CC BY
51
Задача II в соответствии с методом поправки к давлению запишется в виде:
SPP+{ZPÜx +{ZPV1 У = RMTht ^(SPz')'x +(SPz')'y +(SPz')'z ) (19)
Системы разностных уравнений диффузии-конвекции (13-15), а также (19), являющихся наиболее вычислительно трудоемкими для рассматриваемой дискретной модели, предлагается численно решать попеременно-треугольным методом (ПТМ) [8], базирующимся на усовершенствовании адаптивного ПТМ [9], предложенном в работах [10,11] и подтвердившем свою эффективность при параллельном численном решении различных физических задач [12,13].
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Марчук, Г.И. Математическое моделирование в проблеме окружающей среды. -М.: Наука, 1982. - 320 с.
2. Алоян, А.Е. Динамика и кинетика газовых примесей и аэрозолей в атмосфере. Курс лекций. - М.: ИВМ РАН, 2002. - 201 с.
3. Сухинов, А.И., Хачунц, Д.С. Программная реализация двумерной задачи движения воздушной среды // Известия ЮФУ. Техн. науки. - 2013. - № 4. - С. 15-20.
4. Чистяков, А.Е., Хачунц, Д.С. Задача движения многокомпонентной воздушной среды с учетом парообразования и конденсации // Известия ЮФУ. Техн. науки. - 2013. - № 4.- С.87-98.
5. Сухинов, А.И., Хачунц, Д.С., Чистяков, А.Е. Математическая модель распространения примеси в приземном слое атмосферы прибрежной зоны и ее программная реализация // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 2015. - Т. 55. - № 7. - С. 1238-1254.
6. Сухинов, А.И. Двумерные схемы расщепления и некоторые их приложения. Монография. М.: МАКС пресс, 2005. - С. 407.
7. Сухинов, А.И., Чистяков, А.Е., Шишеня, А.В. Оценка погрешности решения уравнения диффузии на основе схем с весами // Математическое моделирование. - 2013. - Т. 25. - № 11. - С. 53-64.
8. Самарский, А.А., Николаев, Е.С. Методы решения сеточных уравнений. М.: Наука, 1978.
9. Коновалов, А.Н. Метод скорейшего спуска с адаптивным попеременно-треугольным переобусловли-вателем // Дифференциальные уравнения. - 2004. - Т. 40. - № 7. - С. 953.
10. Сухинов, А.И., Чистяков, А.Е. Адаптивный модифицированный попеременно-треугольный итерационный метод для решения сеточных уравнений с несамосопряженным оператором // Математическое моделирование. - 2012. - Т. 24.- № 1.- С. 3-20.
11. Сухинов, А.И., Шишеня, А.В. Повышение эффективности попеременно-треугольного метода на основе уточненных спектральных оценок // Математическое моделирование. - 2012. - Т. 24. - № 11.- С. 20-32.
12. Антонов, А.С., Артемьева, И.Л., Бухановский, А.В., Воеводин, В.В., Гергель, В.П., Демкин, В.П., Коньков, К.А., Крукиер, Л.А., Попова, Н.Н., Соколинский, Л.Б., Сухинов, А.И. Проект «Суперкомпьютерное образование»: 2012 год // Вестник Нижегородского университета им. Н.И.Лобачевского. - 2013. - № 11. - С. 12-16.
13. Сухинов, А.И., Чистяков, А.Е., Тимофеева, Е.Ф., Шишеня, А.В. Математическая модель расчета прибрежных волновых процессов // Математическое моделирование. - 2012. - Т. 24. - № 8. - С. 32-44.
УДК 519.6: 681.3
Д. Е. Перелома
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ СРАВНЕНИЕ ТОЧНОСТИ ПРИБЛИЖЕННОГО РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ РАЗНОСТНЫМИ МЕТОДАМИ
Аннотация. Выполнено сравнение точности компьютерной реализации известных разностных методов решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений и итерационного уточнения компьютерного метода варьируемого кусочно-полиномиального приближения решения той же задачи. Последний метод реализован с различными алгоритмами формирования невязки для определения степени интерполяционного полинома и количества подынтервалов на текущем отрезке приближения, выполняется динамическая коррекция начальных значений, при этом метод дает непрерывное и непрерывно дифференцируемое приближение решения. По сравнению с явными методами Рунге-Кутты высшего порядка достигается преимущество в точности приближения на 2-3 десятичных порядка и выше.
