РЯДЫ ЭКСПОНЕНТ В НОРМИРОВАННЫХ ПРОСТРАНСТВАХ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1871 Уфимский математический журнал. Том 13. № 3 (2021). С. 27-36.

УДК 517.537+517.547

РЯДЫ ЭКСПОНЕНТ В НОРМИРОВАННЫХ ПРОСТРАНСТВАХ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

P.A. БАШМАКОВ, К.П. ИСАЕВ, A.A. МАХОТА

Аннотация. Хорошо известна классическая теорема А.Ф. Леонтьева о представлении функций аналитических в выпуклой области D и непрерывных вплоть до границы рядами вида fkeAfc\ сходящимися в топологии пространства H(D), т.е. равномерно на компактных подмножествах из D.

В работе доказана возможность представления функций из

MD) = j f е H (D) f| С (D) : II/II := sup |/(z)||

рядами экспонент, сходящимися в более сильной топологии: существует такое целое число s > 0, что:

1) для любой ограниченной выпуклой области D найдется система экспонент еХкz, к е N такая, что каждая функция f е H(£)П С(s)(D) представляется в виде ряда по этой системе, сходящегося в норме пространства Ао (D)\

2) для любой ограниченной выпуклой области .D найдется система экспонент еХкz, к е N такая, что каждая функция f е Ao(D) представляется в виде ряда по этой системе, сходящегося в норме

II/1 =sup |/(z)l(d(z))',

zeD

где d(z) — расстояние от точки z до границы области Число s связано с существованием целых функций с максимально точной асимптотической оценкой.

В частных случаях, когда D — многоугольник или область с гладкой границей и кривизной границы, отделенной от нуля, можно считать s = 4.

Ключевые слова: аналитические функции, целые функции, преобразование Фурье -Лапласа, интерполяция, ряды экспонент.

Mathematics Subject Classification: 30В50, 30D20

1. Введение

Пусть D — ограниченная выпуклая область комплексной плоскости. В работе рассматривается задача о представлении функций в пространстве

Л (D) = j / е H (D) р| С (D) : II/ II := sup |/(z)||

рядами экспонент

те

/ (*) = >; ЛßAfc ', * е D, / G Ao(D).

к=1

R.A. Bashmakov, K.P. Isaev, A.A. Makhota, Exponential series in normed spaces of analytic

functions.

© Башмаков P.A., Исаев К.П., Maxota A.A. 2021.

Работа выполнена в рамках реализации Программы развития Научно-образовательного математического центра Приволжского федерального округа (соглашение № 075-02-2021-1393). Поступила 8 июня 2021 г.

Обозначение A0(D) в контексте данной работы удобнее, чем традиционное A(D), поскольку будет рассматриваться параметризованное семейство нормированных пространств An(D), n G Z. Возможность такого представления следует из классической теоремы А.Ф. Леонтьева (см, [1, Теорема 5,3,2]), но ряды в этой теореме сходятся в топологии пространства H(D), то есть равномерно на компактах из D. Мы намерены доказать возможность представления функций из A0(D) рядами экспонент, сходящимися к своей сумме в существенно более сильной топологии, чем топология равномерной сходимости на компактах, но несколько более слабой, чем нормированная топология A0(D) (см, теорема 3,2), Будут также получены формулы для коэффициентов ряда. Примеров нормированных пространств, в которых возможны разложения в ряды экспонент, сходящихся в норме пространства, то есть в которых существует базис из экспонент, известно немного. Это пространство L2 на отрезке, пространство Соболева на отрезке ([2]) и пространства Смирнова и Бергмана на выпуклых многоугольниках ([3], [4]), В работах [5] и [6] доказано, что в пространствах Смирнова и Бергмана на выпуклых областях с гладкой границей экспоненциальных базисов не существует.

