CC BY
77
Рост трещины вблизи границы раздела разнородных материалов
в условиях сжатия
Ю.П. Стефанов, И.Л. Поболь1, А.Г. Князева, А.И. Гордиенко1
Институт физики прочности и материаловедения СО РАН, Томск, 634021, Россия
1 Физико-технический институт НАН Беларуси, Минск, 220141, Беларусь
Исследовано развитие сквозной наклонной трещины вблизи границы раздела в паяном составном образце. С этой целью были рассмотрены задачи о росте трещины в однородном материале и в материале, свойства которого изменяются в соответствии с изменением концентрации легирующего элемента, внедрившегося из припоя в материал в процессе пайки при формировании неразъемных соединений сверхтвердых материалов, преимущественно кубического нитрида бора, с основой. Область, содержащая трещину, находится в условиях сжатия, ортогонального границе раздела.
1. Введение
Получение надежных бездефектных соединений сверхтвердых материалов — элементов из поликристал-лического алмаза и кубического нитрида бора — с основой из стали или твердого сплава, т.е. материалов, характеризующихся значительным различием ряда физикомеханических свойств, является основной проблемой при изготовлении инструментов. Пайка обладает превосходным потенциалом для получения соединений сверхтвердых материалов с основой, поскольку обеспечивает хорошую прочность и термостойкость.
В настоящее время выпускаются различные модификации кубического нитрида бора. Наиболее распространены материалы, получаемые прямым синтезом — фазовым превращением графитоподобного ВК в кубический при давлении 5-9 ГПа и температуре 2073-2 473 К в присутствии добавок (катализаторов) или без них. Далее они представлены усредненными значениями констант. В последние годы получены поликристаллы кубического нитрида бора “светланит” высокой плотности и чистоты со сверхмелкой структурой, отличающиеся чрезвычайно высокими характеристиками. В качестве исходного материала для его синтеза применяется трехмерноупорядоченный высокочистый монолит-
ный пиролитический нитрид бора. Твердость этой модификации кубического нитрида бора достигает твердости природного алмаза (100 ГПа). Комплекс свойств позволяет применять “светланит” для лезвийной обработки широкого спектра материалов, в том числе таких, которые невозможно обрабатывать другими сверхтвердыми материалами из-за катастрофически быстрого износа режущего инструмента.
В качестве основы инструмента, оснащенного сверхтвердыми материалами, чаще всего используются конструкционная сталь, а также твердые сплавы. Для пайки кубического нитрида бора с основой применяются адгезионно активные многокомпонентные припои, преимущественно на основе меди или серебра, с добавками титана до 5 мас. %.
Известно [1, 2], что при получении неразъемных соединений разнородных материалов (прежде всего это касается узлов керамика - металл) методами диффузионной сварки и пайки из-за существенной разницы коэффициентов теплового расширения, а также перераспределения легирующих элементов в окрестности границ раздела возникают напряжения, которые при определенных условиях приводят к образованию микротрещин на некотором удалении от поверхности со-
© Стефанов Ю.П., Поболь И.Л., Князева А.Г., Гордиенко А.И., 2002
пряжения в хрупкой части составного образца. Даже при использовании в качестве основы таких пластичных металлов, как Au и Al, в присоединяемой керамике Al2Oз возможно формирование дефектов. В рассматриваемом нами случае этой частью, потенциально склонной к растрескиванию, будет элемент из сверхтвердых материалов. В принципе, зарождение и рост дефектов в виде трещин в условиях пайки во многом аналогичны их развитию в поверхностном слое материалов, находящихся под действием агрессивных сред. Моделированию подобных процессов посвящено достаточно много публикаций теоретического характера. Не анализируя эту стадию, предположим, что процесс пайки завершен и микротрещина, параметры которой известны, содержится в готовом инструменте. Рассмотрим картину развития трещины произвольной ориентации в зависимости от ее близости к границе раздела материалов с различными свойствами.
