CC BY
26
СЕМИНАР 16
ДОКЛАД НА СИМПОЗИУМЕ "НЕДЕЛЯ ГОРНЯКА -2001"
МОСКВА, МГГУ, 29 января - 2 февраля 2001 г.
© Е.И. Рогов, В.Г. Язиков, А.Е. Рогов, 2001
УДК 622.775
Е.И. Рогов, В.Г. Язиков, А.Е. Рогов
СЕТЕВЫЕ АНАЛОГИ ГИДРАВЛИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ФИЛЬТРАЦИИ РАСТВОРА ПРИ ПОДЗЕМНОМ ВЫЩЕЛАЧИВАНИИ МЕТАЛЛОВ
При максимальных значениях частных критериев адаптивности по депрессиям АР; и ЛР, должны соблюдаться условия:
ос ^лр =ЛР2 =... = ЛРдос 1 зс^ЛР/=ЛР2 =... = ЛР^ I
(4)
здесь
3; = 1 1 Ыос и 1 = ^ Ызс .
Введение
Процесс фильтрации раствора в рудовмещающем горизонте при наличии верхнего и нижнего водоупо-ров рассматривается в виде плоскорадиального потока в неограниченном пространстве. Однако в точной постановке задача определения основных параметров фильтрации - вектора скорости потока, распределения потенциального поля напоров, дебита технологических скважин исключительно сложная, особенно для инженерных расчетов. В этой связи авторами предпринята попытка создать сетевой аналог гидравлической модели фильтрации раствора металлов в пористой среде.
2. Установившийся режим фильтрации
Рассмотрим добычной участок ТС ПСВ урана, содержащий:
М,с - закачных скважин и Ыос - откачных скважин.
Состояние ТС ПСВ в стационарном режиме описывается системой уравнений:
^1101 + а12 Q2 ^ ..■al-NQN = ЛР1
а2101 + а2202 + . а2-NQN = ЛР2 (1)
101 + aN-2 Q2 + ..■aN-NQN Ар
а
N -
где а- - гидравлические сопротивления условных дуг (проводов) фильтрации раствора
с R ^
± \.т/
Ы-
Кі - ]
R„
+ С
г - 3
• 10"
V ~
аг з =---------------------
г-3 2,3^ • К,
- 3Мг - 3
(2)
а11 = а 22 = ■■■ = аи - N = 0,
а - 3 = аз-г
(3)
і = 1, N, 3 = 1, N, N = Nзc + Na
Отобразим множество Ыос и N3с на графе сети (рис.
Граф Go гидродинамической системы ТС ПСВ
Если нарушаются условия (4), то граф Go преобразуется в более сложный G1, фрагмент которого показан на рисунке 2.
Фрагмент графа G1 гидродинамической системы ТС ПСВ при нарушении условий (4), когда
АР/ * АР/ * АР3'| АР1 * АР2 * АР3 I
(5)
имеет дополнительное множество дуг между закачны-ми и также между откачными скважинами.
Не трудно показать, что всегда
С° ^ 1 6
Причем Оа = (и, Г) и Ох = (и1, Г)| ( )
имеют по дугам следующие подмножества:
Р\ = Nзc • N0, + Nзc + N0, +1 = '
= Nзc • N0^, + N +1,
\и: | = N с ^ -1) + N0, N -1) + (^ + N0,) +1
(7)
Число дуг графов очень быстро растет с увеличением Ыос и М,с. Например, для Ыос = 30; М,с = 60 имеем N = 90:
и = 1800 + 90 +1 = 1891 |и 1 = 30 • 89 + 60 • 89 + 90 +1 = 8101]
Жос = 200; = 400:
и = 80000 + 600 +1 = 80601
|и| = 600 • 599 + 601 = 3600011
(8)
(9)
Из полученных результатов следует, что система уравнений (1) отображается в общем случае на графе 0=(П1 Г), т.к. число коэффициентов равно:
а
г - з
= N • N - N = N (N-1)
а число дуг и1 очевидно выразится:
|и І = N • N +1.
(11)
Также ясно, что в идеальной максимально адаптивной сети G=(U1 Г) число дуг графа во много раз меньше, чем в разбалансированной сети G=(U1 Г). В общем случае имеем:
N • N +1
N. • N + N +1
(12)
Для рассмотренных примеров будем иметь:
{,= 8101 = 2,1
1891 360001
= 4,5
(13)
80601
Обращаясь к матрице коэффициентов А1 = ||аг._ ■ || уравнений (1), установим для идеального графа
значимые коэффициенты а— Ф 0 в виде новой преобразованной матри-
цы А2 = |\а
і-і
А2 =
1 о4 7 о* .; Т1-^с
Т21 ; Т2-2; ..; Т2-^
Т3-1; Т3-2; ..; Т3-^с
ТNcc -1; ТNcc -2 ;...; ТNc
(14)
В матрице ^2 число строк равно Ызс, а число столбцов Ыос число же коэффициентов:
|а,-1 = Noc • Nзc. (15)
Обозначим дебиты ЗС и ОС в виде для ЗС:
Ql, Q2, .., QNc^ и для ОС:
Ql, Q2, ..., QN„
(16)
\и 1 = N N -1) + Noc + Nзc +1
или
и сформулируем следующую задачу.