Основным в данной работе является следующее утверждение. Существует такое целое число s > 0, что:

1) для любой ограниченной выпуклой облает и D найдется система экспонент eXk z, к g N такая, что каждая функция f G H (D) P| С (s\D) представляется в виде ряда по этой системе, сходящегося в норме пространства A0(D)-,

2) для любой ограниченной выпуклой области D найдется система экспонент еХкz, к G N такая, что каждая функция f G A0(D) представляется в виде ряда по этой системе, сходящегося в норме

ii/il = sup If (z )|(ф))',

zeD

где d(z) — расстояние от точки z до границы области D. Число s связано с существованием целых функций с максимально точной асимптотической оценкой,

В частных случаях, когда D — многоугольник или область с гладкой границей и кривизной границы, отделенной от нуля, можно считать s = 4,

2. Преобразования Фурье - Лапласа Введем семейство нормированных пространств

An(D)={ f G H (D) П C(n\D): If || := max sup |/(fc)(z)| < rc) , n G N.

[ 1 1 k=0,...,nzeD J

Очевидно, имеют место непрерывные вложения Ап с An-\, n G N, и дифференциальный оператор

Х>п : f ^ f(n)

непрерывно действует из Ап па А0.

Еще два вспомогательных семейства нормированных пространств целых функций с непрерывным параметром a G R определим следующим образом:

Va(D) = {F G H(C) : ||F|| := sup |F(А)|е-Ял(A)-aln(|A|+1) < rc l лес

Va{D) = ( F G H (C) : ||F || := sup |F (А)|е-Ял (л)-а ln(|^|+1)+2ln+ MW+1) < rc) , l лес j

где

Hd (A) = supRe Az

zeD

— опорная функция области D и ln+ a = max(ln a, 0), Очевидно, имеют место непрерывные вложения Va С Va С Vfi при ¡3 > а.

,

Наконец, для а > 0 положим

Ba(D) = { /G H (D) : ||/|| = sup | f(z)Kd(z))a < rcj ,

где через d(z) обозначено расстояние от точки z до границы D:

d(z) = inf |z — w|, z G D.

w/D

Лемма 2.1. 1, Пусть S — линейный непрерывный функционал на An(D) и S(X) = S(еАг) — его преобразование Фурье - Лапласа. Тогда, S(X) — целая функция, удовлетворяющая оценке

|S(А)| < ||S|U*ен°(х)+пln(|A|+1), A G C,

то есть S(\) G Vn и

^ ||S|k < ||S|U*.

2, Если, F (A) G Vn-1, то F (А) = S(X), A G C, для, некоторого непрерывного линейного функционала S = Sp на пространстве An(D). При этом

||S|k <с||F!Рп_1.

Постоянная С = С(D,n) не зависит от функции F.

Доказательство. 1, То, что преобразование Фурье - Лапласа — целая функция и имеет место формула

d

—S(X) = S(zeXz), A G C, dX

- факт, хорошо известный и в данном случае легко доказуемый. Оценка тоже просто следует из определения нормы функционала:

|S( А)| < ||S|| ■ ||еXz|k(D) = ||S|| sup |A|fcsupeReA*

k=0,...,n zeD

< ||S||e Hd(x)+nln(|A|+1), A G C. 2a, Сначала рассмотрим случай n = 0. Пусть F G P-1 и

7(0 = ±CGC\Д

fc=0 s

- ее преобразование Бореля, Как известно, в полуплоскости П( <) = {Re (e> hp( <)}, где ho ( <) = г-1Не> (гег1р), выполняется равенство

оо

7(0 = / F (A) e-<xd\, 0

где интеграл берется по лучу { А = г e, г > 0}, Следовательно, для ( G П( <) выполняется неравенство

оо

|7(С)|< sup |F( А)|е-Яд(А)+1п(|л|+1)+2ln+ ln(|A|+1^ ( 1 +dr,

xeC J (г + 1) ln (г + 1)

0

значит,

17(С)|<к||р_1, С G П( <). Отсюда, учитывая, что C \D = (J П(<), получим ограниченность функции 7:

|7(ОКИ*1|р_1, С G C \ D. (1)

Возьмем произвольную функцию f € А0(И), Не уменьшая общности будем считать, что 0 € И, Возьмем произвольное число £ € (1; 2] и замкнутый жорданов контур Ct, охватывающий область И и лежащий в области Ш = {Ъг : г € И}, Функция /(г) равномерно непрерывна на компакте И, значит функция

(1; 2)

</,7>:=ИшВ(*), (2)

причем из (1) следует, что

I </,7> Н/1кНр. (3)

Таким образом, формула

5(/)=</,7 >, / €Ао,

определяет линейный непрерывный функционал на А0, причем,

Н51к < ®Н^.

