Робастное управление линейным объектом с запаздыванием с использованием фильтров высокого порядка Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 62-50

РОБАСТНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ЛИНЕИНЫМ ОБЪЕКТОМ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ

ФИЛЬТРОВ ВЫСОКОГО ПОРЯДКА

© 2005 г. Г.Н. Терновая, А.М. Цыкунов

В настоящее время имеется большое количество работ, в которых рассматриваются различные критерии робастной устойчивости и подходы к построению систем управления [1-5]. Особое место занимают задачи управления, когда измерению недоступны производные входных и выходных величин.

Данная работа представляет собой развитие известных результатов [4] для объектов с запаздыванием. В отличие от [4] для оценки производных регулируемой переменной используется наблюдатель с большим коэффициентом усиления [6].

Постановка задачи

Рассмотрим линейный объект управления, динамические процессы в котором описываются уравнением с отклоняющим аргументом:

Q(P) у«)+в( р) у(/ - н) = я( р)и(г),

P'y(s) =vt(s), i =1,...,n-1,

[-M0],

(1)

целевым условием построения системы управления является соотношение

lim y(t) = 0.

t

Метод решения

(2)

Зададим закон управления в виде

и = -еТ (Р) у (/),

(3)

где Т (Р) - дифференциальный оператор порядка п - т -1; у - оценка регулируемой переменной, которая формируется наблюдателем [6]

X (/) = ^0 *(/) + Н о( у (/) - у(О), у«) = Ьх(/). (4)

h„

Здесь xеRn-m-1; L = [1,0,...,0]; H0T = n-m-1

Fo =

где Р - оператор дифференцирования; Q(P), О(Р), Я(Р) - линейные дифференциальные операторы с постоянными коэффициентами, порядков п, к, т соответственно; п - т > 2; п > к ; у - измеряемая регулируемая переменная, и - скалярное управляющее воздействие; н - неизвестное время запаздывания; у 1 (я) - непрерывные ограниченные начальные функции.

Предположения: А1. Коэффициенты дифференциальных операторов зависят от вектора неизвестных параметров ^еа , где Е - известное множество возможных значений вектора ^.

А 2. Полином Я(к) - гурвицев, X - комплексная переменная в преобразовании Лапласа.

А3. Известны порядки операторов п, т,к .Для определённости будем считать, что к = п -1.

А 4. Полином Q(X) нормированный, т. е. коэффициент при старшем члене равен единице.

Требуется определить закон изменения управляющего воздействия, для реализации которого не требуется измерения производных регулируемой величины. Замкнутая система при этом должна быть асимптотически устойчивой по переменной у , т. е.

0 I

n-m - 2

In

единичная матрица по-

о о

рядка (п - т - 2) х (п - т - 2); е > 0 достаточно малая величина. Вообще-то неизвестно, почему наблюдатель (4) назван наблюдателем с большим коэффициентом усиления. Если у(/) - выход, а у(/) - вход, то коэффициент усиления равен единице. Числа Н1,...,Нп-т-1 выбираются так, чтобы матрица ^ = + Н1Ь была гурвицевой, где Н^ = [-Нь„., -Нп-т-1]. Подставив (3) в (1), получим

(в( Р) + ея( Р)Т (Р)) у(/) + в( Р) у(/ - н) =

= 9R( P)T (P)( y(t) -y (t)).

(5)

Оператор Т(Р) выбирается так, чтобы полином Т (X) был гурвицевым, тогда в силу предположения А 2 полином степени п -1 Я(Х)Т(X) - гурвицев, а значит, существует положительное число е такое, что полином Q0(Х) = Q(X) + еЯ(Х)Т(X) тоже будет гурвицевым. Однако этих условий ещё не достаточно. Требуется учесть наличие запаздывающей составляющей. Кроме гурвицевости полинома Q0(Х) число е и полином Т (X) должны быть выбраны так, чтобы выполнялись неравенства [7]:

\q„\ > \gn-i|, inf Qo(Ml > supG(Ml (6)

§ §

для любых юе[0;где qn,gn-1 - свободные коэффициенты полиномов Q0(А),G(А) соответственно. В этом случае в соответствии с [7] квазиполином G0(А) = Q0(А) + G(k)e ~Xh будет гурвицевым для любых значений h .

