Научная статья на тему 'Видоизменение формул Виета для численных расчетов в информационных системах'

Видоизменение формул Виета для численных расчетов в информационных системах Текст научной статьи по специальности «Компьютерные и информационные науки»

CC BY
197
48
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Ключевые слова
КУСОЧНАЯ ИНТЕРПОЛЯЦИЯ / PIECEWISE INTERPOLATION / МАССИВЫ ДИСКРЕТНЫХ ДАННЫХ / ARRAYS OF DISCRETE DATA CONVERSION FORMULAS VIETA / ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФОРМУЛ ВИЕТА / АППРОКСИМАЦИЯ ПРОИЗВОДНЫХ / APPROXIMATION OF DERIVATIVES / ВЫЧИСЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ / CALCULATING INTEGRALS

Аннотация научной статьи по компьютерным и информационным наукам, автор научной работы — Мыслина М.В.

В статье обсуждается кусочная интерполяция массивов дискретных данных, требуемая для вычислительной обработки в информационных системах. Для этой цели приводятся две разновидности интерполяции: по Лагранжу и по Ньютону. Формируются непрерывные кусочно-полиномиальные аппроксимации дискретных данных. Указываются их применения для аппроксимации производных и приближенного вычисления интегралов. При этом интерполяционные полиномы на подынтервалах автоматически преобразуются к виду алгебраических полиномов с числовыми коэффициентами на основе видоизменения формул Виета.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

The article discusses the piecewise interpolation of discrete data sets required for the computational processing in information systems. For this purpose are two kinds of interpolation: Lagrange and Newton. Forms a continuous piecewise polynomial approximations of discrete data. Include their applications to approximate the derivatives and approximate calculation of integrals. This interpolation polynomials in the sub-intervals are automatically converted to a form of algebraic polynomials with numerical coefficients based on the modification of the formula of Vieta

Текст научной работы на тему «Видоизменение формул Виета для численных расчетов в информационных системах»

• позволяет развивать профессиональные компетенции;

• позволяет повысить уровень образовательного потенциала;

• предоставляет возможность online корректировки подготовки к ЕГЭ.

Таким образом, образование становится в большей степени ориентированным на потребности самого учащегося. Изменяются стимулы к обучению, формы образовательного процесса и его содержание, что непосредственно ведет к изменениям во всей сфере образования, главной целью которого является получение необходимых знаний в школьной системе и дальнейшее применение их в последующем обучении в вузе.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Булин-Соколова, Е.И. Построение программы формирования ИКТ-компетентности учащихся и информационной образовательной среды основной школы/Булин-Соколова, Е.И., Семенов, А.Л. // Информатика и образование. - 2010. - № 8. - С. 27-32.

2. Витиска, Н.И., Шаронова, С.И. Исследование интеллектуальной системы для совмещения интересов преподавателей и студентов при реализации профессионального образования // Информация и связь. -2011 - № 3. - С. 72-76.

3. Драйден, Г. Революция в обучении - М.: Парвинэ, 2003, - 672 с.

4. Сухомлин, В. А. Создание Виртуального национального университета ИТ - образования / В.А. Сухомлин. - М: МАКС Пресс, 2007. - 60 с.

5. Хортон, У. Электронное обучение: инструменты и технологии / У. Хортон, К. Хортон - М.: КУДИЦ-Образ, 2005. - 640 с.

6. Шмелёв, А.Г., Бельцер, А.И., Харцонов, А.Г. Адаптивное тестирование знаний в системе «Телетестинг» // Школьные технологии. - М., 2001.

7. Челышкова, М.Б., Шмелев, А.Г. Шкалирование результатов Единого Госэкзамена: проблемы и перспективы // Вопросы образования. - 2004. - № 2. С.124

8. Рыбанов, А.А. Алгоритмическое и математическое обеспечение по конкретным картам // Вестник компьютерных и информационных технологий. - 2009. - № 2. - С.30-36.

9. Развитие теории и практики дистанционного образования в России и за рубежом в 80-е годы XX - начала XXI века: Историко-педагогический аспект. - [Электронный ресурс]: Научная библиотека диссертаций и авторефератов disserCat - Режим доступа: http://www.dissercat.com/ content/razvitie-teorii-i-praktiki-distantsionnogo-obrazovaniya-v-rossii-i-za-rubezhom, свободный.

