CC BY
27
ISSN 2074-1863 Уфимский математический журнал. Том 2. № 1 (2010). С. 71-86.
УДК 517.54
БАЗИСЫ РИССА ИЗ ЭКСПОНЕНТ В ПРОСТРАНСТВАХ БЕРГМАНА НА ВЫПУКЛЫХ МНОГОУГОЛЬНИКАХ
К.П. ИСАЕВ
Аннотация. В работе рассмотрена проблема существования базисов Рисса из экспонент в пространствах Бергмана на выпуклых ограниченных многоугольниках. Базисы построены.
Ключевые слова: ряды экспонент, базисы Рисса, пространство Бергмана.
1. Введение
Пусть О — ограниченная выпуклая область на комплексной плоскости. Через В2(О) обозначим пространство Бергмана, состоящее из функций, аналитических в О и интегрируемых с квадратом по плоской мере Лебега В2(О) = {/ € Н(О) : / |/(г)|2 ^т(г) < то}.
Б
Оно является гильбертовым пространством со скалярным произведением
(/,#) = I/№(г) ^т(г) (см. I1]).
Б
Семейство {кк, к = 1, 2,...} называется базисом Рисса в гильбертовом пространстве Н, если:
1) семейство {кк, к = 1, 2,...} полно в пространстве Н;
2) существуют положительные постоянные т, М такие, что для любой конечной последовательности комплексных чисел {ак} справедлива двусторонняя оценка
т ^ |ак |2|| кк |2 <|| ^ ак кк ||2 < М ^ |ак |2\\кк ||2. (1)
к к к
Мы здесь придерживаемся определения из работы [2].
В работе [6] показано, что если граница выпуклой области О в некоторой своей точке имеет отличную от нуля кривизну, то в пространстве Бергмана В2(О) не может существовать базиса Рисса из экспонент {еЛк*, к = 1, 2,...}. Таким образом, базисы Рисса из экспонент возможны лишь в тех пространствах В2(О), где О — область, кривизна границы которой в каждой точке равна нулю или не существует.
В данной работе построены базисы Рисса из экспонент в пространстве Бергмана В2(О), когда О — выпуклый многоугольник.
Основным инструментом исследований является преобразование Лапласа. Система экспонент {еЛ*, Л € С} полна в пространстве В2(О) (см. [1]). Это обстоятельство позволяет описать сопряженное пространство В; (О) в терминах преобразований Лапласа. Каждому функционалу Б € В£(О) поставим в соответствие функцию
£(Л) = Б*(еЛ*), Л € С,
K.P. Isaev, Riesz bases of exponents in Bergman spaces on convex polygons. © Исаев К.П. 2010.
Поступила 1 февраля 2Q1Q г.
Работа поддержана грантом Президента РФ (МК-2532.2009.1).
ТІ
которая и называется преобразованием Лапласа функционала Б. В работе [6] показано, что отображение Ь : Б I—> Б устанавливает изоморфизм пространства В;(Д) с гильбертовым пространством целых функций В2(Д) с нормой
оэ 2п
где Л,(^) = шах^ед Неге * Л(^) = Ь!(ф) + / к (0) й 0, К (А) = / |еЛг |2 йу (г) = ||е
о в
2. Свойства целых функций класса В2(О)
Лг ||2
Обозначим через щ, ^ = 1, п, вершины многоугольника Д Будем считать, что вершины пронумерованы против часовой стрелки. Через / обозначим сторону, соединяющую щ и щ+ь Пусть Е [0, 2п), = 1,п, — угол между нормалью к стороне / и положительной
полуосью абсцисс, dj• — длина стороны /.
Для многоугольников А(^) — неубывающая кусочно-постоянная функция со скачками в точках 0/. Величина скачка равна длине соответствующей стороны dj•. Поэтому норма (2) принимает вид:
1 ^Иі?2(Д) 2_^ ^ у к(ге^) ^ (3)
^=1 0
В следующей лемме приводится асимптотика функции Бергмана К (А).
Лемма 1. Пусть О — ограниченная выпуклая область. Для <р Е [0; 2п] и і > 0 через Б (і, <^) обозначим площадь пересечения области О с полосой
(г : к(^) — і < Не ге*^ < к(<^)}.
Тогда
е-2ещ^гБ(1 ,^) < К(гег^) < 4е2^)гБ(1 ,р).
Доказательство.
Пусть г(^) — одна из точек на границе области О такая, что к(^) = Не г(<^)е*^. С помощью отображения г ^ т = (г — г(^))ег^ преобразуем область О в область О', расположенную в левой полуплоскости. Тогда 0 Е дО. После замены переменных в интеграле функция К(гег^) представляется в виде
К(ге^) = е2^)г / е2гДето ^ш(ш).
Зв'
Таким образом, требуется доказать соотношение
е-2Б (1) < ^ е2гЯ'» <іт.(т) < 4Б ( 1) , (4)
где Б (і) — площадь части области О', лежащей в вертикальной полосе — і < Не ю < 0. Область О' может быть описана в виде
О' = (т = х + іу : /1(ж) < у < /2(ж), —Т < ж < 0}.
Пусть /(ж) = /2(ж) — /і (ж). Тогда /(ж) — неотрицательная вогнутая функция на (—Т; 0) и
[ е2гДето йт(т) = / е2гх/(ж) йж.