Преобразуем уравнение (5) в векторно-матричную форму

x(t) = Ax(t) + rx(t - h) + B1TT (x1 (t) - x(t)),

y(t) = Lx(t),

(7)

n-m-j .

dt

■ < -a 3 x

dW (t, xt (5))

dx(t)

< a 4 x

(C; (5)1.

dW (t, xt (5)) dt

= lim sup

W (t + At) -W (t) At

где е Яп-т-1; х2 е Ят+1; Вот = [0,...,0,1]; Вт = [Ьо,..., Ьт ]; ^ - имеет такую же структуру, как матрица ; элементами векторов с 1; с 2 являются коэффициенты полиномов Qо(А), О(А) соответственно; х21 - первая компонента вектора х 2.

Следуя [6], введём вектор

П= Б "1(х1 - х), Б = сИа^ "-т-2е,1>, тогда из (4) и (9) получим

11 (г) = Б -1 (^о + Н о Ь) Бп(Г) + Б -1В о х 21(г) . Принимая во внимание структуры матриц, найдем

A - гурвицева

гдехе Я", хт = [х1,х2]; х1 е Я матрица с характеристическим полиномом Qо(А);

т Г о... о _

ВТ = [о,...,о,¿о,...,Ьт]; г =

I £"-1-. 8 о.

коэффициенты полинома О(А); т - вектор, компонентами, которого являются коэффициенты полинома Т (А), умноженные на -9 . Тогда закон управления

реализуется в виде и =т тх (г), который не требует измерения производных регулируемой переменной.

Утверждение. Если выполнены предположения А 1 - А 4, полином Т (А) и число 9 выбраны из условий гурвицевости квазиполинома О о(А) и неравенств (6), то для системы (1), (3), (4) выполнено целевое условие (2).

Доказательство утверждения. Если в (7) х1 - х = о, то система (7) экспоненциально устойчива, так как квазиполином О о(А) гурвицев [8]. Тогда в соответствии с [9] существует функционал Ляпунова -Красовского Ж (г, хг (я)), удовлетворяющий условиям:

а1 х (я)||2 < Ж(г, х1 (я)) < а 2 ||х^ (5)||2 ; йЖ (г, (я))

TÍ (t) = - Fn(t) + B 0 x 2 j (t).

e

(10)

Возьмём функцию Ляпунова У1 (п) = п Нп и определим положительно определённую симметричную матрицу Н из матричного уравнения

НА + АТН = ~д-р1п-т-1 ,

где Q = Qт > о . Вычислим полную производную на траекториях системы (1о) с учетом приведённого уравнения

сух/ йг = -1 пт (Q + р/"-т-1)п + 2п тнв о х 21. (11) е

Воспользуемся оценками

2птНВох21 < 2||п||||НВ„Щх2^ < 2||п||||НВ„Щ|х((*)||, в результате чего из (11) получим

су 1/ сг < - 1-пт (Q+р/ п-т-1 )п + 21 |п|| | |НВ „Щ |х( (*)||.

Принимая это во внимание, вычислим производную от функционала У = У1(п) + Ж (г, хг (я)) на траекториях системы (7), (1о) с учетом соотношений (8)

(8)

dV / dt < -a 3 ||xt (5)||

2 . dW(t, xt (5)) _ t

-B T

dx(t)

+

B1t t бц-

где а^ > о,I = 1,...,4; хг(я) = х(г + я),яе [-И;о]; под производной [9] йЖ(г,хг(я))/йг понимается верхнее производное число функционала

-1 n r (Q + р!„-m-i )П + 21HI |\HB 0|| |x . (12)

Оценим второе слагаемое в (12), учитывая последнее неравенство в (8).

dW(t,xt(5))d _t

B1t Бц < a 4 a 5 hxt

на траекториях системы (7).

