Кусочно-полиномиальная аппроксимация функций двух переменных, частных производных и двойных интегралов Текст научной статьи по специальности «Математика»

3. Лихачев В.Я. Техническая диагностика пневмогидравлических систем ЖРД. - М.: Машиностроение, 1983. - 204 с.

4. Воробьев В.И., Грибунин ВТ. Теория и практика вейвлет-преобразования. СПб.: Изд-во ВУС, 1999. - 208 с

5. Новиков Л.В. Спектральный анализ сигналов в базисе вейвлетов // Научное приборостроение. - 2000. - Т. 10, № 3. - С. 57-64.

Статью рекомендовал к опубликованию д.т.н., профессор В.В. Тютиков.

Байдаров Сергей Юрьевич

Федеральное государственное УП ФНПЦ «ПО «Старт» им. М.В. Проценко».

E-mail: [email protected].

442960, ., . , , . 1.

Тел.: 88412582755; факс: 88412651758.

Baydarov Sergey Urievich

Federal State Unitary Enterprise Federal Research and Production Center Production Complex Start named after M.V. Protsenko.

E-mail: [email protected].

1, Mira Prospekt, Zarechny, Penza Region, 442960, Russia.

Phone: +78412582755; Fax: +78412651758.

УДК 681.3.06:681.323(519.6)

A.H. Голиков

-

,

ИНТЕГРАЛОВ*

-

двух действительных переменных на основе интерполяционных полиномов Ньютона от . -.

Ньютона степени минимальной для данного числа подобластей. Аппроксимирующий полином приводится к каноническому виду, после чего применяется для приближённого вычисления частных производных и двойных интегралов по прямоугольной области.

Кусочно-полиномиальная схема; интерполяция по Ньютону; аппроксимация частных ; .

A.N. Golikov

PIECEWISE-POLYNOMIAL APPROXIMATION FUNCTIONS OF TWO VARIABLES, PARTIAL DERIVATIVES AND DOUBLE INTEGRALS

Presents a piecewise polynomial approximation scheme of real functions of two real variables, based on Newton's interpolating polynomials of two variables. The original rectangular domain of the function is split into triangular sub-domains. On each sub-domain is constructed corresponding Newton polynomial of degree minimum for a given number of sub-domains. Approximating polynomial is to the canonical form, and then applies for an approximate calculation of partial derivatives and double integrals over a rectangular area.

Piecewise-polynomial scheme; according to Newton interpolation; approximation of partial; approximate calculation of definite integrals.

* Работа поддержана РФФИ, грант по проекту № 10-07-00178а за 2010 год.

Введение и постановка задачи. В статье излагается кусочно-полиномиальная

схема вычисления действительных функций двух действительных переменных на основе интерполяционного полинома Ньютона с последующим применением для аппроксимации частных производных и двойных интегралов по прямоугольной области [1]. Схема является компьютерно-ориентированной и методологически опирается на подход, представленный в [2-4] для случая действительных функций одной

.

Рассматривается функция

^ = / ( у) (1)

такая, что (х, у, г)е Я, (х, у)е О с Я2, О = {(х, у )| х е[а, Ь\, у е[с, й ]} - область определения. Область О разбивается на подобласти,

а = и аі .

~ =1

(2)

где Рх = 2кх . РУ = 2"У . кх є N . кУ є N

ку

У

а~ ={(х>у)|х є\-хі-і ,хі )>у є [уу -1 ’У])). при і = 1. Рх -1. і = 1. Ру -1.

а~ = {(х,у)| хє [хі-1 ,хі у ує [уу-1 у)). ПРИ і = Рх. і = 1.Ру -1.

а~ = {(х’у)|хє [хі-1 ’хі),ує [у]-1 ’уІ]}. при і = 1.Рх -1. ] = Р .