./О' J-T
Нижняя оценка в (4) получается немедленно:
/ е2гДв ™ йт(т) > / е2гДв ™ ^ш(ш) > є-2бГ1
Зо' Зо',Яеш >-1 /г \г,
Для доказательства верхней оценки рассмотрим два случая.
1) Пусть 0 < г < Т. Для таких г, очевидно, Б(1) есть площадь всей области О' и 2гх < 0, поэтому
J е2гДвто ^ш(ш) < Б^^ .
2) Пусть г > ті. Функция /(ж) — вогнутая неотрицательная, поэтому при х < — 1 выполняется соотношение
/(—) = /(------- х + 0 ■ (1 + )) >-------/(х) + (1 + )/(0) >---------/(х)
г хг хг хг хг хг
откуда
Следовательно,
/(х) < —/ ( — 1 ) хг.
/ е2гДвто ^ш(ш) = / Г е2гх/(х) -х < —г/ Г—/ Г е2гххйх
'п',Явю<-1 и-т V г/ ./-те
’г
->—2 / 1 \ 1 0^,-2
4 \ г / г 2 \ г
Отсюда
X, е2ГЯв" «М») <(^ + 0 Ч1
Сравнив результаты пунктов 1-2 получим требуемую оценку сверху в соотношении (4). Лемма 1 доказана.
Таким образом, когда О многоугольник, норму (3) можно заменить на норму
|^ (ге^ )|2
е2
Лемма 2. Норма (5) эквивалентна норме:
' Ъ л
«Ат=£ -и Є2-,;9(тб (і" 0-)*• <5)
-—1 ” V Г 5 - /
-=1 0
= £/|М(г±^г. (6)
Доказательство.
Обозначим через |Д| площадь многоугольника Д. Пусть Ь#. — прямая, содержащая сторону / многоугольника, а Ь#.+п — опорная прямая к области Д, параллельная Ь#.. Обозначим через Т расстояние между этими прямыми. Тогда для г > т1
13
Б(1, 0/) > 2dj 1, и для г < ?! Б(1, 0/) = |Д|. Поэтому для нормы (5) справедлива верхняя оценка
- г |^ (ге^ )|2 ^
-[1 ^7 еЖ*,)^(М-) -г < £
- = 1 0 V -=1
Т,
|^ (ге** )|2
е2^,)г Б (1,0-)
-г + 2
|^ (ге ^ )|2г
е2^(б, )г
-г
<
т,
а
-
<
(оо
* I
|^(ге*#.)|2 ^ Ю 1^(ге*#.)|2г
/ J е2^(#. )г |Д| J е2^#.)г
о о
Пусть с = шах/=1,^ ^ , с1 = тах{2, с}, тогда
СЮ
|^ (ге*#. )|2(г + 1)
*г I .
Дгр)
I </ л
< с Е
.7 = 1 п
е2Ь,(#. )г
*г.
Пусть (йат (^) = шахл^ев |А _ С| — диаметр многоугольника Д. Тогда для любого г Б(1, 0/) < (йат (^) 1. Отсюда
т.
1^1
1
> -
в Р) > 3 Е * I / е2^(#.)гБ(1,0/)
/=1 \о г
е2»(»,)г Б (1,0/)
т.
1
1 Г | ^ (г е*#.) | 2 2
' *г + —
> 3^*М |Д|У е2^(#.)г
/=1 V о
|^ (ге*#. )|2 г
(йат (^) У е2^(#.)г
о
*г I >
> 3^ * /=1
( т.
1 / |^(ге*#.)|2 1
' *г + —
V
|Д| У е2^#.)г (йат (^) У е2^(#.)г
|^ (ге*#.) 12г Т
*г + — /
Г |^ (ге*#. )|2 (йат (^ )/ е2^(#.)г
*г
т.
/
Пусть «1 = ШШ^щ ( . ) , «2
Ш1П
/=1,га I <йаш (В)
«3
Ш1П
/" 4;т.
с2 = 1 ш1п{а1, а2, а3}. И мы окончательно получаем:
11^«
2
-В2(Д)
/ т. п I .
> С2 £
.7=1 ^
^(ге*#.)|2 *г + [ ^(ге*#.)|2г *г + [ ^(ге*#.)|2 *г
/=1,п ^ <йаш (В) у ’ \
е2^(#. )г I е2Ь-(#.’ )г
/=1 уо о
„ ОО
е2^(#. )г
т.
/
= С2^/
/=1 о
|^(ге*#. )|2(г + 1)
е2Ь,(#. )г
*г.
(8)
Из (7) и (8) мы получаем требуемое утверждение.
Лемма 2 доказана.
Для дальнейшего изложения нам потребуется несколько лемм, сформулированных и доказанных в работе [3].
Лемма А. (Лемма 2.2 в [3])Пусть 7 Е (0,п), функция / (А) — голоморфная и конечной степени в А = {А : 0 < агдА < 7}, непрерывная в А7 и
СЮ СЮ
J |/(г)|2 *г^ У |/(ге*7)|2 *г < то.
оо
Класс таких функций обозначим через Н^. Тогда для всех / Е Н
СЮ
J |/(ге*#)|2 *г < с, 0 < 0 < 7, (9)
о
где с — некоторая постоянная.