Кроме того, по формуле Бореля

5 ^ = йз А«6 л ^ = (т) = ^(А)-

Сг

7( )

непрерывна на С \ И и функционал 5 = Яр определяется формулой

^(^ = 2й / 7(0/(0^С, / € Ао.

дО

2Ь. Перейдем к случаю произвольного натурального и. Несложно проверить, что линейный оператор

Ьп(Р)(А):=А-п(^(А) - £ , А € С,

V к=0 ' /

непрерывно действует из 7^1 в 'Р-\. Пусть ^ € Тп-\. Из доказанного в п. 2а следует, что

Р'п Ьп(Р) Бп для некоторого 5п € АО- Тогда формула

п-1

5(/) = 5п(^п/) + (к)(0)/(к)(0), f € Ап, к=0

определяет линейный непрерывный функционал на Ап, причем

п_1

ия 1к = Шк f 1к + Е и ^и-ИР 1к-1

к=0

игпИр-1 / и + £ и ^нк и, к=0

(Миьлиъ-f щ0 + ]Т и^и) кк V Ж к=0 '

<

где через ||8(к"> и обозначена норма функционала Р ^ Р(0) в пространстве Тп-1.

Равенство 5 = Р проверяется непосредственной подстановкой, □

Следствие 2.1. Любая функция / € Ап(Б) является, преобразованием Фурье - Лапласа некоторого функционала Я на пространстве гРп_1-

Доказательство. Для п = 0 форм а </, 7 >, определенная в (2), билинейна на А0 х и при фиксированной f является линейным функционалом 5/ на Р-1. Из оценки (3) следует непрерывность этого функционала. Равенство Я/ = f следует из формулы Коши,

В случае произвольного п доказательство также вытекает из п. 2Ь, □

3. Интерполяция в пространствах та

Свойства систем экспонент е Хкг, к € N традиционно описываются характеристической целой функцией Ь(Х) с множеством нулей Хк, к € N. В данной статье мы будем пользоваться результатами работы [7]. В частности, из теоремы 1 в этой работе легко вытекает следующая теорема,

А

ценной выпуклой области Б найдется, целая, функция /(Х), обладающая свойствами:

1) множество нулей Хк, к € М, разделено в том смысле, что для, некоторого 5 € (0; 1) круги, В& (Хк) = В (Хк, $(|Х| + 1)-1) попарно не пересекаются;

2) выполняются соотношения,

11п |/( Х)| - ни(Х)| < а 1п(|Х| + 1) +с, х € и В&(Хк),

к&Ч

11п |/'(Хк)| - Нв(Хк)| < А 1п(|Х*| + 1) + С', к € М,

где С и С' — константы, зависящие от области Б.

Из этой теоремы выведем факт существования двух целых функций Ь±, которые мы используем как инструмент построения систем экспонент.

Теорема 3.1. Существуют универсальные постоянные Ь > 0 и, д € (1;2] такие, что для, любой ограниченной выпуклой области Б найдутся целые функции Ь+(Х) и Ь_(Х), обладающие свойствами:

1) множества нулей Л+ и л_, каждой из этих функций разделены, в том смысле, что для, некоторого 8 € (0; 1) круги В&(Х) = В(Х, $(|Х| + 1|)-1), Х € Л+ (Х € Л_), попарно не пересекаются;

2) для, функции Ь+ выполняются соотношения,

Нв(Х) + ?1п(|Х| + 1) < 1п ^^КНп(Х) + Ып(|Х| + 1) +С, Х € и ВбН,

1п к(Х)| > Нв(Х) + ?1п(|Х| + 1), Х € Л+;

п-1

3) для функции выполняются соотношения

Нд(Л) - Ып(|Л| + 1) + С < 1п |£_(Л)| < Нд(Л) - ?1п(|Л| + 1), л е у вйн

иел_

1п |Р_( Л)| >Нд(Л) - Ып(|Л| + 1), Л е Л-.

