Изотермическая модель процесса диффузионной пайки с образованием адсорбционных соединений Текст научной статьи по специальности «Физика»

Изотермическая модель процесса диффузионной пайки с образованием адсорбционных соединений

Н.В. Букрина, А.Г. Князева

Институт физики прочности и материаловедения СО РАН, Томск, 634021, Россия

В работе сформулирована модель образования адсорбционного соединения в процессе диффузионной пайки. Построено аналитическое решение задачи, причем показана применимость метода дифференциальных рядов к решению сопряженных задач. Найдены уравнения для определения положения границ раздела фаз в различные моменты времени.

1. Введение

Одним из перспективных способов соединения разнородных материалов (металлов и неметаллов) является пайка, которая может быть осуществлена при различных температурах, что делает этот процесс весьма универсальным [1]. В случае диффузионной пайки соединяемые материалы, разделенные припоем, быстро нагреваются до высокой температуры, называемой температурой пайки, а затем образование соединения происходит изотермически. Использование энергии электронного луча [2] позволяет минимизировать стадию нагрева и сделать процесс пайки еще более эффективным. В зависимости от условий пайки (температуры и времени пайки), а также от состава припоя и характера соединяемых материалов получается тот или иной тип соединения. Большую роль в процессе диффузионной пайки играет диффузия, определяющая характер распределения легирующих элементов, толщину переходной (диффузионной) зоны, что, в свою очередь, помимо различия коэффициентов расширения материалов, влияет на величину и характер остаточных напряжений. Теоретические исследования, проведенные в [3-5], позволили установить, что процесс формирования соединения материалов можно рассматривать как изотермический, причем неизотермическую стадию (время охлаждения образца до температуры существенного замедления процесса диффузии) можно учесть как добавочное время выдержки при заданной температуре Ats, которое зависит от условий охлаждения. Анализ различных частных случаев,

соответствующих, например, припоям разного состава (образование чисто диффузионного соединения с учетом и без учета пределов растворимости легирующих элементов, с учетом и без учета перекрестных диффузионных потоков и др.), позволяет сформулировать задачу оптимизации процесса образования паяного соединения при наличии ограничений на величину температуры пайки, толщины диффузионных слоев, величину остаточных напряжений [4]. Существенным дополнением к этим работам может стать теоретическое исследование процесса диффузионной пайки с учетом изменения химического состояния легирующих элементов в процессе диффузии. Например, определенный интерес представляет анализ распределения элементов в переходных слоях при условии образования химических соединений, выделении различных твердых фаз и др. Во многих практически интересных случаях [1] образование чисто адсорбционных соединений — нежелательно. Тем не менее, для многих типов припоев стадия адсорбции является начальной стадией соединения материалов, и на практике требуется оценить толщины образующихся адсорбционных слоев.

С этой целью в настоящей работе анализируется диффузионная задача для трехслойной системы при условии образования адсорбционных соединений между припоем и соединяемыми материалами.

Адсорбцией называется процесс избирательного поглощения газов, паров или жидкостей поверхностью твердых тел — адсорбентов. При этом поглощаемые

© Букрина Н.В., Князева А.Г., 2002

атомы или молекулы накапливаются в поверхностном слое, не проникая вглубь веществ. В случае последовательного (послойного) образования адсорбционных слоев задача о нахождении толщины адсорбционного слоя может быть сформулирована аналогично типичным задачам теории реакционной диффузии [6]. В этом случае решение задачи можно свести к нахождению константы в законе взаимодействия подвижных атомов или молекул с поверхностью адсорбента.

2. Постановка задачи

Рассмотрим задачу об образовании адсорбционных соединений в процессе диффузионной пайки при следующих предположениях.

1. Пайка осуществляется при постоянной температуре (Т = const), величина которой учитывается в величинах диффузионных коэффициентов.

2. Так как температура пайки не должна существенно превышать температуру плавления припоя, мы можем не анализировать гидродинамические процессы в явном виде, а учесть их через изменение характерных коэффициентов диффузии элементов в припое. В пользу такого предположения говорят и условия эксперимента [2], в соответствии с которыми образец находится в сжатом состоянии, препятствующем течению вещества. Соединяемые материалы остаются в твердом состоянии, и диффузия идет в твердой фазе.

