CC BY
14
УДК 621.396.4 (045)
o.i. лисенко*, 1.в. ллексеевл*, о.м. тачинша*
РОЗВИТОК МЕТОДУ ОПТИМ1ЗАЩ1 РОЗГАЛУЖЕНИХ ТРАеКТОР1Й У ЗАДАЧАХ РОЗРАХУНКУ ОПОРНОГО РУХУ ДВОСТУПЕНЕВОГО БЕЗШЛОТНОГО ДЕМОНСТРАТОРА Г1ПЕРЗВУКОВИХ ТЕХНОЛОГ1Й
Нацiональний техшчний унiверситет Укра!ни «Кшвський полiтехнiчний шститут iMeHi 1горя Окорського», м. Ки1в, Укра!на Нацiональний авiацiйний унiверситет, м. Кив, Укра!на
Анотаця. Запропоновано метод розрахунку траекторИ руху двоступеневого безтлотного демонстратора гтерзвукових технологт, який складаеться з безтлотного лтака-ноыя i безтлотного орбтального лтака. Сформульовано необхiднi умови оптимальностi фазових координат i керу-вань у точках структурних перетворень розгалуженог траекторИ'руху двоступеневого безтлотного демонстратора. Розглянуто рiзнi варiанти розрахунку оптимальног траекторИ'руху двоступеневого безтлотного демонстратора на етапах тдйому-розгону i вiддiлення його ступетв. Ключовi слова: двоступеневий безтлотний демонстратор, оптимальне керування, розгалужена траекторiя.
Аннотация. Предложен метод расчета траектории движения двухступенчатого беспилотного демонстратора гиперзвуковых технологий, состоящего из беспилотного самолета-носителя и беспилотного орбитального самолета. Сформулированы необходимые условия оптимальности фазовых координат и управлений в точках структурных преобразований разветвленной траектории движения двухступенчатого беспилотного демонстратора. Рассмотрены различные варианты расчета оптимизации траектории движения двухступенчатого беспилотного демонстратора на этапах подъема-разгона и разделения его ступеней.
Ключевые слова: двухступенчатый беспилотный демонстратор, оптимальное управление, ветвящаяся траектория .
Abstract. A method of calculating the trajectory of a two-stage unmanned demonstrator of hypersonic technologies, consisting of an unmanned carrier aircraft and an unmanned orbital aircraft is proposed. The necessary conditions for phase coordinates and controls optimality at the branching trajectory structural transformations points of a two-stage unmanned demonstrator are formulated. Different cases for calculations of two-stage unmanned demonstrator motion trajectory optimization at the takeoff and stages-splitting motion phases of a demonstrator are considered.
Keywords: Two-stage unmanned demonstrator, optimal control, branching trajectory. 1. Вступ
Розвиток косм1чних технологш у науково-дослщницьких, прикладних i вшськових цшях поставив питання про зниження витрат, пов'язаних з доставкою вашашв на навколоземш орбгти. Перспективним розв'язком ще! задачi е використання багаторазово! транспортно! космiчноi системи (БТКС), в якш уся конструкщя або 11 частина використовуеться багаторазово [1, 3]. Про доцшьшсть використання БТКС свщчать результати льотно-конструкторських випробувань i експлуатаци орб^альних багаторазових транспортних космiчних систем: «Спейс шаттл», «Буран», «Спираль». Обгрунтоваш i розроблеш проекти орбгтальних i суборб^альних транспортних космiчних систем МАКС, «Хотол», «Зангер», «Гермес», «XL-20», «Хоуп», «Клипер» та шших [1-4].