Ключевые слова: задача Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений, компьютерная реализация разностных методов, варьируемое кусочно-полиномиальное приближение, сравнение точности приближений.
D.E. Pereloma
AN EXPERIMENTAL COMPARISON OF THE ACCURACY OF APPROXIMATE SOLUTIONS OF DIFFERENTIAL EQUATIONS DIFFERENCE METHOD
Abstract. Comparison of the accuracy of computer realization of the known difference methods for solving the Cauchy problem for ordinary differential equations and iterative refinement method of computing the variable piecewise polynomial approximation of solutions of the same problem. The latter method is implemented with a variety of algorithms to determine the formation of the residual degree of the polynomial interpolation and the number of sub-slots on the current segment approach, perform dynamic correction of the initial values, and the method gives a continuous and continuously differentiable approximation of the solution. Compared with the explicit Runge-Kutta methods, the advantage of higher order accuracy of approximation in 2-3 decimal orders and higher.
Key words: Cauchy problem for ordinary differential equations, computer realization of difference methods, variable piecewise polynomial approximation, comparison of the accuracy of approximation.
В сообщении представлено сравнение разностных и аналитических методов решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений в программной реализации. Сравнение проводится на примере одного уравнения: задача Коши
dy = х - y, y (0) = 1, (1)
а х
имеет аналитическое решение y = X — 1 + 2 e х. Значения решения будут сравниваться с приближениями, выполняемыми различными методами. На основе сравнения устанавливается наиболее точный способ приближения.
Метод Эйлера решения задачи (1) записывается в виде
Уг+1 = У, + h ■f (X, У, X i = 0,1 2 ...,y(X0) = Уо,
где в случае (1)
f (X У) = х — У, хо = ° Уо = 1> h - шаг разностного метода. Программа (Delphi), реализующая метод и сравнение для рассматриваемого случая на промежутке [0, 100] с шагом h = 10 7 (уменьшение шага в программе не повышает точность машинного приближения): program EJLERMAG; {$APPTYPE CONSOLE} uses SysUtils;
var x,x1,y,y1,h: double; k: integer;
function f (x,y: double): double; begin f:=x-y end; begin k:=0;
y := 1; h := 1E-7; x := 0;
while x <= 100 do begin
y := y + h * f(x,y); k := k + 1;
if k = 500000 then begin writeln (x, y-(x+h-1+2*exp(-x-h))) ; k := 0 end; x := x+h; end;
Результат работы программы:
1.03 3.78748700015710E-0008 2.06 2.70431836968442E-0008 3.09 1.44819068577384E-0008 4.12 6.89352197980747E-0009
5. 15 3. 07629428614870E- 0009
6. 18 1. 31791025488603E- 0009
7 . 21 5. 48919891311950E- 0010
8 . 24 2 . 23963804099614E- 0010
9. 27 8 . 99510283966509E- 0011
10 . 30 3 . 56822071889695E- -0011
11 . 33 1 . 40130572076624E- -0011
12 . 36 5 . 45752245478814E- -0012
13 . 39 2 . 11061897126275E- -0012
14 . 42 8 . 11504509423688E- -0013
15 . 45 3 . 10361111810487E- -0013
16 .48 1 . 18151148587042E- -0013
17 . 51 4 . 45182085639928E- -0014
18 . 54 1 . 64555868931160E- -0014
19 . 57 2 . 68188249386014E- -0015
20 . 60 7 . 67615138119737E- -0015
21 6 со 1 .28109328700887E- -0014
