CC BY
34
УДК 62-506
Г. Н. Терновая Астраханский государственный технический университет
РОБАСТНАЯ СТАБИЛИЗАЦИЯ ЛИНЕЙНОГО ДИНАМИЧЕСКОГО ОБЪЕКТА С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ НАБЛЮДАТЕЛЯ С БОЛЬШИМ КОЭФФИЦИЕНТОМ УСИЛЕНИЯ
Введение
В настоящее время имеется большое количество работ, в которых рассматриваются различные критерии робастной устойчивости и подходы к построению систем управления [1-5]. Особое место занимают задачи управления, когда измерению недоступны производные входных и выходных величин.
Данная работа представляет собой развитие известных результатов [4]. В отличие от [4] для оценки производных регулируемой переменной используется наблюдатель с большим коэффициентом усиления [6].
Постановка задачи
Рассмотрим объект управления, динамические процессы в котором описываются линейным дифференциальным уравнением
б(Р) у(0 = вд«(0, (1)
где Р = й / йї - оператор дифференцирования; Q(P), Я(Р) - линейные дифференциальные операторы с постоянными неизвестными коэффициентами порядков п, т соответственно, п — т > 2; у - измеряемая регулируемая переменная; и - скалярное управляющее воздействие.
Предположения:
А1. Коэффициенты дифференциальных операторов Q(Р), Я(Р) зависят от вектора неизвестных параметров ХЄХ , где X - известное множество возможных значений вектора X .
А2. Полином Я(1) - гурвицев, 1 - комплексная переменная в преобразовании Лапласа.
А3. Известны порядки полиномов Q(1), Я(1) п, т ; п — 2 > т.
А4. Полином Q(1) — нормированный, т. е. коэффициент при старшем члене равен единице.
Определим закон изменения управляющего воздействия, для реализации которого не требуется измерение производных регулируемой величины. Замкнутая система при этом должна быть асимптотически устойчивой по переменной у, т. е. целевым условием построения системы управления является соотношение
ііш у(ї) = 0. (2)
Ґ
Метод решения
Зададим закон управления в виде и = —0Т (Р) у (О,
(3)
где 0 > 0, Т(Р) - линейный дифференциальный оператор порядка п — т — 1. Оператор Т (Р) выбирается так, чтобы полином Т (1) был гурви-цевым, тогда, в силу предположения А2, полином степени п — 1 Я(к)Т (1) -гурвицев, а значит, существует положительное число 0 такое, что полином Qo(1) = Q(1) + 0ВДТ (1) тоже будет гурвицевым; у(1) - оценка регулируемой переменной, которая формируется наблюдателем [6]:
1п—т—1 - единичная матрица порядка (п — т — 1)X(п — т — 1); е> 0 - достаточно малая величина. Числа ... , Нп—т выбираются так, чтобы матрица
^ = ^0 + И1Ь была гурвицевой, где И\ = [—\, ... , — Нп—т ] .
Подставив (3) в (1), имеем
где х е Яп; А - гурвицева матрица в форме Фробениуса с характеристи-
тора 1 являются коэффициенты полинома Т(Р), умноженные на — 0;
который не требует измерения производных регулируемой переменной.
Утверждение. Пусть выполнены условия предположений А1-А4 и полином Т(1) и число 0 выбраны из условий гурвицевости Q0 (1). В этом случае для системы (1), (3), (4) выполнено целевое условие (2).
Доказательство утверждения. Если в системе (6) х1 — х = 0, то система (6) экспоненциально устойчива.
* = ^0 X (і) + Н 0 (у(і) — у (і)), у (і) = Ьх (і).
(4)
ШР) + 0Д(Р)Т (Р)) у(і) = 0Д(Р)Т (Р)( у(і) — у(і)).
(5)
Преобразуем уравнение (5) в векторно-матричную форму
Х(і) = Ах(і) + Б1хТ (х1 (і) — х(і)), у(і) = Ьх(і),
(6)
ческим многочленом Q0(1); Б^ =[0, ... , 0, Ь0, ... , Ьт]; значениями век-
Ь = [1, 0, ... , 0].
Тогда закон управления реализуется в виде
и = тТ х (і),
(6а)
Запишем уравнение (6) в виде системы уравнений:
х (і) = Е х (і) + Б0 (х21 (і ) + *0 ^Т (х1 (і) — х (і))), (7)
х2 (і) = Е1х2 (і) + Б0с1 х(і) + БіТ (х1 (і) — х(і)),
где х1 є Яп—т; х2 є Ят; БТ = [0, ... , 0,1]; БТ = [Ь1, ... ,Ьт]; Е] - имеет такую же структуру, как матрица Е0; элементами вектора с1 являются ко-
эффициенты полинома Q0 (1); х21 - первая компонента вектора х2.
Следуя [6], введём вектор
Л = В_1(х1 — х), В = ^{еп—т—1, ... , е, 1}, тогда из (4) и (7) получим
Л (і) = В—1 (Е + Н 0 Ь) Вл(і) + В —Б (х21(і) + Ь)хТ (х1(і) — х (і))).
Принимая во внимание структуры матриц, получим
1 Т Л (і) = - Рц(і) + Б0( х2Ді) + Ь0х Вл). (8)
є
Возьмём функцию Ляпунова
^(л) = лТнл
и определим положительно-определённую симметричную матрицу н из матричного уравнения
НЕ + ЕТН = — Q — р1п_т ,
где Q = 0Т > 0 .
