CC BY
40
:
1. . . -
тотной характеристикам // Известия ЮФУ. Технические науки. - 2010. - № 7 (10S). - С. 216-219.
2. :
Учебное пособие для вузов по спец. “Автоматизация и комплексная механизация хими-- ” / . . , . . , . . .; ред. ИХ. Петрова. - М.: Высш. шк., 19S6. - 352 с.
3. . . -
// . - 1957. - . XVIII, 6.
4. . ., . ., . . :
Учебное пособие. - Пенза: Изд-во Пенз. гос. ун-та, 2003. - 211 с.
Статью рекомендовал к опубликованию д.т.н., профессор В.П. Карелин.
Моисеева Елена Викторовна
Технологический институт федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Южный федеральный университет» в г. Таганроге.
E-mail: [email protected].
34792S, г. Таганрог, пер. Некрасовский, 44.
.: SS634371773.
Кафедра систем автоматического управления; соискатель.
Moiseeva Elena Viktorovna
Taganrog Institute of Technology - Federal State-Owned Autonomy Educational Establishment of Higher Vocational Education “Southern Federal University”.
E-mail: [email protected].
44, Nekrasovsky, Taganrog, 34792S, Russia.
Phone: +7S634371773.
The Department of Automatic Control Systems; Competitor.
УДК 681.3.06:681.323(519.6)
Я.Е. Ромм, А.Н. Голиков
КУСОЧНО-ПОЛИНОМИАЛЬНАЯ СХЕМА ВЫЧИСЛЕНИЯ ФУНКЦИЙ И ОПРЕДЕЛЁННЫХ ИНТЕГРАЛОВ С ПОВЫШЕННОЙ ТОЧНОСТЬЮ*
Предлагается модификация кусочно-полиномиальной схемы аппроксимации функций с применением к приближённому вычислению определённых интегралов. Отрезок разбивается на подынтервалы, на каждом из которых функция аппроксимируется средним арифметическим полиномов Ньютона для интерполирования вперёд и назад. Аппроксимирующий полином приводится к каноническому виду, первообразная от него применяется для приближённого вычисления определённых интегралов. Число подынтервалов и степень полинома подбираются программно таким образом, чтобы минимизировать абсолютную погрешность аппроксимации подынтегральной функции, что влечет повышенную точность вычисления определённых интегралов. Приводятся сравнительные результаты чис-.
Кусочно-полиномиальная схема; интерполяция по Ньютону; приближенное вычисление определённых интегралов.
* Работа поддержана грантом РФФИ по проекту № 10-07-00178a от 2010 г.
3S
Ya.E. Romm, A.N. Golikov
PIECEWISE-POLYNOMIAL EVALUATION SCHEME OF FUNCTIONS AND DEFINITE INTEGRALS WITH HIGH ACCURACY
The paper proposes a modification of the piecewise polynomial approximation scheme functions with application to approximate computation of definite integrals. The entire segment is divided into subintervals, in each of them function is approximated by the arithmetic average of Newton polynomials to interpolate back and forth. Approximating polynomial is reduced to the canonical form, then primitive is applied for an approximate calculation of definite integrals. The number of subintervals and degree of a polynomial chosen in a such program way as to minimize the absolute error of approximation that allows us to achieve higher accuracy in the approximate calculation of definite integrals. The results of numerical experiments and comparison with other schemes are reduced.
Piecewise-polynomial scheme; Newton interpolation; approximation of definite integrals.
При моделировании нанопроцессов, сейсмических явлений, реакторов типа РБМК, процессов тепломассопереноса и других возникает необходимость приближённого вычисления определённых интегралов с повышенной точностью.
В статье предлагается модификация кусочно-полиномиальной схемы аппроксимации функций и определённых интегралов на базе полинома Ньютона для интерполяции вперёд [1]. Суть модификации заключается в следующем.
Рассматривается действительная функция
где Р = 2к, к = 0,1,2,..., х0 = а, хР = Ь. На каждом подынтервале (2) функция аппроксимируется полиномом
для всех подынтервалов (2) степень п, наименьшую и достаточную, чтобы выполнялось условие
где £ - априори задаваемая граница абсолютной погрешности аппроксимации,
[ = 1Р.
На каждом подынтервале полином (3) преобразуется с приведением подобных к виду
на отрезке [а,Ь] в действительной области определения, который разбивается системой непересекающихся подынтервалов
Р - 2
(3)
где I - номер подынтервала, Рп* (х) и Рп; (х) - полиномы Ньютона для интерполяции вперёд и назад соответственно. Полиномы Рп* (х) и Рп1 (х) имеют одинаковую
(4)
n
(5)
j=0
здесь / - индекс, соответствующий аппроксимируемой функции, г - номер подынтервала. При построении полинома (5) учитываются ограничения памяти и
,
к < к0, (6)
п < п0, (7)
где к0 - априори задаваемая верхняя граница для к из (2), п0 - априори задавае-
п .