2
а
Лемма Б. (Лемма 2.5 в [3])Пусть /(А) Е Н2 и 1# есть пересечение угла А7 с лучом а^(А—Ао) = 0, а Р#,Н — пересечение этого угла с полосой {А : |1т Ае-*#| < Н} (0 < 0 < 7). Тогда
/ / \ 1 / \ 1\
//СЮ \ 2 /СЮ \2\
|f(А)|2d|A|| < K
If (А)|2 dm (А)
< K(2И) 2
/
|f (r)|2 dr
+
|f (reiY)|2 dr
(10)
|f (r)|2 dr 1 + ( / |f (reiY)|2 dr
(11)
/
Лемма C. (Лемма 2.6 в [3])Пусть {Ak}^=1 — последовательность точек, лежащих в Р^,я, такая, что
inf |Ak — Aj | = 2^ > 0
и находящихся на расстоянии, большем 2^ от сторон Р^,н, и пусть f (A) Е И^. Тогда при некоторой константе Mj, не зависящей от выбора функции f (A), справедливо неравенство
/ / \ 1 / \ 1\
//СЮ \ 2 /СЮ \2\
£lf (A*
)l2 < Mj
|f (r)|2 dr
V
+ ( / If (reiY)|2 dr \0
(12)
/
Лемма Ю. (Лемма 2.7 в [3])Пусть функция /(А) Е Н^. Тогда внутри угла
А,г = {А : 1т А > 8 > 0, 1т Ае-*7 < —8 < 0}
/(А) равномерно стремится к 0 при |А| ^ то.
Теперь мы готовы указать некоторые из свойств функции / Е В2(Д), получающихся непосредственным применением лемм А, В, С и Б.
Нормали А/ к сторонам многоугольника Д разбивают всю плоскость на углы Г/, ] = 1, п (Г/ = {А : а^ А Е (0/,0/+1)}), которые при п > 2 меньше, чем п. В каждом из этих углов справедливо равенство Н(А) = КеШ^А. Таким образом, в каждом из углов Г/ е-Я(л) = |е-ад.л| (А Е Г/). Через обозначим среднее арифметическое 0/ и 0/+1 :
= (07 + 0/+1)/2.
Тогда в угле Г/ можно рассматривать аналитическую ветвь функции VА + ег^', причем в этом угле |VА + ег^| < \/|А| + 1. Пус ть А = гег^, тогда для 0/ < ^ < 0/+1 выполняется
оценка | A + |2 = r2 + 1 + 2r cos (^ — ^j) > r2 + 1
! + 1 > 1 (|A| + 1|)2 = 2(|A| + 1)2. Сле-
довательно, е Н (Л)\/|А| + 1 сравнима с модулем голоморфной функции |е Л VА + ег^' | в
угле Г/.
Если ^ Е В2(Д), то функция ^(А)е-ад.ЛVА + ег^' голоморфна в угле Г/ и по лемме 2 интегрируема с квадратом на границах Г/, следовательно, по лемме А и на каждом луче, исходящем из начала координат и содержащемся в Г/. Непосредственное применение лемм
В, С и Б к этой функции дает нам следующие свойства функций класса В2(Д).
Лемма 3. 1) Пусть функция ^(А) Е В2(Д) и ^Н,А,# = {А : Ке Ае-*# > А; \\1т Ае-*#| < Н} — произвольная полуполоса. Тогда
|F (A)|2 e-2H (A)(|A| + 1) dm (A) < Ch,a,* ||F |
2.
B2(D).
(13)
Qh,a,0
2
2) Если последовательность точек {Ak}Ю=1 лежит в полосе QHtA,e и inf| Ak — Aj | > 0,
то
Е I F (Л*) I 2e-2H (Лк)< ' Лк ' + 1) < const IF IB
I 2
'B 2 (D )•
k—1
3) Если функция Р(А) Е В2(Д), то | Р(А)| е-Н(л)\/1 А | + 1 равномерно стремится к нулю при | А | ^ то.
Для доказательства основной теоремы нам понадобится следующая лемма.
Лемма 4. Если функция Р(А) Е В2(Д), то функция ^(А) = Р(А + () при любом
комплексном ( принадлежит классу В2(Д). При этом
(А)|||2(Л) < Сд,с11^(А))^. (14)
Доказательство.
В каждом из углов Г/, ] = 1,п, функция Р/(А) = Р(А)е-ад.лVА + ег^' удовлетворяет условиям леммы В. В силу неравенства (10) мы имеем
I ^(А)|2*|А| < к|||2№),
«с П Г
где — луч А = ( + ге*#., г > 0, К — некоторая константа.
Отсюда
I ^(А)|2е-2»<Л(|А| + 1)*|А| < ^2КСГ|Ца(С).
1с П г.
Таким образом,
|F<re,0< + Z)|2e-2Re*■(,v ’ +z)<'re,0< + Z' + 1) dr < n/2KcIFI*• <15)
Для r < I ZI мы имеем
r + 1
|re*0; + ZI + 1 У |ZI і r + 1 У 1 У izp+Y• (16)
Для r > |Z I мы имеем
' re‘0; + Z I +1 У l і IZ ' + 1 = < ' Z I +1)|L±1 і IZ ' = iL+I +' Z '£±1і ' Z ' У ^, < 1 7)
Из (15), (1б) и (1T) получим, что
со
J ' F(re*0 + Z) '2e-2rh(0;)<r + 1) dr < V2KC< 'Z | + 1)e2Re*'zIFIlBf2(D)•
о
Лемма 4 доказана.
