Базисы Рисса из экспонент в пространствах Бергмана на выпуклых многоугольниках Текст научной статьи по специальности «Математика»

ББК 22.161.5 УДК 517.54

БАЗИСЫ РИССА ИЗ ЭКСПОНЕНТ В ПРОСТРАНСТВАХ БЕРГМАНА НА ВЫПУКЛЫХ МНОГОУГОЛЬНИКАХ.

Исаев К.П.

Пусть В - выпуклый многоугольник на комплексной плоскости. Через В2 (В) обозначим пространство Бергмана, состоящее из функций, аналитических в О и интегрируемых с квадратом по плоской мере Лебега:

Г| 12

В2(О) = {/ £ Н(В) : I /(2) йш(2) < ¥ . Статья посвящена проблеме существования в В2(В) базисов

В

Рисса из экспонент {е1к2}. Семейство {ф к = 1, ¥} называется базисом Рисса в нормированном пространстве X, если

1) семейство {фк к = 1, ¥} полно в X ;

2) существуют положительные постоянные Ь, В такие, что для любой конечной последовательности

комплексных чисел {й?к} справедлива двусторонняя оценка:

2

X '

В работе [3] построены базисы Рисса из экспонент в пространстве Смирнова Е2 (В), когда В -выпуклый многоугольник. Пространством Смирнова называется пополнение пространства многочленов

|2

ЬЕ\ак2 е^к2 2 < X Е аке1к2 2 < ВЕ \ак\2 еЛк2

к к X к

относительно

22

нормы Р(2) = I Р(2) ds(2) , где ds(2) - элемент длины дуги границы В. Система

ЭВ

показателей 1, к = 1 , ¥ , базисов, построенных в этой работе, является множеством нулей целой функции Ь(Х) типа синуса для области В . Главным свойством целых функций типа синуса для области В является

то, что 1п \Ь(Ц асимптотически близок к опорной функции Н (1) = max Re 12 области В . В работе [4]

2£В

были построены целые функции для областей с гладкими границами асимптотически очень близкие к опорной функции Н (1) . Но, как показано в этой же работе [4], соответствующая система экспонент {е1к2 }, где 1 -

нули построенной функции, не является базисом Рисса в пространстве Смирнова. Некоторая модификация идей, использованных в работе [4], позволили в диссертационной работе [5] показать, что уже наличие всего лишь гладкой дуги с отличной от нуля кривизной на границе области В приводит к тому, что в пространстве Смирнова Е2 (В) базисов Рисса из экспонент не существует.

В данной работе построены базисы Рисса из экспонент в пространстве Бергмана В2 (В), когда В -выпуклый многоугольник. Основным инструментом исследований является преобразование Лапласа. Система экспонент {е1 } полна в пространстве В2(В) (см. [1]). Это обстоятельство позволяет описать сопряженное пространство В2 (В) в терминах преобразований Лапласа. Каждому функционалу $ £ В2 (В) поставим в

соответствие функцию комплексной переменной $ (1) = $2 (е1), которая и называется преобразованием Лапласа функционала $ . В работе [6] показано, что в случае, когда В - выпуклая ограниченная область на комплексной плоскости, преобразование Лапласа устанавливает изоморфизм пространства В2* (В) с

I 2

:2^ г (геф)

гильбертовым пространством целых функций В2 (В) с нормой Г

В2(В)

=II1

0 0

К (геф)

где

^р) = тах Яе zeIj, Л(р) = h/(р) +|^6)ё6, K(1) = |^е1 ёт(z) =

В

Обозначим через ^, І = 1, п , вершины многоугольника В . Через I^ обозначим сторону, соединяющую и ^у+і. Пусть 6^ Є [0,2^), ] = 1, п , - угол между нормалью к стороне I^ и положительной полуосью абсцисс, dj - длина стороны I^ . Для многоугольников Л(р) - неубывающая кусочно-постоянная функция со скачками в точках 6^ . Величина скачка равна длине соответствующей стороны dj. Поэтому норма (1)

принимает вид:

У

2 п ^ у(гг6 )'

Ц(В) Е | к(гг‘6 )

ёг. (2)

В следующей лемме, доказанной в [5] (теорема 2.5), приводится асимптотика функции Бергмана К(1) . Лемма А. Пусть В - ограниченная выпуклая область. Для ф£ [0,2^) и ^ > 0 через $(^, ф) обозначим площадь пересечения области В с полосой {2 : И(ф) — ^ < Re 2еф < И(ф)} . Тогда

г 2 г

2Кру8(У ,р)< К(гер) < 4е2к(р)г8(V ,р) (3)

У

^1 'Г ,ф)< К (геф) < 4е2й(ф)г: уг:

Используя неравенства (3) нетрудно показать, что норма (2) эквивалентна норме:

2

(Г + 1)

Ф.