Возьмем многочлен Р(Л) степени [А] + 2 так, чтобы множество нулей функции Ь+ = /Р было разделенным. Требуемые оценки для Ь+ следуют из оценок в теореме А тривиальным образом для Ь = [А] + 2 + А, д = [А] + 2 — А, Пусть Ж = [А] + 2 и

N

д(Л) = П(Л -Л*), к=1

где {Лк, к = 1, 2,..., N}, — первые N нулей функции / из теоремы А, упорядоченных по возрастанию модулей. Тогда функция Ь- = ^ удовлетворяет требуемым оценкам, □

Лемма 3.1. Для, любой функции Р е Ра, а < Ч, ее ряд Лагранжа по функции Ь+ равномерно на, компактах сходится к самой функции Р, более того, при а < д - 1 этот ряд сходится в норме пространства Рь.

Доказательство. Из разделенное™ множества нулей функции Ь+ следует существова-

оо

пне системы кривых Гт, те пересекающихся с множеством у В^ (Л*) и удовлетворяющих

к=1

оценке

~ Ы I , т —> оо.

шт |г| ^ то, |Гт| = О ( шт |г| 1 ,

-2£Гт у

Из нижних оценок Ь+ в теореме 3,1 для любой функции Р а < д, имеем

Р( )

2т j (г - Л)£+(г)

7т

И

О ( 1п ( шт |г| + 1 ) ) = о(1), т ^ то.

Значит ряд Лагранжа

Р (Л) = £р (Л*)

Ь+(Л)

к=1

( Л -Лк )Ь'+(Лк)

Л е с,

равномерно на компактах сходится.

Из верхних оценок на |Р+| в теореме 3.1 и из липшицевости функции Нд (Л) +Ып(|Л| +1)

к

Ь+ (Л)

тем самым,

( Л -Лк )Р+(Лк)

Ь+(Л)

1

к е Н,

(4)

£ р (Лк)

к>N

( Л -Лк )Р+ (Лк)

< Const • V 1Р ( Лк )1

- ош* Лк)Г

к>N

Поскольку Лк — нули целой функции экспоненциального типа, то для Р е Ра, а < д - 1

£ р (Лк)

МЛ)

к>N

( Л - Лк)Ь'+(Лк)

<

Const • £

(|Лк | + 1)а-" к>N 1п2(1Лк I + 1)

->•0, N —у оо.

□

1

Лемма 3.2. Для любой функции Р е Р«, а < — Ь, ее ряд Лагранжа по функции Ь_ равномерно на компактах сходится к самой функции Б, более того, при а < —Ь — 1 этот ряд сходится в норме пространства Т_я.

Доказательство. Из разделенное™ множества нулей функции Ь_ и нижних оценок на \Р_\, имеем

1

Р (х)йх

2жг] (г — Х)Ь_(г)

1т

О

( 1п 2 ( шт Ы + 1

о(1), т ^ ж.

Значит ряд Лагранжа

Р (Х) = £р (Хк)

Ь-(Х)

к=1

( А — А;, )Ь'-(Хк )

Хе С,

равномерно на компактах сходится.