Перспективою розвитку БТКС е одноступеневi з горизонтальним стартом авiацiйно-космiчнi системи (ОГС АКС) з комбшованою силовою установкою. За теоретичними ощн-ками [4], в апара^в, що горизонтально стартують, сила тяги, яка витрачаеться на компен-сащю сили лобового опору для рiзних титв апара^в зi зл^ною масою до 600 тон, не буде перевищувати 50-100*10 Н, в той час, як у апара^в, що вертикально стартують, може до-
© Лисенко О.1., Алексеева 1.В., Тачинша О.М., 2018 ISSN 1028-9763. Математичш машини i системи, 2018, № 1
сягати 3000*104 Н. Промiжним етапом на шляху практично! реалiзащi технологи ОГС АКС виведення в космос корисного навантаження е двоступеневi iз горизонтальним стартом АКС (ДГС АКС) з першим пперзвуковим ступенем-розгонщиком, який прийнято на-зивати лiтак-носiй (ЛН), i другим орбiтальним ступенем, який називають орбiтальним ль таком (ОЛ). Припускаеться, що безпiлотний варiант ДГС АКС буде використано як для вщпрацювання гшерзвукових аерокосмiчних технологiй, впровадження яких приведе до створення пшотованих ДГС АКС i пiлотованих (безпшотних) ОГС АКС, так i технологш виведення у ближнiй космос i зняття з орбiти нано-, мшро- i малих супутникiв рiзного при-значення (технологiя створення космiчних супутникових угрупувань, якi не перетворю-ються з часом в космiчне см^я). При вiдпрацюваннi вказаних технологiй на базi безпшо-тних ДГС АКС реалiзуеться системний пiдхiд, що полягае в конструктивнш i алгоршмч-нш штеграцп планера, силово! установки i бортового iнформацiйно-керуючого комплексу. Запропонований у статп метод дозволяе реалiзувати вказаний тдхщ у частинi, що стосу-еться алгоритмiв траекторного управлiння безпшотною ДГС АКС (БДГС АКС).
Як модель (сценар^) траекторного руху БДГС АКС пропонуеться використовувати розгалужену траекторп (рис. 1) [9, 10].
Дана робота присвячена розробщ методу розрахунку оптимально! опорно! розгалу-жено! траекторп БДГС АКС. Опорною вважаеться та траекторiя, яка може бути прийнята як ращональне перше наближення до оптимально! траекторп, побудова яко! здшснюеться на бiльш детальних i точних моделях руху ступешв демонстратора.
2. Постановка задач1
Вихiднi данi. Як перший стутнь БДГС АКС використовуеться гiперзвуковий безпiлотний лiтак-носiй (ГБЛН), а як орб^альний ступiнь - безпшотний орбiтальний лiтак (БОЛ), який тсля запуску в космос може повертатися по траекторп лiтака на землю.
Тяга ЛН створюеться комбiнованою силовою установкою, що складаеться з турбо-реактивних, прямоточних, гiперзвукових прямоточних пов^ряно-реактивних двигунiв. Силова установка ОЛ - це рщинний ракетний двигун (РРД). Якiсну картину профiлю польоту БДГС АКС представлено на рис. 1.
Зл^ ЛН+ОЛ (ТРД)
ЛН+ОЛ
ЛН+ОЛ
Пiдйом - розгiн ЛН+ОЛ (ППРД)
Гь 91, йь А1, т
Виведення ОЛ (РРД)
Уп, кп
Продовження польоту ЛН (ППРД)
4Г
Повернення ЛН та ОЛ
Рис. 1. Яюсна картина профшю польоту демонстратора (БДГС АКС): ТРД (турбореактивний двигун), ППРД (прямоточний иов1тряно-реактивний двигун) - режими роботи силово! установки ГБЛН, РРД - рщинний ракетний двигун БОЛ
Припускаеться, що рух ступешв демонстратора вщбуваеться у площиш екватора у схщному напрямi, ковзання вiдсутне, а кут крену дорiвнюе нулю.
