Пусть требуется
приблизить функцию одной переменной у = / (х) на произвольно фиксированном отрезке [а, в]. Выбирается система подынтервалов равной
длины, объединение которых совпадает с [а, в]:
р _1
[а, в]= У [х,, х^], Р = 2к, ке {0,1,...}. (1)
i = 0
При априори заданной границе абсолютной погрешности £ на каждом подынтервале строится интерполяционный полином Ньютона, степень которого выбирается минимальной для достижения заданной точности приближения на .
к виду полинома с числовыми коэффициентами. Таким образом, для ьго подынтервала аппроксимирующий полином с шагом интерполяции
кг = х+1 _ х (2)
п
между равноотстоящими узлами
х,] = X + ]кг, ] = п (3)
примет вид
п х__X-
^пг () = аог/ + ^ а1г/{, {= 7 , (4)
I = 1 "г
где
п
аог/ = /(хго) , а1г/ = ЕЬч ё1] . (5)
] =1
(4)
аппроксимации производной от функции
/'(х) - ■ (6)
I = 1 "г
Высокая точность такой аппроксимации экспериментально показана в [1]: метод позволяет вычислять значения функций и производных с порядком точности 10 _19.
Идея адаптации метода (4), (6) к разностным методам решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений заключается в .
Пусть рассматривается дифференциальное уравнение первого порядка
[у,( х) = - (^ У X У( хо) = Уо,
которое требуется решить на произвольно фиксированном отрезке [а,Ь].
Предполагается, что на [а, Ь] выполнены все условия существования и единственности решения задачи Коши.
С целью избежать несущественных оговорок предполагается, что длина промежутка [а,Ь] кратна описываемой далее величине Нп.
Для интерполяции решения задачи Коши на всем промежутке строится система подынтервалов равной длины, объединение которых совпадает с [а,Ь]:
и [, хг+1 ] = ^Ь], (8)
г = о
где
х1+1 = х1 + Нп, хо = а, хр = Ь . (9)
Длина каждого подынтервала х1+1 _х1 = Нп, где Н - шаг интегрирования по методу Рунге-Кутта, п - фиксированное число, равное степени
используемого далее полинома. Из численного эксперимента оптимальное значение п = 1о. Ввиду кратности Ь_а и Нп величина Р вычисляется по формуле
Р = Ь~_а- <*о)
Н п
При обозначении границ г -го подынтервала а1, Ь{ решение задачи Коши на всем промежутке [а,Ь] сводится к последовательному её решению на подынтервалах [аг, Ьг ], г = о ... Р —1, где значение функции в начальной точке на подынтервале равно её значению в конечной точке предыдущего
подынтервала у (а1 ) = у (Ьг—1).
На г юм подынтервале кусочно-полиномиальная схема следующим образом встраивается в метод Рунге - Кутта.
На отрезке \^а1, Ь^ строится интерполяционный полином Ньютона
степени п . В соответствии с (9) за шаг интерполяции
Ь: _ аг
Н = ------- (11)
п
принимается шаг интегрирования по методу Рунге-Кутта. Отрезок [аг, Ь1 ] разбивается на п равных частей с равноотстоящими узлами
х1р = а1 + рН, р = о, 1,..., п . (12)
Полином Ньютона степени п на ьм подынтервале для функции у(х) и (12)
п Д ] _1 х — х
^,„(<)=У(х»)+ £ “"У1 П (г _ к), ' = -Г-- (13)
7=1 }! к=о Н
п_1
Каждое произведение вида Рп (/) = П(' _ к) представляет собой
к=о
разложение полинома с некоторыми постоянными коэффициентами й7к,
которые восстанавливаются по корням по удобному для программирования алгоритму[2], который представлен формулами:
Рп () = о + 1 1 2 12 + ... + , (14)
о + ЛпХ Г +... + йпп1п = (/_о)(/_1)...(/_п +1), (15)
Р - 1
*кк = *(к-і)(*-і),
*к (к-і) = *(к-і)(к - 2) - *(к-і)(к-і) (к - і), *к (к-2) = *(к-і)(к-3) - *(к-і)(к-2) (к - і),
^к(к-0 = *(к-і)(к-(:-і) *(к-і)(к-0 (к і),
(і6)
Лк0 = - й(к-1)0 •(к - !)> при (, = 1, 2, , к -1 и к = 2, 3,... , и .