3. Теорема об интерполяции и базисы Рисса Для любого К > 0 через
Р-(К) = (А : Ее Ае-*^ > 0; | 1т Ае-*^ | < К}
обозначим полуполосу в направлении 0-. Дк = и Р (К) — назовем Дк-звездой. Обозна-
1
чим через Бд класс всех целых функций Б(А) экспоненциального типа, удовлетворяющих следующим условиям:
1) все нули функции Б простые, и существует К > 0 (зависящая от функции Б) такая, что все нули {Ак }£=1 функции Б (А) попадают в Дк-звезду;
2) Ы-=к |А^ - Ак| = 2£ > 0;
3) при некоторых положительных константах с , С (зависящих от функции Б) выполняется неравенство
ГО
с< |Б(А)|е-Я(ЛУ|А| + 1 < С, Аё и В.(Ак), (18)
-=1
где Вг(Ак) = {А : |А - Ак| < £}.
Существование функций, попадающих в класс Бд, мы покажем в следующем параграфе. Свойства функций класса Бд, которые потребуются нам в дальнейшем, мы соберем в одной теореме.
Теорема 1. Пусть Б (А) — функция класса Бд и {Ак }£=1 — последовательность ее нулей. Тогда:
1) при любом комплексном ( функция Б^ (А) = Б (А + () принадлежит классу Бд,
2) число нулей функции Б (А), в круговом кольце {А : г < |А| < г + 1} ограничено некоторой постоянной, не зависящей от г,
3) справедливо неравенство т£к(|Б/(Ак)|е-я(Лк>^/|Ак| + 1) > 0.
Доказательство.
1) Последовательность нулей функции Б^(А) попадает в Дк+|с|-звезду.
Из определения функции Н(А) следует, что для любых точек А, ( ё С справедливо неравенство
Н(А + С) < н(А) + Н(С). (19)
Поэтому из (18) и (19) получим оценку
|Б(А + ()|е-н(Л)^|А|ТТ < С еН(Л+‘)-Н(Л> -^+1 < Се"«) уТАГ+^= =
| ' 4(| ^|А + С| + 1 < ^|А + С| + 1
= ^ 'АА+А+Г < СеЯ(°/1 + ТЛГ^Г <
здесь С — константа из (18).
Воспользовавшись далее неравенством —Н(—£) < Н(А + £) — Н(А) < Н(£), следующим непосредственно из (19), мы получим из (18)
|Б+ С)|е-н(Л>,/Ш + 1 >сед(Л+°е Д(ЛУ|А| + 1 > я(-.) /__________________|А| + 1__> |Б (А + °|е ^|А| + 1 >с ЛЛ + СТП > се V |А| + К | + 1 >
> Се-ЯМУ1 — ЩТЙТГ > се-4-0/1 — 1^1 = с^^1 + КО1 > °-
здесь с — константа из (18). Первый пункт теоремы доказан.
2) Для доказательства второго пункта достаточно проверить, что при ] = 1,п, г > 0 в прямоугольнике Рг,- = {А : ^е Ае-*в] — г| < 1, |1т Ае-*в] | < К + £} содержится не более чем N нулей (Ж не зависит от г). Круги В (Ак ,$) попарно не пересекаются. Если в
прямоугольнике Рг,, N нулей, то суммарная площадь кругов, попадающих в этот прямоугольник, п N. Эта площадь меньше площади прямоугольника 4(К + $). Таким образом,
N < 16<Л^+, и пункт (2) доказан.
3) По формуле Коши
1 1 1 Л - А‘ ЙЛ = ± { <а
Б^Л-) 2п 7 Б (А)(А - Л-) 2п ] Б (Л)
|Л — Лк|=^ |Л —Лк |=^
Из (18) следует, что
1 1 1 < ^^таХсеЛ|С|е-Я(Лку|Лк| + 1.
Б '(Л- )
Теорема доказана.
Сформулируем теперь основную теорему этого параграфа.
Теорема 2. Пусть функция Б (Л) € Б^, {Л- }^=1 — последовательность ее нулей, пронумерованных в порядке возрастания их модулей. Определим оператор Т, действующий из пространства В2(Д) в пространство последовательностей равенством
Т (Р) = {Р (Л* )е-н(Л* )У[Л-[ТТ }Г.1. (20)
Утверждается, что этот оператор является изоморфизмом между пространствами В2(Д) и I2. Обратный оператор определяется формулой
О ^РЯ(Лк)
Т-1({ск })(Л) = Б (Л)^---------------------------------------------, . (21)
Б'(Л-)(Л - Л-)У|л-[ГГ
Причем ряд, стоящий в правой части равенства (21), сходится по норме пространства
В2Ф).
Доказательство.
Непрерывность оператора Т следует из пункта 2 леммы 3.
Докажем, что оператор Т инъективен, то есть ядро отображения Т состоит лишь из нуля. Пусть Р(Л) € Кег Т, то есть Р(Лк) = 0, к = 1, то . Тогда функция д(Л) = есть целая функция экспоненциального типа, которая, как следует из пункта 3 леммы 3,
СО
равномерно стремится к 0 при |Л| ^ то вне множества и {Л : |Л-Лк| < $}. Следовательно, у(Л) = 0 = Р (Л).
Поэтому достаточно проверить, что ряд, стоящий в правой части (21), определяет на всем /2 ограниченный оператор Т-1 : /2 1—> В2(Р), обратный к Т.