Запишем уравнение (7) в виде двух подсистем уравнений

х 1(г) = Fо х 1(г) + В о х 21 (г), х 2(г) = = х2 (г) + Во (ст х + с т х(г - И)) + Вт т (х1 (г) - х (г)), (9)

dx(t)

Тогда из (12) имеем

dV / dt < -a3 ||xt (5)|2 + a4a5 ||x

- T (Й + PIn-m-,>n + 2a «IHII lxt (4

где a 6 =|\HB

a 5 = B1t t б .

Всегда существует достаточно малое число £ 0 та-

азР / 1 ч кое, что выполнено неравенство -> (а6 +— а4а5).

£ о 2

При выборе числа £<£ 0 получим dV / dt < 0 , откуда следует lim n(t) = 0, lim x(t) = 0. Следовательно, выполнено целевое условие (2).

Пример. Рассмотрим объект управления, динамические процессы в котором описываются уравнением

(P3 + а 1 P 2 + а 2 P + а 3)y (t) + +(g i P 2 + g 2 P + g з) У (t - h) = ku.

Зададим закон управления в виде (3), где T(P) = t1P2 +т2P + т3. Класс неопределённости задан множеством

а = К,gt;k,i = 1,2,3: а, е [-5;5],gt е [-3;3],k > 1}.

Выберем 0 = 5, т1 =2, т2 =8, т3 =16. В этом случае, полином Q0(А) гурвицев и выполнены условия (6) для любых а,,gt,k е а . Величину £ возьмём равную 0,01, вектор Hj = [3; 1] . В этом случае алгоритмическая структура управляющего устройства будет иметь вид

x1 = x 2 + 300(У - x1), х2 = 10000(У - x1), u = -5(2x1 + 8х2 +16х2) .

Для реализации приведенного закона управления не требуется измерения производных регулируемой переменной, а управляющее воздействие формируется на основании измеренного выхода и переменных, получаемых с наблюдателя.

На рис. 1 приведены результаты моделирования при следующих исходных данных: а, =-5,

g, =-3, t =1,2,3; xT (0) = [2; 1; 1]; k = 2; h = 2 с, а на

рис. 2 при исходных данных: а, =-5, gt = 3,

t = 1, 2, 3; xT (0) = [2; 1; 1]; k = 4; h = 10с.

y(t)

t, c

y(t)

- t, c

i/

4 6

Рис. 1

10

О 5 10 15 20 25 30

Рис. 2

Заключение

В работе исследована схема робастного управления объектом с запаздыванием по состоянию. Для оценки производных регулируемой величины используется наблюдатель с большим коэффициентом усиления. Данная работа является развитием подхода, предложенного в [4] для систем с запаздыванием. Полученные результаты легко обобщаются для систем со многими запаздывающими аргументами, а также в случае векторных выходов и входов.

Литература

1. Поляк Б.Г., Цыпкин Я.З. Робастная устойчивость линейных систем // Итоги науки и техники. Серия Техническая кибернетика. М., 1991. С. 3 - 31.

2. Воронков В.С. Синтез робастного нелинейного управления неустойчивыми объектами // Изв. РАН. Теория и системы управления. 1996. № 6. С. 58 - 66.

3. Glover K. Robust stabilization of linear multivariable systems: relations to approximation // Int. J. of Contr.1986. Vol. 43. № 3. P. 741 - 766.

4. Бобцов А.А. Алгоритм робастного управления неопределённым объектом без измерения производных регулируемой переменной // А и Т. 2003. № 8. С. 82 - 96.

5. Бобцов А.А. Алгоритм робастного управления линейным объектом по выходу с компенсацией неизвестного детерминированного возмущения // Изв. РАН. Теория и системы управления. 2003. № 2. С. 93 - 97.

6. Ahmad N.A., Khalil H.K. A separation principle for the

stabilization of a class of nonlinear systems // IEEE Trans. on automat contr. 1999. Vol. 44. № 9. P.1672 - 1687.

7. Животовский Л.А. Абсолютная устойчивость решений

дифференциальных уравнений с несколькими запаздываниями // Тр. семинара по теории дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. М., 1969. Т. 7. С. 82 - 91.

8. Колмановский В.Б., Носов В.Р. Устойчивость и периодические режимы регулируемых систем с последействием. М., 1981.

9. Красовский Н.Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения. М., 1959.

Астраханский государственный технический университет

25 ноября 2004 г.