Коэффициенты можно считать априори вычисленными и хранимыми в памяти компьютера вместе со значениями факториалов.
Далее, в отличие от кусочно-полиномиального метода, полином Ньютона приводится к каноническому виду относительно неизвестных конечных разностей и в его выражение подставляется значение г:
^пг (х) = У(X0) + £ Л'Уг0
І=і
І!
(і7)
Для вычисления полинома (17) требуется найти значения конечных разностей без знания точных значений функции. Это делается следующим образом. Предполагается, что на ьм подынтервале полином У п, (х), пока с
,
Xх)(х), хе[а,, ь?\. (18)
Взятие производной по независимой переменной X от обеих частей (18) в рассматриваемых ограничениях влечет
/(X) «у;, (х). (19)
Вычисление правой части данного равенства как производной степенной
(7)
/(X У) « X Л]Уг 0 І =і
X - ХІГ
У-і Л
І
(20)
При подстановке в обе части равенства (20) узлов интерполяции хр из (12) получается система п линейных уравнений относительно п неизвестных вида А:у1 о, ] = 1, п,
IЛЛУг о • АРі = Вр і=і
р = 0, п - і ,
(2і)
где
j lh
Bp = f (xtp, ytp). (22)
Значения ур в (22) находятся путем решения задачи Коши на подынтервале [, Ь1 ] методом Рунге-Кутта.
Таким образом, согласно (20) выполнена полиномиальная аппроксимация решения задачи Коши на подынтервале [, Ь1 ]. Значения искомой функции в
узловых точках восстанавливаются через значения конечных разностей высших порядков по известной формуле
Полученные значения yik, к = 1, n представляют собой уточненное разностное решение в новом по отношению к методу Рунге-Кутта смысле. , , решение на практике оказывается более точным, чем решение, получаемое непосредственно по методу Рунге-Кутта.
Предложенный метод существенно уточняется путем неоднократного решения задачи на подынтервале, где в формулу для подсчёта правой части системы (21) подставляются значения функции, полученные уже на предыдущей итерации из формулы (23). С помощью численного эксперимента выяснено, что оптимальное число таких итераций - 10.
Метод реализуется в единой стандартной программе на языке Object Pascal системы Delphi 7.0, пользователю повторять данные выкладки и численный эксперимент не требуется. На вход программы подается правая часть , , .
Был проведен численный эксперимент с 20-ю дифференциальными уравнениями с нелинейной правой частью. Ниже приводится пример дифференциального уравнения с типичными результатами программы. Для сравнения брались уравнения с известными аналитическими решениями, с которыми сравнивались и метод Рунге-Кутта и предложенное уточнение.
Шаг метода Рунге-Кутта уменьшался до тех пор, пока дальнейшее уменьшение не ухудшало точности. По результатам эксперимента составлены таблицы сравнения абсолютных погрешностей в проверочных точках.
.
и требуется решить её на отрезке [0,10]. Задача (24) при взятых начальных данных имеет точное аналитическое решение у = -х + 2аг^(х), которое используется для нахождения абсолютной погрешности вычисления.
Решение системы (21) по методу Гаусса даст значения Ajy0, j = 1,n .
