Кусочно-полиномиальное решение дифференциальных уравнений в частных производных Текст научной статьи по специальности «Математика»

Раздел III. Алгоритмическое и аппаратное обеспечение

УДК 681.3.06:681.323(519.6)

Я.Е. Ромм, Г.А. Джанунц

КУСОЧНО-ПОЛИНОМИАЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ

Кусочно-полиномиальная аппроксимация решения дифференциальных уравнений (ДУ) в частных производных строится на основе интерполяционного полинома Ньютона. На текущей подобласти по сеточным приближениям интерполируются все частные про, , -ближается с помощью повторного интеграла. Прогресс итеративно повторяется до минимизации погрешности приближения второй производной. Компьютерная реализация отличается высокой точностью приближения решения при малой временной сложности.

Кусочно-полиномиальная аппроксимация; интерполяционный полином Ньютона; дифференциальные уравнения в частных производных.

YA.E. Romm, G.A. Dzhanunts

PIECEWISE-POLYNOMIAL SOLUTIONS OF THE PARTIAL DIFFERENTIAL

EQUATIONS

Piecewise-polynomial approximation of the partial differential equations (DE) is based on Newton's interpolation polynomial. At the current subdomain on grid approximations all partial DE derivatives are interpolated, coefficients of the interpolation polynomial are calculated, the solution is approached with iterated integral. The process is repeated iteratively until the approximation error of the second derivative is minimized. Computer realization has highly accurate approximation of the solution at a low time complexity.

Piecewise-polynomial approximation; Newton's interpolation polynomial; partial differential equations.

.

дифференциальных уравнений (ДУ) в частных производных позволяют получить таблицу приближенных значений искомого решения в некоторых точках рассматриваемой области. Однако проблема приближения решения ДУ в частных производных сохраняется при ограничениях на точность и при требовании аналитичности полученного приближения [1]. Ниже рассматривается вопрос о построении разностно-полиномиального приближения решения задачи Коши для ДУ в частных производных на основе метода сеток при помощи кусочно-полиномиальной интерполяции разностных значений в ограничениях общего вида. Методология построения схемы опирается на подход, представленный в [2].

Описание исходного метода кусочно-полиномиальной интерполяции. Непосредственно ниже описывается исходный для излагаемого подхода метод

-

полинома Ньютона от одной и от двух переменных [3, 4].

Аппроксимация действительной функции у = у(х) от одной действительной переменной на произвольно фиксированном замкнутом промежутке [а, 0\ выполняется следующим образом. Выбирается система подынтервалов равной длины, объединение которых покрывает [а, 0\, причем так, чтобы имело место соотношение

Р-1Г

[а,0\ = и [Х1,Х1+1\, (1)

;=0

где Р = 2к, к е {,1,...}. Длина подынтервалов обозначается р = х1+1 - х1,

i = 0, P -1. Для каждого отдельно взятого подынтервала из (1) с номером i строится интерполяционный полином Ньютона Yin (z) с равноотстоящими узлами, х - %i

где z =------, n выбирается минимальным при условии, что абсолютная погреш-

h

ность не превышает априори заданного £ одновременно на всех подынтервалах: ix)-Yin(z)^£ хе[xi,xi +J i = 0,р-1.

При этом полином Ньютона в общем случае преобразуется к виду полинома с явными значениями числовых коэффициентов - на i-м подынтервале аппроксимирующий полином принимает вид

Pin(х) = ai0 + ai 1 х + ai 2 х2 + ...+ ainXn . (2)

(2) . -

х i+1 - х i

мый полином Ньютона с шагом интерполяции h =-------------------- между узлами

n

х^ = х^ + jh, j = 0, 1, ..., n записывается в виде

win(z )=y(i 0)+ ^ n(z - k), z = ——^, (3)

j=1 j! k=0 h

где —yi0 - конечная разность j-ro порядка в точке х10. Предварительно вычис-

ляются конечные разности —yi0 = y(хп)-y^i0), —kyi0 =—-1 yц-—-1yi0, k = 2, 3, ...,n , значения которых обозначаются bi j = — yi0 . Каждое произведение j-1

Pj(z)= n(z -k) является полиномом, заданным разложением на множители, где к=0

k = 0, j -1 , :

Pj (z) = dj 0 + dj1 z + dj 2 z 2 + • • • + djj

Pj (z ) = dj 0 + dj1 z + dj 2 z 2 + ... + djjzj. Ниже используются обозначения

=i, t = 0, j -1. Применяется отличное от формулы Виета соотношение

1 0 0 0

^3 - Sj-1 1 0 0

j (j-1) II 0 - S - 0 0

j о 0 0 •• - Sj-е 1

0 0 0 - Sj

(4)