10. Елисеев, О.Н. Применение статистических методов для оценки успеваемости [электронный ресурс] -Режим доступа: http//tgm.stankin.ru/arch/n02'/articles/ 10.йт,свободный.

11. Рыбанов А.А., Шевчук В.П., Приходько Е.А., Петров Н.В. Интеллектуальные системы оценки качества учебного процесса/ системные проблемы качества, часть 4. - М.: Радио и связь, 2003, С. 6-7.

УДК 681. 3.06

М.В. Мыслина

ВИДОИЗМЕНЕНИЕ ФОРМУЛ ВИЕТА ДЛЯ ЧИСЛЕННЫХ РАСЧЕТОВ В ИНФОРМАЦИОННЫХ СИСТЕМАХ

Аннотация. В статье обсуждается кусочная интерполяция массивов дискретных данных, требуемая для вычислительной обработки в информационных системах. Для этой цели приводятся две разновидности интерполяции: по Лагранжу и по Ньютону. Формируются непрерывные кусочно-полиномиальные аппроксимации дискретных данных. Указываются их применения для аппроксимации производных и приближенного вычисления интегралов. При этом интерполяционные полиномы на подынтервалах автоматически преобразуются к виду алгебраических полиномов с числовыми коэффициентами на основе видоизменения формул Виета.

Ключевые слова: кусочная интерполяция, массивы дискретных данных, преобразование формул Виета, аппроксимация производных, вычисление интегралов.

M.V. Myslina

MODIFICATION FORMULAS VIETA FOR NUMERICAL CALCULATIONS IN

INFORMATION SYSTEMS

Abstract. The article discusses the piecewise interpolation of discrete data sets required for the computational processing in information systems. For this purpose are two kinds of interpolation: Lagrange and Newton. Forms a continuous piecewise polynomial approximations of discrete data. Include their applications to approximate the derivatives and approximate calculation of integrals. This interpolation polynomials in the sub-intervals are automatically converted to a form of algebraic polynomials with numerical coefficients based on the modification of the formula of Vieta.

Key words: piecewise interpolation, arrays of discrete data conversion formulas Vieta, approximation of derivatives, calculating integrals.

Постановка вопроса. Требуется построить инвариантное относительно коэффициентов полинома видоизменение формул Виета для выполнения кусочной интерполяции массивов дискретных данных с целью вычислительной обработки в информационных системах. В частности такое видоизменение предполагается применить для визуализации координат спутниковых наблюдений объектов с криволинейными границами. Искомое преобразование применяется к интерполяционным полиномам Лагранжа и Ньютона в границах кусочной интерполяции. Требуется также сформировать непрерывные кусочно-полиномиальные аппроксимации производных и интегралов.

Построение алгоритма опирается на структуру матричной формулы восстановления коэффициентов многочлена по его корням с точностью до выполнения операций, при этом непосредственно в исходном виде арифметические операции не выполняются. Коэффициенты многочлена

P (x) = d xn + d ,xn 1 + d 2xn 2 +... + d,x + d0

П V / n n—1 n—2 1 0

выражаются через его корни по формулам Виета [1]:

dn = 1,

dn—1 = —(x 0 + xi + x 2 + ••• + xn—lX

dn—2 = (x0 • xi) + (x0 • x2) + ... + (x0 • xn—l) + - + (x

dn з — (x 0 • x i • x 2 l x 0 • x i • x з l ... I x

(i)

n— 2 " x n—Ь

n—3 x n— 2

'xn—lX

dn—l = ( 1) • (x0 • xi • x2 • x3... • xi —1 + ... + xn—l —1 • ... • xn—1),

Л0 _ ( 1) ' (Х0 ' Х1 ' Х2 ' ...' Хп-2 ' Хп-1).

Эти формулы сложны для компьютерной реализации и не инвариантны относительно номера коэффициента полинома. Поэтому более предпочтительны формулы вид [2, 3]:

( d Л

" п dn—1

V d0 J

1 0

xn—1 1 0 xn—1 00

00 00 00

00 00

n + 1

x

00 10 1

... 0 xn—1

1 0 0 0

xn— 2 1 0 0

0 xn 2

0 0 n0 0

1 0

0 0 xn 2 1

0 0 ... 0 xn-2

П — 1

(1 0 0 Л

x2 1 0

0 x2 1

,0 0 x2 J

10

x1 1 0x

(1Л

Vx 0 J

x.