Разобьем последовательность {Л-}О=1 на п последовательностей Л, = {Л-,,}О=1,
) = 1, п, состоящих соответственно из нулей функции Б (Л), расположенных в полуполосах Р,(К) = {Л : Не Ле-%в} > 0; |1т Ле-%^' | < К} (если корень Лк принадлежит одновременно нескольким полуполосам Р,(К), то отнесем его к полуполосе с меньшим номером). Элементы каждой из последовательностей Л, пронумерованы в порядке возрастания их модулей. Перенумеруем соответственно последовательность {с-} и перепишем (21) в виде
Т »(Л> = Б <Л> ,=1 Е б Чл-,, )(л - л-,, Мл-,,| + 1.
Очевидно, достаточно доказать, что каждый из п внутренних рядов сходится по норме пространства В2(Р) и определяет непрерывный оператор
Т-1(К.> })(A) = S (А) E
Ck,j e
k=1 S/(Ak,j)(А - Ak,j^|Ak,j1 + 1 Из утверждения 2 теоремы 1 следует, что при некоторой положительной константе с справедливо неравенство
|Akj1 > ck (22)
при достаточно больших k. Из утверждения 3 теоремы 1 следует, что
m = inf{|S'(Afc)|e-H(Ak)/|Ak| + 1} > 0. k
Воспользуемся неравенством Гельдера:
ck jeH(Afcj)
v_______ ,________
k=1 S'(Akj)(A - Ak,jУ1 Ak,j 1 + 1
<
k=1
|A — Ak,j |2 ^
E |ck,j |2
const
k=1
m2
\
E
k=1
|A — Ak,j |2 (23)
Из (22) и (23) следует, что ряд, стоящий в правой части (21), сходится равномерно на каждом компакте в С к некоторой целой функции Р, (Л) такой, что
Fj (Ak,i) = 0, если i = j. Fj (Ak,i) = Ck,j, если i = j.
(24)
Надо показать, что функция Fj(A) G B2(D) и ||Fj(A)||_g2(D) < const ||{ckj}|;2. В силу леммы 4 достаточно проверить, что при некотором Z G C функция Fj(A — Z) G B2(D) и
llFj(A — Z)|B?2(D) < const|{ck,j}||p. (25)
Доказательство проведем для j = 1, считая, что 01 = 0 и кд (0) = 0.
Выберем Z так, чтобы полуполоса Z + Pi(K) целиком лежала в области {A : argA G (0,02); Im A > n > 0}. Принимая во внимание пункт 1 теоремы 1 и (18), мы можем утверждать, что каждое слагаемое и, следовательно, частичные суммы ряда
Fi (A — Z ) = S (A — Z)
ck,1e
H (AM)
k=1 S /(Ak,1)(A — Z — Ak,0\/1 Ak,11 + 1
(26)
представляющего функцию Р1(Л - £), принадлежат пространству В2(Д). Для того, чтобы доказать сходимость ряда в этом пространстве и оценить его сумму, докажем справедливость оценки
sup / |S(re^) — Z|2e-2H(ге^')(r + 1) j=1,n J
m
Ck,1eH (A^
k=1 S/(Ak,1)(re*0J — Z — Ak,0\/1 Ak,11 + 1
dr <
<
const E 1 ck ,1 !'
(27)
для любых натуральных чисел I < т. Произведение |Б(гег^') - £ |е я(ге ^ г + 1 ограничено сверху некоторой константой. Поэтому достаточно доказать, что
Ck,1 eH (Afc,l)
S/(Ak,1)(rei0j — Z — Ak,0\/ |Ak,1| + 1
dr < const E 1 ck,1 |2 .
(28)
1
2
2
Докажем это неравенство, полагая для определенности, что ] = 1. Поскольку из-за выбора £ все полюсы функции
Сг,т(Л) = Е
= Б/(Л-,1)(Л - С - Л-,1^\/|л-,1[ + 1
расположены в верхней полуплоскости, то С^,т(Л) € Н^, где Н^ — пространство Харди в нижней полуплоскости, а величина, стоящая в левой части неравенства (28), является квадратом Н^-нормы функции С^,т. Для вычисления этой нормы воспользуемся тем, что пространство, сопряженное к Н^, — это пространство Н+ (пространство Харди в верхней полуплоскости). Пространство Н+ с нормой сопряженного пространства обозначим через Н+. Тогда
IIС
1,т || Н2
вир
^ЄЯ+, |М|Н2 =
Сг,т(г)^(г)
Вычисляя последний интеграл с помощью вычетов, мы получим
IIС
1,т || Н2
вир
^ЄЯ+, ||^УН2 =
Е
Ск,іея(Лк>і)^(Лй,і + С)
<
< вир
к=1,т
=Я(ЛМ)
в /(ЛЙ,1^\/ |Лк,1| + 1
5>д|2 Е1^(Л-,1 + С)|2| . (29)
, /V
Функции класса Н+ удовлетворяют условиям леммы С при 7 = п. Применив эту лемму и теорему 1 (п. 3), мы из (29) получаем
||Сг,т||я- < сопві^2 |Ск,1 |2
к=1
Соотношение (27) доказано. Аналогично рассматривается случай, когда ] = 1. Так как {см} € /2, то последовательность {|с-,1|2} фундаментальна. Значит, из последнего неравенства следует, что частичные суммы в правой части (26) образуют фундаментальную последовательность в В2(Д). По теореме Коши ряд в правой части (26) сходится в пространстве В2(Д) и Р1 € В2(Д). Оценка (25) доказана. Из непрерывности оператора Т-1, которую мы доказали, следует непрерывность оператора Т-1 = ^ Т-1. Из (24) следует,
что ТТ-1 = I в пространстве /2, и так как Кег Т = 0, то Т-1 Т = I в пространстве В2(Д). Теорема доказана.