і-¿+1

Доказательство (4), инвариантный относительно номера коэффициента алгоритм вычисления и программная реализация приводятся в [5]. Предполагается, что

для всех требуемых индексов і априори вычислены значения d^/і!, £ = 0, і ,

которые сохраняются в памяти. Полином (3) переводится в (2) приведением подобных с заменой переменной:

П

Yin (z )= ai 0 + X auzl 1=1

где

(5)

(6)

1=1 V

Для аппроксимации заранее известной или часто используемой (например, при моделировании) функции с целью минимизации времени ее вычисления достаточно рассчитать коэффициенты йц, I = 0, п и сделать их для данной функции хранимыми в памяти компьютера. При расчете значения функции в требуемой точке х происходит дешифрация значения номера подынтервала по формуле

і = ini

i \ x-а

V

Р

который является прямым адресом считывания соответственных

подынтервалу коэффициентов. Время вычисления функции рассматриваемого вида сокращается до значения O (l) в случае малых n = const.

Метод дает возможность фактически в общих условиях достигать точности вычисления функций, которая характеризуется границей абсолютной погрешности

10 -20 [3]. Табличную производную и первообразную полинома (5) можно использовать для аппроксимации производной и определенного интеграла от функции

P-1 n a nM

-1,fy (x)dx = h X 1^, (7)

i=0 C=0

y'(x)

n

Xі auz£" he = 1

£ + 1

где йц из (6).

Целесообразность применения (7) с целью повышения точности численного дифференцирования и интегрирования подтверждает численный эксперимент, приведенный в [3]. Описанный метод с определенными видоизменениями [2] используется для приближения решения задачи Коши для обыкновенных дифферен-( ). -менных по аналогии с изложенной аппроксимацией функции одной переменной.

Пусть действительная функция и = и(х, -) от двух действительных переменных задана в замкнутой области О = {(х, -) | х е [й,ъ\, - е[с, й\}. Эта область разбивается на подобласти Ок , такие что

РхР

О = 0 , (8)

к=1

где Рх = 2к

Р = 2к-

2к- , кх,к, е N , °К = {(х, -)хе [хI•,хI•+l\,-е [-],-]+1]}, при

г = 0,Рх -1, ] = 0,РГ -1. Номер к подобласти определяется при помощи равенств

к = ]Рх + г +1, г = гп-

+1, ] = Ш

И,

. й - Ъ С - й .

+1, где Нх =-------------------, И, =---------------, ш1 -

х Рх Р

целая часть числа.

Пусть в подобласти Ок из (8) задана система узлов вида

Ок {(х^,,у'т)

х^ = хг + £И,-]т = -] + mg, £ = 0,п, т = 0,п -£|

(9)

И И

где И = —, g = —-— шаги интерполяции. В каждой подобласти Ок из (8) между п п

(9)

переменных степени п, который по схеме, аналогичной (3)-(6), принимает вид

п п-г

Ркп(х, -)= XX йк;;1 w

г=0 ] =0

кг]

(10)

где г =

х - х0

, w = -

- - -0

, п , -

И g

ная погрешность не превышает априори заданной границы £ одновременно на всех подобластях к = 1,РхР- : | Ркп(х, -)-и(х, -)| < £ .

(10) -пользован для аппроксимации частных производных и двойных интегралов [4].

-

типа с использованием метода сеток. Пусть для простоты рассматривается первая краевая задача для линейных дифференциальных уравнений гиперболического типа

д 2и д 2ы ди ди

:——-Ъ—— + с---------------+ й-+ gu = г,

дх2 д-2 дх д- * ^

(11)

где й, Ъ, с, й, g, / - заданные функции переменных х и - и йЪ > 0 . Требуется отыскать решение и(х, -) уравнения (11) в области О {< х <Д - > 0}, удовлетворяющее начальным условиям

ди

:| = ф(х),

I-=0 )’ д-

= ^(х), а < х < /3

(12)

-=0

и краевым условиям

и\х=а=ф(-), и1=Р=Т(-),

(13)

х

где р и / - заданные функции переменного х, Ф и !Р- заданные функции переменного г. Проводится два семейства параллельных прямых х = а + гкхп, г = ]к1п, г,] = 0,1,2,..., которые покрывают область О сеткой прямоугольников со сторонами кхп и ¡¡п по осям х и г соответственно, п - степень конструируемого интерполяционного полинома, Нх,Н1 - шаги метода сеток.

С целью избежать несущественных оговорок производится замена области О на

ВД

область Т { < х < Д 0 < г < /}, которая разбивается на подобласти Т = у Тт ,

Т=1

где Ях = ш

Ґ о ^

р-а

Ґ \

= ЇШ

г

к( п

\ 1

Т =

1Т

{(Х І) Xє [хї,Хї +і\і є +1 ]}, при

] = 0,ъ -1.