где 1 - 1 -й корень многочлена,

i = 0,1, ..., n — 1

предполагается, что

d_ = 1

(2)

. Последователь-

ное справа налево умножение матриц влечет алгоритм вычисления левой части (1):

Лкк = Л(к- 1)(к-1), Лк(к-1) = Л(к- 1)(к-2) -Л(к-1)(к- 1)Хк-1, Лк (к-2) = Л(к-1)(к-3) Л(к-1 )(к-2 )Хк-1,

d,,

k (k—t) = d(k—1)(k—t—1) d(k—1)(k—t )xk—1

dk0 = d(k—1) 0 Xk—1.

Программная реализация (Delphi): PROGRAMVietR; {$APPTYPE CONSOLE}

k = 1,2, ..., n

(3)

X

X—X

X

X

USES SysUtils;

CONST n=6; xa: ARRAY[0..n-1] OF extended =(1,-1, 0, 0, 2, 2); xb: ARRAY[0..n-1] OF extended =(0, 0, 1,-1, 1,-1); VAR da,db: ARRAY[0..n,0..n] OF extended; a,b,a1,b1,ca,cb: extended; k,r:integer;

PROCEDURE um(VAR a,b,a1,b1: extended; VAR ca,cb: extended);

BEGIN ca:=a*a1-b*b1; cb:=a*b1+b*a1 END;

PROCEDURE sum(VAR a,b,a1,b1: extended; VAR ca,cb: extended);

BEGIN ca:=a+a1; cb:=b+b1 END;

BEGIN

FOR r:=0 TO n-1 DO writeln(' ',xa[r],' ',xb[r]); writeln; writeln; da[1,1]:=1; db[1,1]:=0; da[1,0]:= -xa[0]; db[1,0]:= -xb[0]; FOR k:= 2 TO n DO BEGIN

a:= -da[k-1,0]; b:= -db[k-1,0]; a1:=xa[k-1]; b1:=xb[k-1];

um(a,b,a1,b1,ca,cb); da[k,0]:=ca; db[k,0]:=cb;

FOR r :=1 TO k-1 DO BEGIN a:= -da[k-1,k-r]; b:= -db[k-1,k-r];

a1:=xa[k-1]; b1:=xb[k-1]; um(a,b,a1,b1,ca,cb);

a:=da[k-1,k-r-1]; b:=db[k-1,k-r-1]; a1:=ca; b1:=cb;

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

sum(a,b,a1,b1,ca,cb); da[k,k-r]:=ca; db[k,k-r]:=cb END;

da[k,k]:=da[k-1,k-1]; db[k,k]:=db[k-1,k-1] END;

FOR r:=n DOWNTO 0 DO writeln(da[n,r],' ', db[n,r]); readln

END.

Программа работает для комплексных корней полинома и выдает его коэффициенты в комплексной форме.

Предполагается следующее применение данного алгоритма. Во-первых, это целесообразно для интерполяции дискретных данных, часто требуемой при вычислительной обработке в информационных системах. Если интерполяция выполняется по Лагранжу, то при помощи (2) к виду (1) преобразуется числитель каждого слагаемого интерполяционного многочлена Лагранжа

n / , n n , ,

^n (x )=£/(xj )П (x - ) / П X - )

j=0 r=0 r=0

r*j r*j

C, = П(xj -Xr) b = M

r=0 1 C

а затем и весь многочлен. Вначале вычисляются r*1 и 1 ,

nn

(x 1='

^n (x ) = ! b} n(x - xr )

j=0 r=0

j = 0,1, ... , n T-, r * j -a

J ' ' ' . В результате многочлен примет вид 1 . Если при ка-

Pnj (x) = П (x - xr )

r=0

j = 0 1 n r * j

ждом по схеме (2) найти коэффициенты произведения

Pnj (x) = d0 j + d1 jx + d2 jx2 + ... + dnjxn

n n n n

обозначив их nn 0 j 1 j 2 j n , то

ь j

^(x) = Ib]Xdtx' =£Ibjd, x<.

j=0 t=0 t=0 j=0

Отсюда многочлен Лагранжа всегда можно предста-

(*) = £а,х^, а, = £

вить в виде ,=0 где ■/_0 . Данное преобразование многочлена Лагранжа

инвариантно относительно степени этого многочлена, программируется в общем случае [4] и сохраняется для случая интерполирования функций комплексной переменной.

