Оценка погрешности вычисления производных на основе варьируемой кусочно-полиномиальной аппроксимации функции Текст научной статьи по специальности «Математика»

поиску локально экстремальных элементов последовательности. На основе схемы программируется локализация одновременно всех экстремумов входной последовательности при произвольно

заданных радиусах окрестности локализации.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Вирт, Н. Алгоритмы и структуры данных. - М.: Мир, 1989. - 360 с.

2. Заика, И.В. Разработка и исследование схем оптимизации на основе алгоритмов сортировки с приложением к идентификации экстремумов решений дифференциальных уравнений: автореф. дис.... канд. техн. наук / И.В. Заика - Таганрог: ТРТУ, 2007. - 19 с.

3. Маркушевич, А.И., Маркушевич, Л.А. Введение в теорию аналитических функций. - М.: Просвещение, 1997. - 320 с.

4. Ромм, Я.Е. Локализация и устойчивое вычисление нулей многочлена на основе сортировки. I // Кибернетика и системный анализ. - 2007. - № 1. - С. 165 - 183.

5. Ромм, Я.Е. Параллельная сортировка слиянием по матрицам сравнений. I // Кибернетика и системный анализ. - 1994. - № 5. - С. 3 - 23.

6. Ромм, Я.Е. Параллельная сортировка слиянием по матрицам сравнений. II // Кибернетика и системный анализ. - 1995. - № 4. - С. 13 - 37.

7. Ромм, Я.Е., Заика, И.В., Лабинцева, А.А. Безусловная оптимизация на основе сортировки с приложением к компьютерному анализу устойчивости систем управления // Известия вузов. Северо-Кавказский регион. Технические науки. Серия «Управление, вычислительная техника и информатика». - 2008. - № 6. - С. 11 - 17.

8. Ромм, Я.Е., Заика, И.В., Лабинцева, А.А. Безусловная численная оптимизация при вариации параметров. I / ТГПИ. - Таганрог, 2008. - 31 с. Деп. в ВИНИТИ 04.03.2008, № 193-В2008.

9. Ромм, Я.Е., Заика, И.В., Лабинцева, А.А. Безусловная численная оптимизация при вариации параметров. II / ТГПИ. - Таганрог, 2008. - 44 с. Деп. в ВИНИТИ 04.03.2008 № 194-В2008.

УДК 681. 3.06

С.С. Выпряжкина

ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТИ ВЫЧИСЛЕНИЯ ПРОИЗВОДНЫХ НА ОСНОВЕ ВАРЬИРУЕМОЙ КУСОЧНО-ПОЛИНОМИАЛЬНОЙ АППРОКСИМАЦИИ ФУНКЦИИ

Аннотация. Произведена оценка погрешности вычисления кусочно-полиномиальной аппроксимации функций и производных на основе интерполяционного полинома Ньютона для произвольно заданной границы погрешности. Показана сходимость кусочно-полиномиально интерполированных производных к производным кусочно-полиномиально интерполируемой функции. Дана оценка скорости сходимости.

Ключевые слова: кусочно-полиномиальная аппроксимация функций, кусочная интерполяция, кусочно-интерполяционное приближение производных

S.S. Vypryazhkina

THE ESTIMATION OF ERROR OF CALCULATION OF DERIVATIVES ON BASIS

THE VARIED PIECEWISE-POLYNOMINALAPPROXIMATION OF FUNCTION

Absrtact. The estimation of error of calculation of piecewise-polynominal approximation of functions and derivatives is made on the basis of the Newton's interpolation polynomial for the arbitrarily set border of error. Convergence of thepiecewise-polynominal interpolated derivatives is shown to the derivatives of thepiecewise-polynominalinterpolated function. The estimation of speed of convergence is given.

Key words, piecewise-polynominalapproximation of functions, piece interpolation, piece-interpolation approaching of derivatives

Аппроксимация действительной функции y = f (x) от одной действительной переменной на произвольном отрезке [ а, Р ] выполняется следующим образом [1 - 3]. Выбирается система подынтервалов равной длины, объединение которых покрывает [ а, Р ]:

р-1

[а, Р] = и [х 1 , хм], (1)

i=0

> к

для определенности полагается Р = 2 , к е {0, 1, ...}. Пусть априори задана граница Б абсолютной погрешности аппроксимации данной функции. При каждом I из (1) на I -м подынтервале строится интерполяционный полином Ньютона (t) с равноотстоящими узлами, где

X X у х , +1 X

t =--, h = — - расстояние между узлами. Степень полинома п выбирается одина-

h П

ковой для всех подынтервалов и минимальной при условии:

/(х)-^ (0|<е, х е [ х,, хг+1], / = 0, Р-1. (2)