3. Особенность экспериментальных условий [2] такова, что процесс диффузионной пайки в первом приближении можно рассматривать как одномерный. Припой в виде одного, двух или четырех слоев фольги (толщиной соответственно 100, 200, 400 мкм) с момента времени t = 0 находится между двумя соединяемыми материалами: кубический нитрид бора либо композит на основе кубического нитрида бора («светланит») и сталь или твердый сплав WC + Co.

Полагая, что контакт между веществами идеальный и коэффициенты диффузии легирующего элемента в слоях не зависят от концентраций, запишем математическую постановку задачи в следующем виде:

Припой

dCi _ D д2Cl dt 1 dx2

dC2 ^ д2С2

-Xs < x < 0;

It" _ ^ * 0 < x <5;

C _ D3 5 < x < Хь;

dt 3 dx2

(1)

(2)

(3)

x _ Xs: D1 ^ , Cl(-Xs, t) _ 0; (4)

dx dt

x _ 0: Dl ^ _ D2 ■dC2 _ф; , Cl _ C2 _Фі ; (5)

dx dx

Сверхтвердый У r\ \ Основа

материал Л

\ \ з\

\ 2\ \

1\ \ \

(8)

-Х,№ 0 8 Хь(1) х

Рис. 1. Пояснение к математической постановке задачи

х = 5: D2 д 2 = D3 д 3 =Фэ, с2 = С3 = ф3; (6)

дх дх

х = Xь: Dз= -^7^, С3(ХЬ,/) = 0; (7)

дх ш

/ = 0: С1 = С3 = 0, С2 = С0,

Х8(/) = 0, Хь^) = 5;

где D1, D2, D3 — коэффициенты диффузии; С1, С2, С3 — концентрации компонентов; С0 — начальное значение концентрации припоя.

Качественное распределение концентраций для случая образования адсорбционных соединений изображено на рис. 1.

В задаче требуется найти характер (закон) движения границ.

3. Аналитическое решение задачи

Для решения этой задачи воспользуемся методом дифференциальных рядов, предложенным Любовым [7]. Для удобства разобьем исследуемую область на три части и в каждой из них решение задачи будем искать отдельно.

В областях 1 и 3 будем искать решение в виде формального ряда:

с =£-^1* (х, t), С3 =^^лС3п (х,'). (9)

n_0 Dl

Dn

n_0 D3

Подставляя ряды (9) в исходные дифференциальные уравнения (1)-(3) и граничные условия (4), (7), получим систему уравнений для последовательного нахождения приближений. Для нулевого приближения имеем задачу

d 2 Q dx 2

l0

где qs _-

0 C10(-Xs> t) _ 0

dC10(-Xs> t) _

^ qs,

dx 1 dXs

D1 dt

Для последующих приближений имеем ЭСю _ д2Сп с ( X t) - 0

—^ИХТ' С11<-х-t) _0

^(-Xt) _ 0,

дх

дСш_х = д с

дt дх2 ’ Мп_1

дС1п_1

Схп_х(_X*, t) = 0,

дх

-(■X*, t) = 0, п > 2.

Аналогично в третьей области

д 2С3 дх 2

30

= 0, С30 (Xь, t) = 0

дС30 (7 ^ = а а =_________1 ^ь

’(7ь,t) аь, аь

дх

дС30 = д 2С31

дt дх2

С31 (Xь, t) = 0,

дС

31

дх

(Xь, о = 0,

дС3п_1 = д С3п

дt дх2

дС3п _1

С3п_1(Xь, t) = 0,

дх

(Xь, t) = 0, п > 2.

Решение уравнений (10) и (13) ищем в виде Сю — А^х + В1, С30 — А3Х + В3.

Используя граничные условия, получаем

А1 = а*, В1 = а^*, А3 = аь> в3 = _аьXь-

Следовательно,

С10 = а*(х + ), С30 = аь(х_^ь).

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

Используя полученные решения (16), для первых приближений найдем

да* (х + у ) + дX* = д2с11 17(х+•>+а*1Г —х~-

Cll(_X„ t) = 0, ^С^1(_X*, t) = 0,

дх

даь (х X ) „ ^ь = д2с31

1Г (х _ Л„) _

С31(Xь, t) = 0, дCl(_X„ t) = 0.

дх

(17)

Решение задачи (17) ищем в виде суммы частного решения неоднородного уравнения

С0 = С11 =

да* х + а ^• ~дГX•+

х + х да* 2 3! дt

и общего решения однородного уравнения

С11 - С0 + а1х + й1.