22 . 66 7 .24559301445993E- -0014
23 . 69 1 . 96828664478232E- -0013
24 . 72 5 . 92715113101328E- -0013
25 . 75 5 . 52811268983433E- -0013
26 8 7 3 . 50127045412041E- -0012
96 . 82 2 . 10965828140175E- -0011
97 . 85 2 . 10965828140175E- -0011
98 .88 2 . 10965828140175E- -0011
99 . 91 2 . 10965828140175E- -0011
Можно констатировать абсолютную погрешность приближения порядка 10 11. Метод Эйлера-Коши решения задачи (1) записывается в виде:
X+1 = х, + h,
У, +1 = У, + f (X, У, ) К
y = y + (f(X, У , ) + f (x,.+1, y+1)) h = 01
У г +1 У г 2 ' ' ' " "
Программная реализация данного метода с шагом h = 10 7 (уменьшение шага в программе не повышает точность машинного приближения) решения этой же задачи: program EJLERKOCHIMAG; {$APPTYPE CONSOLE} uses SysUtils;
var x,x1,y,y1,h: extended; k: integer;
function f (x,y: extended): extended; begin f:=x-y end; begin k:=0;
y := 1; h := 1E-7; x := 0;
while x <=100 do begin
y1 := y + h * f(x,y); x1 := x + h;
y := y + (f(x,y)+f(x1,y1))/2*h; k := k + 1;
if k = 500000 then begin writeln (x, y-(x+h-1+2*exp(-x-h))) ; k := 0 end;
x := x+h;
end;
readln
end.
Результат работы программы:
1. 03 1. 2594 0924355916E- 0015
2 . 06 9. 59193661997 92 6E- 0016
3. 09 4 . 55148072009415E- 0016
4 . 12 2 . 00577401909818E- 0016
5. 15 2 . 35488711863852E- 0016
6. 18 1. 903859014 8 8455E- 0016
7 . 21 5. 81132364452230E- 0017
8 . 24 7 . 45931094670027E- 0017
9. 27 5. 72458747072346E- 0017
10 . 30 4 . 70977423727703E -0016
11 . 33 1 . 86482773667507E -0016
12 . 36 1 . 77809156287623E -0016
13 . 39 6 .24500451351651E -0017
14 . 42 1 .21430643318376E -0017
15 . 45 8 .67361737988404E -0019
16 .48 4 . 33680868994202E -0017
17 . 51 3 . 34801630863524E -0016
18 . 54 5 .20417042793042E -0016
19 . 57 3 . 71404296206634E -0015
20 . 60 1 . 00787433954252E -0014
21 6 со 1 . 37164585245486E -0014
22 . 66 7 .27976706693667E -0014
23 . 69 1 . 96957034015455E -0013
24 . 72 5 . 92763685358655E -0013
25 . 75 5 . 52806064813005E -0013
26 8 7 3 . 50127565829084E -0012
96 . 82 2 . 10965828140175E -0011
97 . 85 2 . 10965828140175E -0011
98 .88 2 . 10965828140175E -0011
99 . 91 2 . 10965828140175E -0011
Как и для предыдущего метода, можно констатировать абсолютную погрешность приближения порядка 10 11.
Метод Рунге-Кутты четвертого порядка записывается в виде:
К = h • /(х, у, );
h k
к=h • /(х+^ у+у);
h k к, =h • /(х + ^ у );
k4г = h • /(х + h, У, + К);
У +1 = У + 1(к1г + 2k2i + 2k3i + k4i^ 6
i = 0,1,...
Его программная реализация для рассматриваемой задачи с шагом h = 10 5 (уменьшение шага не повышает точность машинного приближения) решения этой же задачи на отрезке [0,512]:
program RUNGE; {$APPTYPE CONSOLE} uses SysUtils;
var x,x1,x2,x3,x4,y,y1,y2,y3,y4,h,k1,k2,k3,k4: extended;
k: integer;
function f (x,y: extended): extended; begin f:=x-y end; begin k:=0;
y := 1 ; h := 1E-5; x := 0;
while x <= 512 do
begin
x1 = x; y1 := y;
k1 = h * f(x1,y1);
x2 = x + h/2; y2 := y+k1/2;
k2 = h * f(x2,y2);
x3 = x + h/2; y3 := y+k2/2;
k3 = h * f(x3,y3);
x4 = x + h; y4 := y+k3;
k4 = h * f(x4,y4);
y := y + 1/6*(k1+2*k2+2*k3+k4); k := k + 1; if k = 5000 then
begin writeln (x, y-(x+h-1+2*exp(-x-h))) ; k := 0 end;
x := x+h;
end;
readln
end.