Если при некоторых п и к удовлетворено условие (4) на всём множестве
подынтервалов из (2), то коэффициенты а;1] из (5) могут быть сохранены в памя-
, (5)
I = п (1у + 1С),
где I и 1с - время умножения и сложения соответственно. Время дешифрации
У
х - а
номера подынтервала -
кр
+1 будет иметь оценку
г = 0(1),
здесь [а] - целая часть числа а, а Пр - длина подынтервала (2), при этом нумерация подынтервалов начинается с 1 и совпадает с индексом правой границы. Полученное значение г - адрес строки в массиве коэффициентов а/г] (' = 1, п, г = 1, Р).
Ставится задача аппроксимации функции (1) полиномом (3) в виде (5) на
(2) (4), (6), (7) -
нием к приближённому вычислению определённых интегралов.
-
функций на основе среднего арифметического интерполяционных полиномов Ньютона. Для осуществления описанного подхода [2] в полиномах Ньютона
п А у '~*
Р* () = /(Xо ) + X—У0 П (1 ~ к^ (8)
'=1 '* к=0
п А У ' ~1
Р ()= /(хгп ) + Т—П (9 + к), (9)
' = 1 ' * к =0
в которых предварительно выполнены замены переменных
, х ~ хг 0
1 =~и-------, (10)
п
вводятся обозначения
приводящие (8), (9) к виду
* Д' 0 ~ Д'у.
Ь*,. = = - У',п--
Раздел I. Математические методы синтеза систем
п і -1
*
рпі (г) = /(Хі0) + XЬ/П (г - к) ,
(12)
і-1
рпі (г )= / (хіп ) + X Ьіі П ( 9 + к ).
(13)
Далее вычисляются коэффициенты полиномов
і-1
Кі (г )=П (г - к ) = X Лк, / ,
і-1
к =0 і
^~і (г) = П (9 + к) = 2 ^к,і9 .
(14)
(15)
к =0
[3],
и инвариантностью шагов алгоритма относительно степени Я. (г) и Я. (г):
Лі (і-1) Лі 0
Ґ \
\ 1 0 .. 0 0
і-1 - і - к 1 .. 0 0
=П 0 - і - к .. 0 0
к = 0
) 0 0 ... 0 - ^і - к
і - к + 1
здесь 1к = к - корни полиномов (14), (15), к = 0,' ~ 1. Так как коэффициенты йк.
и йк,' не зависят от функции (1), то после вычисления по стандартной подпрограмме они могут быть занесены в память компьютера для дальнейшего применения посредством считывания.
С учётом (14), (15) после приведения подобных [2] полиномы (12), (13) принимают вид
р* (г )= I а/,/,
I =1
п
рш(г ) = X а/и91 ’
(16)
(17)
где
'« п
і 0 = / (Хі 0) , / = X Ь‘Аі , а/і 0 = / (хіп ) , / = X і
а/г 0 / (хг 0) , а/г/ ^ "1^4 , а/ г 0 ./ (хгп ), а/!7 ^
' =1 ' =1
при этом индекс / коэффициентов а/и и ~/;1 соответствует аппроксимируемой
функции, г - номеру подынтервала (2), г =1,2,...,2к.
Далее в полиноме (17) совершается переход к переменной г из (10) при помощи соотношения г ~ д = п , и с использованием бинома Ньютона приводятся
, (17)
1 к =0
п
1 к =0
к =0
к =0
п
~ ()= X Акі/{ > (18)
к=0
а,7 = Х%/(-1)' -кс
1п1 к
I =к
Учитывая (16), (18), окончательно для полинома (3) будем иметь:
П
Рщ = XБк1/{к , (19)
к =0
и аИ/ + Лт;/
Вк;/ =—]~1------- . (20)
(20) , (19)
априори заданном числе проверочных точек на каждом подынтервале из (1) по схеме Горнера
Рп () = ('"(д/ + В (п-1)//)г + В (п-1)//)г + ... + В0 ;/ . (11)
Если в каждой проверочной точке условие (4) выполнено, то полином (19) с
коэффициентами (10) считается полиномом наилучшего приближения в рассмат-
.
При необходимости вычисления функций из стандартного набора, например , (10) -, .
-
приближённому вычислению определённых интегралов [1]. Описанный подход со следующими далее деталями может применяться для приближённого вычисления определённых интегралов.
Рассматривается функция (1) на системе подынтервалов (1). Аддитивность , (4),
Ь р х,
|/ (х)йх - X |рп ,■ (х)«Х . (11)
а ; =! х;-1
В (11) выполняется переход к переменной г из (10); при х = х;-1 получится
г = 0, при х = х1 соответственно г = п, dx = hdt, отсюда
І/ (
х) йх « кР( п +1) і а)
(23)
ґі+1
где Р(п+1);(г) - первообразная Рп1 (г) из (19): р(щ +ц,(г) = XБл/~~1 . Из (11),
]=0 ] + 1
(13)
Ь р
|/ (х)& - XhP(п +1);(п), (14)
а ;=1
где Р( п +Х); (п) будет вычисляться по схеме Горнера:
0
х
п
Pn + 1)i (n) =
Bni f , B(n-1)i f
n + —-------—
wn +1
, B(n-2)i f
n + —------—
n-1
\
, , B0 if
n H----------H-
\
/
1
(25)
Схема (24), (25) суть компьютерно ориентированная схема приближённого вычисления определённых интегралов.
