Идентификация динамических характеристик микрообъекта в бесконечно глубокой потенциальной яме Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 530.1:51-72

ИДЕНТИФИКАЦИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК МИКРООБЪЕКТА В БЕСКОНЕЧНО ГЛУБОКОЙ ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ ЯМЕ

© 2009 г. Я.Е. Ромм, А.Н. Голиков

Таганрогский государственный The Taganrog State

педагогический институт Pedagogical Institute

Исследуются экстремальные закономерности численного решения нестационарного уравнения Шрёдингера для одномерной бесконечно глубокой потенциальной ямы. Выполняется кусочно-полиномиальная аппроксимация функций, производных и определённых интегралов на основе интерполяции по Ньютону, а также компьютерная идентификация всех экстремумов решения на основе сортировки. Путем компьютерного моделирования подтверждаются известные характеристики микрочастицы, предсказана рефокусировка волнового пакета и новые физические закономерности.

Ключевые слова: микрообъект; динамические характеристики; уравнение Шрёдингера; численное интегрирование; идентификация экстремальных закономерностей; сортировка; кусочно-полиноминальная интерполяция.

Extreme legitimacies of the numerical solution of a nonsteady Schroodinger equation for the one-dimensional perpetually deep potential well are explored. Approximation of functions, derivatives and particular integrals on the basis of interpolation on Newton, and also computer identification of all extremes of the solution on the basis of sorting is carried out piecewise-polinomial. By computer modeling known performances of a mi-croparticle are proven, refocusing of an undular package and new physical legitimacies are predicted.

Keywords: microobjects; dynamic characteristics; the Schrodinger equation; numerical integration; identification of extreme patterns; sorting; and piecewise polynomial.

Постановка вопроса

Рассматривается численное решение уравнения Шрёдингера для микрообъекта в одномерной бесконечно глубокой потенциальной яме при отсутствии внешних полей. Требуется идентифицировать локальные и глобальные экстремумы плотности вероятности, локальные экстремумы средней и среднеквадратичной координаты, стандартного отклонения координаты, а также определить групповую скорость волнового пакета. Ставится задача компьютерной идентификации числовых значений данных характеристик, а также скорости движения глобального максимума плотности вероятности. Задача решается на основе определения экстремальных особенностей приближенного решения уравнения Шрёдингера. При этом экстремальные особенности дискретизированного решения определяются с помощью алгоритма сортировки, упорядочивающего последовательность элементов дискретизированного решения.

Описание математической модели заимствуется из [1]. Уравнение Шрёдингера в атомных единицах для микрообъекта в одномерной бесконечно глубокой потенциальной яме в отсутствие внешних полей имеет вид

1 52 ¥

(1)

дt 2 сГ2 ' где г е [-л; л], t е [0; да). Граничные условия задаются уравнениями Т (-л;t) = Т (л;t) = 0, начальное условие для исходно гауссова пакета задается функцией

Следуя предложенному в [1] подходу, решение уравнения (1) строится методом разделения переменных и аппроксимируется отрезками ряда Фурье в виде

(2т-1) t

¥( x,t)*£

Am COS

(2m-1) t 8

+Am Sin

8

2m-1 xcosl-x 1 +

Bm COS

( 2 A

m -1

v 2 , v

+Bm sin

( 2 A m —t

v 2

v У

sin (mx)+

N

+i E

m=1

Am cos

'(2m-1)2 t^

2m-1 x cosl-x 1 +

8

Bm COS

- Am sin

^2m-1)21^ 8

2

m -1

v 2 v

- Bm sin

2

m —t

v 2

v У

sin (mx),(2)

коэффициенты ряда имеют вид:

1 Q г -V к, \ (2m-1

Am = J e 2 cos (V0 x) cos l—-— x | dx;

Л Q г -T • ^ \ (2m -1 I j

Am =— J e 2 sin (V0 x) cos l-x I dx;

_ Q Г

Bm =—J e 2 cos (V0x) sin (mx) dx;

- -—+iV0x 2 0

¥( x;0) = Qe

где Q = 0,7511 - нормировочный множитель.