Для интерполяции по Ньютону излагаемая схема применяется следующим образом. Пусть дан интерполяционный полином Ньютона для равноотстоящих узлов при интерполировании впе-

р-1

[а,р] = и [Х{ , Хг+1]

ред на системе подынтервалов '=0 :

п р 1-1

(О = Р(Хг о) + П с - к) г =

/=1 7! к=о ^

(4)

где

Х.. = Х. + Ш, / = 0, п

11 ' ^ ? ^ ?

- узлы интерполяции,

А Л'Р

'0 - конечная разность 1 -го порядка в

Х

г 0

точке '0. Этот полином

^гп ( О = аг 0 + аг 1 г + аг 2 г ' + + ^п^ ' = 0, Р - 1

преобразуется

виду

по излагаемой ниже схеме. Вычисля-

^ 0 =Ак-1Рг 1 -Ак-1Рг 0 к = 2, П

. В

А0 = Р(Хг.) - Р(Хг0) АкРг0 = Ак-1Рг 1 -Ак-1Рг0 к = 2

ются конечные разности г0 4 г4 гг 0 г 1 г0, К А

Ь,, = АЛР,„ . = . ..

полином (4) примет вид

обозначении

/ = 1, п

*гп С ) = Р ( Хг 0) + Е П С - к) Р/ (0 = П (' - к)

множители

/ ^ и. 0 *

Ь /-1

П

1 =17 ! к = 0 к = 0,1,■, / -1

/'-1

к=0

р (г) = а,0 + а,,г + а,2г2 + ■ + а .г1

' 4 ' Л 0 Л 1 Л 2 ''

. Полином " " задан разложением на

- его корни, по которым можно восстановить коэффициенты:

.Л2 м ... ______

1 2 11 (5)

г = е, е = 0, /'-1

В обозначении (5) и 1 ,

представлена формулой:

применяется схема (2), которая кратко может быть

Г а Л

а/л

ё

Л (Л -1)

V а/ 0 У

и

П

е=1

0

- г

1 -е

1

- г

1 -е

00 00

1-е

/'-е+1

У

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

к

-й шаг умножения матриц справа налево записывается именно в виде (2).

а,,,. = а,

Здесь "'кк "(к-1)(к-1) ■ а 11 1, е = 1, к -1, к = 2, 1. При к = 1 левые части совпадут с искомыми значениями коэффициентов (5). Подпрограмма, реализующая схему, приведена в [6], на основе ее работы интерполяционный полином (4) примет вид

^гп (г) = аг 0 +Ё аг е 1

е=1

где

а

а

= У Ь ' г е ¿^ ич л

/=е 1!

аг 0 = Р ( Х г 0)

Изложенные схемы в случае интерполяции дают формулы производных

Г(Х) -чп (г) (6)

. (6)

Взятие производной по независимой переменной от обеих частей (6) при соответствующих ограничениях влечет

(Г(х))'х - (^пг (г))'Х

к

1

0

0

0

0

0

1

е

Более точно,

Лх) - № (1))'Л.

Очевидно,

(1))!/ = а1г/ + 2а2г/ + 3а3г/2 + - + П аш/1( 1

1 х = —

З ^пг" (1) Г

Значение вычисляется по схеме Горнера:

^ 'п г (1) = (( " (п + (П - 1) а (п-1)// ) 1 + ■ " + 2 а (п-2)// ) 1 + а1 // ) —

Последнее соотношение дает формулу приближенного вычисления производных. Для интегралов имеем:

Ь Р-1 хг+1

| У ( х - X I РШ (х )йХ

. (7)

¿=1 х

1 =

Х Хг 0

При интерполяции на основе полинома Ньютона используется замена переменной на каждом из подынтервалов, которая упрощает вычисление определенного интеграла. При

Х соответственное значение 1 = 0, при Х Хг+1 полнится 1 = п . Учитывая, что

Рт М=^пг (1), Рпг (X) dx = (1) Л

правая часть (7) принимает вид хг+1 п

|Рт (X)dx = ^ |^пг (1) ^ X 0 .