Каждая подобласть О~ из (2) разбивается диагональю, задаваемой уравнением вида

():у(х)=-^-х - ^-у! + (3)

Нх Нх

ещё на две подобласти О^ и О~ та кие, что

к к

о~ = о~ио~, (4)

где

О~ = {(x, у)| х;-1 ^ х < х;, у^-1 ^ у < у(х) I О~ = {(x, у)| {;-1 ^ х < х;, у(х) ^ у < у> }, при ; = 1, Рх -1, ] = 1, Ру -1,

О~ = {(x, у)| х;-1 ^ х ^ х;, у^-1 ^ у < у(х) }, О~ = {С^ у^ х;-1 ^ х ^ х;, у(х) ^ у < у! },

при ; = Рх, ] = 1, Ру -1,

О~ = {(х у^ х;-1 ^ х < х1, у^-1 ^ у < у(х) }, О~ = {(x, у)| х;-1 ^ х < х;, у(х) ^ у ^ у1 }, при ; = 1, Рх -1, ] = Ру, Рх = 2кх, Ру = 2ку, кх е N, ку е N , у (х) из (3). Дешифра-(4)

к = ]Рх + і + 1. і =

х - а к

+1. і =

у - с к

+1.

(5)

а - Ь

где к =---------. к =

М х Р

(х. у)є а~. при и < N - Г. (х. у)є а~. при и > N - Г. с - ^

Р

[У ] - целая часть числа У.

(4)

двух действительных переменных, который после приведения подобных имеет вид

Р~^(х. у )=£Ха~~.«ху. (6)

при этом требуется. чтобы выполнялось условие:

р~N(х. у )- /(х. у)

<е, (7)

где £ - априори задаваемая граница абсолютной погрешности аппроксимации, / (х, у) из (1), к = 1, РхРу .

Временная сложность вычисления полинома (6) по схеме Горнера для полиномов двух переменных имеет оценку г(1) = N2(г + гс) , где г , гс - время одного

умножения и сложения соответственно.

Излагаемый подход учитывает ограничения памяти и временной сложности при помощи условий вида

к < К , к < К , (8)

х х7 у у 7

N < N , (9)

где Кх, Ку, N - задаются априори из условий конкретной прикладной задачи.

При реализации описываемого построения вычисление коэффициентов полинома (6) начинается со значений N = 1, кх = 0, ку = 0. Если при этих значениях условие (7) выполняется на всех подобластях (4), то работа алгоритма прекращается и найденные при этом коэффициенты считаются коэффициентами а~ .

В противном случае значение N увеличивается до тех пор, пока не будет достигнута требуемая точность, либо пока не будет достигнут предел N. После этого пересчёт производится для значений N = 1, кх = 1, ку = 1, и т.д.

Верификация точности выполняется в проверочных точках, не совпадающих с узлами интерполяции и расположенных с равным шагом вдоль координатных осей. Число проверочных точек задаётся априори.

Если найдена комбинация N , Рх, Ру, такая, что на каждой подобласти (4)

(7), (6)

считаются искомыми и заносятся в память компьютера. В дальнейшем для извлечения коэффициентов из памяти необходимо будет выполнить дешифрацию (5). Степень N по построению минимальна для данных Рх, Ру, этим достигается

снижение временной сложности аппроксимации.

- (6) частных производных и двойных интегралов по прямоугольной области.

Ниже ставится задача построения на изложенной основе распараллеливаемой схемы аппроксимации функции (1) в системе подобластей (2), (4) с последующим применением для приближённого вычисления частных производных и двойных .

-

действительных переменных на основе интерполяционных полиномов Ньютона. Пусть в рамках излагаемого подхода задана система подобластей (2), (4).