Используя граничные условия, находим константы

„1 _ IX,2 «к + д, X,^,

1 2 8 дt 88 д^

Й1 = т: х• _т::а• X

3!

дt 2!

ат*

дt

Следовательно,

С11 = 117 д7 )(х+X^ ))3 ].

(19)

Нетрудно показать, что для п > 2 справедливы формулы

,0 =_э_ Г 1п дt і

_ X•

С1п _ С° — [д,(X, + х)2п+1 ]. (20)

(2п +1)! д^

Тогда окончательное решение в области 1 запишется в виде

С=£-

1

дп

[а*( X• + х)2п+1 ]. (21)

П_0 Д”(2п +1)! д^

Выражение (21) зависит от неизвестной функции д, ^), которую можно найти, используя граничные условия на неподвижной границе х = 0: С1 _ С2 _ Ф1.

Функцию д, ^) будем искать в виде функционального ряда

?,(0 _Х д,т (t)’

т_0

подставляя который в (21), имеем

1

п=0 Dln(2п +1)! д^

£ а*т 0) X*2п+1^)

т=0

= Ф1

или

д *

-[_*)« X*2п+1(о][ = ф1.

“ I п 1

П_0 Ш (2п+1)! ]

Выделяя в левой части слагаемые, начиная со значения п = 0, и слагаемые, начиная с п > 1, получим

п = 0: а*0 х• = Фі>

п>

>1: а•nх• = £

Б* (2к +1)! дік

(22) ].

2к+1

Аналогично, используя те же рассуждения, для границы Хь получим

с3( х1) = _£

0 Б**(2п +1)! ді'

■[аь(t)(х ь

(і) _ х)2п+1 ] (23)

~ I п л

-----х

п_01 к_0 ^ (2*+1)!

[дЬ(п-*)(t)() -8) ]|_-ф3.

Откуда имеем

п_0: дь0(хь-8)_-ф3>

п >1: аьп ^ь _5) =

1 дк

(24)

к=0 Б3к (2к +1)! дtk

[а ь(п_к )(t)(Xь(і) _5)2к+1 ].

Во внутренней области 0 < х <8 решение ищем операционным методом. В пространстве изображений по Лапласу имеем:

С

С2 = — + Ае*^ + Ве

Используя граничные условия, найдем константы

В = -

/3 _ /1е

-^—5

2sh

4рЦ>

А = Л + _ /3 _./1е

-^—5

2sh

5

4рЦ>

где

йс1

/1(х„ t) _ И2—1 при х _ °, ах

/3(хь>t) _ при х _8

ах

есть выражения для потоков в пространстве изображений.

Переходя к оригиналу, найдем Сг\

с2(х, t) = С0 _£

т=0

і

I

ехр

Фг

(25(т +1) _ х)2 _ у)

л/пБ2(1 _ у)

йу +

і ехР -|ф,1 —

(2т5+ х)2 4Б2(і _ у)

л/пБ2(1 _ у)

йУ

т=0

ехр

Ф3-

(5(2т +1) _ х)2 _ у)

і ехР

+1Ф3-

0

^2(1 _ у)

(5(2т +1) + х)2 _ у)

йу +

№2(1 _ у)

йу

Пользуясь определением функций ф1 , ф3

/

, ф3 _ Д,

' Г.Ґ дС1

Ф' = Б'|-ах-

дС

х=0, п=0

дх

V у

х=5, п=0

и величин д,, дь, найдем систему взаимосвязанных интегральных уравнений для нахождения законов движения границ.

В нулевом приближении имеем:

д,X, _ С2(0, t),

дь( хь-8) _ -С2(8, t).

Подставляя соответствующие значения д,, дь, С2(0, t), С2 (8, t), получим для X,

Д йі

X * = С0 _£

/

еХр

і...