(23)
(24)
Таблица
Абсолютная погрешность приближенного решения уравнения у' = соб(х + у), х е [0,10] методом Рунге-Кутта и его кусочно-полиномиальным
уточнением
x Runge-Kutt Newton
h = 1,03.10-4 h = 1,03.10-4
1,0300 2,0600 3,0900 4,1200 5,1500 6,1800 7,2100 8,2400 9,2700 1,98951098651090E-0017 1,96511643762998E-0017 6,39679281766448E-0017 1,13732807893729E-0016 1,61567807743790E-0015 2,78401433850828E-0015 3,76781938982163E-0015 4,65426308604577E-0015 5,49733869537050E-0015 0,00000000000000E+0000 1,35525271560688E-0019 5,42101086242752E-0020 0,00000000000000E+0000 0,00000000000000E+0000 4,33680868994202E-0019 8,67361737988404E-0019 8,67361737988404E-0019 2,16840434497101E-0018
В левом столбце таблицы представлена абсолютная погрешность метода Рунге-Кутта, а в правом - предложенного уточнения.
Как видно из таблицы для данного примера максимальное значение абсолютной погрешности метода Рунге-Кутта составляет порядок 10-15, а предложенного уточнения - 10-18.
По результатам эксперимента можно заключить, что предложенная схема уточняет метод Рунге-Кутта, как правило, на 3 десятичных порядка.
Схема соединяет аналитическое и разностное приближение, позволяя вычислять решение как в узловых точках с разностным шагом, так и в промежутках между ними в силу интерполяции.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Аксайская Л.Н. Разработка и исследование параллельных схем цифровой обработки сигналов на основе минимизации временной сложности вычисления функций / Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук. - Таганрог, 2008. - 18 с.
2. . .
параллельной обработки / Диссертация на соискание ученой степени доктора технических наук. - Таганрог: ТРТУ, 1998. - 546 с.; ВНТИ Центр. -№ 05.990.001006.
Ромм Яков Евсеевич
Таганрогский государственный педагогический институт E-mail: romm@List.ru
347936, . , . , . 48. : 88634 60-18-99
Джанунц Гарик Апетович E-mail: janunts@inbox.ru Тел: 8- 918-506-90-24
Romm Yakov Evseevich
Taganrog State Pedagogical Institute E-mail: romm@List.ru
48, Initsiativnaia, Taganrog, 347936. Phone: 88634 60-18-99
Dzhanunts Garik Apetovich
E-mail: janunts@inbox.ru Phone: 8- 918-506-90-24
УДК 517.91: 518.1
Я.Е. Ромм, CX. Буланов
КОМПЬЮТЕРНЫЙ АНАЛИЗ УСТОЙЧИВОСТИ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПРИЛОЖЕНИЕМ К
ОЦЕНКЕУСТОЙЧИВОСТИ СИНХРОННОГО ГЕНЕРАТОРА
Изложен метод компьютерного анализа устойчивости систем линейных ОДУ, определяющий необходимые и достаточные условия устойчивости при ограничениях общего вида на основе разностных схем. Представлены результаты компьютерного моделирования устойчивости систем и численный эксперимент применительно к анализу устойчивости синхронного генератора, работающего на сеть большой мощности. Анализ реализуется на персональном компьютере в режиме реального времени
Метод; анализа; время.
Ya.E. Romm, S.G. Bulanov
THE COMPUTER ANALYSIS OF A STABILITY OF SYSTEMS OF LINEAR
DIFFERENTIAL EQUATIONS WITH APPLICATION TO AN ESTIMATION STABILITIES OF THE SYNCHRONOUS GENERATOR
The method of the computer analysis of a stability of an ODE linear systems, defining necessary and sufficient conditions for stability is stated at restrictions of a general view on the basis of difference schemes. Outcomes of computer modelling of a stability of systems and numerical experiment with reference to the analysis of a stability of the synchronous generator working on a web of the big potency are presented. The analysis is realised on the personal computer in a condition of real time.
Method; analysis; time.
Рассматривается задача Коши для линейной однородной системы дифференциальных уравнений
^ = Л (t )Y, dt (1)
Y (tc) = Y0,