На каждой подобласти О~ задаётся система узлов интерполяции вида

а~ = {(. уут ) хи = х - Ш. уут = у] - mg. £ = 0. N. т = 0. N -

(10)

к к ~ где к =-^. g =-^. а і. і. к . кх. ку из (3). На узлах (10) строится полином Ньютона для интерполяции назад и вниз

N т Лт /(х V ) к т-к

Р~,(у)=/<х,,у,)+11 к^-к"),. П (х-х)П(у-^ (11)

Аналогично на подобластях О~ задаются узлы

О~ = {(х!-1^, у,-1,т )| х;-1,е = х-1 + *К уНт = у,-! + т8^ = 0, N, т = 0, N - 4, (12)

в которых строится полином Ньютона для интерполяции вперёд и вверх

N т Лт / (х у ) к т-к

К*(х,у)=/(х-1,0,у,-1,0)+Е £ Ук,/;>кут-п-'-kX,,ГГ(х-х)(у-у/).(13)

т=1 к=0 К'п \ГП 1=0 /=0

Так как узлы (10), (12) нумеруются по удалению от начального узла интерполяции и для обоих полиномов имеют одинаковые индексы, то запись полиномов (12), (13) и дальнейшие их преобразования формально совпадают.

Вводится обозначение

N т к т-к

рЯ (, и )=х х ьтщ(-1 )П(- ]), (14)

т=1 к =0 1=0 ]=0

где

Гр~ (. и), при и < N - ґ.

Р^МНІ, ) , „ € =

. P~N (*. и ) при и ^ N - ґ.

А"'хк.ут-к.1 (х 0. у]0 )

к\(т - к)!

для (х. у)є а~и.

^ /хкут-к (хі-1.0. уі-1.0)

к\(т - к)\

для (х. у )є а~.

к

х - х.

для (х. у )є а~.

и =

к

—. для (х. у)є а~.

у - уі-1.

уі.0 - у

к

для (х. у )є а~. . для (х. у)є а~.

(15)

Для приведения полинома (14) к виду (6) при помощи матричной схемы вычисления коэффициентов полинома по его корням [5] вычисляются коэффициенты

полиномов

Я () = П (ґ - і ) = X . £т-к (и) = П (и - і ) = X <~

и .

і=0

і=0

Так как Я,(). ^-к (и) (1). -

го вычисления коэффициенты і . dm_k і могут быть занесены в память компьютера для последующего считывания при необходимости.

После вычисления коэффициентов получим

к т-к к т-к к т-к

П(ґ - і )П(и - і)= ХХ^А-к./^ = ХХ^-.к.і./^ . (16)

где О ... = Л, Л , ..

^ т, к ,1,, к ,1 т-к,,

(16) (14) -

влечёт

Р^. и) = % £

а~*) Ґ и1 к. і

(17)

g

0

0

=0

і=0

где

т=0 к=0

т=0 к=0 т=0 к=0

т=0 к=0

т=у к=1

где Ь1'т1 из (14), От к,;',у ИЗ (16).

После вычисления коэффициентов (19) в априори заданных проверочных точках, расположенных с равным шагом вдоль координатных осей и не совпадающих с узлами интерполяции, проверяется условие (7). Если во всех проверочных точках неравенство (7) выполняется, то искомый аппроксимирующий полином считается построенным, иначе построение выполняется по описанной выше схеме для другого сочетания N , Рх, Ру, пока не будет достигнута требуемая точность в пределах (8), (9).

Представленная схема является компьютерно-ориентированной для приближённого вычисления функций, в частности, из стандартной библиотеки. В этом случае достаточно занести коэффициенты (18) в память компьютера, и в дальней-

(1) (17) -

ния (17) по схеме Горнера с предварительной дешифрацией (5), определяющей

1 и

используемый массив коэффициентов - у ИЛИ у .

, -(1) . Ниже показано применение подхода для кусочно-полиномиальной аппроксимации .

-

функции двух переменных. Пусть полином (18) построен и выполняется приближённое равенство

где 0 <£< N , 0 < к < N , 0 <1 + к < N .