Следствие. Пусть функция Б (Л) € Бд, {Л- }О=1 — ее нули. Тогда система функций
в (Л)УЩк)
^ в/(Лк)(Л — Лк)
образует базис Рисса в В2(О).
Теорема 3. Пусть О — выпуклый многоугольник, в (Л) — функция класса и {Лк 1ь=1 — ее нули. Тогда система
(30)
{■УЩо} ^=1 ’
(31)
'2 т
построенная по этим нулям, является базисом Рисса в пространстве Бергмана В2(О*) (через О* обозначается многоугольник, симметричный О относительно вещественной оси).
Доказательство.
Как говорилось ранее, пространство В*(О) изоморфно пространству В2(О). Поэтому по теореме 2 достаточно показать, что системы (30) и (31) биортогональны (см. [3]).
эл*ч _ ^(л)Ул(Л)
Пусть ^ Є В2, и ^(еЛг) = <?Чл,^^:л-л^) , 3 = 1> ^.
Пусть
Т = ( еЛ"' \ = в(Лк)уК(Л~)
’* /ЩТ)/ в'(Л,)(Лк - л,)/Щк)’
тогда Т,,к = 0, если к = 3. Т,,к = 1, если к = 3. Следовательно, системы (30) и (31) биортогональны.
Теорема доказана.
4. Конструирование целой функции класса Бд
В этом параграфе мы покажем, что несмотря на жесткие ограничения на рост функций класса Бд, этот класс не является пустым.
Рассмотрим на положительной вещественной полуоси меру Й^(£), где ^(£) — некоторая возрастающая непрерывная функция такая, что
1) ^(£) ^ +то, £ ^ +то, ^(0) = 0;
2) существуют положительные константы с и С такие, что сЛ < ^(£ + Л) - ^(£) < СЛ, для любых £, Л > 0.
Выберем последовательность точек {Т, }°=0 таких, что
МТ-) = к, к = 0, то . (32)
По теореме о среднем значении существуют точки € [Т--1; Т-] такие, что
£Й^(£) = , к = 1, то . (33)
Тк_1
Элементарным примером такой функции может служить ^(£) = £.
Докажем некоторые свойства функции ^(£).
Лемма 5. Пусть п(£) = ^ 1. Тогда
1) |^(£) - п(£)| < 2 для любого £;
Тк _____
2) / (М^О - п(£)) = 0 для любого к = 1, то.
Тк-1
Доказательство.
1) Пусть £ € [Т--1,Т-]. Тогда |^(£) - п(£)| = |^(£) - ^(Т-) + ^(Т-) - п(£)| <
< |^(£) - к| + |к - п(£)| < 2.
2) По определению мы имеем
Тк
У (£ - ) ф(£) = 0.
Тк-1
Интегрируя по частям, получим
Tfc
k(Tk — ^k) — (k — 1)(Tk-1 — ^k) — J dt = °.
Tfc-1
Отсюда
Или
Tfc
J (^(t) — (k — 1)) dt = Tk — ik.
Tfc-1
tfc Tfc Tfc
J (^(t) — (k — 1)) dt + J(^(t) — k) dt + J dt = Tk — tk.
Tk —1
То есть
tfc Tfc
J (^(t) — (k — 1)) dt + J(^(t) — k) dt = 0. (34)
Tfc—i tfc
По определению n(t) = k, если tk < t < tk+1, k = 1, 2,.... Поэтому (34) перепишется в виде
tfc Tfc
J (^(t) — n(t)) dt ^y*(^(t) — n(t)) dt = 0,
Tfc—i tfc
откуда и следует утверждение леммы. Лемма доказана.
Лемма 6. Для любых k = 1, то выполняются оценки
у, < Tk — Tk-1 < “, (35)
C с
tk+1 — tk > ^ , (36)
где с и С — константы из определения функции Доказательство.
1) Из определения функции ^(t) следует, что c(Tk — Tk-1) < ^(Tk) — ^(Tk-1) = 1 <
< С (Tk — Tk-1), откуда и следует (35).
2) Интегрируя по частям левую часть (33), мы получим
Tfc tfc
У (MTk) — Mt)) dt = У (u(t) — ^(Tk-1)) dt. (37)
tfc Tfc—1
По определению функции ^(t) ^(Tk) — ^(t) > c(Tk — t) и ^(t) — ^(Tk-1) < С(t — Tk-1).
Tfc T
Из двух последних неравенств и из (37) мы получаем J (Tk — t) dt < С J (t — Tk-1) dt.
tfc Tfc—1
Следовательно, c(Tk — tk )2 < С (tk — Tk-1)2. Из последнего неравенства и из (35) получаем
tk — Tk-1 > C (1 + у^) . Учитывая, что tk — tk-1 > tk — Tk-1, получим (36).
Лемма доказана.
Пусть u(z) — некоторая субгармоническая функция с ассоциированной мерой d^(t), z G C. Обозначим Bn = B(0,Tn) — круг с центром в начале координат и радиусом Tn. Тогда в круге Bn имеет место представление Рисса:
Tfc
u(z) = / In |z — t| d^(t) + Hn(z),
(38)
где Hn(z) — некоторая функция, гармоническая в Bn (см. [8]). Пусть Hn(z) = Re gn(z), где gn(z) — функция, голоморфная в Bn. Положим
fn(z) = egn(z) Д (z — tk).
tfc^Bn
Теорема 4. Последовательность функций /n(z) сходится равномерно на компактах из C к целой функции /(z) и для любого 5 > 0 вне кругов B(tk, 5), k = 0,1,..., выполняется оценка
1 Ь |f (z)| — u(z)| < A
где A — некоторая положительная константа, зависящая только от С, с и 5. Доказательство.