З урахуванням прийнятих припущень, як математична модель руху ступешв демонстратора вздовж гшок траекторп (див. рис.1) приймаються вiдповiднi рiвняння руху центру мас ЛН+ОЛ (гiлка 0 - 1), ЛН (гiлка 1 - 12), ОЛ (гшка 1 - 11) у проекщях на bící траектор-но'1 системи координат (за вщсутшстю вiтру) [5, 6]:
mV = Р cosoí — Ха — mg(r,iú3)s'mQ, (1)
V2
mV0 = i5 sin а + Ya — mg(r, u5)cos0 + 2да Fio5 + m — eos 9, (2)
r
доповненi кшематичними рiвняннями
h = V sin 0, (3)
i = -cose, (4)
r
i рiвнянням змшення маси
m = -f, (5)
де P - тяга силовоТ установки ступешв демонстратора на вщповщних гшках траекторп, а - кут атаки, 9 - кут нахилу траекторп, Ya , Ха - вщповщно шдйомна сила i лобовий onip,
- кутова швидюсть обертання Земл1, г = R + h (R — умовний рад1ус Земл1, h - гео-метрична висота), |i - добуток грав1тацшно! стало! на масу Земш, X - довгота, / - секун-дна витрата маси. Зауважимо, що спрощення рiвнянь (1) - (5) не впливае на змют задач^ який полягае в оптимiзащi саме розгалужено'' траекторп. Оптимальний розв'язок траекто-рно'1 задачi, що одержують для нульового кута нахилу площини орбiти по вiдношенню до екватора (рух у площинi екватора), дае похибку не бшьше 2% вщ оптимального розв'язку, отриманого для ненульового кута [2].
Для рiзних дшьниць розгалужено'' траекторп' рiвняння (1) - (5) будуть вiдрiзнятися величиною тяги, аеродинамiчним впливом, секундною витратою маси f та ii початковим значенням. Для позначення приналежносп вектора стану, управлiння та шших параметрiв до опису руху ступешв демонстратора вздовж гшок траекторп 0-1 (ЛН+ОЛ), 1-12 (ЛН), 111 (ОЛ) будемо вiдмiчати 'х лiвим нижнiм iндексом вiдповiдно 1, 12, 11. У випадках, коли мiркування стосуються усiх гiлок розгалужено'' траекторп або коли зрозумшо, про яку саме гшку розгалужено'' траекторп' йде мова, шдекси 1, 12, 11 не записуемо.
Як критерш оптимiзацii траекторп' руху ступенiв демонстратора приймаемо вектор-ний критерiй вигляду
/ = { A^A/12,AUr, (6)
де компонентами е ¡нтервали часу руху ступешв по плках траекторп; А/, =t1-t0; А/,, = -/, (i = 1,2); /,,/|2,/,, - момента часу структурних перетворень траекторп
демонстратора, t0 < <tl2 <tu (рис. 1). Перетворимо векторний критерш у адитивну скаля-рну форму
I = b^+buMn+bnMn, (7)
де b, b12, bn - нормованi ваговi коефiцiенти.
Будемо вважати, що ЛН+ОЛ починають шдйом-розгш у момент часу t — 0 в точш фазового простору моделi (1) - (5) з координатами V1,01з h1, mj.
Июля пiдйому-розгону i вiддiлення ступешв орбiтальний лiтак i лiтак-носiй повинш досягнути швидкостей i висот вщповщно V\\, h\\ (ОЛ) i Vn, Л12 (ЛН) за довшьних значень 9и,Хи,ти а = 1,2).
При розв'язаннi дано! задачi будемо розглядати як допустимий такий рух ступешв демонстратора по плках траекторп, при якому не порушуються Taxi обмеження за фазови-ми координатами х = {V,Q, h, Х,т}г i управлшням и = {Р,а}г модел1 (1) - (5): за величиною кута атаки amm < a < amax; за величиною тяги силовоТ установки РЫп < Р < Рпах.
Такий набiр обмежень вщповщае фiзичному змiсту i е стандартним для задач дина-мiки польоту, в яких розв'язуеться проблема шдйому-розгону БТКС [5, 7].
Задачу оптимiзашi розгалужено'1 траекторп демонстратора також слщ доповнити таким обмеженням:
/^(O-MO^O^MiJ, (8)
яке забезпечуе умову безпеки руху ОЛ i ЛН тсля ix роздiлення. Умова (8) вимагае, щоб графiки висот польоту ОЛ та ЛН не наближувались до небезпечно! вщсташ, при якiй юнуе реальна небезпека зiткнення ОЛ та ЛН або потрапляння одного з них у супутнш слiд шшо-го [8].
3. Розвиток методу
Для розв'язання задачi оптимiзацii отрно'1 розгалужено'1 траекторп демонстратора будемо розвивати необхщш умови оптимальностi управлiння детермшовано'1 складено'1 динамiчноi системи з роздшенням пiдсистем, викладених у роботах [9, 10].