В свою очередь,

^г I^пг (1)Л = ^ п +1)г(1)

0

где

Ф(„+1),(1) = - + ^1 12 +t3 +...+^

1 2 3 п +1 . (8)

Соотношение (8) ниже используется для построения формул приближенного вычисления интеграла. Для минимальной степени п интерполирующего функцию полинома и соответствующего значения Р строится приближение определенного интеграла функции с помощью определенного интеграла от интерполирующего полинома.

а0г / а1г / а2г / апг/

Если функция наперед известна, то коэффициенты 1 2 3 п + 1 в (8) мож-

но рассчитать и занести в память компьютера для постоянного хранения, при этом вычисление интеграла в дальнейшем будет осуществляться путем выборки коэффициентов, соответствующих заданной функции, в полной аналогии с таблично-алгоритмической схемой аппроксимации функций.

В общем случае, подставляя верхние и нижние пределы интегрирования в правую часть выражения для интеграла, получаем

^ n+1) i (t)

0 =Wi n+1) i (n)

Отсюда

n

w;

J^ni (t)dt = w, n +1)i(n)

0

Для определенности предполагается, что значения

(n +1) i

(n)

вычисляются по схеме Горнера:

/

n+1), (n ) =

ff

a

V W

nif

n + 1

a

n +

(n-1) if

\

n

a

л

n +

У

(n-2)if_ 1

n

a

Л

n + — +

У

0 if 1

n

У

(10)

Вычисление интеграла из (10) отличается большей точностью, чем по известным формулам. Это достигается за счет того, что выражение под интегралом априори вычисляется с наилучшим кусочно-полиномиальным приближением.

Заключение. Изложено инвариантное относительно коэффициентов полинома видоизменение формул Виета для кусочной интерполяции массивов дискретных данных с целью вычислительной обработки в информационных системах. Видоизменение применимо для визуализации координат спутниковых наблюдений объектов с криволинейными границами. Преобразование дано на основе интерполяционных полиномов Лагранжа и Ньютона по схеме кусочной интерполяции. На этой основе построены непрерывные кусочно-полиномиальные аппроксимации производных и интегралов.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИИ СПИСОК

1. Березин, И.С., Жидков, Н.П. Методы вычислений. Т.2. - М.: Физматгиз, 1962. - 640 с.

2. Ромм, Я.Е. Локализация и устойчивое вычисление нулей многочлена на основе сортировки. I // Кибернетика и системный анализ. - 2007. - № 1. - С. 165-183.

3. Ромм, Я.Е. Локализация и устойчивое вычисление нулей многочлена на основе сортировки. II // Кибернетика и системный анализ. - 2007. - № 2. - С. 161-175.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

4. Ромм, Я.Е. Бесконфликтные и устойчивые методы детерминированной параллельной обработки / Дис. .. .докт. тех. наук. - Таганрог: ТРТУ, 1998. - 546 с.; ВНТИ Центр. - № 05.990.001006.

5. Ромм, Я.Е., Фирсова С.А. Устойчивое распараллеливаемое вычисление функций на основе таблично-алгоритмической аппроксимации с приложениями в численном анализе. - Таганрог: Изд-во ТРТУ, 1999. -86 с.

6. Ромм, Я.Е., Джанунц, Г.А. Кусочно-полиномиальные приближения функций и решений дифференциальных уравнений в применении к моделям периодических реакций. - Таганрог: ТГПИ имени А.П. Чехова, 2013. -240 с.

УДК 517.91: 518.1 ББК 22.193

Ю.И. Сычева

МЕТОД ИССЛЕДОВАНИЯ УСТОЙЧИВОСТИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ МОДЕЛЕЙ МЕНЕДЖМЕНТА НА ОСНОВЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ

Аннотация. В статье представлен метод анализа устойчивости дифференциальных моделей менеджмента на основе матричных мультипликативных преобразований разностных схем. Метод компьютеризируется и реализуется в режиме реального времени. В качестве модели менеджмента приводится задача транспортировки багажа.

Ключевые слова: дифференциальные модели менеджмента, анализ устойчивости, разностные схемы.

Yu.I. Sycheva

METHOD OF RESEARCH OF STABILITY OF DIFFERENTIAL MODELS OF MANAGEMENT ON THE BASIS OF TRANSFORMATION OF DIFFERENTIAL SCHEMES

Absrtact. The paper presents the method for analyzing the stability of differential management models based on matrix multiplicative transformations of difference schemes. The method is compute-

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.