~2( В) = ЕI

1=1 0

У (ге6 )

2И(6,- )г

е

Из результатов работы [3] (лемма 2.2, лемма 2.5, лемма 2.6, лемма 2.7) следуют следующие свойства функций класса В2 (В) :

Теорема 1. 1) Пусть функция У (1) Є В2 (В) и QнA6 = {1 : Яе 1е 6 > А;

1т 1е

-і6

< Н } -

произвольная полуполоса. Тогда | |У (1)| е 2Н(1) (Ц + 1)ёт(1) < Сн а 6 ||У

^, А,6

лежат в полосе

|2

В~2 ( В).

Q

Н, А,6

|2

1^~2( В).

( іпГ

к * }

2) Если точки {1 }к=1

¥ 2

Е\Г(1к ^ е~2Н 1) (|4 | + 1) < СОПЯ ||г

к=1

3) Если функция Г(1) £ В~2 (В), то Г (1)| е ■Н (1)

И ® ¥ .

4).Если функция Г(1) £ В2 (В), то функция Г^(1) = Г(1 + ^) п^и любом комплексном V

’д/1 11 +1

равномерно стремится к нулю при

2

принадлежит классу В2(В) . При этом |у^(1)||_ ^ < Св ^||У (1)

|2

В~2 (В) .

-і6 .

Для любого К > 0 через Рі (К) = {1: Яе 1е 1 > 0;

< К} обозначим полуполосу в

направлении в,. Ок = иР,(К) - назовем Вк -звездой. Обозначим через $(В) класс всех целых функций

1

$ (1) экспоненциального типа, удовлетворяющих следующим условиям:

2

0

1) все нули функции $ простые, и существует К > 0 (зависящая от функции $) такая, что все нули {1к }¥=1 функции $(1) попадают в Вк -звезду;

2) inf

k * i

1k -1j = 2d > 0;

3) при некоторых положительных константах С, C (зависящих от функции S) выполняется неравенство

¥

c < \S(1)|e~H(1)Vi 1|+1 < C, 1 UBs(1k), (4)

j=1

где Bg (1k) = {1: |l — 11 < d . Свойства функций класса SD, которые потребуются нам в дальнейшем, мы соберем в одной теореме.

Теорема 2. Пусть S(1) - функция класса SD и {1к =1 - последовательность ее нулей. Тогда: 1) При

любом комплексном Z функция S^(1) = S(1 + Z) принадлежит классу SD.

2) Число нулей функции S(1) в круговом кольце {1 : Г £ |1| £ Г + 1} ограничено некоторой постоянной, не зависящей от Г .

3) Справедливо неравенство inf (S'(1k )|e H(1) д/| 1 i +1 )> 0 .

Доказательство. 1) Последовательность нулей функции S^(1) попадает в DK+^| -звезду. Из

определения функции H (1) следует, что для любых комплексных 1 и Z справедливо неравенство

H(1 + 0 £ H(1) + H0). (5)

Поэтому из (4) и (5) получим оценку 1$(1 + ()|e H (1) д/| 11 +1 < C

7h (1+Z)-H (1)

Vi11 +1

< CeH(Z)

л/11 1 +1

V 1+c1 +1

Vi 1+c1 +1

<

< CeH(Z)

izi

+1 < CeH(z^1+ iZ i < ¥, здесь C - константа

из

(4). Аналогично, воспользовавшись неравенством — Н(—£) £ Н(1+£) — Н(1) £ Н(^), мы получим из

и

|а

теоремы доказан.

2) Для доказательства второго пункта достаточно проверить, что при ] = 1, П, Г > 0 в прямоугольнике

(4): |S(1 + Z)|e H(1) Vi 1 i +1 > ce H( Z) ^1 — ~ZZ i ^ > 0, здесь С - константа из (4). Первый пункт

Fr, i = I1:

Re 1e ів] — r

< 1,

Im 1e

< K + d} содержится не более чем N корней (N не зависит от

Г). Круги В(1к ,У2) попарно не пересекаются. Если в прямоугольнике ¥г ^ N нулей, то суммарная

д^2

площадь кругов, попадающих в этот прямоугольник 7Р4----------. Эта площадь меньше площади прямоугольника

4

Л ITS Я\ АГ^16( K + d)

4(K + d). Таким образом, N <--------—----, и пункт 2) доказан.

pd

1

3) По формуле Коши —----------=-----

1 — 1

-d1 = —

$ '(1k) 2Р 1—^d S (1)(1 — 1k) 2Р 1—1 $ (1)

— f -d1. Из (4) следует, что

Р J . S(1) W J

S '(1к)

<

dVd+T

dmax |Z|

(eD e H(1k) ^j1k j + 1 Теорема доказана.