~ Q г -—

Bm = J e 2 sin (V0 x) sin (mx) dx, m = 1,2

2

x

2

2

На этой основе рассчитывается временная зависимость средней координаты

x (t) = J xP (x, t) dx,

(4)

а также среднеквадратичная координата как функция времени

x2 (t)= J x2P (x, t) dx ,

-л

и стандартное отклонение координаты

= {t ) = >/[ x {t)-x {t)] 2

(5)

(6)

зируются при xk = x0 + h • k, h =

и рассматри-

ваются как элементы массива а[к], k = 1,2,...,п . Последовательность а[к] сортируется. При этом выбирается сортировка, которая сохраняет порядок равных элементов и взаимно однозначное соответствие входных и выходных индексов [2]. Локальный максимум идентифицируется по условию

abs (е[к]- е [к +1])< еря0^ ,

где е[к ] - текущий входной индекс отсортированного элемента а [е [к]] , ерз0 - априори заданный радиус окрестности локализации. Условие идентификации локального минимума: abs(е[к]-е[к-1])<eps0/h .

Глобальные экстремумы идентифицируются аналогично при замене знака соответствующего неравенства на противоположный и ерз0/h - единицей [3].

После однократной сортировки идентифицируются одновременно все локальные и глобальные экстремумы при произвольном ерз0 , значение которого должно быть не больше половины наименьшего расстояния между экстремумами одного и того же вида [3]. При этом каждый экстремум идентифицируется по значению и по индексу местоположения. Идентификация эквивалентна вычислению точки экстремума с точностью до ерз0. Вычисление всех таких экстремумов взаимно независимо и может выполняться по максимально параллельному алгоритму с временной сложностью единичного порядка [4]. Данная схема не влечет накопления погрешности, поскольку в сортировке используются операторы сравнения и присваи-

вания, а точки экстремумов идентифицируются только по индексам элементов.

Кусочно-полиномиальная схема аппроксимации функций на основе полиномов Тейлора [5]

Пусть рассматривается функция (7) на системе подынтервалов

К b] = U [xi-b xi) >

(8)

i=1

где Р (х,t) = |^| , ^ из (1). Именно у данных функций потребуется найти все экстремумы с помощью излагаемого ниже метода.

Схема идентификации экстремумов функций на основе сортировки [2 - 4]

Пусть рассматривается функция

У = / (х) (7)

такая, что х е[х0,хп]с G с R , (х,у (х))е Я2, где G -область определения. Значения функции (7) дискрети-

где Р = 2к, к = 0,1,2,...

В окрестности середины хш подынтервала [хг-1, х^) функция (7) разлагается по формуле Тейлора

/ (х)« Р (х)=/(х ■ (9)

¿=0

Точность аппроксимации функции (7) полиномом (9) на каждом подынтервале контролируется по условию

\f { x )-Pm ( x )|<S:

(10)

где е - априори заданная граница абсолютной погрешности. Полиномы Тейлора вычисляются по известной схеме с выражением последующего члена через предыдущий, от младших степеней к старшим [5]:

So, = 0 Ao, = f (% К ao, =

f'( xoi)

f (xoi) '

A(£+1)i = Aliali {x x0i ),

a £i = -

f^W 1

fW(xoi) £ +1

(11)

S{e+i)i = S tl + Afj, £ = 0,1, ..., m.

По схеме (11) на каждом подынтервале из (8) строится полином Pni (x) минимальной степени, так

чтобы выполнялось условия (10), при этом степень n одинакова для всех номеров подынтервалов i. Вычисленные коэффициенты a ti из (11) могут быть сохранены в памяти компьютера в виде двумерного массива. Тогда для вычисления функции достаточно адресоваться по номеру подынтервала i к коэффициентам a ti, t = 1,2,...n и произвести последовательные сложения и умножения согласно (11) или по схеме Горнера.

Применение описанного подхода к приближению функций тригонометрического базиса разложения (2) существенно уменьшает временную сложность вычисления решения уравнения (1) и увеличивает точность. В табл. 1 приводится пример результатов аппроксимации функции y = cos (x).

а

m

Таблица 1

Погрешность кусочно-полиномиальной аппроксимации функции y = cos (x) по формуле Тейлора

x Pm (x), n =4 e= Pni (xcos (x)

-3,1416E+0000 -1,0000E+0000 0,0000E+0000

-2,5133E+0000 -8,0902E-0001 0,0000E+0000

-1,885E+0000 -3,0902E-0001 -5,4210E-0020

-1,2566E+0000 3,0902E-0001 2,7105E-0020

-6,2832E-0001 8,0902E-0001 0,0000E+0000

0,0000E+0000 1,0000E+0000 0,0000E+0000

6,2832E-0001 8,0902E-0001 0,0000E+0000

1,2566E+0000 3,0902E-0001 -1,6263E-0019

1,885E+0000 -3,0902E-0001 -5,421E-0020

2,5133E+0000 -8,0902E-0001 0,0000E+0000

f (x)«Rmi (t) = Z a]lft]

j=0

(13)

где t = -

w = -

x - x.

i = 1,2,..., P , при этом

t e [0,n]. Схема Горнера для (13) примет вид:

R

i (t)=(•(

amift + a (m-1)if

t +a

(m-2)if

t+...+a.