Приближенное решение задачи (11)-(13) на области Т сводится к последовательному ее решению на подобластях Тт, при этом для подобласти с номером т +1 правые части равенств в условиях (12)-(13) приближенно известны из решения задачи на подобласти с номером т.

Аналогично (9) на подобласти Тт строится система узлов

Тт={{хИ’*]т)|х^ = хг + 1кх,г]т =г] + т= °>п> т = 0,п-4 . (14)

В каждом из узлов (14) методом сеток вычисляются приближенные значения решения и( хц, г ]т ), £ = 0,п, т = 0,п - £ , по которым строится интерполяционный полином Ньютона степени п относительно независимых переменных х и г. По-

(10) п п-1

Ртп ( г)= X X ат1]г , (15)

I=0]=0

где г = ——— , ы = -——. Полином (15) интерполирует искомое решение на всей

¡х ¡г

подобласти Тт, но для уточнения приближения применяется следующая схема.

На основе (15) с помощью табличных преобразований выполняется полиномиальное приближение всех частных производных из (11):

-и 1 п-1 п-1-1

-Г" “ Т(п-1)(х’ 1) = -¡Г ^ ^ ( + 1а(+!)' ,

ах ¡х I=0 ]=0

— 2и 1 п-2 п-г-2

-Г - РТ(п-2)(х’ г) 1= 72 X X ( + 1)( + 2Ы+2)] г ,

ох ¡х г=0 ]=0

-и 1 п-1 п-г-1

Ги " РГ(„-1)(х.' ) = {■!. I ( + >К, (;+,)г'»'] ,

¡г г=0 ]=0

2 п-2 п-г-2

-и - Рт(п-2)(х, г) == -¡Г X X (] +1)] + 2)ат г(+2) ы] .

о г ¡* г=о ^

? Ї=0 у=0

На этой основе и из (11) во всех узлах (14) вычисляются значения:

д 2й ^ аРТ{п-2) + С РТ(п-1) + й К (п-1) + %рп - /

дг2 Ь

д 2й

где у = у(хк, г]т). Значения —— рассматриваются как значения в узлах интер-

дг

ПОЛЯЦИИ

д 2— _______ __________

т =—7 = 0,п,т = 0,п-I. (16)

дг2

По условиям (16) строится интерполяционный полином Ньютона (п - 2)-й степени, который приводится к виду полинома с числовыми коэффициентами:

п-2 п-I-2

К(п-2)(х,г)= X X стЦ*-™] . (17)

1=0 ]=0

Построенный полином (17) аппроксимирует вторую производную по переменной г. На практике абсолютная погрешность такого приближения оказывается

точнее аппроксимации непосредственно полиномом рг(п-2)(х, г). Приближение

(17), -

добласти соответствующей индексам (,]) известны из приближения на подобласти с индексами (, ] -1), для ] = 0 постоянные известны из (12).

Построенный полином

г г

^тп (х,г) / /(п-2)йг

п-2 п- -2

(18)

= —(х,го ) + —г (х,го )г + ^ ™2 Е Е ( 7) г,)'™1

,=0 1=о (] + Ф + 2)

принимается за приближение —(х,г) = Ятп (х,г), х, г е Тт . Аналогичное приближение строится на подобласти Тт+1 и т. д., до исчерпания области Т.

Приближение решения существенно уточняется путем неоднократного решения задачи на подобласти, где узловые значения в (15) вычисляются не методом , -

(18), . достигается программной оптимизацией степени интерполяционного полинома и шага метода сеток. Отличительной чертой предложенной схемы является ее применимость также для нелинейных дифференциальных уравнений различного вида.

.

блоке среды Бе1рЫ на ПК Репгшт Б. На вход программы поступают функции а, Ь, с, й, g, / из (11), условия (12), (13), область решения и шаг метода сеток. При решении шаг интегрирования последовательно уменьшается в 10 раз, пока дальнейшее уменьшение не ухудшит точности. В данном пункте использовано значение степени п = 5, которое оптимально по точности приближения. Ниже приводятся характерные результаты численного эксперимента.

гг

Пример 1. Требуется приближенно решить краевую задачу для уравнения

Э 2 и

Э 2 и

ии

—-----— = 3 sin[x + 21),

Эх 2 Эt2

и(х, 0) = sin(x), ut (х,0) = 2 cos(x), u(0,t) = sin(21), u(l,t) = sin(2t +l),

(19)

на области Т {0 < х < 1, 0 < г < 0.1}. Точное решение —(х, г) = яп(х + 2г) используется для вывода погрешности приближения.