Сформулируем и докажем теперь основную теорему.

1

С

Теорема 3. Пусть функция 8(1) Є 8^ , {1 }^=1 " последовательность ее нулей, пронумерованных в порядке возрастания их модулей. Определим оператор Т, действующий из пространства б2(Р) в пространство последовательностей равенством Т(Р) = {Р(1 )е Н(1 ) д/| 1 I +1 }к=1. Утверждается, что этот оператор является изоморфизмом между пространствами Б2 (В) и 12. Обратный оператор

_ ^ с ен(4)

определяется формулой Т ({с^ })(1) = 8(1)/ --------------------------------, . (6)

ІҐ18 '(1 )(1_1 )у/1 +1

Причем ряд, стоящий в правой части равенства (6), сходится по норме пространства Б2 (В) . Доказательство. Непрерывность оператора Т следует из пункта 2) теоремы 1. Докажем, что оператор Т инъективен, то есть ядро отображения Т состоит лишь из нуля. Пусть Е(Л) Е Кег Т, то есть

Е (Л)

Е(Л) = 0, к = 1 , ¥ . Тогда g(Л) =-------- есть целая функция экспоненциального типа, которая, как следует

^ (Л)

из пункта 3) теоремы 1, равномерно стремится к 0 при вне множества иі:|1_ЛІ <*}■

к=1

Следовательно, g(1) ° 0 ° Р(1) .

Поэтому достаточно проверить, что ряд, стоящий в правой части (6), определяет на всем 12 ограниченный оператор Т 1 :12 а В2(В), обратный к Т. Разобьем последовательность 1к }¥=1 на П последовательностей Л у = {1к, у ^ 1 = 1 п , состоящих соответственно из нулей функции 8(1) ,

_\0 _\0

расположенных в полуполосах Ру (К) = {1: Яе 1 > 0; | 1т 1е 1 |< К} . (Если корень 1

принадлежит одновременно нескольким полуполосам Ру (К), то отнесем его к полуполосе с меньшим

номером). Элементы каждой из последовательностей Л у пронумерованы в порядке возрастания их модулей.

Перенумеруем соответственно последовательность (Ск } и перепишем (6) в виде

н (Лк ,■)

п — С е

Т -1 ((Ск })(Л) = 5 (Л) У У-—-------------------------------------у. . Очевидно, достаточно доказать, что каждый из

Л‘”К ’ ' у=1 к=15'(Лк,,)(Л-Лк,,)да+т

п внутренних рядов сходится по норме пространства Б2 (В) и определяет непрерывный оператор

1 - Ск еН (Лк,У >

Ту (¡Ск,у ¡)(Л) = 5(Л)у -------. =. Из утверждения 2) теоремы 2 следует, что при

к=1 5 (Лк,у )(Л Лк,у )д/1 Лк,у I + 1

некоторой положительной константе с справедливо неравенство | Лк у |> ск (7)

при достаточно больших к. Из утверждения 3) теоремы 2 следует, что

т = 1п5 (| 5'(Л) | е-нЛ VI Лд- | +1} > 0. Воспользовавшись неравенством Гельдера, получим:

H (1, ] )

V-----

k=1 SЛ, ] )(Л-Л„, ] )^1Лк, ] |+1

<

1

V

2

Ск, ]

к=1 w 2

= const

И

¥ 1 Zr-Ч-к=1 1 - Лк, ]

(8)

Из (7) и (8) следует, что ряд, стоящий в правой части (6) сходится равномерно на каждом компакте в

[ 0, - ф у,

комплексной плоскости к некоторой целой функции Еу (Л) такой, что ру Л) =

(9)

Надо показать, что функция F, (1) G B2 (D), F-- (1)

B2( D)

< const

{Ck, J }

,. В силу пункта 4)

теоремы 1 достаточно проверить, что при некотором комплексном £ функция (Л — £) е Б2 (В)

F, (Л-()

B2( D)

< const

{Ck, J }

(10).

Доказательство проведем для j = 1, считая, что q = 0 и hD (0) = 0. Выберем Z так, чтобы

полуполоса ( + W) целиком лежала в области {1: arg 1G (0,62 ); Im 1 > Т) > 0}. Принимая во

внимание теорему 2 (п.1) и (4), мы можем утверждать, что каждое слагаемое и, следовательно, частичные

H (4,1)

суммы ряда

Fi(l-Z) = S (Л-()У~

ck .1«

s s '(л .i)(i -(-л, 1^| л„ .11+1

(11)

представляющего функцию р (Л — £) , принадлежат пространству Б2 (В) . Для того, чтобы доказать

сходимость ряда в этом пространстве и оценить его сумму, докажем справедливость оценки

2

sup

J=1,n 0

J S(req -()

e

-2H(re J )

(Г + 1)

Ck .1e

H (Л ,1)

У-----

<-=l SU.1 )(req -(-Л.1 ^.1 | +1

dr < const У |ck 11

(12)

для любых натуральных чисел I < т . Произведение некоторой константой. Поэтому достаточно доказать, что

с ен (Л ,1) ск ,1е

S(req -()

i 9 j .-----

■H(re j ) . i

V r + 1 ограничено сверху

У-------------

k=iS'(lk,)(req -z-lk,W|lk.1 j +1

dr < const У |ck 1 .