У данш постановцi задачi рiвняння (1)-(8), що описують рух демонстратора за схемою (рис. 1), набувають вигляду
i*=i f(.iX,!U,t),t eltQ,^], (1x(t0),t0) = const, (1x(t1),t1) = var, (9)
ui =u f(nx,n u,t), t G ih,tnl цл:^) = const, tn = var, (10)
12* =12 Апх,12иЛ* eihAll 12*0l2) = const,tl2 = V3T, (11)
де lx(t)EEn, nx(t) EEn, l2x(t) еЕп - вщповщш вектори стану ступешв двоступеневого
безшлотного демонстратора, a xu(t) G Qj С Ещ, nu{t) G Qu С Emn, 12 вiдповiднi вектори керуючих дiй, якi кусково-неперервнi.
У моменти роздшення фазовi координати ступенiв демонстратора пов'язаш стввщ-ношеннями
=п Mh) =12 Mhl (j = \п-\), (12)
1Хп(Ч)=иХп(Ч)+12Хп(Ч\ (13)
Q( 11 •*,i2 x>i i w'i2 u,t)<o,te [tx ,tl2], (14)
де координата з шдексом n - це маса.
Векторний критерш оптимiзацii розгалужено'1 траекторп ступенiв демонстратора запишемо в адитивнiй формi:
Ч 42
г0
+§Фп(пх,пи^)Л -
ч
1ШП
11 м(0, гей А11 \Х(Ч )> Ч Ч1 Лг
1нтегральш члени критерiю (15) виражають вимоги до характеру руху ступенiв демонстратора вздовж вщповщних гiлок траекторп.
Основнi розрахунковi спiввiдношення для задачi (9) - (15) сформулюемо у такому виглядi.
Нехай
1*(0> пх(0,ци(0»<4 <ги <Ч\ ~ допус-
тимий процес. Для оптимальносп допустимого процесу необхщно ¡снування функщональ-ного множника ц(^) > 0, ^ неперервних розв'язьав ^(0, 1 <Е и¥(0>
1 £ [^12^11 ] диференщальних р1внянь
. дЩ охх
11
дН,
и
дпх
дих
дЯ
д12х
дНи
+ ——
дпх
+ и(0т
дпх
(16)
(17)
(18) (19)
таких, що справедливi умови: 1) трансверсальности
2) стрибка:
Нп(пх,пй,пц,1п) = 0;
(20)
(21)
ц\|/(?12-0)=п\|/(?12+0), (22) Нх{хх, хй, 1\|/,?1) = #12(12*, пй, +Нп(пх, пй, 12*, пм, 12м, (23)
#11(11 * > 11м' 11ММ12
0 ) + Нп(их
> 12 м' 12 ММ 12 0) +
- 0)6(11 •х> 12^ 1А 12й, Чг - °) - Я11 (11 1А1IV, Чг + °) = 0; 3) мжмуму гамiльтонiанiв:
Но (р х(0,в й(0> в 0 = т1п Нр (р х(0,в 40, в 0,
(24)
(25)
HU (ll X, 11«, xxy,tx)+ я12{X2x,X2u,X2y,ix) + \i{ix)Q{xx.х,х2х,ххй,х2й, ix) =
12^ 11м' О
= mm
12M(f)eii12, ie[ibi12]
де Нх = Ф^ +! х^/, Я12 = Ф12 +12 /12/, Яп =Фц +ц М^п/-
У вихiднiй постановцi задачi для опису динамiки руху ступешв демонстратора по гiлках розгалужено! траекторп використовуемо систему (1) - (5) з вщповщними параметрами i характеристиками.
Вектори стану 1 управлшня з р1внянь (9) - (15) будуть мати такий склад: т т
рХ = {Рр,0р,/грДр,/т?р} , рМ = {ар,/р} , де Р - дшьниця розгалужено!' траекторп (Р = 1,12,11). Обмеження (14) набувае вигляд (8).