Из верхних оценок на \Р_\ в теореме 3,1 и из липшицевости функции (Х)+Ып(|Х| + 1) получим равномерную по к оценку

МХ)

тем самым,

( Х — Хк )Ь_(Хк)

Ь_(Х)

1

кеМ,

(5)

£ р (Хк)

к>М

( Х — Хк )Ь_(Хк)

V-

< Const • V 1Р ( Хк )1

к>И

Поскольку Хк — нули целой функции экспоненциального типа, то для Р а < — Ь — 1

МХ)_

(Хк)

□

£ р (Хк)

к>И

( Х — Хк )Ь'+(Хк)

-СошЛ- £ (Х\ + .1)0+ ^ 0, N ^«Х

к>И

1п2 (\ Хк \ + 1)

Положим ^ = [Ь] + 2=2([А]+2). По следствию к лемме 2,1 любая функция из пространства А3(Б) является преобразованием Фурье -Лапласа некоторого функционала па пространстве Т3В_ 1, По непрерывной вложенности семейства пространств Та каждая функция $ е А3 (Б) является преобразованием Фурье - Лапласа некоторого функционала па пространстве Ть-

Теорема 3.2. Любая, функция f е А3 представляется, в виде ряда,

.в

оо

/(г) = ¿2

к=1

Хк г

геБ,

сходящегося, в равномерной норме по Б. Коэффициенты, могут быть вычислены по формулам

Ь+(Х)

= 5

О

,

к е М,

( Х — Хк )Р+ (Хк),

где Б = — «а пространстве Ть, порожденный функцией /.

Доказательство. Возьмем произвольную точку г е И. Функция еХг, Х е С, принадлежит всем пространствам 'Ра, а > 0, и по лемме 3,1 ряд Лагранжа

к=1

Ь+(Х)

( Х — Хк )Ь'+(Хк)

Х С,

ч

сходится в пространстве Следовательно, имеет место поточечное равенство

/(*) = « (е)

о /

£ е (

*=1 ^

Х+(Л)

=Е

к=\

Л е

,( Л — Л*)Х'+(Л*),

Докажем равномерную на И сходимость этого ряда. Из оценки (4) имеем

Х+ (Л)

Значит,

IЛI < В«, II

( Л — Л*)Х+(Л*) Х+(Л)

1

й ^ - тх+сЛ^УТ

к е N.

Лк^

( Л — Л*)Х+(Л*)

енв ^

< Const ■ > т.

^ Х+ (Л*)

Отсюда, в силу нижних оценок на производные и того, что д > 1

Х+(Л)

( Л -Л* )Х+(Л*)

<

Const • £

1

(Л I + 1У

->• 0, N ->• оо.

□

По следствию леммы 2,1 любая функция из Д является преобразованием Фурье - Лапласа некоторого функционала 5 = на Т-1. По непрерывной вложенности пространств функционал действует и в пространствах для д < —1,

Теорема 3.3. Любая функция / € Д представляется, в виде ряда,

о

/(*) = £ Де^, г€И, *=1

сходящегося, в пространства ДДИ), где 5 = [Ь]+2. Коэффициенты, могут быть вычислены по формулам,:

л = 5( (Л — л-(Л*0 ■ *

где 5 = — функционал на, пространстве порожденный функцией /.

Доказательство. Возьмем произвольную точку г € И, Функция еЛг, Л € С, при г € И принадлежит всем пространствам и по лемме 3,1 ряд Лагранжа

А.г

*=1

Х-(Л)

( Л — Л* )Х_(Л*)

Л С,

сходится в пространстве Следовательно, имеет место поточечное равенство

/(*) = «(еЛг)

о /•

£ е

*=1 ^

Х_(Л)

=Е

*=1

ДеЛ*г.

,( Л — Л*)Х_(Л*),

Докажем сходимость этого ряда в норме пространства ДДИ), Из оценки (5) имеем

Х-(Л)

IЛI < 11«, II

Следовательно,

Е'

( Л — Л* )Х_(Л*) Х-(Л)

1

Р_. <Сопа'Шл;)Т ■

к е N.

( Л — Л* )Х- (Л*)

<

Const ■ £ —

оЛь.г II

е к Нбя

в.,

Х-(Л*) •

Для оценки норм экспонент в пространстве В3 (И) воспользуемся неравенством Но(Х) — Ее Хг = вир Ее Х(( — г) > вир Ее Х(( — г) = ^г)\Х\,

СеО \С_г\<й(г)

где г е И Х е С <^(г) — расстояние от точки г е И до границы И. Отсюда для

\ Х\

IIеЛг||в = еНо(л)е8иР2еЛ(_Ф0\*+1пФ)) < ^~у еНо(х)_31п\л\.