Результат работы программы:
2.24 5.85469173142172E-0018
4.48 6.50521303491303E-0019 6.72 2.77555756156289E-0017
8 . 96 4. , 11996825544492E- 0017
11. 20 7. , 89299181569447E- 0017
13. 44 1. , 38777878078145E- 0017
15. 68 8. , 67361737988404E- 0018
17 . 92 2. , 60208521396521E- 0017
20. 16 1. , 24900090270330E- 0016
22 . 40 0. , 00000000000000E+0000
24 . 64 1. , 04083408558608E- 0017
26. 88 4. , 66640615037761E- 0016
29. 12 8. 62157567560473E- 0016
31. 36 2. , 67858651925579E- 0014
33. 60 4. 93181884220206E- 0014
35. 84 1. , 02293173931400E- 0013
38 . 08 1. , 01807451358126E- 0013
40. 32 1. , 01755409653847E- 0013
42 . 56 1. , 01748470759943E- 0013
44 . 80 1. , 01748470759943E- 0013
47 . 04 1. 01748470759943E- 0013
49. 28 1. , 01751940206895E- 0013
51. 52 1. , 01748470759943E- 0013
53. 76 1. , 01748470759943E- 0013
56. 00 1. , 01748470759943E- 0013
58 . 24 1. , 01748470759943E- 0013
60. 48 1. , 01748470759943E- 0013
62 . 72 1. , 01748470759943E- 0013
64 . 96 1. , 01745001312 991E- 0013
67 . 20 5. 31311106222176E- 0014
69. 44 5. 31311106222176E- 0014
71. 68 5. 31380495161216E- 0014
73. 92 5. 31380495161216E- 0014
76. 16 5. 31311106222176E- 0014
03 о 40 5. 31311106222176Е- 0014
80. 64 5. 31380495161216Е- 0014
82 . 88 5. 31311106222176Е- 0014
85. 12 5. 31311106222176Е- 0014
о 8 36 5. 31380495161216Е- 0014
со 60 5. 31380495161216Е- 0014
91. 84 5. 31311106222176Е- 0014
94 . 08 5. 31311106222176Е- 0014
96. 32 5. 31380495161216Е- 0014
со 56 5. 31311106222176Е- 0014
100 .80 5 . 31311106222176Е -0014
103 . 04 5 . 31380495161216Е -0014
105 .28 5 . 31380495161216Е -0014
107 . 52 5 . 31311106222176Е -0014
109 .76 5 . 31311106222176Е -0014
112 . 00 5 . 31380495161216Е -0014
114 .24 5 . 31311106222176Е -0014
116 .48 5 . 31311106222176Е -0014
118 . 72 5 . 31380495161216Е -0014
120 . 96 5 . 31380495161216Е -0014
123 .20 5 . 3131110622217 6Е -0014
125 . 44 5 . 31311106222176Е -0014
127 . 68 5 . 31380495161216Е -0014
129 . 92 2 . 89240853490469Е -0013
132 . 16 3 .62904151174348Е -0013
134 .40 3 .62904151174348Е -0013
504 . 00 2 .56628052142105Е -0013
506 .24 2 . 56655807717721Е -0013
508 .48 2 . 56628052142105Е -0013
510 . 72 2 . 56628052142105Е -0013
Можно констатировать абсолютную погрешность приближения порядка 10 13, что на два десятичных порядка точнее двух предыдущих методов.