0 if ■

Аддитивность интеграла по промежутку влечет

(14)

b P xi

J f (x)dx=Z J f (x)dx .

С учетом (13) интеграл на , -м подынтервале приближенно вычислится в виде

х, х,

I /(х^х « | Яп, (0^ .

х-1 х,-1

Поскольку при х=хг-1 выполняется t=0 , при х=х,, соответственно, t=п , dх=м^, то замена переменных влечет

х, п

Г г ~ п

I Яп, (t)dх = м I Яп, (ОЛ = +цг (0 .

х,-1 0 0

Таким образом,

Функции базиса приближаются полиномами четвертой степени с точностью до 10-18. Аналогичные результаты имеют место для полиномов меньших и больших степеней при соответственном изменении количества подынтервалов. Подробные примеры применения схемы приводятся в [5, 7], там же даны листинги ее программных реализаций.

Кусочно-полиномиальная схема аппроксимации подынтегральных функций и определённых интегралов на основе интерполяции по Ньютону [6]

Для повышения точности и уменьшения временной сложности вычисления определённых интегралов ниже строится кусочно-полиномиальная схема на основе интерполяции по Ньютону. Интерполяционный полином Ньютона для функции (7) на подынтервалах (8) имеет вид

/ ч п А]Уг0 1-1

Яп, (х) = /х0) П(х-х,к) . (12)

1 =1 1 к=0

Степень полинома (12) минимальна и одинакова для всех подынтервалов (8), на каждом из которых выполняется | / (х) - Яп, (х) | < е . С использованием преобразований из [6] приближение функции полиномом Яп, (х) запишется в виде

г ~ I'

J f (x)dx ~ Wi R(m +1)i (t)

(15)

где R (n+1>- (t) - первообразная Rni (t) из (15):

t

j+1

R(n+1)i(t) =Eajif—: . Отсюда, а также из (14), (15)

(n-t-i)i ^ ^ jij .i

j=o j +1 следует соотношение

p

Jf (x)dx*ZWrR(n +1)i (m) i=1

(16)

где R (n+1)г- (n) будет вычисляться по схеме Горнера

Rm+1)i (n) =

( ^ a a ^

ni f (n—1)if

J n +—-—

V W

n+1

n

n +

a(n-2)if

n-1

n+•••+■

^0 if

n.

(17)

Для стандартных функций коэффициенты ак,/

могут быть вычислены априори и храниться в памяти компьютера. Тогда временная сложность вычисления (17) составит Т(1) = О(п).

В общем случае численный эксперимент показывает, что абсолютная погрешность аппроксимации первообразной по схеме (16), (17) не больше абсолютной погрешности приближения функции из (13).

Подынтегральную функцию за счет выбора числа подынтервалов и одновременно степени интерполяции можно аппроксимировать с наименьшей абсолютной погрешностью, граница которой может быть априори задана, причем с минимизацией временной сложности [6]. В этом случае схема (16), (17) заведомо позволит приближать интегралы с наибольшей точностью.

Такая возможность отличает излагаемую схему от известных, где аппроксимация подынтегральной функции, вообще говоря, не оптимизируется относительно погрешности с минимизацией временной сложности.

i=1x

i-1

x

x

i-1

1

w

n

Если такую оптимизацию выполнить на излагаемой основе, интеграл приближенно вычисляется с достаточно высокой точностью. В частности, существенно улучшается точность формулы Симпсона [7]. Типичный пример такого улучшения иллюстрирует табл. 2, где п - старшая степень аппроксимирующего полинома для границы абсолютной погрешности аппроксимации функции - е= 5-10-19, Р - соответственное число подынтервалов из (8), 5Рой - погрешность интегрирования на основе данной кусочной интерполяции; 5Я - погрешность формулы Симпсона, h - шаг интегрирования в формуле Симпсона.