2. Известные аналитические оценки
Пусть в однородном хрупком образце, находящемся в условиях неравноосного сжатия, содержится наклонная трещина. При таких условиях нагружения происходит смещение поверхностей трещины, в результате чего вокруг вершин возникают антисимметрично расположенные зоны растяжения и сжатия. Данную трещину удобно рассматривать как трещину сдвига. Ее поверхности сжимаются под действием нормальных напряжений
ап = \ (ах + а^) + (ах -а^ где а — угол наклона трещины, а касательные напряжения т = —(ах - а^)э1п2а приводят к сдвигу поверхностей трещины.
Пренебрегая действием сил трения, в цилиндрической системе координат можно записать:
К п 1 . 9
а г =— — эт—(3cos 9-1),
Ы2пг 2 2
Кп 3 . 9 9
а9 =----/=ТЭ1П 9С0ЭТ>
Ы2пг 2 2
К тт 1 9
а г9 =--¡=-с0э-(3э1П 9- 1)-
л/2пг 2 2
Используя в качестве условия роста трещины достижение растягивающими напряжениями предельного значения, для определения направления начала роста в известных аналитических моделях находят угол 9, при котором напряжения принимают экстремальные значения.
Критерий прочности, сформулированный на основе применения данной процедуры, составляет основу теории Гриффитса о разрушении тел в условиях сжатия. Развитие этой теории для случая эллиптической трещи-
ны с анализом направления ее дальнейшего роста выполнено Б. Полем [3]. Например, направление наиболее опасной трещины определяется выражением:
°У -ах
cos 2а = -
2("X + "у )
Направление ответвившейся трещины определяется
tg(9 + a) =
A sin2 a + cos2 a-V A2 sin2 a + cos2 a
(A - 1)sin a cos a
где A = -
a.
Для определения направления дальнейшего роста трещины следует многократно повторить данную процедуру. Результаты представлены в работе [3] виде таблиц и графиков.
Считается, что рост трещины такого типа происходит по механизму отрыва и соответственно контролируется критическим коэффициентом интенсивности напряжений. Как теоретические оценки, так и анализ экспериментальных данных показывают, что трещина вытягивается по направлению оси сжатия или ортогонально оси действия наибольших, с учетом знака, напряжений [4].
В работах [5,6] приведены выражения для определения эффективной длины наклонной трещины в условиях
сжатия хрупкого тела:
2
(2p(a)a)2,
(1)
где 2а — длина исходной трещины;
P(a) = sin2 a cos a(1 - tg a tgy) или (при отсутствии трения между поверхностями трещины, т.е. при tg у = 0)
P(a) = sin2 a cos a.
Коэффициент интенсивности напряжений для трещины, к поверхностям которой приложены силы F, определяется выражением:
K1 = 7П7
или в нашем случае
2aa^P(a)
KÍ =
л/л/
Из данного выражения хорошо видно, как снижается уровень напряжений отрыва по мере продвижения трещины. Коэффициент интенсивности напряжений уменьшается с увеличением эффективной длины трещины. Трещина вытягивается в направлении приложенной к телу нагрузки и стабилизируется.
Однако существующие аналитические выражения позволяют провести оценки состояния трещины в хрупком материале только для строго оговоренных условий.
a
В случае близости границы раздела разнородных материалов эти условия становятся достаточно сложными. Кроме того, одной из основных проблем, связанных с исследованием роста трещин, является то, что все такие оценки справедливы лишь до начала роста трещины. С момента страгивания трещины (даже без учета динамических явлений), строго говоря, мы имеем дело с новым объектом. Поскольку геометрия тела изменилась, необходимо заново решать задачу о напряженном состоянии уже с новыми граничными условиями, что практически невозможно осуществить аналитическими методами. В связи с этим наиболее подходящий путь к решению таких задач — это применение численных методов, которые позволяют рассчитать напряженно-деформированное состояние в ходе развития трещины и проследить ее путь.