Ниже приводятся результаты программной реализации метода Батчера [1] с шагом
h = 10 2 (уменьшение шага не повышает точность машинного приближения) решения этой же задачи на отрезке [0, 512], программа не приводится ввиду громоздкости:
10. 30 2. , 60208521396521Е- 0018
20. 60 1. , 73472347597681Е- 0018
30. 90 3. , 46944695195361Е- 0018
41. 20 1. , 73472347597681Е- 0017
51. 50 1. , 73472347597681Е- 0017
61. 80 2. , 08166817117217Е- 0017
72 . 10 5. , 55111512312578Е- 0017
82 . 40 5. , 55111512312578Е- 0017
92 . 70 6. , 24500451351651Е- 0017
103 . 00 5. , 55111512312578Е- 0017
113 . 30 6. , 24500451351651Е- 0017
123 . 60 5. , 55111512312578Е- 0017
133 . 90 1. , 77 63568394 0025Е- 0015
144 .20 1. , 84574577843932Е- 0015
154 . 50 1. , 85962356624714Е- 0015
164 .80 1. , 84574577843932Е- 0015
175 . 10 1. , 87350135405495Е- 0015
185 .40 1. , 85962356624714Е- 0015
195 .70 1. , 84574577843932Е- 0015
206 . 00 1. , 85962356624714Е- 0015
216 . 30 1. , 85962356624714Е- 0015
226 . 60 1. , 87350135405495Е- 0015
236 . 90 1. , 85962356624714Е- 0015
247 . 20 1. , 84574577843932Е- 0015
257 . 50 6. , 93889390390723Е- 0016
267 . 80 6. , 10622663543836Е- 0016
278. 10 6. , 10622663543836Е- 0016
288. 40 6. , 10622663543836Е- 0016
298 . 70 6. , 10622663543836Е- 0016
309. 00 6. , 10622663543836Е- 0016
319. 30 6. , 10622663543836Е- 0016
329. 60 6. , 10622663543836Е- 0016
339. 90 6. , 10622663543836Е- 0016
350. 20 6. , 10622663543836Е- 0016
360. 50 6. , 10622663543836Е- 0016
370. 80 6. , 10622663543836Е- 0016
381. 10 5. , 82867087928207Е- 0016
391. 40 6. , 10622663543836Е- 0016
401. 70 6. , 10622663543836Е- 0016
412 . 00 6. , 10622663543836Е- 0016
422 . 30 6. , 10622 66354 3836Е- 0016
432 . 60 5. , 82867087928207Е- 0016
442 . 90 6. , 10622 66354 3836Е- 0016
453. 20 6. , 10622 66354 3836Е- 0016
463. 50 6. , 10622 66354 3836Е- 0016
473. 80 6. , 10622 66354 3836Е- 0016
484 . 10 5. , 82867087928207Е- 0016
494 . 40 6. , 10622 66354 3836Е- 0016
504 . 70 6. , 10622 66354 3836Е- 0016
Можно констатировать абсолютную погрешность приближения порядка 10 16, что на три десятичных порядка точнее метода Рунге-Кутты и на пять десятичных порядков точнее двух первых методов.