Отсюда, в силу нижних оценок на производные и того, что Ь — 8 = Ь — ([6] + 2) = — д < — 1

k>N

Хк z L- (Л) ( Л — Лк )L'_ (Лк)

< Const • У^ 77-—-:--> 0, N —У Ж.

^ (1Лк | + 1)9

k>N 4 '

□

В заключении заметим, что из теорем 3,2 и 3,3 следует следующее утверждение.

Теорема 3.4. Если для, опорной функции Нп(Х) ограниченной выпуклой области И существует целая, функция Ь, удовлетворяющая условиям

1) множество нулей Хк, к е N разделено в том смысле, что для, некоторого 5 е (0; 1) круги, В& (Хк) = В (Хк, $(\Х\ + 1)_1) попарно не пересекаются;

2) выполняются соотношения,

те

\ 1п \Ь( Х)\ — НП(Х)\ < А 1п(\Х\ + 1) +С, Х е У В&(Хк),

к=1

| ln |L( )| — HD(Лк)| < А 1п(Л| + 1) + С', к e N, и s = 2([А] + 2), то

1. Существует си,стем,а, экспонент еXkz, к e N такая, что любая, функция f e As представляется, в виде ряда,

те

f(z) = £ fkeXkz, zeD, k=1

сходящегося, в равномерной норме по D.

2. Существует си,стем,а, экспонент еXkZ, к e N 'такая, что любая, фу нкция f e А0 представляется, в виде ряда,

те

Xk z

М = £ heХк z, zeD, к=1

сходящегося, по норме

= sup | f(z)l(d(z)y

zeD

В работе [3] показано, что для ограниченных выпуклых многоугольников существуют целые функции Ь с константой А = 0, В работе [8] для областей И, граница которых

Ь

А = 1, Таким образом, для этих классов областей в теоремах 3,2-3,4 можно считать 8 = 4.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. А.Ф. Леонтьев. Ряды, экспонент. М.: Наука, 1976.

2. D.L. Russell. On exponential bases for the Sobolev spaces over an interval // J. Math.Anal. Appl. 87:2, 528-550 (1982).

3. Б.Я. Левин, Ю.И. Любарский. Интерполяция целым,и функциями специальных классов и связанные с нею разложения в ряды, экспонент // Изв. АН СССР. Сер. мат. 39:3, 657-702 (1975).

4. К.П. Исаев. Базисы, Рисса из экспонент в пространствах Бергмана на выпуклых многоугольниках II Уфимск. матем. журн. 2:1, 71-86 (2010).

5. В.И. Луценко. Безусловны,е базисы из экспонент в пространствах Смирнова // Диссертация на соискание ученой степени кандидата физ.-мат. наук. Институт математики с ВЦ УНЦ РАН. 1992.

6. К.П. Исаев, Р.С. Юлмухаметов. Об отсутствии безусловных базисов из экспонент в пространствах Бергмана на областях, не являющихся многоугольниками // Изв. РАН. Сер. матем. 71:6, 69-90 (2007).

7. К.P. Isaev. On entire functions with given asymptotic behavior // Пробл. анал. Issues Anal., 7(25):2, 12-30 (2018).

8. Yu.I. Lvubarskii. Exponential series in Smirnov spaces and interpolation by entire functions of special classes // Math. USSR-Izv., 32:3, 563-586 (1989).

Рустэм Абдрауфович Башмаков, Башкирский государственный университет, ул. 3. Ва. in. in. 32, 450074, г. Уфа, Россия E-mail: bashmakov_rustem@mail.ru

Константин Петрович Исаев, Институт математики с ВЦ УФ! III РАН, ул. Чернышевского, 112, 450008, г. Уфа, Россия E-mail: orbit81@list.ru

Алла Александровна Махота, Башкирский государственный университет, ул. 3. Ва. in. in. 32, 450074, г. Уфа, Россия E-mail: allarum@mail.ru