3. Модель процесса
Изучение процесса деформирования образца, содержащего трещину, будем проводить численно. В основу модели, используемой в расчетах, положена обычная система уравнений механики сплошной среды, включающая уравнения движения
аЦ,7 = Ри*,
уравнение неразрывности
Р + Ри1,1 = °> уравнение энергии в форме
Е = ау е у, определяющие соотношения
ау = -Р8у + ¡у ,
р = k
V V'
Ряу
Dt
Ряу
Dt
- + Н = 2ц(еу -1/3^8у),
'-¡¡у -М]к -¡]кМ1к
при заданных начальных и граничных условиях, где а у — компоненты тензора напряжений; еу — компоненты тензора деформаций Коши:
1
е у = 2(и, у + иу,г-);
К — компоненты вектора перемещения, ¡у — компоненты девиатора тензора напряжений; Му — компоненты тензора скоростей вращения
Му = 2 К у - иЛ)-В рассматриваемом случае плоской деформации имеем
иг = 0. е х2 = е уг = е = 0.
Полагаем, что начальные условия соответствуют состоянию, свободному от напряжений и деформаций, а
остаточные напряжения, появившиеся в процессе пайки, привели к возникновению трещины. При численном моделировании начальная трещина задавалась в виде внутренней поверхности, вдоль которой возможно свободное скольжение и разделение материала, т.е. сдвиг и раскрытие трещины. Условие продвижения трещины принималось в виде: аП = ас или Кт = К 1с.
4. Алгоритм расчета
Решение задачи осуществляется конечно-разностным методом в двумерной постановке [7]. Для описания образования трещин используется метод разделения узлов расчетной сетки. Процедура разделения узлов осуществляется при выполнении локального условия разрушения, которое проверяется на каждом временном интервале, в течение всего расчета и во всей расчетной области. С помощью этого метода осуществляется создание в области разрушения новых поверхностей. На вновь образованных границах задаются условия свободной поверхности. Это обеспечивает автоматический учет образования трещин в процессе деформирования во всей расчетной области. Использование такого способа описания образования трещин позволяет учитывать и рассматривать проскальзывание их поверхностей. Явное описание разрывов, образующихся в ходе процесса, дает возможность учесть их влияние на напряженно-деформированное состояние. Естественно, что при численном описании приращения имеют дискретный характер, а сама трещина принимает вид ломаной.
Реализация граничных условий на контактирующих поверхностях трещины осуществлялась по схеме коррекции движения узлов расчетных ячеек. Используемый алгоритм реализации контактных условий аналогичен алгоритмам, описанным в работах [8, 9]. Некоторые детали использования разработанных алгоритмов разделения узлов и контактного взаимодействия поверхностей трещины приведены в [10].
Процедура расчета на каждом временном интервале включает следующую последовательность операций:
1. Расчет движения узлов расчетной сетки при соответствующих граничных условиях. На всех поверхностях, где эти условия заранее не заданы, а определяются в ходе решения задачи, используются условия свободных поверхностей.
2. Расчет контактного взаимодействия поверхностей (условие непроникновения и закон скольжения) и коррекция движения узлов в соответствии с взаимодействием.
3. Расчет напряженно-деформированного состояния в ячейках сетки.
4. Проверка условия разрушения и формирование новых поверхностей (разделение узлов и задание соответствующих условий на новых поверхностях).
При решении задачи были использованы следующие значения констант материалов:
Материал Кубический нитрид бора Светланит Сталь (основа) Припой
Модуль упругости Е, ГПа 130 850 500 83
Плотность р, г/см3 3.4 3.5 8.0 4.5
Коэффициент Пуассона V 0.15 0.15 0.24 0.33
5. Результаты расчетов и их анализ
Рассмотрим поведение фрагмента образца, содержащего сквозную трещину в окрестности границы раздела материалов, в условиях сжатия ортогонально границе (рис. 1). Такие условия можно считать типичными в области сопряжения разнородных материалов комбинированного режущего инструмента. Проанализируем различные частные случаи.
Решение осуществлялось на равномерной расчетной сетке с шагом дискретизации 0.001 мм.