Интерполяционный полином Ньютона преобразуется к виду:

(0 = а, о + а, 11 + а, 212 + ... + агп1п, 1 = 0, р-1, (3)

х-х,

где х е [ х1, х1+1], t = .

h

Искомую оценку выполним в предположении, что у = / (х) определена, непрерывна и дважды непрерывно дифференцируема на[«- 2К0, ¡3 + 2К0] , на концах подразумеваются соответственные односторонние производные. В предположении разбиения (1) и аппроксимации (2) на [ а, Р ] для у = / (х) , в предположении 2 < п < N, при произвольно фиксированном I разложим разность f' (х) — П (х) по формуле Тейлора с двумя членами в окрестности радиуса Нк произвольно выбранного узла интерполяции на [ х ,, х|+1 ] :

(f (х)-(х)'= /'(х,)-^п, (х,) + (/"(х, + вкк)-(хи + вкк))Нк, 0 < в < 1 Отсюда для Ух е [х{, х|+1 ] выполнено:

| /(х) - (х) | < | f'(хи) -V ,п (хи) I + I f"(хи + Щ) - х + еКк)) IК, (4) , Р-а

где К = ~¥П

В данных предположениях

/"(х, +0Лк )|< [ ш« к ]^"(х)| VI = 0,1,...,2к-1.

[а-2 К,р+2 К0]

Иными словами,

1 /Ч+ еКк) 1 < ^ ~00 = const = 0,1,...,2к -1.

где ~00 = г тах 1| /"(х)|.

[а-2й,р+2й0]

Покажем, что

I П (х,1 + екк) I < ~11, ~11 = сош! V £ = 0,п л VI = 0,2к -1 лУ к = 0,1,...

Имеем:

¥",П (х) = ^/п (*),

Кк2

или,

т' п (х)=■(' о -1));+■/М о (' - 1Х' - 2));+...+(' о - 1)-о - ^+1»:

+... + /01 -1)('-п +1))".

Покажем вначале ограниченность слагаемого, содержащего ———2— .По лемме П1.1,

/, о) (h)

( ^1 / Л" П'-1 -1

представленной в [4], полином I П и — £) ограничен значением ](] — 1) х ]!-. По опре-

110 А (п -1)

делению, & /(х0 ) = &~1/(хг0 + \ ) — &~1/(х0 ), далее,

&-1/(хго + К ) = Х-2/(х, 0 + 2\ ) — &-2/(Х0 + К ),

& / (Х,о) = &-2/(хг, + К )-Х-2/(х, о),

Отсюда

&1Ы- 1 ( М-1 Г (V _ Л^-1

f, v =h (хго + К)- Aj-1f(xо)) =

(hk) (hk)

((a-2/(x, о + 2hk)-Aj-2/(x о + hk ))-(a1-2/ (x,0 + hk)-А-2/ (хго)))

(hk)

'k

Аналогично,

I

A-2/(xi0 + 2hk)- A-2/(xio + hk) = hk§(-1) C/хо + (j-£-1К + hk +^+A),

£=о

j-2 £

Aj/, + hk)-A/o ) = hk §(-1) CjVta + (j - £ - 1)hk + ^+A),

£=о

гдео <e1£+1 < 1 л о <e2£+1 < 1 V£ = о, j - 2.

Почленное вычитание обеих частей двух последних равенств влечет: А/(х о) = (hk )2

j-2 1 hk § (-1)£ cj-2 (/' (х о+(j - £ - 1)hk + hk +eM+A)-/'(хо+(j - £ - 1)hk+eu+A )W

£=о (hk)

По формуле Лагранжа, применительно к приращениям производных с величиной приращения аргумента hk + (е2£+1 - e!£+1)hk =(1 + (02£+1 - ©1£+1 ) )hk, получится:

(/' (хго+(j - £ - 1)hk + hk + e2£+А) - f(xtо + (j - £ - 1)hk+e,£+A))=

= f" (Хо + (/ - l - 1)hk + e3£+1 (1 + (e2£+1 - e1£+1 ))hk + e1£+1hk ) X ((1 + (e2£+1 - e1£+1 ))hk X

где о < #3£+х < 1. Отсюда

1 f' (ХЮ +(j - £ - 1)hk + hk + e 2£+1hk )-f'(x, о +(/' - £ - 1)hk +e1£+1hk ) < C11hk, C11 = const,

Aj/ (Х )

где с,, = max | /"(x) | x2. Из последнего выражения для—■:—в [4]выводится

11 [a-2h,p+2h\ (hk )2

неравенство:

А/(x, о)

(hk )2

j-2 1 < К §Cj-2c11hk .