4. Вар1анти постановок розрахункових задач
У процеа виконання розрахунив розглядаються п'ять вар1аппв оптим1зацп критер1ю (15), що вщповщае у вихщнш постановщ задач1 критерш (7) за умови, що Фр(рХ,р и, г) = Ь^, де
|3 - плка розгалужено!' траекторп (Р = 1,12,11) .
1. Головний варiант, що вимагае виконання уах необхiдних умов (16) - (26).
2. Допомiжний варiант за Н (за гамiльтонiанами), що вимагае виконання умов (16) - (20), (23) - (26). За фiзичним змютом задачi це означае, що точка вщокремлення оптимь зуеться тiльки за моментом вщокремлення ^ для довшьно! фазово! координати х х(^), при якш виконуються вказаш умови. Формально це означае, що мшмум виразу (15) шукають за уама вказаними в ньому управлшнями i параметрами, крiм хх(1х ) .
3. Допомiжний варiант за у (за спряженими змшними), що вимагае виконання умов (16) - (22), (24) - (26). За фiзичним змютом задачi це означае, що точка вщокремлення оп-тимiзуеться тiльки за фазовою координатою х х(ц) для довшьного моменту часу, при яко-му виконуються вказаш умови. Формально це означае, що мшмум виразу (15) шукають за уама вказаними в ньому управлшнями i параметрами, ^м ^ .
4. Прюритетний вар1ант руху для орб1тального л1така, що вимагае виконання умов (16), (17) для te[tl,tn], (18), (20), (25), для Р = 1 1 t е Р = 11 1 Г е [^¿ц], до яких до-даються умови
МО =п нх (! X, хй, !\|/, ?1) = #11 (11 х, 1 Хй, х !\|/, ¡х ),
Ни (12 х' 12м' ц?'^)"'" ^-(^12)6(1 Iх' 12х' 11м' 12м' ^12) =
НХ2(Х2х,Х2и,Х2\|/,0 +
^l2(l2X'12"'12V'0 + ^(06(llX'12X'll"'12"' 0= mill ,,
uu(t)eau,te[tbtn]
+\i{t)Q{xxx,X2x,xxu,l2u, t)
За фiзичним змiстом задачi це означае, що в точщ вщокремлення створюються най-кращi умови для виведення орб^ального лiтака, якi не враховують подальший рух л^ака-ноая. 1ншими словами, спочатку оптимiзуеться дшянка траекторп 0 - 1 - 11, а потсм, ви-ходячи з обчислено'1 точки (| х(1л), 1Л), оптим1зуеться рух ЛН вздовж плки 1 - 12 з умови мЫм1зацп ¡нтервалу часу кЦ2=Ц2—Ц (!л = const J]2 = var) перельоту в точку l2x(tl2) = const 3 дотриманням обмеження (14), в якому цх() i цм(-) е вщомими функщя-
ми часу t €[^,^2]. Формально це означав, що в задач1 (9) - (15) в точщ вщокремлення ва-рiюються усi координати ступеня ЛН+ОЛ пх(^) , ^м маси, а також момент часу початку
виведення на орб^у ОЛ.
5. Прюритетний вар1ант руху для л1така-нос1я, що вимагае виконання умов (16), (17), (19), (20), (22), (25) для Р = 1 1 1 <=[10,М Р = 12 1 t Р = 11 1 te[tn,tn], до
яких додаються умови
• дН12 дих
= о ,te[tutl2i
л
Нх{хх, хщ ^Д) = Ни(их, ий, i¥(/i) =12
Н\ 1 (l 1 •X, 1 \й, ! !\|/, 0 + ц(0б( 11X, их,! ХЩ l2u,t)= min
nu{t)eCLn,te[tbtn]
#„(„*, пм,п\|/,0 +
За фiзичним змютом задачi це означав, що в точщ вщокремлення створюються най-кращi умови для подальшого руху лiтака-носiя, якi не враховують Ti незручностi, що створюються для подальшого руху орб^ального л^ака. Тобто, в першу чергу, оптимiзуeться дшьниця 0 - 1 - 12, а пот1м, виходячи з обчислено! точки (| \Х(1Л),/|), оптим1зуеться pyx OJI
вздовж плки 1 - 11 з умови м1шмзацп штервалу часу Д t = tll—tl (tx = const Jn= var ) виведення в точку nx(tn) = const 3 дотриманням обмеження (14), в якому Х2х(-) i 12w() е Bi-домими функщями часу t E[tbtl2\. Формально це означав, що в задач1 (9) - (15) в точщ вщокремлення вар^ються ус координати ступеня ЛН+ОЛ j x(tj) i всi координати ступеня
ЛН, а також момент часу закшчення сумiсного руху ЛН+ОЛ та момент початку окремого подальшого руху ЛН.