Длина исходной трещины 2а = 0.05 мм.
5.1. Трещина в однородном материале вдали от границы раздела
Допустим, что присутствие диффундирующих из припоя элементов в кубическом нитриде бора никак не отражается на его физико-механических свойствах. Тогда, если трещина находится на достаточном удалении
_________________________________
У*
X
2
7777777777777777777777777777777
от границы раздела, можно ожидать ее симметричного роста, описываемого выражением (1).
Напряженное состояние вокруг трещины в системе координат, привязанной к ее исходной ориентации, показано на рис. 2. Темной линией отмечен нулевой уровень на поверхностях распределения компонент напряжений ах и ау. Хорошо видно наличие зон растяжения вблизи вершин, которые возникают за счет относительного сдвига поверхностей трещины.
На рис. 3 показаны рассчитанные конфигурации трещин при различных углах наклона исходной трещины в однородном образце. Трещина начинает свой рост ортогонально своей поверхности и далее вытягивается по направлению приложенной нагрузки, а ее рост прекращается. Как и предсказывает выражение (1), эффективная длина трещины пропорциональна величине нагрузки. Изолинии распределения напряжений вокруг трещины после ее остановки показаны на рис. 4.
0.10 0.10
Рис. 1. Схема расчетной области: 1 — керамика; 2 — основа; а — угол наклона трещины
Рис. 2. Напряженное состояние вокруг трещины
Рис. 3. Окончательный вид трещины для случая, когда трещина находится на достаточном удалении от границы раздела: а = 55° (а); 35° (б)
5.2. Трещина вблизи границы раздела материалов
Напряженное состояние вблизи границы раздела зависит от соотношения свойств материалов по разные стороны от границы, а также условий на боковых поверхностях и удаленности последних. Очевидно, что при сохранении сплошности нормальная к границе компонента напряжений ау и касательные компоненты напряжений т всегда непрерывны. Однако, например при условии идеального механического контакта, вдоль границы раздела может иметь место разрыв параллельных границе нормальных компонент напряжений ах вследствие различия механических характеристик.
В условиях одномерной деформации значения всех компонент напряжений автоматически определяются из закона Гука. В этом случае в каждой из частей образца напряжения равномерны и имеют одинаковый знак во всем образце.
Если условия деформации отличны от одномерных, то ситуация значительно усложняется. Решение такой задачи можно осуществить с помощью рядов Фурье (см., например, [11]) либо численно.
Проведенные численные расчеты показали, что при сжатии в случае сопряжения кубического нитрида бора с материалом основы без учета припоя в явном виде вблизи границы имеет место сжатие слева от границы в керамике и растяжение в материале основы (рис. 5, а). При использовании светланита в состоянии растяжения будет находиться керамический слой (рис. 5, б). Если ввести в рассмотрение промежуточный, наиболее мягкий слой припоя, то растяжение получим по обе стороны от этого слоя, тогда как припой окажется в наиболее благоприятных условиях — сжатия (рис. 5, в). Таким образом, характер распределения напряжений а х, воз-
никающих вблизи границ раздела под действием внешней нагрузки, аналогичен распределению остаточных напряжений, возникающих в процессе пайки и приводящих к образованию микротрещин вблизи поверхности сопряжения материалов [1, 2].
Понятно, что по мере приближения вершины трещины к границе раздела увеличивается влияние последней. Поэтому, как только трещина попадает в область влияния границы, ее поведение в значительной степени определяется напряжениями, обусловленными разрывом характеристик материалов по разные стороны от границы.
При рассмотрении поведения трещины вблизи границы раздела получены картины несимметричного роста (рис. 6). Рис. 6, а соответствует случаю, когда в качестве материала 1 (см. рис. 1) используется кубический нитрид бора (без учета припоя). В этом случае развитие трещины в направлении границы тормозится сжимающими напряжениями. Выход трещины на границу раздела оказывается маловероятным при отсутствии эффектов другой, например химической, природы.