£=о Vlk

С учетом суммы биномиальных коэффициентов оценка примет вид:

А/ (x, о)

(hk )2

< 21-2 c

11

Аналогично предыдущему, по индукции можно показать ограниченность конечных разностей, а значит и ограниченность всех коэффициентов полинома (х), а соответственно и всех его производных.

Подстановка найденных оценок в выражение второй производной интерполяционного полинома влечет:

п г>1-1 _ 1

\Ч"п (х)<е2;-2сп х ^ - 1)х 71_П -1

или

Отсюда

jA "" ^ " J j! (и -1)

" и-7'-1 _ 1

|ч"„ МИеЛ/ -1)27-2 х ) cn. /=2 (и -1)

|Ч"г„ (x 2/-1(и/-1 -1)~00,

U1 / 2 и -1

/=2

где С00 - постоянная. Поэтому

Ч"г„ (x )|< и~00 Е ((2и)7-1 - 27-1).

У=2

Окончательно, с добавлением единичных слагаемых под знаком суммы,

г(2п)" -1 ■ л

Ч",и(x)|<n~00 ^-(2" -1)

V 2и -1

Отсюда следует, что

f{2N)N -1 ^

С11 Nc00

- 3

V 3 J

Из данных оценокполучается, что

| f" (x,, + е К) - Чи - x + 0 К) | < | f" (x,, + 0 к) | +1Ч" m x + Qhk) | < С00, с00 = const,

где С00= С00 + С11. Таким образом, имеет место неравенство: |f'(x)-Ч'ш(x)| < |f'(x,)-Ч'ш(x,) | + С00 hk.(5)

Первое слагаемое в правой части (5) можно оценить, используя формулу Тейлора для f (x) - Ч,и (x) в hk -окрестности узла интерполяции:

f (x )-Чш (x) = f (x, )-Чш (x, ) + (f\xu )-Ч'ш (x, ))hk +

+ (f" (x,, + 00,hk ) - Ч"ш (xu + 00 A ))(hk )2, 0 <00, < 1. По условиям интерполяции f (x,,) = Ч,и (x,,), поэтому

f (x)-4и(x) = (f (x,,)-Ч',„ (x,,))hk + (f "(x,, +0O,hk)-Ч",„ (x,, +0O,hk))(hk)2. Отсюда

I f(xa)-Ч',„ (x,,) |<lf (x)(x) I +(| f "(x,k +00,hk) 1 + 1Ч" "(xft +00,hk)|)hk.

hk

В результате последнее неравенство примет вид оценки: |f'(xj-4'!n (xj|< ~ + С00hk . (6)

Подстановка (6) в выражение разности производных влечет: |f' (x) -Ч'ш (x) |< ~ + 2С00hk . (7)

Таким образом, в предположении о двукратной дифференцируемости функции не удается доказать сходимость и оценить погрешность приближения производной на основе варьируемого кусочно-полиномиального метода.

Выход заключается в том, чтобы предположить более высокий порядок дифференцируемо-сти аппроксимируемой функции. Если функция y = f ( x ) непрерывна и непрерывно дифференцируема n +1 раз на отрезке [a — 2h0,Р + 2h0], то для нее сохраняются все проделанные рассуждения и оценки, но кроме того выполняются условия леммы 1.1 из [4]:

Лемма. Пусть для произвольного n = const функция y = f (x) определена, непрерывна

и непрерывно дифференцируема n + 1 раз на отрезке[ a, Р ], на концах которого подразумеваются соответственные односторонние производные. Тогда, каково бы ни было n > 1, последовательность полиномов Yin (t) равномерно сходится к функции f (x) на данном отрезке при k ^ да ,

где k = log2 P, P - число подынтервалов из (1). Скорость сходимости оценивается из соотношения

С ( n ) , 2k—1

|f ( x) — (t )|< hn+\ P = 2 k, [ a, p ] = U [ *г, xi+1],

2 i=0

где С (n) = const, h - шаг интерполирования полинома Y0n (t) на при k = 0.

В силу леммы для рассматриваемой функции на рассматриваемом отрезке имеет место неравенство:

где h0 =

If ( x)(0|< h0"+1, Vx e[a-2h0, p + 2h0 ],[ a, p ] = (J [ хг, xM]

2 i=0

p-a

0

n

Отсюда

.n+1

| f'( x., )-w\n ( x,) I < ^hn1 Ж)'+ ( f "X +00, К ) | + |^и(хл + 00, hk ) \)hk,

hk 2

h0

где h, =—т. Следовательно,

k 2k

hn h I f '(x, ) - (x, ) | < С11-П + (| f " (xA + 00, К ) | +1 y", ( x.k + 00, К ) |) -0

где C11 = max c(n).