Ниже приводятся результаты программной реализации метода Дормана-Принса [1] с шагом h = 10 2 (уменьшение шага не повышает точность машинного приближения) решения этой же задачи на отрезке [0, 512], программа не приводится ввиду громоздкости:
10. 30 1. 73472347597681Е- 0018
20. 60 6. 93889390390723Е- 0018
30. 90 1. 73472347597681Е- 0018
41. 20 3. 36536354339501Е- 0016
51. 50 3. 40005801291454Е- 0016
61. 80 3. 40005801291454Е- 0016
72 . 10 2 . 08166817117217Е- 0017
82 . 40 2 . 08166817117217Е- 0017
92 . 70 1. 38777878078145Е- 0017
103 . 00 2 . 08166817117217Е -0017
113 . 30 1 .38777878078145Е -0017
123 . 60 2 .08166817117217Е -0017
133 . 90 2 .49800180540660Е -0016
144 .20 2 .49800180540660Е -0016
154 . 50 2 .49800180540660Е -0016
164 .80 2 .49800180540660Е -0016
175 . 10 2 .35922392732846Е -0016
185 .40 2 .49800180540660Е -0016
195 .70 2 .49800180540660Е -0016
206 . 00 2 .49800180540660Е -0016
216 . 30 2 .35922392732846Е -0016
226 . 60 2 .35922392732846Е -0016
236 . 90 2 .49800180540660Е -0016
247 .20 2 .49800180540660Е -0016
257 . 50 5 .55111512312578Е -0016
267 .80 5 .55111512312578Е -0016
278 . 10 5 .55111512312578Е -0016
288 .40 5 .55111512312578Е -0016
298 . 70 5. . 55111512312578Е- 0016
309. 00 5. . 55111512312578Е- 0016
319. 30 5. . 55111512312578Е- 0016
329. 60 5. . 55111512312578Е- 0016
339. 90 5. . 55111512312578Е- 0016
350. 20 5. . 55111512312578Е- 0016
360. 50 5. . 55111512312578Е- 0016
370. 80 5. . 55111512312578Е- 0016
381. 10 5. .27355936696949Е- 0016
391. 40 5. . 55111512312578Е- 0016
401. 70 5. . 55111512312578Е- 0016
412 . 00 5. . 55111512312578Е- 0016
422 . 30 5. . 55111512312578Е- 0016
432 . 60 5. .27355936696949Е- 0016
442 . 90 5. . 55111512312578Е- 0016
453. 20 5. . 55111512312578Е- 0016
463. 50 5. . 55111512312578Е- 0016
473. 80 5. . 55111512312578Е- 0016
484 . 10 5. .27355936696949Е- 0016
494 . 40 5. . 55111512312578Е- 0016
504 . 70 5. . 55111512312578Е- 0016
Можно констатировать абсолютную погрешность приближения порядка 10 16, что на три десятичных порядка точнее метода Рунге-Кутты и на пять десятичных порядков точнее двух первых методов, но в данном случае не выше точности приближения по методу Батчера.
Наконец приведем результаты решения задачи (1) варьируемым кусочно-полиномиальным методом с итерационным уточнением, изложенным в [2]:
х у Родг
0. 000 pod= 0 1. , 00000000000000Е+0000 0. , 00000000000000Е+0000
5. , 120 pod= 10 4 . , 13195204579001Е+0000 0. . 00000000000000Е+0000
10. 240 pod= 20 9 . , 24007142569928Е+0000 0. . 00000000000000Е+0000
15. 360 pod= 30 1. . 43600004268416Е+0001 0. . 00000000000000Е+0000
20. 480 pod= 40 1. . 94800000025508Е+0001 0. . 00000000000000Е+0000
25. 600 pod= 51 2 . . 46000000000152Е+0001 0. . 00000000000000Е+0000
30. 720 pod= 61 2 . . 97200000000001Е+0001 0. . 00000000000000Е+0000
35. 840 pod= 71 3 . . 48400000000000Е+0001 0. . 00000000000000Е+0000
40. 960 pod= 81 3 . . 99600000000000Е+0001 0. . 00000000000000Е+0000
46. 080 pod= 92 4 . . 50800000000000Е+0001 0. . 00000000000000Е+0000
51. 200 pod= 102 5 . . 02000000000000Е+0001 0. . 00000000000000Е+0000
56. , 320 pod= 112 5 . . 53200000000000Е+0001 0. , 00000000000000Е+0000
61. 440 pod= 122 6. , 04400000000000Е+0001 0. . 00000000000000Е+0000
66. 560 pod= 133 6. . 55600000000000Е+0001 0. . 00000000000000Е+0000
71. 680 pod= 143 7 . . 06800000000000Е+0001 0. . 00000000000000Е+0000
76. 800 pod= 153 7 . . 58000000000000Е+0001 0. , 00000000000000Е+0000
81. , 920 pod= 163 8 . . 09200000000000Е+0001 0. . 00000000000000Е+0000
87 . 040 pod= 174 8 . . 60400000000000Е+0001 0. . 00000000000000Е+0000
92 . 160 pod= 184 9 . . 11600000000000Е+0001 0. . 00000000000000Е+0000
476.160 pod=952 4.75160000000000Е+0002 0.00000000000000Е+0000
481.280 pod=962 4.80280000000000Е+0002 0.00000000000000Е+0000
486.400 pod=972 4.85400000000000Е+0002 0.00000000000000Е+0000
491.520 pod=983 4.90520000000000Е+0002 0.00000000000000Е+0000
496.640 pod=993 4.95640000000000Е+0002 0.00000000000000Е+0000
Абсолютная погрешность приводится в четвертом столбце, она равна нулю в формате вывода данных. При более подробной распечатке иногда встречается погрешность порядка 10" 19, что на три десятичных порядка выше точности наиболее точного из приведенных выше методов. Таким образом, наиболее точным оказывается метод из [2].