1

Абсолютная погрешность приближения решения задачи (19)

(х, t) Метод сеток Полиномиальное уточнение

h = 2* 10“5 h = 2* 10“4

(0.8994, 0.0004) 1.25E-0008 5.42E-0020

(0.7994, 0.0044) 1.26E-0007 9.20E-0016

(0.7994, 0.0788) 2.26E-0006 5.14E-0010

(0.7994, 0.0996) 2.85Е-0006 2.49Е-0009

Представленные в табл. 1 абсолютные погрешности решения задачи (19) непосредственно методом сеток и его полиномиальным уточнением показывают повышение точности приближения на 3-12 десятичных порядков в зависимости от значения переменной t. Помимо высокой точности аппроксимации решения схема отличается непрерывностью полученного приближения на всей области T за счет кусочно-полиномиальной интерполяции.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Березин КС., Жидков НМ. Методы вычислений. Т.2. - М.: Физматгиз, 1962. - 640 с.

2. Ромм ЯМ., ДжанунцГ.Л. Кусочно-полиномиальная аппроксимация решения задачи Коши для систем обыкновенных дифференциальных уравнений на основе преобразования интерполяционного полинома Ньютона. - Таганрог: ТГП'И, 2010. - 37 с. Деп. в ВИНИТИ 25.05.2010, № 305-В2010.

3. Аксайская Л.Н. Разработка и исследование параллельных схем цифровой обработки сигналов на основе минимизации временной сложности вычисления функций. Автореф. дисс. ... канд. тех. наук. - Таганрог: Изд-во ТТИ ЮФУ. - 2008.

4. Голиков AM. Кусочно-полиномиальные схемы вычисления функций двух переменных, частных производных и двойных интегралов на основе интерполяционного полинома Ньютона. - Таганрог: ТГПИ, 2010. - 150 с. Деп в ВИНИТИ 20.09.2010, № 528-В2010.

5. . . -

ровки // II Кибернетика и системный анализ. - 2007. - № 2. - С. 161-174.

Статью рекомендовал к опубликованию д.т.н., профессор Л.П. Фельдман.

Ромм Яков Евсеевич

Таганрогский государственный педагогический институт.

E-mail: romm@List.ru.

347926, г. Таганрог, ул. Инициативная, 48.

Тел.: 88634601753, 88634601812, 88634601807.

Джанунц Гарик Апетович

E-mail: janunts@inbox.ru.

Тел.: +79185069024.

Romm Y akov Evseevich

Taganrog State Pedagogical Institute.

E-mail: romm@List.ru.

48, Initsiativnaya Street, Taganrog, 347926, Russia. Phone: 88634601753, 88634601812, 88634601807.

Dzhanunts Garik Apetovich

E-mail: janunts@inbox.ru.

Phone: +79185069024.

УДК 681.142

B.A. Балыбердин, A.M. Белевцев, M.А. Дружинин

ГЕНЕТИЧЕСКИЕ АЛГОРИТМЫ ПОИСКА В ЗАДАЧАХ ОПТИМИЗАЦИИ СИСТЕМ СЕТЕЦЕНТРИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ СПЕЦИАЛЬНОГО

НАЗНАЧЕНИЯ

Рассматриваются вопросы использования генетических алгоритмов оптимизации для рациональной организации информационно-вычислительных процессов в системах специального назначения с сетецентрическим управлением. Последние рассматриваются как большие информационные системы с распределённой обработкой данных (СРОД). Показано, что для обеспечения высоких требований устойчивости и оперативности управления, характерных для некоторых специальных систем, необходимо проведение оптимизации функционирования таких систем. Для поиска оптимальных решений соответствующих оптимизационных задач предлагается использование генетических алгоритмов.

Генетические алгоритмы оптимизации; распределённая обработка; сетецентриче-.

V.A. Baliberdin, A.M. Belevtsev, M.A. Drujinin

GENERIC ALGORITHMS AND SPESIAL CETECENTRIC CONTROL SYSTEMS OPTIMIZATION

Some problems of genetic optimization algorithms using to organize special cetecentric control systems are discussed. These systems are treated as to be distributed data systems. Their high performances may be reached by means of the system optimization. To obtain the optimal solution the genetic optimization algorithms are proposed.

Genetic optimization algorithms; distributed processing; cetecentric systems.

В последние годы всё более пристальное внимание исследователей и разработчиков больших информационно-управляющих систем привлекает идея сете. ,

,

, ,

, . пор нет единого и четкого понимания многих аспектов, связанных с практической реализацией концепции сетецентрического управления. Некоторые авторы полагают, что достаточно объединить источники информации, блоки управления и исполнительные органы хорошими каналами связи и синергический эффект, присущий сетецентрическим системам, обеспечен.

Вместе с тем более подробный анализ показывает, что для успешного внедрения сетецентрических систем необходимо оценивать возможные варианты ор-

- -