(13)

Докажем это неравенство, полагая для определенности, что у = 1. Поскольку из-за выбора £ все полюсы

н (Лк ,1)

функции Gt m (Л) = У —

ck.1e

расположены в верхней полуплоскости, то

^5-(Лк,1)(Л- £-Лк,1 ^| Лк,11 +1

0,т, (Л) Е н - , где н - - пространство Харди в нижней полуплоскости, а величина, стоящая в левой части неравенства (13), является квадратом Н--нормы функции т . Для вычисления этой нормы воспользуемся тем, что пространство, сопряженное с Н- - это пространство Н + (пространство Харди в верхней

полуплоскости). Пространство Н + с нормой сопряженного пространства обозначим через Н +. Тогда

G,

|1н2

sup

yeH +. ||y||Н2 =1

J Gl,m (r)У(г)dr

.Вычисляя последний интеграл с помощью вычетов и оценивая

полученную норму. мы получим WGl I 2 < sup

’ H- к=тт

e

H (Лк .1)

S

(lk .1 \Лк .11

+1

У lckд|2121 У|у(4.1+0\

2 I 2

(14).

V k=1

Kk=l

и

2

2

m

e

2

2

OO

1

1

< ¥ (см. [3]). Применив теорему 2 (п.3), мы из (14)

Для функции у класса H+ Ey(1k,1 + 0

V к=l J

2

т

получаем l^lm|H_2 £ COnStEl Ск 1 . Соотношение (12) доказано. Аналогично рассматривается случай, когда - к=1

j Ф 1. Так как {c^} Е l2, то последовательность {| С,^2} фундаментальна. Значит, из последнего неравенства следует, что частичные суммы в правой части (11) образуют фундаментальную последовательность в ^(D). По теореме Коши ряд в правой части (11) сходится в пространстве ^(D) и F Е B2 (D) . Оценка (10) доказана. Из непрерывности оператора Tj 1, которую мы доказали, следует непрерывность оператора T 1 = E Tj 1 . Из (9) следует, что TT- = I в пространстве l 2 , и так как Ker T = 0 , то T ~XT = I в пространстве B2 (D) . Теорема доказана.

Следствие. Пусть функция S(1) Е SD, {1, }к=1 - ее нули. Тогда система функций

Г s(1)7к(1) 1 ~

Л, = i — -------------f образует базис Рисса в B (D) .

1 j S (1, )(1-1к)р у Л ;

Отсюда окончательно получаем:

Теорема 4. Пусть D -выпуклый замкнутый многоугольник, S(1) - функция класса SD и {1к }Г=1 - ее

Л Г е^ 1¥

нули. Тогда система Л0 = i —, f , построенная по этим нулям, является базисом Рисса в

2 I#1)],.,

пространстве Бергмана B2 (D ) (через D обозначается многоугольник, симметричный D относительно вещественной оси).

ЛИТЕРАТУРА

1. Гайер Д. Лекции по теории аппроксимации в комплексной области. М. Мир, 1986.

2. Никольский Н.К., Павлов Б.С., Хрущев С.В. Безусловные базисы из экспонент и воспроизводящих ядер. I. Препринт ЛОМИ, Р-8-80.

3. Левин Б.Я., Любарский Ю.И. Интерполяция целыми функциями специальных классов и связанные с нею разложения в ряды экспонент// Изв. АН СССР. Сер. матем. 1975. Т.39. №3. С. 657-702.

4. Любарский Ю.И. Ряды экспонент в пространствах Смирнова и интерполяция целыми функциями специальных классов // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1988. Т.52. №3. С. 559-580.

5. Исаев К.П. Безусловные базисы из экспонент в пространствах Бергмана на выпуклых областях. Диссертация на соискание ученой степени кандидата физ.-мат. наук. Институт математики с ВЦ УНЦ РАН. 2004г.

6. Исаев К.П., Юлмухаметов Р.С. Преобразование Лапласа функционалов на пространствах Бергмана //Изв. РАН. Сер. матем. 2004. T.68. №4. С. 5-42.

Поступила в редакцию 08.11.05 г.