2<n< N

На основании изложенногоприходим к неравенству:

h0 h0

f (x)-Пп(x) < С11-кПт + ^00^

h 0 - шаг интерполирования полинома ( x) на [ a, P ], или,

|f "(x) (x)|< C,}^^ + 2C00 Pn .

Таким образом, имеет место

Теорема . Пусть для произвольного п = const, 2 < п < N, функция y = f (x) определена, непрерывна и непрерывно дифференцируема п + 1 раз на отрезке [a - 2k, P + 2h ] ,на концах которого подразумеваются соответственные односторонние производные. Тогда, каково бы ни было п > 2, последовательность полиномов ^ ' in (x) равномерно сходится к производной функции f ' (x ) на отрезке [a, р]при k ^ да, где k = log2 P, P - число подынтервалов из (1). Скорость сходимости оценивается из соотношения

~ p-а ~

1 f '(x) - Win (x) 1 < C00^T~, C00 = const,

2 n

k

2"• -1

_ 2 k-1

Vx e[a, P]aV/ = 0,2k -1,[a, p] = \ [xt, xi+1].

i = 0

С учетом n > 2 из теоремы вытекает

Следствие В условиях теоремы выполняется неравенство

~ В-а ~ 1 f '(x) - W\n (x) 1 < C00 , C00 = С0Ш1,

при этом C00 не зависит от выбора степени полинома n .

Таким образом, если с помощью варьируемого кусочно-полиномиального метода в условиях двукратной дифференцируемости приближается функция, то автоматически приближается производная, причем с равномерной сходимостью при дополнительном требовании (n +1) -кратной дифференцируемости приближаемой функции. Скорость сходимости имеет порядок геометрической прогрессии по числу подынтервалов.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Ромм, Я. Е. Бесконфликтные и устойчивые методы детерминированной параллельной обработки: авто-реф. дис. ... докт. техн. наук. / Я.Е. Ромм - Таганрог: ТРТУ. - 1998. - 42 с.

2. Ромм, Я. Е. Минимизация временной сложности вычисления функций с приложением к цифровой обработке сигналов: учеб.пособие / Я. Е. Ромм, С. А. Фирсова. - Таганрог: ТГПИ, 2008. - 124 с.

3. Ромм, Я.Е., Джанунц, Г.А. Кусочно-полиномиальные приближения функций и решений дифференциальных уравнений в применении к моделям периодических реакций./Я.Е. Ромм, Г.А. Джанунц. - Таган-рог:ТГПИ имени А.П. Чехова, 2013. - 240 с.

УДК 517.91: 518.1 ББК 81.11

Т.Г. Каплунов

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ГЕНЕТИЧЕСКИХ АЛГОРИТМОВ ДЛЯ АВТОМАТИЧЕСКОГО ФОРМИРОВАНИЯ ПРОГРАММ УПРАВЛЕНИЯ ДВИЖЕНИЕМ

Аннотация. В данной статье предложен механизм управления движением робота в конфигурации шагающего механизма на основе генетических алгоритмов.

Ключевые слова: генетические алгоритмы, робототехника, мехатронно-модульные роботы, управление движением.

T.G. Kaplunov

USING GENETIC ALGORITHMS TO AUTOMATICALLY GENERATE TRAFFIC

MANAGEMENT PROGRAMS

Absrtact This article provided a mechanism for managing the movement of the robot in the configuration of the walking mechanism based on genetic algorithms.

Key words: genetic algorithms, robotics, mechatronic-modular robots, motion control.

Эволюционные методы, как и нейросети, позволяют решать вспомогательные задачи теории управления, не привлекая такие базовые понятия, как интеграл, дифференциал, передаточная функция динамического звена и т.п.

Приведем основные сведения об эволюционных методах. В эволюционных методах вначале создается множество случайно сформированных объектов с заданной структурой (такое множество называется популяцией объектов) и функция, определяющая близость объекта к истинному решению, называемая целевой функцией. Далее все эволюционные методы работают по общей схеме: определяется пригодность объектов в популяции, с учетом близости к целевой функции и при внесении элемента случайности создаются объекты для популяции следующей итерации. Данный процесс повторяется либо до получения решения, либо до окончания времени, отведенного на решение. Популяция имеет «память» - в ней накапливаются лучшие результаты предыдущих итераций, и этим эволюционные методы отличаются от других методов случайного поиска. В создании нового объекта популяции обычно участвуют два существующих объекта, от каждого из которых новый объект отбирает часть свойств; этот процесс называется скрещиванием или кроссовером. При кроссовере, кроме того, исходные объекты подвергаются некоторому случайному изменению - мутации. Иногда используется стратегия элитизма, при которой несколько лучших особей переходят в следующее поколение без изменений, не участвуя в кроссовере и отборе [2].