Докажем сначала, что для любых 5> 0, s,n = 0, то, s > n, вне множества Е(5) = {z G C : Tn — 5 < Re z < Ts + 5, |/mz| <5}
выполняется соотношение
fTs
/ In |z — t| d(^(t) — n(t))
' Tn
2 / Ts — x Tn — x
< — arctg------------------------arctg------------—
5с 5 5
(39)
где £ = х + гу.
Для сокращения записи функцию 1п |г - £| будем обозначать через Ь(г,£). Дважды интегрируя по частям, учитывая определение точек Т- и пункт 2 леммы 5, получим
rTs
/ 1п |г - £| ^(^(£) - п(£)) = - / Ь[(г, £)(^(£) - п(£)) ^ =
'Tn
'Tn
rTs / ^t
/ Lt't(z,t) / (Мт) — п(т) dT)dt.
'Tn \./Tn
Пусть z = ж + iy, тогда
следовательно,
2
= y2 — (ж — t) tt (y2 + (x — t)2)2
1
|Ltt| <
у2 + (х - £)2
Кроме того, в силу пункта 1 леммы 5 и соотношения (35) для точек £ € [Тк-1; Т-] имеем (п < к < в)
[t [t
/ (^(г) — n(r)) dT = / (^(Г) — n(T)) dT < 1 Tk — (Tk 2( <
Tn •'Tfc—1
2
с
На основе последних двух оценок для z G Е(5) получим
Ts
In |z — t| d(^(t) — n(t))
Tn
Ts
2
< -
dt
с У (t — ж)2 + 52
Tn
Вычислив последний интеграл, получим (39).
Возьмем произвольный компакт К на плоскости и индекс т такой, что К С В(0, Тт-1). Для точек £ € К и индексов в > п > т имеем
11п !Л(£)| - 1п [/п(£)|1 = |(1п [Л(£)| - и(£)) +(и(£) - 1п [/п(£)|)| =
Ts Tn
In |z — t| d(n(t) — ^(t)) + / In |z — t| d(^(t) — n(t))
Ts
In |z — t| d(^(t) — n(t))
Tn
По выбору индекса m точка z G K С B(0,Tm-1), значит в силу соотношения (35) Re z < Tm-1 < Tm — -С < Tn — cC . Можем применить (39) для постоянной 5 = C:
2С
| In |/s(z)| — In |/n(z)|| < — (arctg C(Ts — x) — arctg C(Tn — x)).
с
Выражение в правой части при n, s ^ то стремится к нулю равномерно по z G K. Таким образом, последовательность функций In |/s(z)| равномерно фундаментальна на компактах. Учитывая определение этих функций по теореме Коши, получим, что последовательность аналитических функций /s(z) имеет равномерный на компактах предел, который обозначим через /(z).
Докажем требуемые оценки для функции In |/(z)|. Вначале рассмотрим точки z G C, лежащие вне полосы |1mz| < 5. Если индекс s такой, что |z| < Ts, то по определению функции /
|u(z) — ln |/s(z)
Ts
In |z — t| d(^(t) — n(t))
Поскольку |1m z | > 5, то по (39) для z G E0(5)
2 ( Ts — x x\ 2n
|u(z) — ln |mz)h < 5с (arctg —5— + arctg 5) < ^.
(40)
Пусть теперь [1ш г| < 8 и для всех к = 0,1,... |г-£-1 > 8. Через т обозначим такой индекс, что
|tm — z| = min |tk — z|.
Тогда в силу оценок (36) имеем
г\ , , . £т—1 ^ 1
0 < X - £т-1 < --------- < -,
2 с
А , £т+1 - ^,т 1
0 < £т+1 - х < 2 < _.
2с
Кроме того, для к = т - 3, ...,т + 2 в силу (36) верны оценки
5
8 < |£ - £-1 < |х - £-1 + [у[ < |£т+2 - £т-3[ + 8 <-+ 8
с
Следовательно, для к = т - 3,..., т + 2
11п |£ - £-1| < тах(
Далее интегрированием по частям получим
(41)
| In |z — tk|| < max(| In5|, | ln(—+ 5)|) := M1(5, с).
с
(42)
-T,
m + 2
ln |z — t| d^(t)
' Tm —3
,T,
m + 2
ln |z — t| d(^(t) — ^(x))
' Tm —3
<
< (MTm+2) — Mx)) | ln |z — Tm+2|| + (Mx) — ^(Tm-3))| ln |z — Tm-3|| +
Tm
+2 |^(t) — ^(x)|
' Tm —3
|z — t|
d^(t)
По условиям на функцию ^(t) для t G [Tm-3; Tm+2] выполняются оценки
|^(x) — ju(t)| < |x — t|, |^(x) — ^(t)| < |^(Tm+2) — ju(Tm_3)| = 5.
Поэтому
fTm + 2
ln |z — t| d^(t)
Tm 3
<
о
0
0
< 5| 1п |г — Тт+211 + 5| 1п |г — Тт_з|| + (Тт_з — Тт+2). По выбору индекса т ив силу (35) теперь имеем
^Тт+2
1п |г — і| ^(і)
' Тт_з
2 5
< 5| 1п(82 + -с2)| + 5.