В уах п'яти варiантах задача оптимiзащi критерiю (7) зводиться до розв'язання трьох двоточкових крайових задач, пов'язаних мiж собою в точщ вщокремлення спещаль-ними умовами: умовами неперервност усiх фазових координат, ^м маси; умовами стри-бка за спряженими змшними i гамшьтошанами. Для однозначного розв'язання задачi оп-тимiзацii за кожним варiантом потрiбно, щоб загальна кiлькiсть довiльних сталих, яю вхо-дять у розв'язок системи звичайних диференщальних рiвнянь, що описують рух ступенiв демонстратора, еволющю спряжених змiнних i кiлькiсть момешив часу вiдокремлення ступенiв, дорiвнювала кшькосп обмежувальних умов.
5. Висновки
У данш статтi викладено розвиток методу оптимiзащi розгалужених траекторiй у задачах розрахунку отрно!' траекторп руху двоступеневого безпшотного демонстратора пперзву-кових технологш.
Запропонований метод е теоретичною основою для реалiзацii системного пiдходу при побудовi процедури компонування ступенiв пперзвукових демонстраторiв, а також штеграци конструктивних особливостей планера ступешв демонстратора i комбшовано!' силово'1 установки.
Запропонований метод може бути використано як для попереднього, так i для оперативного розрахунку траекторп руху ступешв демонстратора.
СПИСОК ДЖЕРЕЛ
1. Лозино-Лозинский Г.Е. Сравнительный анализ многоразовых космических транспортных систем / Г.Е. Лозино-Лозинский, Э.П. Дудар // Проблемы механики и надежности машин. - 1995. - № 4. -С. 3 - 12.
2. Гусынин В.П. Авиационно-космическая лаборатория для отработки гиперзвуковых технологий / В.П. Гусынин, И.И. Сердюк // Вюник НАУ. - Кив, 2000. - № 1-2. - С. 292 - 295.
3. Лазарев Ю.А. Управление траекториями аэрокосмических аппаратов / Ю.А. Лазарев // Самарский научный центр РАН. - Самара, 2007. - С. 274.
4. Лукашевич В.П. Космические крылья / В.П. Лукашевич, И.Б. Афанасьев. - Москва, 2009. - 498 с.
5. Основы проектирования летательных аппаратов (транспортные системы) / В.П. Мишин, В.К. Безвербый, Б.М. Панкратов [и др.]; под ред. В.П. Мишина. - Москва: Машиностроение, 1985.
- 360 с.
6. Аэромеханика самолета: динамика полета / Под ред. А.Ф. Бочкарева, В.В. Андриевского. -Москва: Машиностроение, 1985. - 360 с.
7. Охоцимский Д.Е. Основы механики космического полета / Д.Е. Охоцимский, Ю.Г. Сихарулидзе.
- М.: Наука, 1990. - 448 с.
8. Швец А.И. Аэродинамика сверхзвуковых форм / Швец А.И. - М.: Издательство МГУ, 1979. -240 с.
9. Lysenko O. The optimal injection path of group of nanosatellite multisensor-based platforms /
0. Lysenko, O. Tachinina, I. Alekseeva // IEEE 4th International Conference «Methods and Systems of Navigation and Motion Control». - Kyiv, 2016. - Р. 200 - 205.
10. Lysenko О. Path Constructing Method of Unmanned Aerial Vehicle / O. Lysenko, O. Tachinina,
1. Alekseeva // IEEE 4th International Conference «Actual Problems of Unmanned Aerial Vehicles Developments». - Kyiv, 2017. - P. 254 - 259.
Стаття над1йшла до редакцп 12.12.2017