Таблица 2

Абсолютная погрешность вычисления интеграла на основе кусочной интерполяции по Ньютону и по формуле Симпсона

Интегрируемая функция n P S Poli h SSimp

f (x) = sin (x) 9 4 0,0000E+00 10-7 -8,4147E-0008

5 256 2,7105E-20 10-8 -4,3239E-0014

10-9 -8,4016E-0010

f (x) = 1 4 4096 0,0000E+00 10-7 -1,192E-0008

10-8 1,7385E-0014

4 8192 6,7763E-21 10-9 -1,1973E-0010

f (x)" 1 + sin (x) 9 32 0,0000E+00 10-7 -5,4304E-0008

5 2048 5,421E-20 10-8 -2,5575E-0014

10-9 -5,4227E-0010

f (x)= /V xVx + x 4 131072 3,7947E-19 10-7 -5,403E-0008

10-8 -2,8926E-0015

10-9 -5,4021E-0010

Полное и детальное описание схемы аппроксимации функций, производных и интегралов приводится в [6, 8], в работе [6], однако, не указана возможность столь высокой точности приближенного вычисления интегралов.

Результаты моделирования и их обсуждение

Применение описанных кусочно-полиномиальных схем позволило повысить точность аппроксимации решения уравнения (1) и динамических характеристик (4) - (6) и одновременно снизить временную сложность вычислений.

Далее, по изложенной в начале схеме на основе сортировки были идентифицированы экстремальные особенности рассматриваемых величин с подтверждением известных и получением новых закономерностей [8]. В частности, подтверждён вывод о колебательном характере рефокусировки волнового пакета. Для плотности вероятности выявлены следующие закономерности:

1) взаимное расположение экстремумов по значению и по индексу уникально на четверти периода;

2) картина плотности вероятности в моменты времени

повторяется с точностью

f ± f

Из табл. 2 видно, что изложенная схема превосходит по точности формулу Симпсона на четыре и более порядков. Требуемой точности приближения определённого интеграла удаётся достичь за счёт априорно достигнутой границы абсолютной погрешности аппроксимации подынтегральной функции. При сравнении необходимо принять во внимание, что компьютерная реализация формулы Симпсона [7] требует вычисления значения подынтегральной функции на каждом шаге интегрирования, это влечет принципиальное замедление вычислений с ростом числа шагов. Напротив, вычисление интеграла по предложенной кусочно-полиномиальной схеме требует лишь изменения готовых полиномиальных коэффициентов по схеме табличного взятия первообразной. Этим объясняется реально достигаемое на компьютере уточнение интеграла по сравнению с его вычислением по формуле Симпсона и, аналогично, по схеме Ньютона -Котеса [7].

На этой основе в представленной модели с минимальной погрешностью вычисляются коэффициенты (3) ряда Фурье, а также величины (4) - (6).

до симметрии относительно центра ямы, здесь tf - момент

времени, когда график плотности принимает первоначальный вид

а

t 'е

(n-1)f; n'-f-V 2 2

(сборка пакета), neN . Отсюда можно [8] предска-

зать её распределение в любой момент времени на полубесконечности. Взаимное расположение экстремумов плотности по индексу и по значению служит признаком для компьютерной идентификации и предсказания динамических характеристик и состояния микрообъекта. Достаточно лишь установить соответствие экстремальной картины плотности вероятности и значений величин (4) - (6) в каждый момент времени на четверти периода. Для иллюстрации симметричного повторения экстремальной картины плотности вероятности (второй закономерности) на рис. 1а изображён график плотности вероятности при /' = 4,24, а на рис. 16 представлен график плотности вероятности в момент времени tf -1', где tf = 8л.

Треугольниками отмечены идентифицированные локальные максимумы. Подробный список идентифицируемых особенностей поведения плотности вероятности приводится в [8].

N

0,75

0,5

0,25

t = 4,24

so^

-1 pi -0,5 pi 0 pi 0,5 pi 1 pi

N

0,75

0,5

0,25

t = 20,88

б

Рис. 1. Повторение экстремальной картины плотности вероятности с одинаковым интервалом до и после сборки пакета

Получены, помимо того, временные зависимости средней и средней квадратичной координаты, а также стандартного отклонения координаты, согласующиеся с данными работы [1]. Идентифицированы их экстремальные особенности. Периодичность и симметрия названных величин делает возможным предсказание значений динамических переменных в произвольный момент времени на полубесконечности по экстремальной картине плотности, если установить соответствие по времени между взаимным положением экстремумов плотности вероятности и значениями (4) -(6). На рис. 2 а, б представлены графики временных зависимостей соответственно стандартного отклонения и средней координаты с идентифицированными экстремумами.