5 с
(43)
Возьмем произвольную точку г, лежащую в полосе |1т г| < но вне кругов В(£к, $), к = 0,1,... Если индекс в таков, что |г| < Т5-3, а точка £т — ближайшая к г, то
гТв
|и(г) — 1п |/5(г)
1п |г — і|^(^(і) — п(і))
ЬШ
гТт-3
1п |г — і|^(^(і) — п(і))
+
лТт+2 лТт+2 />Т3
+ / 1п |г — і|(і) + / 1п |г — і|^п(і) + 1 3 2§Т 1 к? |1п
“ Тт_з “ Тт_з 3 Тт+2
По выбору индекса т и по соотношениям (35) имеем
ж > ^то— 1 > Тт—2 > Тт— 3 +
С
ж < ^т+1 < Тт+1 < Тт+2 ^.
Для первого и последнего интеграла применим (39) с $ = С:
1п |г — і|^(^(і) — п(і))
гТ3
1п |г — і|^(^(і) — п(і))
'Т,
т + 2
<
<
2Сп
с
2Сп
с
Второй и третий интеграл оцениваются по соотношениям (42) и (43).
Теорема 4 доказана.
Теорема 4 позволяет построить целую функцию требуемого роста. Пусть Д — выпуклый многоугольник и ф — длина стороны, перпендикулярной направлению {гег^’, г > 0},
І = 1, 2,..., п. Тогда мера, ассоциированная с опорной функцией и(гег^) = Л,(^)г многоугольника Д, равна сумме мер ф^, где ^ — линейная мера Лебега на луче {гег^', г > 0}. Пусть число ^ определено из условия ^^1 = 2.
Представим меру ^1 в виде суммы ее сужений на отрезок [0,^] и на луч (^, то) : ^1 = ^1" + ^/. Тогда, очевидно, ^(С) = ^.
Если г(г) — субгармоническая функция, ассоциированная мера которой совпадает с линейной мерой ^ж на положительной полуоси, то по теореме 4 существует целая функция /(г), которая вне кругов с радиусами 8 > 0 и центрами в своих нулях удовлетворяет условию
г(г) — А(8) < 1п |/(г)| < г(г) + А(8), (44)
где А(8) — некоторая константа, зависящая только от 8 (для ^(ж) = ж, с = С = 1). Положим
и0(г) = J 1п |г — эд| ^^/1/(^).
Ассоциированная мера функции г ((г + ^)е_г^1) совпадает с ^1/, а ассоциированные меры функций г(ге_г^'), І = 2, 3,...,п, совпадают соответственно с мерами ^. Следовательно, ассоциированные меры функций м(гег^) и ^1м0 + ^1г((г + ^)е_г^1) + ^2г(ге_^2) + ...+ +^гаг(ге_г^п) совпадают. Значит,
м(ге^) = ^1«о + ^г((г + ^)е_^) + 4г(ге_^2) + ... + ^г(ге_г^) + Н (г),
0
0
0
где Н(г) — гармонична на всей плоскости. Пусть С(г) — целая функция такая, что Ке О (г) = Н (г).
В силу соотношения (44) имеем
div((z + d)e-i^) - Ai(5) < ln |f ((z + d)e-i^)| < div((z + d)e-i^) + Ai(5), dj v(ze-i^j) — Aj (£) < ln |f (ze-^j )| < dj v(ze-i^j) + Aj (£), j = 2,...,n. Кроме того, т.к. (C) = 2d-, то при больших z (|z| > 2d)
Теперь положим
1 ln |z| + ln 1 < diUo(z) < 1 ln |z| + 1 ln 2.
L(z) = f ((z + ф-‘и )f (ze-^2 )...f (ze"to> )ec('>.
(45)
(46)
(47)
Из соотношений (45), (46), (47) видим, что Ь(г) удовлетворяет всем условиям и принадлежит .
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Гайер Д.Лекции по теории аппроксимации в комплексной области. М.: Мир. 1986.
2. Никольский Н.К., Павлов Б.С., Хрущев С.В. Безусловные базисы из экспонент и воспроизводящих ядер. I. // Препринт ЛОМИ. С. 8-80.
3. Левин Б.Я., Любарский Ю.И. Интерполяция целыми функциями специальных классов и связанные с нею разложения в ряды экспонент // Изв. АН СССР. Сер. матем. Т. 39. № 3. 1975.
С. 657-702.
4. Любарский Ю.И. Ряды экспонент в пространствах Смирнова и интерполяция целыми функциями специальных классов // Изв. АН СССР. Сер. матем. Т. 52. № 3. 1988. С. 559-580.
5. Исаев К.П., Юлмухаметов Р.С. Об отсутствии безусловных базисов из экспонент в пространствах Бергмана на областях, не являющихся многоугольниками // Изв. РАН. Серия матем. Т 71. № 6. 2007. С. 69-90.
6. Исаев К.П., Юлмухаметов Р.С. Преобразование Лапласа функционалов на пространствах Бергмана // Изв. РАН. Сер. матем. Т. 68. № 4. 2004. С. 5-42.
7. Юлмухаметов Р.С. Асимптотическая аппроксимация субгармонических функций // Сиб. мат. журн. Т. 26. № 4. 1985. С. 159-175.
8. Ландкоф Н.С. Основы современной теории потенциала. М.: Наука. 1966.
Константин Петрович Исаев,
Башкирский государственный университет, ул. Заки Валиди, 32,
450077, г. Уфа, Россия E-mail: [email protected]