С учётом замен (15) подстановка (17) в (20) влечёт окончательные выражения для приближённого дифференцирования вида

Продифференцировав (19), считая при этом Р~(*^, и) сложной функцией,

получим

(20)

(21)

где Н, g - шаги интерполяции из (10), (12), 0т*1 =

(- 1)т, при ^, у)е С“и, I при (x, у)е .

В (21) учтено, что т(т -1)...(т - п +1)= , т' . Это позволяет, предвари-

(т - п)!

тельно записав в память члены последовательности 0!, 1!, ... №!, вычислять произведения вида т(т -1)... (т - п +1) за время одного деления, что снижает временную сложность приближённого дифференцирования.

При запомненных предварительно коэффициентах (18) аппроксимация производных сводится к дешифрации (5) и вычислению полиномов (21) по схеме Горнера за время [1] ф)=(/У - к )(N-|)( 2^ + 2^ + 1с), где , гд, 1с - время одного , .

, -схема приближённого вычисления частных производных порядка не выше степени аппроксимирующего полинома (17) на базе интерполяции по Ньютону. Схема обладает параллелизмом, а также инвариантностью относительно размеров области О [1].

Далее излагаемый подход применяется для вычисления двойных интегралов по прямоугольной области.

-

интегралов. Пусть полином (17) построен на системе подобластей (2), (4) и справедливо приближённое равенство (19). Интегрирование (19) с учётом аддитивности интеграла по области интегрирования влечёт

РхРу I

Л / ( у )(1хйу = Лу )dxdy + Лу )йхйу\, (22)

о к= И о~ ]

где рЦ из (14).

Ок~ (2)

Л/(х , у)dxdy = Iй + Iй, (23)

О

в обозначениях

Iі = у)іхіу , Iй = Л р~(*N (х, у )ёх йу . (24)

Перейдём в интеграле Iй из (24) от двойного интеграла к повторному, что возможно [6], если предполагать функцию непрерывной по каждой переменной в области О. С учётом (16), а также замен (15) и следующих из них равенств: dx = hdt, dy = g du , запишем

N N-1

Л(x, у ^-^у = ^ |л | XX 4*!/^ л. (25)

0 0 >=0 7=0

(25)

N [■ N N-> 1 ] м ' п N N-> 1

Лр^(х,у=% иXX-г-:л=% 1ХХ —гай^(-1)+1 л.

О~ 0 1 >'=0 1=0 ] +1 J 0 0 >'=0 1=0 ] + 1

Отсюда с применением бинома Ньютона получим

Я» N N-1 1 1+1

Р~С.*1(х* у )dxdУ = % 1ХХ “77 ^, (26)

^ 0 >=0 1=0 ] + 1 (=0

о

о?

где

=(-1) N17171С+1, при £ = 0,1 +1,

\аг_ . = 0, при £> 1 + 2, 1 = 0, N - >, > = 0, N.

(26)

« N

Л(x, у)dxdУ = ^ (Ев ^ ^ , (27)

0 >'=°

где

в=I £ т+г “*!- А* • (28)

1=0 г=0 у “г А

(28)

ГГ N 1

Л(х, у ^у=^ X

: + .

°=

Рассуждая аналогично в случае интеграла Iй из (24), запишем

ГГ~ N 1

))^1, N(х, у ^у=^ Хт+в

_и >=0 > + 1

(29)

(30)

: +1

О~ >-“

где

N > 1

в = X X 7+1 <1 ^, (31)

1=0 (:=0 У “Т 1

С учётом соотношений (28)-(31) равенство (22) примет вид

г г ^ ^ Л 1

Л/ (x, у )dxdУ “ Н XX ““1

~=1 >'-0 > + 1

в~ г

(32)

где

'У > ^ 1 г -|

в> = С + ви,; = X К,-1 + “~,>-111ач . (33)

^ Г=0 ] + 1

(33) ,

(33)

схеме Горнера за время t (1) = N(ty + tc) .

Схема (32), (34) ориентирована на компьютерное вычисление двойных интегралов по прямоугольной области. Схема по построению инвариантна относительно размеров области и обладает естественным параллелизмом, как показано в [1].