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Хайрер, Э., Нерсетт, С., Ваннер, Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Нежесткие задачи. - М.: Мир. - 1990. - 512 с.
2. Ромм, Я.Е., Джанунц Г.А. Компьютерный метод варьируемой кусочно-полиномиальной аппроксимации функций и решений обыкновенных дифференциальных уравнений // Кибернетика и системный анализ. -2013. - № 3. - С. 95 - 112.
УДК 519.6: 681.3
И.Ю. Журавлев
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ РАЗНОСТНЫХ РЕШЕНИЙ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННОЙ МАТРИЦЕЙ
Аннотация. Рассматриваются преобразования разностных методов решения задачи Коши для систем линейных дифференциальных уравнений. В результате преобразований разностные методы оказываются формальными аналогами метода простой итерации решения систем линейных алгебраических уравнений. В таком случае к ним применимы аналоги параллельных реализаций метода простой итерации. Наиболее существенно, что в преобразованной форме данные методы допускают возможность компьютерного анализа устойчивости по Ляпунову линейных систем дифференциальных уравнений с постоянной матрицей.
Ключевые слова: линейные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, преобразование разностного метода к виду простой итерации, параллельное решение линейных систем, устойчивость по Ляпунову, компьютерный анализ устойчивости.
THE TRANSFORMATION OF THE LINEAR DIFFERENTIAL EQUATIONS WITH CONSTANT MATRIX SYSTEM'S DIFFERENCE SOLUTIONS
Abstract. The work considers the transformations of different solution methods of the Cauchy problem for the linear differential equations. As a result of the transformation it turns out that the different solution methods are the formal analogue of the fixed point iteration method's system solution of linear algebraic equations. In that case the analogues of the parallel simple integration's method implementation are applicable to them. It is fundamentally that the transformed form of these methods admits the possibility of the linear differential equations with constant matrix system's computer stability analysis by Lyapunov.
Key words: the linear differential equations with constant coefficients, the transformation of different solution methods with simple integration, the parallel solution of linear systems, the stability by Lyapunov, the computer stability analysis.
Пусть рассматривается система обыкновенных дифференциальных уравнений
^ = BY + d (1)
dt
с постоянной матрицей В, n X n и с постоянным вектором d размерности n, для которой на отрезке [ t0, х ] требуется приближенно найти решение задачи Коши с начальными условиями
Y (to ) = Yo .
(2)
Системы с постоянной матрицей играют существенную роль в способах оценки устойчивости решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений общего вида [1 - 6]. В данном случае речь пойдет о приближенном решении (1), (2) на основе пошаговых методов Эйлера, Рунге-Кутта, Адамса и др. Затем эти методы, модифицированные по аналогии с итерационными методами решения СЛАУ, окажется возможным применить для непосредственной оценки устойчивости в смысле Ляпунова решения системы (1), (2) по одному только виду матрицы B из (1). Для приближенного решения системы (1) с начальными данными (2) метод Эйлера с шагом h первоначально записывается в исходной форме
Y+1 = Y + h(BY, + d), i = 0,1, ...,
(3)
где Yo из (2). Из (3)