Даны значения ДР;., Ар/ , необходимо отыскать дебиты всех Ызс и Ыос. Или обратная задача - даны дебиты всех Ызс и Ыос, необходимо отыскать депрессии и компрессии всех Ызс и Ыос.
В соответствии с графом G=(U1 Г) (рис. 1) имеем расходы по дугам:
Ч1
1 = _!_ (др+др')
Т1-1
—(др2 +др)
41-2 =
41-
а
— (др'+дрл-. )
1-N0,
42-1 =
4 2-2
—(др^ + др)
а2-1
—(др' + др)
а2-2
42-
а
—(др:+дрк.)
2-N0,
4а
а
—К. +дР)
-1
4
Ncc-2
а
(др;., +др)
4а
' сс 11 ОС
а
—Кс +дрА,)
(17)
Ясно, что в (17) анализируется Аос • Азс уравнений. Из уравнений (17) легко получить дебиты всех Азс и Аос в виде сумм рас-ходов по дугам /-/.
Для закачных скважин:
А0С
а = І>1-1,
1=1
N0,
02 = 20^ 42-1 ,
1=1
N0,
03 = Е43-1,
1=1
0Асс = Е 4Асс -1,
1=1
(18)
Аналогично для откачных скважин:
00 =141 -1
1=1
Асс
020 = Е 41 -2 1 =1
Асс
^0 Е 41 -
1 =1
(19)
Совершенно очевидно для идеальной сети G=(U1 Г) будет всегда соблюден закон сохранения массы в виде:
Асс А0С
Ус Е 01 = ^0с Е 01 , (20)
1=1
1=1
где узс - плотность раствора на входе, т/м3; уос - плотность раствора на выходе, т/м3.
Так как приближенно можно принять
Узс ~ У ос ~ Ь ^ то имеем:
Хх ^ас
Ю/ = 1$ , <21>
1=1 1=1
которое будет главным условием адаптивного поведения ТС ПСВ.
Анализ полученных результатов в виде уравнений (17) позволяет сделать некоторые дополнительные выводы.
Рассмотрим структуру гидродинамического сопро-
тивления Ті.,
+ с
я„
Л
• 102
V “с у
аг-1 =-----------------------------------
1 2п • 1,157Км_М<.
(22)
из которой следуют следующие выводы:
- пусть все параметры рудоносной залежи и ТС Кф_ ■, М_ ■, С_ ■, Кс будут постоянными (изоморфная изотропная система среды);
- единственной переменной величиной в этом случае является радиус питания от г-ой закачной до ] -ой откачной скважин.
Обозначим величину
Ь = еп1^^,
1 к
тогда:
ai-1 =
Ъг-1 + Сг -1 d
(24)
где d = 2n ■ 1,157Кф1 _j ■ Mt_j • 10 = const.
Здесь уместно отметить, что величину RKi-j радиуса питания ОС от каждой ЗС можно определить только для конкретных условий проектируемого или эксплуатируемого рудника. Однако, в любом случае параметр R^j, прежде всего, зависит от принятой схемы расположения ОС и ЗС на рудной залежи.
Рассмотрим некоторую обобщенную закономерность:
(25)
А Ь _ 1 )=
для реальных условий ТС ПСВ:
“с = 0,1 * 0,2 м,
_}. = 20 * 1000 м
и исследуем зависимость А(Ьг-у) от указанных параметров “с и “кг-1 (рис. 3).
Вычислим:
min f (b. .) = in-20 = in100 = 4,6
J \г j) 02
max
f (Ъ і- 1 )= in
1000
0,1
= in10000 = 9,2
(26)
Из (26) следует, что при изменении радиуса в
1000 ,
^ = 50 раз! коэффициент Ьу изменяется всего в
два раза. Учитывая (24), можно утверждать, что гидродинамическое сопротивление слабо и нелинейно зависит от радиуса кон-тура питания “к—-, обратно пропорционально зависит от коэффициента фильтрации Кф и мощности рудоносного фильтрующего слоя М. Коэффициент кольматации Сш^, являющийся
технологическим параметром также, видимо изменяется в широких пределах и существенно влияет на гидродинамическое сопротивление фильтрационного объема пласта в призабойной зоне (контур скважины, армированный фильтром).