При использовании светланита картина оказывается противоположной. Вблизи границы раздела в керамическом материале имеет место растяжение вдоль границы. Поэтому по мере приближения исходной трещины к границе раздела начинает сказываться влияние этих напряжений. Одна из вершин стремится к границе, плечо трещины становится более прямолинейным (рис. 6, б).
Столь принципиальное значение комбинации материалов для роста трещины, а точнее напряжений, обусловленных различием механических характеристик, связано с отрывным механизмом роста трещины. Поэтому при нагружении ортогонально границе раздела трещина любой ориентации, вытягиваясь по оси нагру-
Рис. 4. Изолинии распределения компонент напряжений после остановки трещины
жения, стремится приблизиться к границе. При этом результат — достигнет она этой границы или нет — определяется, в числе прочих факторов, и комбинацией свойств. Можно предположить, что при выходе трещины на границу раздела, т.е. в материал припоя, ее рост в данном направлении прекратится.
ах, МПа
15
О
-15
1 кубический
- нитрид бора \ сталь
^ 1 ►
-0.10 -0.05
0.00
0.05 г, мм
30
Светланит УІ сталь
-0.10 -0.05
0.00
0.05 г, мм
стх> МПа 100 0
- кубический JL припой усталь
нитрид бора V
-0.10 -0.05 0.00 0.05 г, мм
Рис. 5. Разрыв а х-компоненты напряжений при различной комбинации сопрягаемых материалов
5.3. Влияние легирующего элемента на прочность материала
Известно [1 и др.], что при пайке кубического нитрида бора адгезионно активными припоями имеет место диффузия ряда элементов, прежде всего титана, из припоя в кубический нитрид бора. Предположим, что наличие растворенного в керамике титана снижает ее прочность пропорционально концентрации, и рассмотрим рост трещины с учетом данного явления. Распределение концентрации легирующего элемента, представленное на рис. 7, рассчитывалось по формулам [2]:
х erfc
^ +-^= 5 2^
C2 = C0 exp
-VA н (4^2 -Та"
х erfc
5 ^ -Уа~ л
2
5
2VD2t
где 8 = 0.006 см — ширина области, занятой припоем. На-
-8 2 /
чальная концентрация С0=0.05; В1 = 1.4 х10 см /с; в2 = 4.1 -10-6 см7с; t= 500 с.
В расчетах картины развития трещины принято, что зависимость модуля сжатия материала к от концентрации можно записать в виде: к1 = к 1(1 - С) + кТ1 С, а
х
х
5
0 б
Рис. 6. Окончательный вид трещины для случаев, когда исходная трещина находится вблизи границы раздела: а — кубический нитрид бора (1) + + сталь (2); б — светланит с учетом влияния диффузии в него Т1 (1) + сталь (2)
предела прочности или критического коэффициента напряжений К:
К 1с = К1 (1 - СЬ) + КТ1 СЬ, Ь = 0 +10.
В этом случае вполне естественным оказывается ускорение распространения трещины по направлению увеличения концентрации титана. Картина распространения становится подобной случаю с наличием растягивающих напряжений вдоль границы раздела (рис. 6, б). Однако зона влияния растворенного титана значительно шире зоны влияния “контактных” напряжений. Если “контактные” напряжения в данном случае начинают сказываться на расстоянии от границы порядка 0.02 мм (рис. 5), то на расстоянии около 0.06 мм уро-
Рис. 7. Распределение концентрации титана вблизи границы раздела материалов
вень концентрации диффундирующих элементов составляет порядка 0.1 % и быстро растет по мере приближения к границе раздела. По-видимому, начиная с этого расстояния, следует принимать во внимание влияние концентрации элементов на процесс.
Распространение трещины с учетом промежуточного слоя материала припоя не рассматривалось. Однако можно предположить, что при выходе вершины трещины в припой она прекратит свой рост. Остановке должно способствовать наличие сжимающих напряжений в данном слое. Дальнейшее продвижение противоположной вершины может зависеть от возможности пластического деформирования в вершине, находящейся в припое. Тогда пластическое “затупление” вершины может способствовать раскрытию трещины, сдвигу поверхностей исходной трещины и увеличению расклинивающей силы, что приведет к дальнейшему распространению трещины в керамике.