0

52(2т +1)2 Б2(і _ у)

йу 4ПП2(і _ у)

йу +

I

ехр

йГ *

с2 2 ^

5 т

Б2(1 _ у)

йу ^%02(і _ у)

йу

(25)

0

52(2т +1)2 _ у)

йі ) VпБ2 (і _ у)

йу

+

+

+

+

Аналогично для Xь имеем

Д3 йі

(Xь _5) = Се

т=0

dX* йу

ехр

52 (2т +1)2 4 Б2(і _ у)

т=0

V , NехР

гГ йXь

йу

5 2(т +1)2 Д2(і _ у)

йу

7пД2(і _ у)

йу + (26)

і. , ^ХР

ь

•л_-

йі

52 2

т

Д2(і _ у)

йу

Ограничиваясь нулевыми членами ряда для т = 0, что возможно благодаря быстрому уменьшению членов ряда с увеличением т, из (25) имеем

і ехР ^ X, = С„ + 2Г ^ь

52

Д2 (і _ у)

йу

I

ехр

dX*

52

4 Д2(і _ у)

йу Л/ЛБ2(і_уУ

йу _1

dX*

йу

йу ^п02 (і _ у)

Аналогично для Xь из (26) находим

Д3 йі

(Xь _5) = С0 + 2|

і ехР й^

52

Д2 (і _ у )

йу

і

I

ь

ехр

52

йу _1 £

йу Л/лБ2(і _ у)

йу

йу Л/лБ2(і _ у)

Ограничиваясь главными слагаемыми (малости порядка единицы) и вычисляя интеграл по частям, получим для X,

Д1 йі

X* = с0 _

(27)

ТЛД

йх* л/7 1

—+-йі 2 2

й2 X*

йу2

йу

Рис. 2. Зависимость толщины адсорбционного слоя от времени при различных значениях начальной концентрации легирующего элемента в припое: С0 _ 0.05 (1); 0.1 (2); 0.01 (3)

и для Xь 1 (IX,

Д3 йі

ь _5) = С0 _

1

(28)

-УПД

йXь^ft + 1 йі 2

0

-й2 Xьd

у—г йу

йу2

Полагая, что X,, _ ал/7 и вычисляя интегралы, из (27) получим квадратное уравнение для определения константы

1_ а_ Д1 2

= С0 +

6д/ пД2

Следовательно,

а1, 2

6д/ пД 2

1 ± 1 + 72 Д2 пС0

Очевидно, что нас интересует меньший положительный корень.

Аналогично, полагая, что Xь _ Ь>/7 + 8, и проделывая те же преобразования, с помощью (28) найдем константу Ь

Ь1,2 =

6д/ пД2

1 ± ц + 72Д2пСо

Д

Принимая, что Д1 = 1.4-10 12 м2/с, Д2 = 1.28-10 11 м2/с, Д3 = 4.1 -1010 м2/с [3], найдем, например для С 01) = 0.05, С02) = 0.1, с03) = 0.01, константы а, Ь:

а1 = 3.3918-107,

= 4.9363-10-

а3 = 1.3453-10-7,

Ь1 = 1.1723-10'

Ь2 = 1.4076-10-5,

Ь3 = 3.7399-10 5.

Зависимость толщины адсорбционного слоя от времени для кубического нитрида бора показана на рис. 2.

+

+

4. Выводы

Таким образом, в работе сформулирована модель образования адсорбционного соединения при диффузионной пайке и построено ее аналитическое решение.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, грант № 02-01-81034 Бел 2002-а.

Литература

1. Петрунин И.Е. Физико-химические процессы при пайке. - М.: Высшая школа, 1972. - 280 с.

2. Поболь И.Л., Нестерук И.Г., Вольфарт X. и др. Электроннолучевая пайка кубического нитрида бора к основе из твердого сплава // Сварка: технологии, материалы и оборудование. - 1999. -№ 2. - С. 43^6.

3. Бутов В.Г., Губаръков Д.В., Князева А.Г. Распределение концентрации диффундирующего элемента в трехслойной системе и оценка коэффициента диффузии на основе решения обратной задачи // Физ. мезомех. - 2000. - Т. 6. - № 3. - С. 105-112.

4. Князева А.Г., Поболъ И.Л., Романова В.А. Поле напряжений в диффузионной зоне соединения, получаемого электронно-лучевой пайкой // Физ. мезомех. - 2001. - Т. 4. - № 5. - С. 41-53.

5. Бутов В.Г, Губаръков Д.В., Князева А.Г, Поболъ И.Л. Об оптимизации процесса пайки на основе теоретического исследования диффузионной зоны // Физ. мезомех. - 2002. - Т. 5. - № 1. -С. 89-93.

6. Романков П.Г., Рашковская Н.Б., Фролов В.Ф. Массообменные про-

цессы химической технологии. - Л.: Химия, 1975. - 336 с.

7. Карташов Э.М. Аналитические методы в теплопроводности твер-

дых тел. - М.: Высшая школа, 1979. - 415 с.