, - -мы приближённого вычисления функций двух переменных, их частных производных и двойных интегралов по прямоугольной области. Схемы инвариантны относительно размера области определения функции, обладают естественным параллелизмом [1]. Изложенный подход может быть использован для аппроксимации функций, производных и интегралов из стандартной библиотеки. За счёт алгоритмического подбора наименьшей степени аппроксимирующего полинома для данного числа подобластей удаётся снизить временную сложность вычислений. Детализированное описание схем и численного эксперимента приводится в [1].

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Голиков А.Н. Кусочно-полиномиальные схемы вычисления функций двух переменных, частных производных и двойных интегралов на основе интерполяционного полинома Ньютона. - Таганрог: Изд-во ТГПИ, 2010. - 150 с. Деп в ВИНИТИ 20.09.2010, № 528-В2010.

О

N

N

N

Г71

N

0

2. Ромм Я.Е. Бесконфликтные и устойчивые методы детерминированной параллельной обработки: дисс. ... докт. техн. наук. - Таганрог: ТРТУ, 1998. - 546 с.; ВНТИ Центр.

- № 05.990.001006.

3. Ромм Я. Е., Фирсова С.А. Минимизация временной сложности вычисления функций с приложением к цифровой обработке сигналов. - Таганрог: Изд-во ТГПИ, 2008. - 125 с.

4. . .

сигналов на основе минимизации временной сложности вычисления функций: автореф. дисс. ... канд. техн. наук. - Таганрог: ТТИ ЮФУ, 2008.

5. . . -

ровки. Ч. II // Кибернетика и системный анализ. - Киев, 2007. - № 2. - С. 161-174.

6. ГусакА.А. Высшая математика в 2-х т. Т. 2. - Минск: ТетраСистемс, 2003. - 448 с.

Статью рекомендовал к опубликованию д.т.н., профессор Л.П. Фельдман. Голиков Александр Николаевич

ГОУ ВПО «Таганрогский государственный педагогический институт».

E-mail: [email protected].

347936, г. Таганрог, ул. Инициативная, 48.

.: 88634601535.

Golikov Alexander Nikolaevich

State Educational Institution of Higher Professional Education «Taganrog State Pedagogical Institute» post-graduate student of chair of computer science.

E-mail: [email protected].

48, Iniciativnaya Street, Taganrog, 347936, Russia.

Phone: +78634601535.

УДК 621.391.2:57.08

ДА. Краснобаев АЛГОРИТМ ПАРАМЕТРИЧЕСКОГО РАСПОЗНАВАНИЯ

-

И ЕГО РЕАЛИЗАЦИЯ В ПРОГРАММНОМ ПАКЕТЕ MATLAB

Рассматривается алгоритм параметрического распознавания реализаций медикобиологических процессов с патологиями. В качестве модели электроэнцефалограмм (ЭЭГ), предназначенной для исследования эффективности методов распознавания, выбраны стационарные эргодические случайные процессы, преобразуемые нелинейными процедурами с целью получения эффективных признаков для распознавания. Приведены блок-схемы алгоритмов обучения и классификации для данного метода, а также результаты эксперимента. Реализация алгоритма проведена в программной среде MATLAB.

Параметрическое распознавание; байесовский классификатор; решающее правило; ковариационные матрицы; электроэнцефалограмма.

D.A. Krasnobayev

ALGORITHM OF PARAMETRICAL RECOGNITION OF MEDICAL AND BIOLOGIC PROCESSES WITH PATHOLOGIES AND ITS REALISATION IN SOFTWARE PACKAGE MATLAB

The algorithm of parametrical recognition of realisations of medical and biologic processes with pathologies is considered. Stationary ergodic casual processes are used as electroencephalogram (EEG) signals, which are transformed by nonlinear procedures for the purpose of reception of effective signs for recognition. The block diagrams teaching and classification algorithms for