Отметим, что в конце каждой четверти периода стандартного отклонения имеются ярко выраженные минимумы, что соответствует сборке пакета.

Получен график зависимости скорости движения глобального максимума волнового пакета от времени, которая ассоциируется со скоростью движения микрообъекта. На рис. 3 изображен график временной зависимости скорости движения глобального максимума плотности вероятности.

0 10 20 30 40 50

а

X

0 10 20 30 40 50

б

Рис. 2. Локальные минимумы временных зависимостей стандартного отклонения (а) и средней координаты (б)

Рис. 3. Временная зависимость скорости движения глобального максимума

На основе изложенных схем удается [8] выполнить уточнённый расчёт рассматриваемой математической модели с идентификацией экстремальных особенностей решения уравнения Шрёдингера и динамических характеристик, а также с существенной минимизацией временной сложности вычислений. Это позволяет для представленной модели, помимо отмеченных закономерностей, предсказывать значения

t

а

t

динамических характеристик, соотношения неопределённостей, положения центра тяжести и фокусировку волнового пакета. Взаимное положение экстремумов плотности вероятности на плоскости можно использовать в данном аспекте как идентификатор состояния микрообъекта.

Таким образом, изложенная схема идентификации экстремумов может служить для автоматизации обработки результатов физических экспериментов, при этом кусочно-полиномиальные схемы аппроксимации функций и интегралов являются инструментом уточнения и ускорения обработки.

Литература

1. Багманов А.Т., Санин А.Л. Структуры волновых пакетов в квантовой яме // Успехи современной радиоэлектроники. 2005. № 12. С. 25-34.

2. Ромм Я.Е. Локализация и устойчивое вычисление нулей многочлена на основе сортировки. I // Кибернетика и системный анализ. Киев, 2007. № 1. С. 165 - 182.

Поступила в редакцию

3. Ромм Я.Е. Локализация и устойчивое вычисление нулей

многочлена на основе сортировки. II // Кибернетика и системный анализ. Киев. 2007. № 2. С. 161 - 174.

4. Рюмин О.Г. Разработка и исследование алгоритмов распознавания изображений на основе определения экстремальных признаков замкнутых контуров с помощью сортировки : автореф. дис. ... канд. техн. наук. Таганрог, 2008.

5. Ромм Я.Е., Фирсова С.А. Минимизация временной сложности вычисления функций с приложением к цифровой обработке сигналов. Таганрог, 2008. 125 с.

6. Аксайская Л.Н. Разработка и исследование параллельных

схем цифровой обработки сигналов на основе минимизации временной сложности вычисления функций : авто-реф. дис. . канд. техн. наук. Таганрог, 2008.

7. Березин И.С., Жидков Н.Г. Методы вычислений. Т. 1. М.,

1970. 464 с.

8. Ромм Я.Е., Голиков А.Н. Идентификация экстремальных

закономерностей решений нестационарного уравнения Шрёдингера для исходно гауссова волнового пакета в бесконечно глубокой потенциальной яме при отсутствии внешних полей / ТГПИ. Таганрог, 2009. 137 с. Деп. в ВИНИТИ 05.06.09, № 346-В2009.

22 сентября 2009 г.

Ромм Яков Евсеевич - д-р техн. наук, профессор, заведующий кафедрой информатики, Таганрогский государственный педагогический институт. Тел. (8634) 60 - 17 - 53. E-mail: romm@list.ru

Голиков Александр Николаевич - студент, физико-математический факультет, Таганрогский государственный педагогический институт. Тел. (8634) 60 - 18 - 92. E-mail:golicov89@mail.ru

Romm Yakov Evseevich - Doctor of Technical Sciences, professor, head of department information science, Taganrog State Pedagogical Institute. Ph. (8634) 60 - 17 - 53. E-mail: romm@list.ru

Golikov Alexander Nikolaevich - student, Chair of Physic and Mathematic Science, State Educational Institution of Higher Professional Education «Taganrog State Pedagogical Institute». Ph. Тел. (8634) 60-18-92. E-mail: golicov89@mail.ru