Так как дебит ОС и ЗС прямо пропорционален величинам депрессий ДР и компрессий Ар на ОС и
ЗС и обратно пропорционален гидравлическим сопротивлениям а— дуг графа между ОС и ЗС, то в соответствии с (26) решающим оказываются параметры Кф и Мц
3. Рассмотрение сетевой модели на конечном интервале времени
Основные расчетные формулы (17) включают проводимость дуг графа:
2,3П • Кф,_,М,_,
-, (27)
Ъ-=7
in-
R
Л
R„
+C
г-1
102
в которой параметр Як. - радиус питания в плоскопараллельном потоке фильтрации имеет различную величину, изменяясь от Я - радиуса ячейки до некоторой максимальной величины Ятах, зависящей от конкретного эксплуатационного участка. Поэтому совершенно очевидно, что дебиты д. (17) будут реализованы в различные интервалы времени ti.j, так как средняя скорость потока обратно пропорциональна радиусу питания Як. и определяется по формуле:
{ т> \
(28)
__ 1 157
VcP = — Кф-(So + S н). in
R.
inRK
V Rc J
Определим на ЭУ величину maxRK, для которой находим
max R-r
t„„„ = ■
V
-, суток,
(29)
где V cp - средняя скорость по дуге maxRк - величины радиуса питания, м.
Если tmax превышает время отработки блока - t6 или участка, то вместо этой величины принимается время tg.
Так как на графах Go и G1 величины Rк— можно выстроить в дискретный ряд:
Ro < R1 < R2 < ... < max RK, (30)
то, используя формулу (29), получим однозначный временной ряд:
To < T < Т2 < ... < max T, (31)
где “0 - радиус ячейки для гексагональной схемы или расстояние между скважинами в ряду для любой рядной сети.
Поскольку каждому периоду временного ряда (31) соответствует конечное множество дуг графов Go и G1:
Uo < U1 < U2 < ... < max U = U1,
(32)
то эти подмножества (32) формируют подграфы:
Оа е Ох е 02 е ... е Ох, (33)
где G1 - полный граф сетевой модели фильтрации раствора при ПСВ (рис. 2).
Для каждого подграфа Оу остаются в силе уравнения (17), которые обеспечивают однозначное решение гидродинамической задачи процесса ПСВ.
4. Уменьшение размерности модели (17), исходя из стохастической
природы процесса фильтрации растворов Величина (27) проводимости Ь- дуг подграфов (33) является случайной, так как коэффициенты фильтрации Кф—, мощности рудовмещающих горизонтов М- и коэффициента скин-эффекта С- (кольматации) являются случайными величинами, распределенными, например, по усеченному нормальному закону. Пусть также величина (27) распределена по усеченному нормальному закону:
F(V j
1
exp
h-j
(Ъi- L -Ъг-1 )
а
в пределах:
Ъг-1 ^ Ъг-1 ^ Ъг-1:
v
где
2^ Кфг-іМг-і
vv
1 (
(34)
(35)
36)
• 102
- 2,3^. Кфг Mг L
Ъ =_________ __________фг-і i-j
i-j _ R
(37)
Ki-j
in-^ + С R
i-J
v
Ъг-1-Ъ i-j
Ъг-1-Ъ i-j
=
6
Ъ г-j =
2
(38)
Формулами (35)* (38) определены основные параметры закона распределения (34).
Используя известное правило трех сигм для нормального закона распределения Ь- (34), можно утверждать, что с вероятностью Рв = 0,95 можно сформировать полный граф G1 сети, если включить в него только дуги, для которых справедливо равенство:
Ъ,._,. = Ъ,._,. + 3а
(39)
Или можно сформировать граф G1 для приближенных расчетов с вероятностью Рв = 0,7, для которого:
г-і
г-і
v
(40)
Минимальной проводимостью на G1 обладают наиболее длинные дуги. Следовательно, множество дуг (30) будет уменьшено в соответствии с (39) и (40) и преобразовано в некоторое новое подмножество
U Uj, отвечающее замкнутому подграфу G*.
Причем ясно, что сформированный вновь подграф G * ^ G1 определит и некоторый конечный интервал времени Т*:
max R
Ki-j
суток,
cP
где max RKг ■ - максимальная длина дуги на графе
G*.
л
л
v
v
i-L
v
v
КОРОТКО ОБ АВТОРАХ
Рогов Е.И. - профессор, доктор технических наук, ИГД им. Кунаева, г. Алматы, Казахстан. Ясиков В.Г. — кандидат геолого-минералогических наук, НАК «Казатомпром».
Рогов А.Е. — кандидат технических наук, ИГД им. Кунаева, г. Алматы, Казахстан.