В отличие от известных квадратурных формул перед вычислением определённого интеграла выполняется аппроксимация подынтегральной функции с
,
.
, (25)
аргумента дополнительно снижает погрешность арифметических операций с
,
.
.
базе процессора Intel Core 2 Quad Q6600 2,4 GHz, 4 GB RAM.
В табл. 1 приводится абсолютная погрешность приближённого вычисления определённых интегралов по модифицированной схеме (SIM), абсолютная погрешностью формулы Симпсона (8simp ) и ^модифицированной схемы на базе полинома Ньютона для интерполяции вперёд (S,). Под абсолютной погрешностью
(24) .
Из табл. 1 видно, что предложенная модификация позволяет повысить точность аппроксимации определённых интегралов на величину до двух десятичных порядков по сравнению с немодифицированной схемой, и на величину до пятишести порядков по сравнению с формулой Симпсона.
Описанный подход позволяет минимизировать абсолютную погрешность аппроксимации определённых интегралов за счёт априори заданной точности аппроксимации подынтегральной функции. Важно отметить, что точность формулы Симпсона можно повысить на 3-4 порядка, выбрав в качестве точек, в которых вычисляются значения функции, узлы интерполяции кусочно-полиномиальной схемы, однако это будет являться её модификацией, поскольку сама по себе формула Симпсона не подразумевает выбора узлов по особому правилу, поэтому в табл. 1 приводятся результаты немодифицированной формулы Симпсона.
1
Сравнение точности аппроксимации определённых интегралов при помощи модифицированной и немодифицированной кусочно-полиномиальной схемы
n
n
Интегрируемая функция Абсолютная погрешность Sj Абсолютная погрешность SIM Погрешность формулы Симпсона SSimp
У = sin(x) 8.1315E-0020 0.0000E+0000 4.3239E-0014
1 У = 1 + ' 3.0628E-0018 2.7105E-0020 1.7385E-0014
X У = • t \ 1 + Sin(x) 8.1315E-0020 5.4211E-0020 2.5575E-0014
1 У =( + X +1)2 2.7105E-0019 0.0000E+0000 2.8925E-0015
У = sin3 (х) 1.4094E-0018 4.0657E-0020 6.9065E-0014
, (3) -
номов с центральными разностями и интерполяционных схем, построенных на
, , табл. 1. Был проведён эксперимент со схемами на базе полиномов Гаусса, Стирлинга [4], Стеффенсена [5], Чебышева [4] и Лежандра. При этом абсолютная погрешность аппроксимации функций и определённых интегралов оказалась больше абсолютных погрешностей, приведенных в табл. 1, на 11-12 десятичных порядков. Подробное описание схем и численных экспериментов приводятся в [2].
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Аксайская Л.Н. Разработка и исследование параллельных схем цифровой обработки сигналов на основе минимизации временной сложности вычисления функций: Автореф. дис. ... канд. техн. наук. - Таганрог: Изд-во ТТИ ЮФУ, 2008.
2. Ромм Я.Е., Голиков AM. Распараллеливаемые кусочно-полиномиальные схемы аппрок-
,
точностью / ТГПИ. - Таганрог, 2010. - 139 с. Деп. в ВИНИТИ 27.04.2010, № 230-В2010.
3. . . -
ровки. II // Кибернетика и системный анализ. - Киев, 2007. - № 2. - С. 161-174.
4. Березин КС., Жидков Н.Г. Методы вычислений. - М.: Наука, 1970. - Т. 1. - 464 с.
5. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике (для научных работников и инженеров).
- М.: Наука: Главная редакция физико-математической литературы, 1974. - 832 с.
Статью рекомендовал к опубликованию д.т.н., профессор В.П. Карелин.
Ромм Яков Евсеевич
Таганрогский государственный педагогический институт.
E-mail: [email protected].
347926, г. Таганрог, ул. Инициативная, 48.
Тел: 8634601899.
Кафедра информатики; заведующий кафедрой; д.т.н.; профессор.
Голиков Александр Николаевич E-mail: [email protected].
Тел.: +79286013241.
С^дент.
Romm Y akov Evseevich
Taganrog State Pedagogical Institute.
E-mail: [email protected].
48, Initsiativnaya Street, Taganrog, 347926, Russia.
Phone: +7634601899.
The Department of Information; Head the Department; Dr. of Eng. Sc.; Professor.
Golikov Alexsandr Nikolaevich
E-mail: [email protected].
Phone: +79286013241.
Student.