Вычислим полную производную на траекториях системы (8) с учетом приведённого уравнения
V = — V О, + ріп—т)Л + 2лТНБ0х2! + 2лТНБ0*0тТВл . (9)
-
Воспользуемся оценками:
2лТНБ0х21 < 2ІЛЦ|НБ0|||х21| < 2|л||||НБ0||||х||,
2лТНБ0Ь0тТВл £ 2Л|| Рі, Рі =|\НБ0Ь0хТ в результате чего из (9) получим
V <—цТ (- Q + Р 1п—т — Р1)Л + 21 НИКИ XII. е е
Возьмём функцию Ляпунова
У2( х) = хТ Рх
и определим положительно-определённую симметричную матрицу Р из матричного уравнения
РА + АТР = —Q1,
где Q1 = Q1T > 0 .
Вычислим полную производную на траекториях системы (6) с учетом приведённого уравнения
V = хТ (РА + АТР)х + 2хТРБ1хТЩц. (10) Воспользуемся оценкой
2хТРБ11ТБц < 2|хЦРБ^Ц|1 тах(ЩЛ|, в результате чего из (10) получим
V < — XTQlX + 21 х||||РБ11||Ц|1 тах (ЩН[
Принимая это во внимание, вычислим производную от функции
V = ¥1 (ц) + У2 (х) на траекториях системы (6), (8):
V < —Ц (- Q + Р 1п_т — Р1)Н + 21 Щ|ЯБЛ\4 — XTQlX + 21 хЦРБ, |||1111 тах (Б)||Ц .
е е
Всегда существует достаточно малое число е0 такое, что выполнено
неравенство — — р1 > (|| ИБ0\\ + | |РБЛ к||1 тах( Б)). При выборе числа е<е0
е0 ......................
получим dV / & < 0, откуда следует
Птц(^) = 0, Пт х(:) = 0 .
?——¥ £ —¥
Следовательно, выполнено целевое условие (2).
Пример
Рассмотрим объект управления, динамические процессы в котором описываются уравнением
(Р3 + а1Р2 + а2 Р + а3) у(^) = км($).
Зададим закон управления в виде (3), где Т(Р) = 11Р2 +12Р + 13. Класс неопределённости задан множеством
X = (аг-,к, 1 = 1, 2, 3: а1 е [—5; 5], 1 < к < 4}. Выберем 0 = 3,11 = 2,12 = 8,13 = 16 . В этом случае полином Q0 (1) гурвицев и выполнены условия (6) для лю-
^ т
бых а1, к е X . Величину е возьмём равную 0,01, вектор Н = [—3; — 3; — 1]. В этом случае алгоритмическая структура (4), (6а) управляющего устройства будет иметь вид
х1 = х2 + 300(у — х1), х2 = х3 + 30 000(у — х1), х3 = 1 000 000( у — х1), и = —3(2х1 + 8х2 +16х3).
Для реализации приведенного закона управления не требуется измерение производных регулируемой переменной, а управляющее воздействие формируется на основании измеренного выхода и переменных, получаемых с наблюдателя.
На рисунке приведены результаты моделирования при следующих исходных данных: а1 = —5; 1 = 1, 2, 3; к = 3.
Заключение
В работе исследована схема робастного управления объектом с использованием для оценки производных регулируемой величины наблюдателя с большим коэффициентом усиления. Данная работа является развитием подхода, предложенного в [4]. Полученные результаты легко обобщаются для систем со многими запаздывающими аргументами, а также в случае векторных выходов и входов.
СПИСОК ЛИТЕРА ТУРЫ
1. Поляк Б. Г., Цыпкин Я. З. Робастная устойчивость линейных систем // Итоги науки и техники. Сер. Техн. кибернетика / ВИНИТИ. - М., 1991. - С. 3-31.
2. Воронков В. С. Синтез робастного нелинейного управления неустойчивыми объектами // Изв. РАН. Теория и системы управления. - 1996. - № 6. -С. 58-66.
3. Glover K. Robust stabilization of linear multivariable systems: relations to approximation // Int. J. of Contr. - Vol. 43, N 3. - P. 741-766.
4. Бобцов А.А. Алгоритм робастного управления неопределённым объектом без измерения производных регулируемой переменной // Автоматика и телемеханика. - 2003. - № 8. - С. 82-96.
5. Бобцов А. А. Алгоритм робастного управления линейным объектом по выходу с компенсацией неизвестного детерминированного возмущения // Изв. РАН. Теория и системы управления. - 2003. - № 2. - С. 93-97.
6. Khalil H. K., Atassi A. N. A separation principle for the stabilization of a class of nonlinear systems // IEEE Trans. on automat contr. - 1999. - Vol. 44, N 9. -P. 1672-1687.
Получено 19.09.05
ROBUST STABILIZATION OF A LINEAR DYNAMIC OBJECT WITH THE USE OF AN OBSERVER WITH A BIG GAIN FACTOR
G. N. Ternovaja
The structure of a control system by a linear dynamic object with a scalar input and output without the measurement of their derivatives that is essential in applied problems where such systems are used is considered in the work. In contrast to famous works, the given circuit does not demand realization of condition filters for a regress vector formation that allows reducing essentially the order of a closed system. The received results are easily summarized for systems with many retarded arguments, and also in the case of vector outputs and inputs.