В случае, если исходная трещина ориентирована параллельно границе раздела, очевидно, что она будет находиться в закрытом состоянии. Рост такой трещины может иметь место лишь при изменении условий нагружения, например при переходных процессах, когда нагрузка имеет динамический характер.
6. Заключение
Результаты численного моделирования показывают, что в процессе роста трещина вытягивается вдоль оси действия нагрузки и ее рост прекращается, что соответствует известным теоретическим и эксперименталь-
ным результатам. Эффективная длина трещины пропорциональна величине нагрузки, а также исходным величинам длины и угла наклона. В случае, когда трещина находится вблизи границы раздела материалов, наблюдается несимметричное распространение трещины. На рост трещины значительное влияние оказывают напряжения, обусловленные различием механических характеристик материалов по разные стороны от границы раздела. Учет изменения концентрации элементов и ее влияния на механические характеристики материала показывает, что возможно ускорение роста трещины в сторону границы раздела. Расстояние, на котором диффундирующий из припоя титан оказывает влияние на рост трещины, оказалось существенно больше расстояния, на котором значимы “контактные” напряжения.
Благодарности
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант № 00-01-81128 Бел 2000-а) и Белорусского республиканского фонда фундаментальных исследований (грант Ф99Р-113).
Литература
1. Поболь И.Л., Нестерук И.Г., Волъфарт X. и др. Электронно-лучевая пайка кубического нитрида бора к основе из твердого сплава // Сварка и родственные технологии. - 1999. - № 2. - С. 43-46.
2. Князева А.Г., Поболь И.Л. Оценка напряжений в диффузионной зоне соединений керамика - основа // Весщ НАН Беларусь -2001.- № 3. - С. 61-73.
3. Поль Б. Макроскопические критерии пластического течения и хрупкого разрушения // Разрушение. Математические основы теории разрушения / Под ред. Г. Либовица. - М.: Мир, 1975. - Т.2.-С.336-520.
4. НиколаевскийВ.Н, Лившиц Л.Д., Сизов И.А. Механические свойст-
ва горных пород. Деформации и разрушение // Механика деформируемого твердого тела (Итоги науки и техники). - М.: ВИНИТИ АН СССР, 1978. - Т. 11. - С. 123-250.
5. Germanovich L.N., Salganik R.L., Dyskin A.V., and Lee K.K. Mechanisms of brittle fracture of rock with pre-existing cracks in compression // PAGEOPH. - 1994. - V. 143. - No. 1/2/3. - P. 117-149.
6. Germanovich L.N., Carter B.J., Ingraffea A.R., Dyskin A.V., and Lee K.K. Mechanics of 3-D crack growth under compressive loads // Rock mechanics, Aubertin / Ed. by Hassani and Mitri. - Rotterdam: Balkema, 1996. - P. 1151-1160.
7. Уилкинс М.Л. Расчет упругопластических течений / Вычислительные методы в гидродинамике. - М.: Мир, 1967. - С. 212-263.
8. Descombes C., Fanget A., LeRoux A.Y. An augmented Lagrangian formulation for dynamics contact/impact problems in an explicit Lagrangian finite element code // International workshop on new models and numerical codes for wave processes in condensed media. -AWE Hunting - Brae, Great Britain, 1997. - P. 762-772.
9. Gulidov A.I., Fomin V.M., Shabalin I.I. Mathematical simulation of fracture in impact problems with formation of fragments // International Journal of Fracture. - 1999. - V. 100(2). - P. 121-131.
10. Stefanov Yu.P. Wave dynamics of cracks and multiple contact surface interaction // Theor. and Appl. Fract. Mech. - 2000. - V. 34/2. -P. 101-108.
11. Работнов Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела. - М.: Наука, 1988. - 712 с.
